高等数学练习试题（含答案）

《高等数学》试题

一、填空题。(每小题3分，共24分)

4

1.曲线y=f与直线＞=2x所围成的平面图形面积为A=y；

2.设向量1={-1,3,2},彼={1,-2,2},则M•4-3;

3.函数2=乒二7的定义域为{(x,y)H+y2vi}

4.过点⑶0,-1)且与平面3A7丹5z-L2=0平行的平面方程为:

3A7.丹52-4=0；

5.设函数2=弁05%,则&Z=-sinx；

dxdy------------------------------

r-

6.改变累次积分1=1公工/(%,》)"》的次序为I=£dyf'/(%,y)dx；

2x2+4y+z2=0

7.设曲线方程为j%2_8y+3z2=o,该曲线在Oxy面上的投影方程

为：

丁+4y=0

z=0

8.写出函数/(%)=sin%的幕级数展开式，并注明收敛域：

./5

Sinx=^-―+---------+.....+…，(XGA)

3!5!(2n-l)!

二、选择题。(每小题3分，共15分)

1.函数z=/(x，y)在点(/，%)处连续是它在该点偏导数存在的(D)

(A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件

(0充分必要条件(D)既非充分又非必要条件

2.下列方程中，通解为y=C卢+Gxe,的微分方程是(A).

(A)y"-2V+y=0(B)y"+2yf+y=l；

(C)V+y=0(D)V=y.

3.设函数Z=/(x,v),v=e(x,y),其中/，e都有一阶连续偏导数，

则多等于(B)

dx

(A)笠;(B)生+生.也;(C)更+"；(D)也.必

dxdxdvdxdxdxdxdx

4.设函数Z=/(x,y)在点(1,2)处有f：(l,2)=0,//(I,2)=0,

〃""

且九.(1,2)=1,fxy(1,2)=0,fyy(1,2)=2,则下列结论正确的是

(D)

(A)/(I,2)不是极大值；(B)y(i,2)不是极小值；

(C)/(I,2)是极大值；(D)/(1,2)是极小值。

5.下列级数收敛的是(A

(A)£(；)"(B)仁3"(O六(D)£3〃

n=l°n=\n=\,n=l

三、求解下列各题。(每小题6分，共36分)

1.求一阶微分方程y'+ycos%=efinx满足条件:5=1的特

解。

解：》=6乎0'八(族-$加/33公+0

e-sinx(Je-sinx^sinAJx+c)

"SinxQ+C)

由yh"=l,得C=1一4

故所求特解为y=厂x(X+1-.

2.求二阶微分方程y〃+6y'+l3y=。的通解.

解：微分方程的特征方程为：/+6r+13=0,

特征根为n=-3-24/2=-3+24

故微分方程的通解为：产ei"(Gcos2x+Gsin2x).

3.求过点A(l,0,1)且与两平面x+2z=0和y—3z=2平行的直线

方程.__

解：因为“={1,0,2}与%={0,1,-3}

____ijk

即：元=1o2=-2i+3j+k-

01-3

x—1yz—1

所求直线的方程为：—T=5=丁.

4.求函数z~~当x=2,y=l,A%=0.1,Ay=-0.2时的全微分dz

X

因为袅

解:

X

dz—Ax+—Ay,

x"x

所以，当x=2,尸1,△尸0.1,△尸-0.2时,

Jz=-lxO.l+|x(-0.2)=-0.125

设z=i/-v,而u=x+y,v=x-y,求家会.

oxdy

色刀dzdzdudzdv

oxouoxdvox

=2w-l+2v-\-2(LH•力=4x

dz_dzdudzdv

dydudydvdy

-2,u-1+2v-(-1)=2(w-v)=4y

6.求函数F(x,y)=4{x-y)-x-y的极值.

解:解方程组优；匕草。，

求得驻点为⑵-2),

代乙⑵-2)=—2<0,咫&(2,-2)=0,C=fyy^,-2)=-2,AC-^>0,

所以在点(2,-2)处，函数取得极大值为A2,-2)=8.

