中考数学知识点与经典题型练习 最值问题中的费马点模型(解析版)

专题19最值问题中的费马点模型

【模型展示】

□□8MTV为等边三角形.

UBM=MN.

AM+BM+CM=EN+MN+CM.

口当£;N、M、C四点共线时，ZΛ∕+8M+CΛ∕的值最小.

此时，匚5Λ∕C=1800-nMW5=120°;

OAMB=ENB=}80o-BNA/=120°;

□NMC=360°-口A∙V∕C-AMB=IlO0.

结论形内的点到三个顶点距离之和最小的

【模型证明】

□□PCA+ZlACE=23ACE+[ZECB,=60o,

□：PCA=IECB/ACPΠB'CE,

APC=JB'EC=120o,PA=EB',

□CAPB=□APC=CBPC=120o,

□P为□ABC的费马点，

BB,⅛ABe的费马点P,且BB'=EB'+PB+PE=PA+PB+PC.

如图,在[ABC中,以它的边AB,AC为边,分别在形外作等边三角形ABD,ACE,连接

BE,CD.

求证:BE=DC.

【证明】

由已知可得A8=AO,AC=AE,NBAZ)=∕C4E=60°,

.：ZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,即ZDAC=ZBAE.

在4BAE和^DAC中，

.：△BAE比DAC,.：BE=DC.

【题型演练】

一、单选题

1.数学很多的知识都是以发明者的名字命名的，如韦达定理、杨辉三角、费马点等，你知

道平面直角坐标系是哪一位法国的数学家创立的，并以他的名字命名的吗？（）

A.迪卡尔B.欧几里得C.欧拉D.丢番图

【答案】A

【分析】根据实际选择对应科学家-迪卡尔.

【详解】平面直角坐标系是法国的数学家迪卡尔创立的，并以他的名字命名.

故选A

【点睛】本题考核知识点：数学常识.解题关键点：了解数学家的成就.

2.己知点尸是U48C内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则尸点叫□N8C的

费马点(FermatPoij而.已经证明：在三个内角均小于120。的□∕8C中，当

ΠAPB=DAPC=JBPC=120ol⅛,「就是EMBC的费马点.若点尸是腰长为行的等腰直角三角

形DEF的费马点，则PD+PE+PF=()

A.2√3B.l+√3C.6D.ɜʌ/ɜ

【答案】B

【详解】解：如图：等腰RtDEF中,DE=DF=6,过点D作DMEF丁点M,过A尸

分别作IA/EP=：；A/FP=30。，贝∣JEΛ∕=ZλW=l,故cos30。=生，解得：PE=PF=2则

EP√33

PM=皂,⅛⅛DP=∖-—,则PD+PE+P-=2x亚+1-3=6+1.故选B.

3333

点睛：此题主要考查了解直角三角形，正确画出图形进而求出尸E的长是解题关键.

3.已知点P是□ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫口ABC的

费马点(FermatPOint).已经证明：在三个内角均小于120。的□ABC中，当□APB=-APC

=□BPC=120。时，P就是二ABC的费马点.若点P是腰长为6的等腰直角三角形DEF的费

马点，贝∣]PD+PE+PF=()

A.6B.3(√2+√6)C.68D.9

【答案】B

【分析】根据题意画出图形，根据勾股定理可得EF,由过点Q作DWIEF于点过E、

F分别作MEP=Μ。=30。就M以得到满足条件的点P,易得EM=DM=MF=36，根据勾

股定理列方程求出PM、PE、PF,继而求出PD的长即可求解.

【详解】解：如图：等腰RtELDE/中，DE=DF=6,

EF=y∣DE1+DF1=√62+62=6√2-

过点。作Σ>Λ∕EF于点Λ/,过E、F分别作MEP=MFp=30。，则EPF=LFPD=DPE=120o,

点P就是马费点，

EM=DM=MF=3亚，

设PM=X,PE=PF=2x,

在RtEMPψ,由勾股定理可得：

PM2+EM-=PE2即f+18=（2xf,

解得：XI=R,X2=-R（负数舍去），

即PM=瓜,

PE=PF=2而

故DP=DM-PM=3√2-√6,

则PD+PE+PF=3√2-√6+4√6=3√2+36=3（夜+#）.

【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理的应用，正确画出做辅助线构造

直角三角形进而求出PM的长是解题关犍.

