江西省宜春市宜丰中学2024届高三年级上册12月月考数学试卷及答案

江西省宜丰县2023-2024（上）创新部高三12月考试数学试卷

一、单选题(40分)

1.已知二N={x[y=ln，—3x)}则〃cN=(

A{-2,-1,0}B.{-2,-1}C.{0,1,2}D.

2.已知向量£=(—4,—3)4=(机,1),且夹角的余弦值为一则加=(

2424

A.0B.-1C.0或----D.

77

JI3

3.若cos(-----6Z)——,贝ljsin2o=

45

7117

A.—B.-C.—D.

255525

、(加、、

4.数列{%}满足a.=2sin--1an+n,/zeN*，则数列{%,}的前80项和为()

\2)

A.1640B.1680C.2100D.2120

5.正四面体48C。的棱长为1,点。是该正四面体内切球球面上的动点，当刀.A万取得最小值时，点

P到4D的距离为（）

A3A/2—V6a-出r2V2—V3V2

1212124

6.已知函数/（x）=三，过点（。力）作曲线/（x）的切线，下列说法正确的是（）

e

4—Q

A.当0<。<2时，可作两条切线，则6的值为

e

B.当a=2,b>0时，可作两条切线

4

C.当。=0,6时，有且仅有一条切线

e

4

D.当。=0时，可作三条切线，则0<b<f

e-

7.在长方体—44GA中，48=4、BC=3,M、N分别为棱45、区^的中点，点尸在对

角线4G上，且4尸=3,过点初、N、P作一个截面，该截面的形状为（）

A.三角形

B.四边形

C.五边形

D.六边形

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8.已知函数/(x)=sinx-2ax-axcosx,Vx>0,/(x)<0,则实数。的取值范围是()

c.D.[o,|

A［才+WB.巴

二、多选题（20分）

9.在A48C中，下列命题中正确的有（

A.若a>b,贝Usin4>sin8B.若sin/=sin8,则Z=3

C.若/〉B,则一-->---D.若Z<3则cos2A>cos2B

sin2/sin2B

10.已知正三棱柱4BC-481cl的各棱长都为1,£为48的中点，则（）

A,直线与直线A\E为异面直线

B.Bq//平面&EC

c.二面角4—/的正弦值为更

5

7兀

D,若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为——

3

11.设定义在R上的函数/⑴的导函数为了'（X），若〃xT）与/（x-2）均为偶函数，则下列说法一定

正确的是（）

A./⑺的图象关于x=-1对称B.2为/（x）的一个周期

C.7'（x）的图象关于（2,0）对称D./'（x）为偶函数

22

12.已知椭圆C：:+£=19〉0）的左右焦点分别为《、点尸（、历」）在椭圆内部，点。在椭圆

上，椭圆C的离心率为e,则以下说法正确的是（）

A,离心率e的取值范围为［（）,£

I2J

B.当6=,时，|0国+|。尸|的最大值为4+'

C.存在点。，使得•函=0

11

D函+函的最小值为1

三、填空题（20分）

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13.在(3+y)(x-y)4的展开式中x2/的系数为.

14.3个大人和2个小孩乘船游玩，现有船3只，1号船最多装3人，2号船最多装2人，3号船最多装1

人，可从中任选2只或3只船乘坐，但一只船上不能只有小孩，则有种不同的分乘方法.

15.设/(x)=I、若方程=有四个不相等的实根x,«=l,2,3,4),且

%1<x2<X3<x4,贝|J&+声)2+X；+X：的取值范围为.

2

16.已知点尸是椭圆二+y=1伍〉1)的右焦点，点尸(0,3)到椭圆上的动点。的距离的最大值不超过

a

26，当椭圆的离心率取到最大值时，则|尸。|+|。川的最大值等于.

四、解答题(70分)

17已知平面四边形中，Z^+ZC=180°,BC=3.

(1)若4B=6,AD=3,CD=4,求BD；

(2)若N/8C=120。，A48C的面积为为3,求四边形4BC£)周长的最大值.