四、计算下列二重积分(每小题7分，共14分)

22

2.用极坐标计算：\\ylx+yda,其中D={(x,y)\

D

a2<x2+y2<b2].

解在极坐标下外{(夕，功|0(区2%略区8},所以

JJylx2+y2d(7=『d3^r2dr

D'

=■|乃(。3—标)

五、求解下列各题。(第1小题5分，第2小题6分)

1.判断常数项级数sing+sin^+sin圣+…+$亩备+…的敛散性。

22"2’2"

sin—sin—

角军：因为lim—声---=TT,

n—>co]/?—>oo兀

而级数£二是公比为1/2的等比级数，是收敛的,

«=i2

所以，所求的级数£sinA也收敛。

n=\'

2.求幕级数1-％+专+…+（-1）”今+…的收敛半径和收敛域。；

]

解：2=lim|也|=lim"匚=lim—4^=1,收敛半径为足:1.

〃->00an〃->8_1_+

n2

当x=l时，幕级数成为£（_1），，之，是收敛的；

n=2〃

当m-1时:幕级数成为1+£白，也是收敛的，

〃=w

所以，所求的幕级数的收敛域为[-1,1].

高等数学

填空题（每小题3分，本大题满分15分）

1|%|<1

L设函数/(x)=[o则/"(©]=-xe(-8,+oo)。

sin2x门

---------------Y<,（I

2.设函数/（x）=<v，当常数4=N—时，/（X）在x=0处连续.

2x+ax>0

3.曲线y=e2上上点（o,1）处的切线方程为y=2x+l

(|,+℃)

4.曲线y=彳3—5x?+3x+5的凹区间为

22

5.若**是/(%)的原函数，则[x/(ln%)A=——x+C.

J2

二.选择题（每小题3分，本大题满分15分）

1.当X-1时，无穷小量1一石是1一%的（D）.

A.高阶无穷小；B.低阶无穷小；C.等价无穷小；D.同阶但不等价无穷小.

2.若lim/(x)=oo,limg(x)=8则必有(D)

XT。.¥->«

A.lim[/(x)+g(x)]=oo；B.lim[/(x)-^(x)]=oo；

x->ax->a

c.lim-----1-----=0；

D.limkf(x)=oo,(%w0为常数)

•9。/(x)+g(x)x->a

X-x

3.函数/（X）=---的可去间断点个数为（C）.

sin^x

A.1;B.2;C.3;D.无穷多个.

4.设函数y=/(x)在点处可导，则lim"*等于(A).

心一。M

A.0；B.-1；C.1：D.oo.

4

5.设/(x)连续，且Lf(t)dt=x,则/⑷=(C)

JO

A.2；B.4；C.8；D.16.

三.解答下列各题(每小题6分，本大题满分18分)

1.y=tan2x-ln(3x),求dy.

22

,,32i/c、3tanxcsinx10、tanx

解：y=2tanx-sec2x-ln(3x)H-------=2-------ln(3x)H------

3xcosxx

.2

,—sinxi小、tan-

dy=(2----——ln(3x)+-----)dfx

cos'xx

2.求由方程e"，—cos（Ay）=0所确定的隐函数y=/（x）在x=0处的导数.

解：把方程两边分别对x求导数得

ex+y（1+y'）+sin（盯）•（y+xyf）=0

当x=0时，y=0,代入上式得y'ID=-1

x=1+广◎和噌

3.设《,求

y=costdxdx

dy-sin/

解：­=------

dx2t

,2d(dy)/dt

dy一dxrcosr-sinr

dx1dx!dt4/

四.解答下列各题（每小题6分，本大题满分12分）

74-3

1.计算极限lim（工r三）3'，

f2x4-1

2(3x+l)

2x+\

।2x+l

解：原式二lim。+击产

A->oO

2

1

x2cos—

2.设/O)=<讨论y（x）在x=（）处的连续性与可导性。

X

Xx<0

1八

解：limf(x)=limx2cos—=0

10+XTO，x

limf(x)=limx=0

x-»0-A->0-

因此limf(x)=/(0)=0，故/(x)在x=0处的连续。

A->0

-cos2

WO)

lrim=rlim------^=0

-v->0+x4-0+X

lim=lim-=1

XT0-XX%T0-X

因此，/（X）在x=0处不可导。

五.计算下列积分（每小题6分,本大题满分18分）

1.J%sin2x^£r.