4.己知点P是OABe内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫ABC的

费马点(FermatPOint).已经证明：在三个内角均小于120。的ABC中，当

IAPB?APC?BPC120?时，P就是ABC的费马点.若点P是腰长为"的等腰直角

三角形Z)E尸的费马点，则Pz)+PE+PF=()

A.6B.√3+3C.6√3D.9

【答案】B

【分析】根据题意首先画出图形，过点。作ZW_LEF于点M,在ΔBDE内部过E、F分别

作AMEP=NMFP=30°,则NEPF=NFPD=NEPD=120°,点户就是费马点，求出PE,PF,

OP的长即可解决问题.

【详解】解：如图：过点。作£>A/_L£F于点M,在ABAE内部过E、F分别作

AMEP=AMFP=30。,

则ZEPF=ZFPD=NEPD=I20点、P就是费马点、,

D

在等腰RtZ∖DEF中，DE=DF=瓜DMLEF,

.∙.EF=√2DE=2√3,

EM=DM=6

a∏PEM=30o,JPME=90°,

EP=IPM,

])∖^∖PM2+EM2=(2PM↑,

解得：PM=1,则尸£=2,

故。P=√5-l,同法可得尸F=2,

则PD+PE+PF=百-1+2+2=3+6-

故选：B.

【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，正确画出图形进而求出PE的长是解题关键.

二、填空题

5.已知点P是□ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫口ABC的

费马点(FermatPoint),已经证明：在三个内角均小于120。的IABC中，当

□APB=ΞIAPC=□BPC=120。时，P就是□ABC的费马点，若P就是口ABC的费马点，若点P

是腰长为正的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=.

【答案】√3+l∙

【详解】如图：等腰RtDEF中，DE=DF=&,过点D作DMEF于点M,过E、F分别

作口MEP=匚MFP=30。，贝IJEM=DM=1,⅛cos30°=-,解得：PE=PF=二=亚，贝IJPM=

EP√33

故DP=I-3，则PD+PE+PF=2χ亚+1-且=6+1.故答案为√5+l.

3333

6.若P为匚ABC所在平面上一点，1.APB=BPC=DCPA=120',则点P叫做ABC的费

马点.若点P为锐角iABC的费马点,且一ABC=60",PA=3,PC=4,则PB的值为.

【答案】2√3

【详解】如图，根据三角形的内角和定理可得PAB+∖PBA=∖S0o-APB=60o,再由

DPBC+DPBA=UABC=60o,即可得Ξ1R48=ZIP8C,又因□"8=口5PC=120°,即可判定

p∆PB

ABPBCP,根据相似三角形的性质可得隹==，即PB2=PA-PC，MPA=3,PC=4,

ΓDrC

即可求得尸8=2√L

7.法国数学家费马提出：在口力BC内存在一点P,使它到三角形顶点的距离之和最小.人

们称这个点为费马点，此时RI+P8+PC的值为费马距离.经研究发现：在锐角L48C中，费

马点尸满足□4P8=□8PC=口α%=120o,如图，点P为锐角EUBC的费马点，且Λ4=3,

【分析】根据相似三角形的判定和性质，即可求解.

【详解】解：如图：

R

DJAPB=JBPC=GCR4=↑20,GABC=60o,

□□l+□3≈60o,□1+口2=60。，□2+□4=60o,

□□1=□4,□2=□3,

□□5PC□GAPB

PCPB

~PB~~PA

即PB?=12

PB=2追

PA+PB+PC=^l+2^>

故答案为：7+2√5

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是利用相似三角形的判定和性

质.

8.已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点.如果ABC是锐角

（或直角）三角形,则其费马点P是三角形内一点,且满足ZAPB=ZBPC=NCPA=120°.（例

如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）.若AB=AC=币,BC=20尸为，ABC的

费马点，则R4+P8+PC=；若AB=2∕,BC=2,AC=4,P为ABC的费马点,

则PA+PB+PC=.

【答案】52√7

【分析】作出图形，过B,C分别作NnBP=4>CP=30。,勾股定理解直角三角形即可

作出图形，将4”。绕点A逆时针旋转60。，P为aABC的费马点则B,P,P',C'四点共线，

即B4+P3+PC=8C',再用勾股定理求得即可

【详解】如图,过A作AQIBC,垂足为O.

过民C分别作NE）BP=NDcP=30。，则PB=PC,P为ABC的费马点

AB=AC=√7,BC=2√3

.∙.BD=DC=LBC=也

2

.0。=旦且

BD3

.∙.PD=1

H蠡=2

∙∙∙AD=VAB2-BD2=√7≡3=2

・•・PA+PB+PC=5

］如图:

A

AB=2√3,BC=2,AC=4.