2

18.为弘扬中斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有

A和8两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A类试题得10分；每答对1道8类试题得20分，答

错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答(每道题抽后不放回).已知某同学A

2

类试题中有7道题能答对，而他答对各道B类试题的概率均为].

(1)若该同学只抽取3道A类试题作答，设X表示该同学答这3道试题的总得分，求X的分布和期望；

(2)若该同学在A类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率.

19.已知单调递减的正项数列｛4｝,〃之2时满足

寸(4.1+1)+。3(4+1)—2%%-(%%_]+%+1)=0.%=gS.为｛4｝前〃项和.

(1)求｛4｝的通项公式；

C,1

(2)证明：S"〉l—..

sjn+1

20.已知三棱柱ABC-,AB=AC=2,AAX=3,ZAXAB=ZAXAC=ABAC=60°,M,N为线

AMBN小，、

段zq,84上的点，且满足R=w7=*o</<1).

AO[

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(1)求证：MN〃平面Z8C；

(2)求证：BB11BC；

(3)设平面平面ZBC=/,已知二面角M-/-C的正弦值为求才的值.

3

21已知函数/(x)=(x+l)ln(x+l)-2x.

(1)当xNO时，求X的最大值；

(2)设〃cN*1证明：1----1-------1----1-----------<In2.

2342〃-12〃

22

22.已知双曲线勺=1(。>0,6>0)经过点尸(4,6),且离心率为2.

ab

(1)求C的方程；

(2)过点尸作了轴的垂线，交直线/:x=l于点M,交F轴于点N.设点48为双曲线。上的两个动点,

s

直线P4P8的斜率分别为3上2,若%+左2=2,求飞9.

'△NAB

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江西省宜丰县2023-2024（上）创新部高三12月考试数学试卷

一、单选题（40分）

1.已知拉=卜N={x|y=ln（x2—3x）}则〃cN=（）

A.{-2,-1,0}B.{-2,-1}C.{0,1,2}D.{1,2,3}

【答案】B

【解析】

【分析】先化简集合N,再利用集合的交集运算求解.

【详解】解：由Y—3x〉0,得x〉3或x<0,则"={月》<0或x>3},

又〃0,1,2},所以XCN={-2,T},

故选：B

2.已知向量£=（—4,—3）,3=（机』），且夹角的余弦值为-j,则冽=

()

24

A.0B.-1C.0或----D.-

7

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量的夹角的坐标公式求解即可.

2

【详解】由已知q=J（—4）2+（—3）2=5,^>\=yJm+l,a-b=-4m-3,所以

11

/r八-4m-33._____

⑷二a阴-b=5xR_5,即.+3=3而丁20,故3

m>——,且

4

24

16加之+24加+9=9加之+9,解得加=0或----（舍去），所以加=0

7

故选：A

ji3

3.若COS（---a）=—,则sin2c=

45

711

A.—B.-C.—D.-

2555

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：cos—a1=2cos2^-«pi=2xQ^|-

25

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/JI\JI

且cos2---a-cos----2a=sin2a,故选D.

LUJJ[2J-

【考点】三角恒等变换

【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：

(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差.

(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系.

4.数列｛4｝满足%+i=2sin--14+〃，〃eN*，则数列｛。“｝的前80项和为()

A.1640B,1680C,2100D.2120

【答案】A

【解析】

【分析】利用周期性以及等差数列进行求解.

2乃4

n兀%IT-------4

【详解】设/(〃)=2sin：--1,因为sin—的周期为n,

22I

YIJT

所以/(〃)=2sin；—-l的周期为T=2.

又/⑴=1,/(2)=-1,所以当“为奇数时，/(〃)=1,

所以当〃为偶数时，/(〃)=-1.

又4+i=/(〃)%+〃，所以%=%+1，％=-%+2=—q+1，

。4=。3+3=-％+4,于是得至I]%+。2+。3+。4=6，同理可求出

%+%+。7+=14,为++%]+<2p=22…，

设"=%“-3+a4n-2+%"—1+。4"，则数列｛4｝是以6为首项，8为

公差的等差数列，所以数列｛%｝的前80项和为数列｛4｝的前20项和

20x19x8

20x6+---------=1640.故B,C,D错误.