AZ/COS2X=--(XCOS2X-Jcos2xa)

解：原式=---

22V

-1US2X-1I

--xcos2x+—sin2x+C

2224

f1jl-X，J

2-V2——3—dx.

X

解：令尤=sinr,则dr=cos力

万

2COSt二2」

原式=■costdt=£2cottdtJj(csc2t-V)dt

工sin，

444

冗

(-cot”正

4-7

“—二改

M,0(1—X)2

解：X=1是被积函数的暇点

「dxdx

原式二------+

J。(1-x)22

2

1

4-=lim-——l-1-lim—

1-Xo1一尤」11-X1-X

因为lim—!—=+00,所以此反常积分发散。

1-X

六.（本题满分5分）

证明方程了5+工一1=0只有一个正根。

证明：设/（尤）=J+x—l,则/（1）连续可导，且

/（o）,/（i）=-M=-i<o,由零点存在定理知,

在（0,1）内至少存在一点4,使）=0。即方程有一个正根

设岁2也是方程有的一个根，即/(42)=0，依罗尔定理至少存在一点与€(。，虞)使

/'(Xo)=5x；+1=0,这是不可能的，可见，方程+x-l=o只有一个正根.

七.(本题满分5分)

设/(x)在(一叫+8)内连续,且尸(x)=f(x-2t)f(t)dt,试证：

J0

若/(x)为偶函数，则F(x)亦为偶函数。

证明：/^(―x)=J(—x—1t)f[t)dt

令〃=T,则

F(-x)=£(-x+2w)/(-w)(-l)t/wo

=£(x-2u)f(-u)du

因为/(-w)=/(〃),

所以F(-x)=f(x-2w)f(u)du-F(x),即F(九)为偶函数。

*o

八.(本大题满分12分)

设抛物线y=ax?+/r+c通过点(0,0),且当xw[0,l]时，y>0o求〃,0,c的值，使得抛

4

物线y=〃/+/+。与直线尤=1,丁=0所围图形的面积为一，且使该图形绕X轴旋转而成的旋转体

9

的体积最小。

解：因为抛物线y+〃x+c通过点(0,0),故c=0,y=〃/

所围图形的面积为:

232ab

A=工(ax+bxjdx--x+—x—+—

»l_32」o32

旋转体的体积为:

3

=£%(//+2abx+。2元2,

7t—crx5+—abx4+-b2x3

523

[—a2+-ah+-b2

=7T\

<523

,443,

由A=—,得a----b,代入v中，得

932

V=—(b2-4b)+—7r=—(b-T)2+—7T

3045309

可知，当/?=2时，V最小。这时a=—

3

《高等数学》试卷

选择题：（每小题3分，共36分）

1.函数y=lny1-l的定义域是（)

A.(-00,0)kJ(0,+8)B.(一8,0)kJ(1,+8)C.(0,1]D.(0,1)

2.方程2x+3y=1在空间表示的图形是（）

A.平行于xoy面的平面B.平行于。z轴的平面

C.过。z轴的平面D.直线

3.函数f（x）在点x=xo处连续是f（x）在x=xo处可导的（）

A.必要条件B.充分条件

C.充分必要条件D.既非充分条件又非必要条件

设/(乂y)=/+：/+-＞次2，则f(tx,ty)=(

4.)

y

D=f(x,y)

A.tf(x,y)B.t2f(x,y)C.t3f(x,y)

5.设anN0,且lim4+=p，则级数（)

a

A.在p〉1时收敛，p<1时发散B.在p2l时收敛,P<1时发散

C.在pW1时收敛，p）1时发散D.在p<1时收敛,P）1时发散

6.方程y'+3xy=6x2y是)

A.一阶线性非齐次微分方程B.齐次微分方程

C.可分离变量的微分方程I）.二阶微分方程

7.当尤一>0时，与3Y+2d等价的无穷小量是（)