ΛB2+BC2=16,BC2=16

:.AB2+BC2=AC2

ZABC=90。

BC1

.sinZBAC=——=-=sin30o

AC2

.∙.NBAC=30°

将PC绕点A逆时针旋转60o

由旋转可得：XAPC9X∖FC

:.AP'=AP,PC=P'C',AC=AC'ZCAC=NPAP=60°

.∙.APP'是等边三角形，

ZBAC=90°

P为,ABC的费马点

即B,P,P,C'四点共线时候，PA+PB+PC=BC

PA+PB+PC=BP+PP+PC=BC

=4AB1+AC1=√(2√3)2+42=2√7

故答案为：5,2√7

【点睛】本题考查J'勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数，等腰三角形性质，作出旋转的

图形是解题的关键.本题旋转aPBC也可，但必须绕顶点旋转.

三、解答题

9.如图（1）,P为」/8C所在平面上一点，且IzMPB=口3PC=口CR4=120。，则点P叫做

/8C的费马点.

（1）若点尸是等边三角形三条中线的交点，点尸—（填是或不是）该三角形的费马点.

（2）如果点P为锐角.48C的费马点，且口/8C=60。.求证：ABPUBCP；

(3)已知锐角ABC,分别以48、ZC为边向外作正a∕8E和正ACD,CE和8。相交于P

点.如图(2)

□求□CP。的度数；

□求证：P点为JBC的费马点.

【分析】(1)由等边三角形的性质证明NA8P=NE48=3O。，可得ZAPB=I20。，同法可得：

ZAPC=ZBPC=∖20o,从而可得结论；

(2)由P为锐角-ZBC的费马点，且□4BC=6(Γ,证明□E4B=口P3C,□4P5=□3PC=I20。,

从而可得□4BP□BCP;

(3)如图2所示：由“8E与LZCD都为等边三角形，证明O4CEADB(SAS),利用

ApDF

余等三角形的性质可得CPD=6=：5=60°；］先证明□∕OFn□PCF,可得而=Wk

再证明AFPDFC.可得/PC=ICPD+1APF=∖2O°,再证明「8PC=I20。，从而可得

结论.

【详解】解：(1)如图1所示：

平分ABC.

同理：4N平分口B4C,PC平分□8C4

∏∕8C为等边三角形，

□□4BP=30°,DSAP=30°.

∕P8=120°.

同理：APC=120°,□BPC=120°.

□尸是□45C的费马点.

故答案为：是.

(2)P为锐角力8C的费马点，且ABC=60°.

o

∙∙∙APB=BPC=UOf

O

•••PAB-vPB力=180。-APB=609PBC+PBA=_ABC=600,

□□Λ45=□PBC,

UABPBCP.

(3)如图2所示：

Π□□48E与「4C。都为等边三角形，

ΩUBAE=QCAD=60o,AE=AB,AC=AD,

□BAE^BAC=QCAD+ΠBACi^∖EAC=3BAD,

AC=AD

在ZCE和48。中，＜ΛEAC=ΛBAD

AE=AB

□□JCE□DADB(S4S),

□□1=□2,

□□3=□4,

□□CPZ)=□6=□5=60o;

证明：Z1=Z2,Z3=Z4,

/.ADFPCF,

.AFDF

'~PF~~CFy

□□^FP=□CFD,

AFPDFC.

o

□□4尸尸=ΠACD=60f

JQAPC=□CPD+∖ΔAPF=120°,

,N6=60。，

□CBPC=120°,

I□4尸5=360。-UBPC-口力PC=I20。,

口尸点为力8C的费马点.

【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与

性质，确定图中隐含的全等三角形与相似三角形是解题的关键.

10.背景资料：

在已知□∕8C所在平面上求一点尸，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.

这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人

们称为“费马点

如图□,当口Z8C三个内角均小于120。时，费马点P在/8C内部，止匕时」NPB=I8PC=

□CB4=120o,此时，R4+PB+尸C的值最小.

解决问题：

(1)如图□,等边口力8C内有一点P,若点P到顶点/、B、C的距离分别为3,4,5,求

DAPB的度数.

为了解决本题，我们可以将148P绕顶点Z旋转到Cp处，此时□∕C尸□门48P,这样就

可以利用旋转变换，将三条线段为，尸8,PC转化到一个三角形中，从而求出口NP8=；

基本运用：

(2)请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题：

如图□,48C中，□015=90°,AB=AC,E,尸为8C上的点，且IZIE/F=45。，判断BE,EF,

FC之间的数量关系并证明；

能力提升：

(3)如图口,在Rf口N8C中，口C=9()o,AC=I,DΛβC=30o,点产为RfEUBC的费马点，

连接/P,BP,CP,求/M+P8+PC的值.