2

故选：A.

5.正四面体4SC。的棱长为1,点尸是该正四面体内切球球面上的动点，当刀.而取得最小值时，点

P到AD的距离为()

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3\[2—y/~6V6—V32V2—V3V2

z\..-------1J•------.--------\-J♦----

1212124

【答案】A

【解析】

---,,---*■---»2]

【分析】根据正四面体的体积可求出内切球的半径，取幺。的中点为E,PAPD=PE--,可得当

4

PE的长度最小时，刀.而取得最小值，求出球心。到点E的距离d,可得点尸到/。的距离为d-r.

【详解】因为四面体48C。是棱长为1的正四面体,

所以其体积为』x」xlxlx苴x逅=正

322312

设正四面体48CD内切球的半径为「，

则4x^x-!-xlxlxxr=，得r=--

3221212

如图，取40的中点为E,则西•丽=（而+或）•（而+历）

-----►2►►►>-►►2]

=PE~+PE-（EA+ED）+EA-ED=PE

显然，当PE的长度最小时，刀•而取得最小值.

瓜

设正四面体内切球的球心为0,可求得CM=0。

因为球心。到点E的距离d=YIPA2-AE2=

41V6_3V2-V6

所以球。上的点尸到点E的最小距离为d-r

7一百一_12-

即当刀.而取得最小值时，点P到AD的距离为3行一二

12

故选：A.

第3页/共27页

、E

R.;了

*

c

【点睛】关键点睛：本题考查几何体的内切球问题，解题的关键是先根据正四面体的体积可求出内切球的

半径，得出点P到AD的距离为球心。到点E的距离减去半径.

6.已知函数/(x)=t，过点(。力)作曲线/(x)的切线，下列说法正确的是()

e

4—Q

A.当0<。<2时，可作两条切线，则b的值为

e

B.当。=2,b〉0时，可作两条切线

4

C当。=0,分二二时，有且仅有一条切线

,e

4

D.当。=0时，可作三条切线，则0<6(下

e~

【答案】D

【解析】

【分析】根据导数的几何意义，结合函数单调性的判断方法，对参数值进行分类讨论，即可判断和选择.

【详解】设过点伍力)的切线与曲线的切点为卜0，2],又/'(x)=F，故过点(。力)的切线方程为：

勺=上/@_),则6_§=口,_),整理得：b=xl-ax0+a^

令〃(%)=X-ax+a,则〃'(x)=(x2)(xa),且当天一+0c时，-0,当x->-oo时，

'exex

A(x)T+8；

对A：当0<a<2时，显然〃(x)在(-oo,a)单调递减，在(a,2)单调递增，在(2,+8)单调递减，又

〉0,〃(2)=^A

uu

若过点(。力)可作两条切线，则6=上3或=，故A错误；

ee

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对B：当a=2,〃'(x)WO恒成立且不恒为零，故〃(x)在R上单调递减,

则当8>0时，有且仅有一条切线，故错误;

对C：a=0时，/?(a)=0,〃(x)在(-”,0)单调递减，在(0,2)单调递增，在(2,+⑹单调递减，且

"2)=9，

故当6=之时，6=〃(x)有两个根，可做两条切线，故C错误；

e

对D：当a=0时，由C可知，若要做三条切线，则6=〃(x)有三个根，则〃(0)<6</《2),

4

即0<6<下，故D正确.

e~

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数单调性；处理问题的关键是构造

2

函数〃(x)=x—婴a,并利用导数研究其单调性，属综合困难题.

7.在长方体48CD—481GA中，48=4、BC=3,M、N分别为棱4S、的中点，点尸在对

角线4cl上，且4尸=3,过点M、N、尸作一个截面，该截面的形状为()

A.三角形

B.四边形

C.五边形

D.六边形

【答案】C

【解析】

【分析】找到截面与长方体的平面的交线，判断为五边形.