A.2dB.3x2C.x1D.x3

等于)

A.2e-2x+CB.-e-2x+CC.-2elx+CD.--e-2x+C

22

个'

9.limxysin22=()

Xv-T»O0x+y

A.0B.1C.ooD.sin1

10.对微分方程y"=f（y,y'）,降阶的方法是（）

A.设y'=p,则y"=pB.设y'=p,则y"=dp

dy

D.设y'=p,则y"=’迎

c.设y'=p,则y/z=p—

dyPdy

11.设基级数£在x。(x°r0)收敛，则£ax在Ix|(|xo|(

nn)

n=0n=0

A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与an有关

12.设D域由y=x,y=x?所围成，则JJ包Udb=()

DX

ri_risinx.pi.f>/ysinx,八p,r^sinx.,rx^sinx.

A.dx\----dyB.dy\-----axC.dx\-----dyD.dy\-----ax

JoJoXJo■JyxJoJA-X,JoJxx

二、填空题：(每小题4分，共16分)

rx

13.-----dx=o

J1-X4

14.limxsin—=_。

28x

15.累次积分『公')(》2+/)办化为极坐标下的累次积分为

16.设级数£发散，则级数fan。

“=1n=1000

三、解答题：（总分48分）

17.计算f.（8分）

J（1+/）2

18.求过点A（2,1,-1）,B（l,1,2）的直线方程。（10）分

19.设〃=求du。（10分）

21.借助于函数的单调性证明：当x〉1时，2G>3-1（10分）

X

高等数学部分参考答案

一、选择题：（每小题3分，共36分）

123456789101112

DBADDCBCA

二、填空题：（每小题4分，共16分）

i£

13.—arctgx2+c14.1/(r2)rJr16.发散

三、解答题：(总分48分)

切「l+e*—e'［rdx「d(l+e')..

17.解：原式=-----T-dx--------------------------(8分)x

J(1+，)2"J(l+ex)2

f1+e"-e”/1I”八I

=——----—dxH-----=x-ln(l+e)+-----+c

Jl+产l+，l+ex

18.解：所求直线的方向数为｛1,0,-3)(10分)

所求直线方程为—=2匚=—

10-3

19.du-ex+^y+smxd(x+y/y+sinx)(10分)

=*4+si“(i+cosx)djc+_dy］

26

21.证：令/(x)=24+,-3则f(x)在区间［1,+8］连续(10分)

X

而且当x〉1时，fxx)=-L-^->o

yJXX

因此f(X)在［1,+8］单调递增

从而当X〉1时，f(x)〉f(1)=0

即当X〉1时，2y［x>3--

一、填空题

1、已知向量a、A满足4+〃=0,同=2,忖=2,则。•力=.

d3z

2^设z=xln（孙），则「=_________________・

dxdy

3、曲面x2+y2+z=9在点（1,2,4）处的切平面方程为

4、设/（幻是周期为2乃的周期函数，它在［-肛左）上的表达式为f（x）=x,则/（幻的

傅里叶级数

在x=3处收敛于,在x=万处收敛于.

5、设L为连接（1,0）与（0,1）两点的直线段，则Jjx+y）/=.

二'解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）

[2x2+3>,2+z?=9

1、求曲线｛,12在点（1,—1,2）处的切线及法平面方程.

z~=3x+y

2、求由曲面z=2/+2V及z=6-Y-9所围成的立体体积.

3、判定级数但是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛?

xdza2z

4、设z=/（孙,」）+siny,其中/具有二阶连续偏导数，求笄，三

dxdxdy

70

计算曲面积分1——，其中2是球面/+>2+22=/被平面2=〃（0<〃<。）截

出的顶部.

三'（本题满分9分）抛物面Z=/+y2被平面*+丁+2=1截成一椭圆，求这椭圆上

的点到原点的距离的最大值与最小值.

四'（本题满分10分）

计算曲线积分J,（e*siny-m）dx+（e'cosy-mx）dy,

其中加为常数，L为由点A（a,O）至原点。（0,0）的上半圆周Y+y2=ax（«>0）.