图②图③

A

图④

【答案】(1)150°；

(2)E,F2=CE,2+FC2,理由见解析；

(3)√7.

【详解】试题分析：(1)

(2)首先把ACE绕点A顺时针旋转90。,得到ACEl连接EF由旋转的性质得,AE，=AE,

CE,=BE,□CAE,=□BAE,□ACE,=[B,E]EAE，=90。,然后再证明二EAFZl口EAF可得ET=EF,,

再利用勾股定理可得结论；

(3)将AOB绕点B顺时针旋转60。至A，CrB处，连接001根据已知证明C、0、A∖

0'四点共线，在Rt□ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据新定义即可得OA+OB+OC

-√7∙

试题解析：(1)ABC为等边三角形，

□AB=AC,□BAC=60o,

将ABP绕顶点A逆时针旋转60。得到ACP，，如图，连结PP',

□AP=AP>=3,□PAP'=60o,Pe=PB=4,□APB=OAP1C,

口匚APP，为等边三角形，

□□PP,A=60o,PP,=AP=3,

在IPPC中，口PP'=3,P,C=4,PC=5,

PP'2+P'C2=PC2,

□□PP9为直角三角形，□PPC=90o,

□□AP,C=ΠPP,A+ΓPP,C=60o+90°=150°,

ɪAPB=I50°,

故答案为150°；

(2)E,F2=CE>2+FC2,理由如下：

如图2,把ABE绕点A逆时针旋转90。得到ACE,,

由旋转的性质得，AE,=AE,CE,=BE,GCAE'=ZlBAE,□ACE,=□B,0EAE,=90o.

□□EAF=45o,

O□E,AF=□CAE,+CAF=BAE+CAF=匚BAC-匚EAF=90°-45°=45°,

EAF=「E,AF,

AE=AE,

在口EAF和□E'AF中,<ZEAF=ZEtAF,

AF=AF

∏□EAF□'ErAF(SAS),

□ET=EF,

□□CAB=90o,AB=AC,

□□B=□ACB=45o,

J□E,CF=45o÷45o=90o,

由勾A殳定千里得，ET2=CEr2+FC2,即EF2=BE2+FC2;

(3)如图3,将AoB绕点B顺时针旋转60。至UAXYB处，连接OCT,

口在Rt□ABC中，□C=90o,AC=L匚ABC=30°,□AB=2,

θɑɪVAB2-AC2=vɜ，

l□AOB绕点B顺时针方向旋转60°,□.AzO,B如图所示;

□ArBC=□ABC÷60o=30o÷60o=90o,

□□C=90o,AC=I,∏ABC=30o,□AB=2AC=2,

AoB绕点B顺时针方向旋转60。，得到AOB,

□AB=AB=2,BO=BCT,AO=AO,

□□BOCT是等边三角形，

□BO=OOf,□B00'=匚B0'0=60°,

1□AOC=COB=BOA=120°,

□□COB+BOo'=二BO'A'+匚BO,O=120o+60°=180o,

□c、o、A∖Cr四点共线，

在RtA，BC中，A，C=JAF+BCy⑻+"&，

OA+OB+OC=A,O,+OO,+OC=A,C=√7.

【点睛】本题考查了旋转、全等三角形的判定与性质等，是一道综合性题目，正确的作出辅

助线是解题的关键.

11.若P为"C所在平面上一点，J≡LZAPB=ABPC=ZCPA=120°,则点。叫做/8C的

费马点.

(1)若点尸为锐角□∕BC的费马点，且口45C=60。，Rl=3,PC=4,则PB的值为；

(2)如图，在锐角□∕8C外侧作等边一ACS连结BBL求证：89过048C的费马点P,且

BB'=PA+PB+PC.

【答案】(1)2G

(2)证明见解析

【分析】(1)由题意可得ABPBCP,所以PB?=PA∙PC，即P8=2√L

(2)在BB'上取点P，使BPC=UQ0,连接/P,再在PB'上截取PE=PC,连接CE.由此

可以证明PCE为正三角形,再利用正三角形的性质得到PC=CE,UpCE=60。，ZCEBz=120°，

而，ACS'为正三角形，由此也可以得到AC=B'C,ZACB'=60°,现在根据已知的条件可以

证明ACP^.B1CE,然后利用全等三角形的性质即可证明题目的结论.