【详解】如图所示，延长MN、4与，使"Nc/4=T,连接PA、PT,

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・・・/3=4、BC=3、4尸=3,

・・・4G=5、C、P=2,

•・・M、N分别为棱48、的中点，

：.BM=B{T=2,

A1T=6,

ATAP3,

又4、p、c三点共线，

:.T、P、A三点共线，A在截面上，

延长NM、使NMC4/=K,连接，K,使，KCND=0,

•••。在截面上，

连接、KM,

；AQ//AR,且/0=g4〃

/.AK=-AA,:.AKI/BN豆AK=BN,

2X

又川为48中点，A、5、〃三点共线，

:.M、N、K三点共线，

截面为五边形ASNMQ,

故选：C.

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8.已知函数/(x)=sinx-2ax-axcosx,Vx>0,/(x)<0,则实数。的取值范围是()

A.-,+coB.0,-C.-,+ooD.0,-

L4JI4」［3J「3」

【答案】C

【解析】

【分析】依题意可得smxWax对恒成立,记g(x)=~^——ax,即g(x)W0在［0,+e)

2+cosx2+cosx

上恒成立，利用导数说明函数的单调性，分0<。<!、aW0三种情况讨论，即可求出参数的取

33

值范围.

winx

【详解】Vx>0,〃x)40等价于--------<ax,

2+cosx

记g(x)=sinx---ax,即g(x)w0在［0,+oo)上恒成立，

2+cosx

“、2cosx+l11Y1

''(2+cosx)2(2+cosx3j3

当;—a<0即时，g，(x)<0,g(x)在［0,+动上单调递减，

所以当无20时,g(x)Wg(O)=O即〃x)40恒成立；

当0<a<；时，t己力(%)=一4%,则川(x)=g；-,

当xe［()S时=—a单调递减，又/⑼=；—a〉0,''百=—a<0,

所以存在与《0,£|,使得〃'(％)=0,当xe(O,%)时，/(x)>0,/z(x)单调递增，

所以为(%)>A(0)=0,即**〉ax,

所以当x£(O,%o)时si”"即/(x)〉0,不符合题意；

2+cosx3

当aWO时，=不符合题意.

综上，a的取值范围是

故选：C

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为

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不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的

单调性、极（最）值问题处理.

二、多选题（20分）

9.在中，下列命题中正确的有（）

A.若。>b,贝！|sin4>sin5B.若sin4=sin5,则/=5

C.若/>B,则------>-------D.若/<5则cos2A>COS2B

sin2/sin2B

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据正弦定理可判断ABD的正误，根据反例可判断C的正误.

【详解】设R为三角形外接圆的半径.

在△4SC中，若a>b,则27?sin4>2Ksin5,从而sin4>sin8,故A正确;

若sin/=sin5,则27?sinZ=27?sinB,故。=b

5

所以N=故B正确；

当幺=120°,5=30°时，力〉B成立,

/口12^/312\/3痂「碎、口

但------=------<0,------=---->0，故C错误；

sin2A3sin2B3

若4<B,故。<b,故27?sin4<27?sinB,

故0<sin/<sinB,从而sin?4<sin?3,BP1-cos2A<\-cos2B，

所以cos2A>cos2B，故D正确.

故选：ABD.

10.已知正三棱柱48C-Z4G的各棱长都为1,£为48的中点，则（）

A.直线5G与直线4£为异面直线

B.5q//平面同£。

c.二面角4—/的正弦值为好

5

7兀

D,若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为——

3

【答案】ABD

【解析】

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【分析】连接ZG、4c交于点尸，连接石尸，即可证明)v/BG，从而得到BG〃平面4EC,即可判

断A、B,建立空间中直角坐标系，利用空间向量法判断C,求出A4BC外接圆的半径，即可求出正三棱柱

外接球的半径，即可判断D.