五、（本题满分10分）

求基级数y-^―的收敛域及和函数•

(本题满分10分)

计算曲面积分/=JJ2x3dydz+ly3dzdx+3(z2-l)dxdy,

其中E为曲面z=l-/一y2（zN（））的上侧.

七、（本题满分6分）

设/（幻为连续函数，f（O）=a,F（t）=jjj[z+/（x2+/+z2）]dv,其中。，是由

曲面z=Jf+y2与z=J户—f—y所围成的闭区域,求

参考解答

一、填空题【每小题4分，共20分】1、-4；2、—3、2x+4y+z=14；4、

3,0；5、近.

二'试解下列各题【每小题7分，共35分】

dy_5xdz_lx

1、解：方程两边对x求导，得《从而^=----，—=—

dx4ydx4z

dxdx

该曲线在(1,一1,2)处的切向量为T=(1,|,^)=1(8,10,7).

故所求的切线方程为——x—1=2v一+1=——z—2...

8107

法平面方程为8(%-l)+10(y+l)+7(z—2)=0即8x+10y+7z=12…

[z=lx'+22

2、解：<,7=>x2+=2,该立体。在面上的投影区域

[z=6-x-y

%-x2+y2<2.

故所求的体积为丫=川公可；呵:力dz=2万/：夕(6—3/72)dp=6兀

118

fl

3、解：ilimn\utJI=limnln(l+—)=limln(l+—)=1>0,知级数发散

“TOO11M-4QCnM"TOOH\

又Iun\=ln(l+-)>ln(l+」一)=|w„+l|,limIun\=limln(l+3=0.故所给级数收

nn+\18〃T8n

敛且条件收敛.

4'解：■1^=(/','+力'')+0=痂'+，4，

oxyy

x\ix

=f\+y[f\\,x+Z2*(—7)1—r—+—[引•％+%•(—T)1

oxoyyyyy

=工'+砌:1-与《x启

yy

5、解：£的方程为z=yla2-x2-y2,E在面上的投影区域为

。。={(%，刈*2+/4/一力2}

又Jl+z；+z；=a/7«2-x2-y2,

故

僻=0判R号

£分T"

--|V«2-/r

—2TIa——ln(a2-p2)=17iaIn—

L2尸」。h

三、【9分】解：设M(x,y,z)为该椭圆上的任一点，则点M到原点的距离为

d=y]x2+y2+z2

令L(x,y,z)-x2+y2+z2+4(z-x2-y2)++y+z-l),

L、=2x-2Ax+〃=0

4=2—办+〃=0_1±^

则由＜z=2.6.于是得到两个可

Lz=2z+4+//=0,解得x=y=---------

222

z=x+y

x+y+z=1

能极值点

a,1+>/3-1+\/3rza/-1—\/3-1—\/3crz

M।(—-—,---,2—A/3),M<--—,—-—,2+V3).

2222

又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处

取得.

故d1rax=|OM21=59+56,dmin=|OMX|=A/9-573.

四、【10分】解：记L与直线段。4所围成的闭区域为。，则由格林公式，得

2

/2=J(/siny-ni)dx+(e'cosy-mx)dy=-mjjda=--nia

L+OAD8

而人=慕(exsiny-iri)dx+(excosy-mx)dy=-mJ0=-ma

71

jJe"siny_n)dx+(excosy-mx)dy=I-1ma----ma~2

t218

五、【1（）分】解：p=lim=lim.n\.=-^R=3,收敛区间为（一3,3）

，-8an"-8（〃+I）3"+I3

81

又当％=3时，级数成为>一,发散；当％=—3时，级数成为收敛.

„=}n

故该幕级数的收敛域为［-3,3)

COn

令s（x）=V---（-3Wx<3）,则

8〃一118

s'（x）=z±=!z（;尸_1

-——，（|x|<3）

-31-x/3

/i=l°Dn=\°3-x

于是5（%）=['s'（x）公=J：£=—In（3-x）|：=In3-In（3-x）,（-3<xv3）

六'【10分】解：取&为Z=0（/+y2W1）的下侧，记E与乙所围成的空间闭区域为O,

则由高斯公式，有

22

/2=JJ2x^dydz+ly3dzdx+3（z-X^dxdy=+y+z）dv

Z+SjQ

=可/（炉+z）pdz=2兀

而

/]=jj2x3dydz-\-2y3dzdx+3^z2-X^dxdy=j13（z2-T）dxdy=3dxdy=3兀

4%

2—/|=27r—3TT=-7T.