(1)

PAB+L∖PBA=mθ°-APB=βO°,

PBC+PBA=ABC=f>0o,

□匚RiB=IPBC,

又APB=BPC=UQ0,

ABP_BCP,

PAPB

PB-PC'

PB2=PA-PC=∖2,

P5=2√3;

(2)

证明：在89上取点P,使BPC=I20°.连接/P,再在尸9上截取PE=PC,连接CE.

QBPC=UOo,

ZlLJEPC=60。，

PCE为正三角形，

PC=CE,PCE=60°,NCEBZ=I20°.

ACB'为正三角形，

AC=B,C,ZACB1=60°,

ZPCA+ZACE=ZACE+NECB=60°,

ZPCA=ZECB1,

ACPHFCE,

ZAPC=ZB'EC=120o,PA=EB",

QGAPB=APC=BPC=∖20°,

□P为口48C的费马点.

8夕过/BC的费马点P,RBB'^EB'+PB+PE=PA+PB+PC.

【点睛】此题考查「相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形与等

边三角形的性质及三角形内角和为180。等知识；此类己知三角形边之间的关系求角的度数

的题，一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数.

12.若一个三角形的最大内角小于120°,则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°,

此时该点叫做这个三角形的费马点.如图1,当□48C三个内角均小于120。时，费马点尸在

口∕8C内部，1⅛时NAPB=NBPC=NCpA=I20。，R4+P8+PC的值最小.

图1图2图3

(1)如图2,等边三角形/8C内有一点P,若点P到顶点Z,B,C的距离分别为3,4,5,

求ZAPB的度数.为了解决本题,小林利用“转化”思想,将nZ8P绕顶点N旋转到ZXACP处，

连接PP',此时,ACP丝ABP,这样就可以通过旋转变换，将三条线段Rl,PB,PC转化

到一个三角形中，从而求出/4PB=.

(2汝U图3,在图1的基础上延长8P,在射线BP上取点，E,连接ZE,/D使AD=AP,

ZDAE=ZPAC,求证：BE=PA+PB+PC.

(3)如图4,在直角三角形ZBC中，ZABC=90°,NAC3=30。，AB=I,点P为直角三角

形ZBC的费马点，连接力P,BP,CP,请直接写出尸A+P3+PC的值.

【答案】(1)150。

⑵见解析

⑶万

【分析】(1)由全等三角形的性质得到/P=/P=3、CP=BP=4,AP1C=UAPB,再根

据旋转性质，证明4PP为等边三角形,□PPC为直角三角形，最后由□ZPC=

ZPP+□PPC解答;

(2)由费马点的性质得到NAP5=120。，ZAPD=GOo,再证明.APCRADE(ASA),山

全等三角形对应边相等的性质解得PC=OE,最后根据线段的和差解答；

(3)将口4P8绕点3顺时针旋转60。至□HPB处，连接PP,由勾股定理解得BC=6，由

旋转的性质，可证明匚BPP是等边三角形，再证明C、P、4、P'四点共线，最后由勾股定理

解答.

(1)

解：ACP,^ABP,

ΠAP,=AP=3.Cp=BP=4,UAPtC=UAPB,

由题意知旋转角匕为P'=60。，

□EUPP为等边三角形，

,o

PP'=AP=3,∖JAPP=60f

由旋转的性质可得：AP'=AP=PP'=3,CP=4,PC=5,

□32÷42=52

□匚P产。为直角三角形，且LP尸'C=90°,

∖UAPB=JAP,C=JAP,P+□PΛC=60o+90o=150o;

故答案为：150。；

(2)

证明：□点尸为□43C的费马点，

ZAPB=UOo,

ZAPr)=60。，

又［AD=AP,

□ZPO为等边三角形

AP=PD=AD,NPAD=ZADP=60。,

ZADE=120°,

ZADE=ZAPC,

/PAC=NDAE

在i4尸C和ADEφf'AP=AD

ZAPC=ZADE

APgADE(ASA)；

PC=DE,

匚BE=BP+PD+DE,

UBE=R4+PB+PC;

(3)

解：如图,将□NP8绕点B顺时针旋转60。至4P3处,连接PP,

口在M口ZBC中，□C=90o,JC=I,□^5C=30o,

ΠAB=2,

BC=∖∣AB2-AC2=√3,

把APB绕点B顺时针方向旋转60。得到二4P&

η∖^A,BC=UABC+60°=30°+60°=90°,

□□C=90o,JC=I,□J5C=30o,

AB=2AC=2,

ZP8绕点8顺时针方向旋转60。，得到A'P'B,

□Z'5=∕8=2,BP=BP',AP=AP,

□□BPP是等边三角形，

BP=PP',LBPP'^∖BFP=60°,

APC=CPB=BPA=∖20o,

aaCPB+∏BPP'=∖JBP'A'+∏BP'P=↑20o+60o=i80o,

□C、尸、A∖P四点共线,

在用/'8C中，A'C=√A,B2+fiC2=J(√3)2+22=√7.