【详解】连接4G、4c交于点E，连接E尸，则尸为NG的中点，

又E为4s的中点，所以EF//BG，8G<Z平面&EC,EFu平面4EC,

所以3G〃平面4EC，故B正确；

又EFC&E=E,EE，4Eu平面4EC,所以&E与不平行且无公共点，

所以直线8G与直线4E为异面直线，故A正确;

取4片的中点。，连接ED,则。又幺4,平面4BC,则QE/平面4BC,又CE工AB,

如图建立空间直角坐标系，则£(o,o,o),c?,0,0,4(o，-g，i

所以反=与,0,0,K4；=fo,-1,ll

_--1

n-EA]=——y+z-Q

设平面AlEC的法向量为〃=(x,y,z),则「，取〃二（0,2,1）,

H-£C=—x=0

2

又平面/CE的法向量可以为蔡=(0,0,1),

设二面角4-EC-N为。，显然为锐二面角，

加•〃]?/7

则cos0=|—।|一|=—j=,所以sin0------，

A/55

即二面角4-EC-Z的正弦值为半，故C错误;

△ABC外接圆的半径r=1x―-—=—

2sin6003

所以正三棱柱ABC-481G外接球的半径R=j=行,

所以该球的表面积S=4兀火2=办，故D正确.

3

故选：ABD

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11.设定义在R上的函数/(x)的导函数为/'(x)，若/(x-1)与/(》-2)均为偶函数，则下列说法一定

正确的是()

A./⑴的图象关于x=—1对称B.2为的一个周期

C./'(x)的图象关于(2,0)对称D./'(x)为偶函数

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据〃尤-1)为偶函数可得/(x)的图象关于尸一1对称，〃x)=〃-2-x),可判断A；与由

/(x—2)为偶函数可得/(x)的图象关于卡―2对称，/(x)=/(-4-x),进而得到=—2),

可判断B；分析可得/'(x+6)+/'(-2-力=0,可判断C；分析可得/(r)=/(x),进而可得

-f'(-x)=f\x),可判断D.

【详解】因为〃xT)为偶函数，则/(X)的图象关于x=-1对称，则/3=/(-27),故A正确；

因为/(x—2)为偶函数，则/⑴的图象关于x=—2对称，则/(x)=/(—4—x),

所以/(—2—x)=/(—4—x),即〃x)=/(x—2),

所以2为/(x)的一个周期，故B正确；

因为2为/(x)的一个周期，则/(%)=/(%+2)=/(%+4)=/(》+6),

又/(x)=/(-2-x),所以/(x+6)=/(—2—x),

第10页/共27页

所以/'(x+6)=—/'(一2—x),即/'(x+6)+/'(-2—x)=0,

所以/'(x)的图象关于(2,0)对称，故C正确；

由/(x)=/(-2-x),得/(一x)=/(-2+x)=/(x),

所以(x),则/'(X)为奇函数,故D错误.

故选：ABC.

【点睛】方法点睛：关于函数的对称性，周期性总结如下：

(1)若〃x+a)=/(b—x),则函数关于x对称；

(2)若/(x+a)+/(a—x)=26,则函数关于对称；

(3)若/(x+a)=/(x),则函数的周期为何；

(4)若/(x+a)=-/(x),则函数的周期为2时.

22

12.已知椭圆C：亍+£=19〉0)的左右焦点分别为月、乙，点尸(、历」)在椭圆内部，点。在椭圆

上，椭圆C的离心率为e,则以下说法正确的是()

A,离心率e的取值范围为［(),£

I2J

B.当6=,时，|。国+|。尸|的最大值为4+当

C.存在点。，使得•函=0

11

D函+函的最小值为1

【答案】ABD

【解析】

【分析】A项中需先解出b的范围，然后利用离心率的定义进行判断；

B项中根据椭圆定义转化为求4To引+|0尸］的最大值，从而进而判断；

C项中先求出点0的轨迹方程，再判断该轨迹图形与椭圆是否有交点，从而进行判断；

D项中根据椭圆定义得用+|。闻=2。=4,并结合基本不等式判断.