七、【6分】解：/(。=rcos(p+f^r2^r2dr

7t/%,

2万j,sin夕cos（pd（p\,dr+jjsin°1夕J（）/（/）,d「

4

=兀9(2-闾。

故

F(t}

lim—=lim—q呼”)

-0+tr.O,

线性代数部分

22.设n阶方阵A满足|A|=3,则=|2A*-74Tt

答案：(―1)"—

-111

23.1-1x是关于x的一次多项式，则该多项式的一次项系数是.

11-1

答案：2;

31x

24.危)=x25是次多项式，其一次项的系数是o

14%

解：由对角线法则知，人行为二次多项式，一次项系数为4。

2-31

A—1a1

25.设卜03」，且秩(A)=2,则a=6。

5

26.4为3阶矩阵，且满足网=3,则伙*卜_3。

'001、

27.设矩阵A=010,则A的全部特征值为-1,1,1

J00>

28.设向量a=(2,1,2),则它的单位向量为21____

<333；

29.向量组q=(1,2,—1,1),3=(2,0,3,0),%=(—12—4.1)的秩为2

30.已知四阶行列式D的第3列元素依次是-1,2,0,1,它们的余子式分别为5,3,

4,

贝ijD=45

25.A、B均为n阶可逆矩阵，则A、B的伴随矩阵(AB)*=().

(A)A*B*；(B)(C)BT4T(D)B*A*；

解答：D

26.设A、8均为"阶方阵，则必有[]»

(4)|A+B|=|A|+|B|(B)AB=BA

(Q\AB\=\BA\(D)(A+B)'=A'+B1

解：正确答案为(O

27.A.B都是n阶矩阵，则下列各式成立的是)

(A)(ABf=ATBT(B)(A+B『=AT+BT

(C)=A-'B[(D)(A+B)-1=A-'+B'1

解答：B

28.矩阵2的逆矩阵是(C)

o-r0-3(0-P1、

A.B.C.1D.3

33,31oj

u5/

29.下列矩阵中,(B)不是初等矩阵。

001100100100

01000002001-2

A.100B.010001D.001

30.设向量组%，。2，。3线性无关，则下列向量组中线性无关的是(B)

A名一%，%一%，%―冈B/，%，%+a]

C4,%,2«-3a2口%，。3,2%+。3

31.设A为〃阶方阵，且A2+A—5E=0。则(A+2E)T=(C)

-(A-E)~(A+E)

A.A-EB.E+AC.3D.3

32.设向量a1=(-1,4),a2=(1,-2),a3=(3,-8),若有常数a,b使aa〕-ba?-a?=0,则

(A)

A.a=-l,b=-2B.a=-l,b=2C.a=l,b=-2D.a=l,b=2

0-1

33.3阶行列式卜/二0-1中元素。21的代数余了式42产（C）

0

A.-2B.-1C.1D.2

34.若〃阶矩阵48有共同的特征值,且各有〃个线性无关的特征向量，则（A）

A.A与B相似B.但|A-8|二0

C.A=BD.A与8不一定相似，但|A|二|8|

三、求解下列各题

20、

23-1

1.设A=340B=,求(1)ABT；(2)|4A|.

40.

21>

2OY2-2、

解(1)ABT=34034

121>-10>

’86、

1810

<310>

(2)|4A|=43|A|=64|A|,而

120

|A|=340

-121

所以14Al=64•(-2)128

3-12

-53-4

2.试计算行歹U式

201-1

1-53-3

3-1251-11

-53-4-113-1

解

201-10010

I-53-3-5-530

511

2

-II2()=30+10=40.

-5

-5-50£-5()

'423'

3.设矩阵人=110,求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.

、-123,

.解AB=A+2B即(A-2E)B=A,而

2'