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【详解】对于A项：因为点尸(、汇」)在椭圆内部，所以|+/<1,得2<从<4,

所以得：，=；后=^1^=/^(0，同，故A项正确；

对于B项：由椭圆定义知|例|+|。尸|=4一|0图+|°尸］,

当。在无轴下方时，且尸，Q,玛三点共线时，|。片|+|。尸|有最大值4+|尸阊，

由6=曰=］，得°=孝，F2乎，0，所以得|产鸟|=/正—¥+1=手，

所以|。£|+|。尸I最大值4+坐，故B项正确；

对于C项：设。(xj),若•四=0,即：(-c-x,-y)-(c-x,-y)=0,

则得/+/=02,即点。在以原点为圆心，半径为。的圆上,

又由A项知：e=—e0,——,得c=ea=e(0,V^),

aI2,

又因为2</<4,得(亚,2),

所以得：c<b,所以该圆与椭圆无交点，故C项错误;

对于D项：由椭圆定义得|。用+|0用=2。=4,

所以1——\=—1—f+'i—

［例网尸11品2|；

\QFX\\QF2\4I

当且仅当|0胤=|。闾=2时取等号，故D项正确.

故选：ABD.

三、填空题(20分)

13.在(3+y)(x-j)4的展开式中//的系数为.

【答案】6

【解析】

【分析】把(x-内4按照二项式定理展开，可得(3+y)(x->)4的展开式中一丁的系数.

【详解】Q(3+j)(x-j)4=(3+^).(C：-x4-Cl-x3j+C^xy-C：-Ay3+C：/),

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•••展开式中含-V的项为广C：.//=c%2y3=6/^3

故它的展开式中x2j3的系数为6,

故答案为：6

14.3个大人和2个小孩乘船游玩，现有船3只，1号船最多装3人，2号船最多装2人，3号船最多装1

人，可从中任选2只或3只船乘坐，但一只船上不能只有小孩，则有种不同的分乘方法.

【答案】27

【解析】

【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理结合排列、组合列式计算作答.

【详解】选2只船游玩，1号船坐2大人，1小孩有C；A。1号船坐1大人，2小孩有C；,

选3只船游玩，每只船各坐1大人，1号船坐1小孩有A；A。每只船各坐1大人，1号船坐2小孩有

A；,

由分类加法计数原理得不同的分乘方法种数是：C；A；+C；+A：A；+A；=27.

故答案为：27

|lnx|,0<x<2

15.设/(》)=<若方程〃x）=加有四个不相等的实根玉（j=l,2,3,4）,且

/(4-x),2<x<4

%1<x2<x3<X4,则（%+超）2+X；+X：的取值范围为.

【答案】。2,⑦

【解析】

1,1”

【分析】画出函数的图象，根据对数函数的性质与运算及对称性可得再=一,》4=4--,X3=4-X2,将

x2x2

a+/『+x；+工：转化为关于%的代数式，利用换元法，根据乙的范围结合二次函数的性质即可求解.

【详解】解：时，/（x）=/（4-x）,

.•./（X）在（2,4）上的图象与（0,2）上的图象关于X=2对称，

不妨设苞</<曰<%4，如图：

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可得%+%4=%2+%3=4,-ln%i=Inx2.

1414

x,x2=1,———,％—4-----,x3=4—x2

x2x2

**•(X]+%)+%；+%：=%；+x；+2%]%2+x；+x；

+L、2

—-+%2+(4_%2)+2—2%2---+30,X2e(l,2).

IX2)

1

令/=/---e

、X2

则原式化为〃(。=2『—8/+30/e12,g；其对称轴为r=2,开口向上,

；.〃(7)在(2,]]上单调递增e122,

二(玉+々7+¥+¥的取值范围为[22,9].

故答案为：^22,—j.

16.已知点尸是椭圆二+丫2=1伍〉1)的右焦点，点尸(0,3)到椭圆上的动点。的距离的最大值不超过

a

26，当椭圆的离心率取到最大值时，则|尸。|+|。盟的最大值等于.

【答案】3A/2+2V10##2VT0+3A/2

【解析】

【分析】设。(//o)，求得|尸。|的表达式，对“进行分类讨论，结合二次函数的性质、椭圆的定义来求

得|尸。|+|0刊的最大值.

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【详解】设。（%,为），则其+呼=1,即其=/一/诉且为4―1,1].

a

2222

因为|尸。|=3）2=^a-ay^+yo-6yo+9=^l-a）y^-6y0+9+a，

而。>1,即1一"〈O.

3

所以，当——<-1,即1<。（2时，

1-a72

当先=-1时，|PQ|取得最大值，|尸0L=4<2jL

又因为椭圆的离心率6=白三=厂[，因此当。=2时，e最大.

设椭圆的左焦点为G，则网—G，。），因此|「。|+|。司=归。|+2"|。周=|尸。卜|。耳|+4,

所以当。在尸片的延长线上时，|尸|。叫取得最大值，

（同H西L=户周=J（可+32=25

因此|尸。|+|。目的最大值为2G+4.

3

当——>-1,即。>2时，

1-a27

当先=高时，园取得最大值，|p0L=j二

由」——^+/+9426解得24/4I。，即2<aW厢.

V1-a

a1一二，因此当Q=JI5时，。最大.

又因为椭圆的离心率e

a

设椭圆的左焦点为K，则片（—3,0）,

因此\PQ\+\QF\=\PQ\+2a-\QFi\=\PQ\-\QFl\+2^0,

所以当0在尸片的延长线上时，|尸0|-10团取得最大值，

（间HM）»=।*=AH?+32=3收，

因此|尸。|+|"1的最大值为3拒+2西.

综上所述，|尸。|+|。9|的最大值为3夜+2丽.

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故答案为：3后+2所

【点睛】在椭圆有关线段和差的最值问题求解的过程中，可考虑利用椭圆的定义进行转换，从而求得最值.

四、解答题（70分）

17.已知平面四边形/BCD中，Z^+ZC=180°,BC=3.

（1）若4B=6,AD=3,CD=4,求8D；

（2）若N/8C=120。，A//8C的面积为»叵，求四边形48CD周长的最大值.

2

【答案】（1）V33

（2）9+677

【解析】

【分析】（1）根据题意得到cosN+cosC=0,再利用余弦定理求解即可.

（2）首先利用正弦定理面积公式和余弦定理得到/C=3J7,再利用基本不等式求解最值即可.

【小问1详解】

在“8。中，由余弦定理得cosA=§一+6、8。一

2x3x6

32+42-BD2

在△BCD中，由余弦定理得cosC=-------------.

2x3x4

因为Z+C=180°，所以cosN+cosC=0,

3,2+62-BD232+42-BD2八

即Bn-----------+------------=0,

2x3x62x3x4

得BD=而.

【小问2详解】

由题意知=也，得48=6.

△ABC222

在AABC中，由余弦定理得AC=—2+32—2x6x3x]—g]=3J7.

令AD=x,CD^y,在AZCZ）中，

由余弦定理得（3，）=x2+v2-2xycos60°,即x?+/-初=63.

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x（x+.v）2

所以（x+y）~=63+3xy<63+3

4

即（x+4《63,X+JW6将，当且仅当x=y=3V7时取等号.

4

所以四边形4BCD周长的最大值为9+6疗.

18.为弘扬中国奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有

A和8两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A类试题得10分；每答对1道8类试题得20分，答

错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答(每道题抽后不放回).已知某同学A

2

类试题中有7道题能答对，而他答对各道8类试题的概率均为］.

(1)若该同学只抽取3道A类试题作答，设X表示该同学答这3道试题的总得分，求X的分布和期望；

(2)若该同学在A类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率.

【答案】(1)分布列见解析，E(X)=21

⑵王

【解析】

【分析】(1)根据超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，利用期望公式即可求解,

(2)根据相互独立事件的概率，即可求解.

【小问1详解】

X