PA+PB+PC=A'P'+PP'+PC=A'C=y/l.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的

性质、费马点等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识，正确做出辅助线是解题关键.

13.【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶•德・费马，提出一个问

题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费

马点

如图，点P是ΛBC内的一点，将AAPC绕点A逆时针旋转60。到ApC则可以构造出等

边，APP'，得AP=PP,CP=Cp1,所以R4+PB+PC的值转化为∕7y+P8+尸C'的值，

当B,P,P',C四点共线时，线段BC的长为所求的最小值，即点P为，ABC的“费马点”.

C1

(1)【拓展应用】

如图1,点尸是等边ABC内的一点，连接E4,PB,PC,将APAC绕点A逆时针旋转60。

得到.AP'C'.

A

B匕---------------------AC

图1

□若尸A=3,则点P与点P'之间的距离是______;

口当PA=3,Pfi=5,PC=4时，求/A产C的大小；

(2)如图2,点尸是ABC内的一点，且/84C=90。,AB=6,AC=2日PA+PB+PC

的最小值.

A

B图2C

【答案】(1)□3;□150o;

(2)2√21

【分析】(1)根据旋转的性质即可求出火的值；

先证ABPΛACP,利用全等的性子求出对应的边长，通过勾股定理的逆定理得到

NCPP=90。，即可求出—APzC的大小；

(2)将/PC绕C点顺时针旋转60。得到APC,先求出∕8C4'=120。，然后证明aCPP'为

等边三角形，当B、P、产、四点共线时，A4+PB+PC和最小，用勾股定理求出A4，的

值即可.

(1)

如图，将ARAC绕/逆时针旋转60。，

则AP=AF,ZPAP,=60°.

工APP为等边三角形,

：.PP'=PA=3；

/8C为等边三角形，

UAB=AC,JBAP+QR4C=60o,

又LAP尸是等边三角形，

PAC+ZCAP1=60°,

BAP=ACAP',

AB=AC

在ABP与XACP中，■NBAP=ZCAP1,

AP=AP'

ABPAACP1CSAS),

BP=CP'=5,PP'=3,PC=4,

PP'2+PC2=CP'2,.∙.ZCPP'=90°,

.∙.ZAPC=ZAPP,+ZCPP1=60°+90°=150°,

又旋转，NAPC=NAPC==I50。；

(2)

如图，将ZPC绕C点顺时针旋转60。得到APC,

在RLABC中，BC=yjAB2+AC2=^62+(2√3j2=4√3,

AC=-BC,:"ABC=30o,ZACB=60o,

2

:.ZACP+ZBCP=ω°,

又ZACP=ZACP,ZACP+ZACP=60o,

.∙.ZACP+ZACPɪ60o，BCP+ZACP+ΛACP+ZACP=120o，

过A作AO8C交8。的延长线于点£),

则ZACD=NBCD—NBCA'=180°-120°=60°,

.∙.ZCAD=30o,

,AC=AC=2瓜..CD=也(30。所对的直角边等于斜边的一半)，

.∖AD=yJAC2-CD2=3-

NPCP=60o,PC=CP',CPP为等边三角形，

当B、P、产、A，四点共线时，Λ4+P3+PC和最小，

在R"DA'ψ,BD=BC+CD=4√3+√3=5√3,DA1=3,

:.BA'=BD2+DA'2=J(5&『+32=2√21，

PA+PB+PC的最小值为2庄.

【点睛】本题考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键在于能够添加辅助线

构造全等三角形解决问题.

14.如图1,点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM,8M,CM.以AB为一边向外作

等边三角形AABE,将BM绕点B逆时针旋转60。得到BN,连接EN.

(I)求证:∆AMB⅛∆EVB;

(2)若AM+8M+CM的值最小，则称点M为ΛBC的费马点.若点M为ABC的费马点,

求此时ZAΛe,NBMC,NCMA的度数;

(3)受以上启发，你能想出作锐角三角形的费马点的一个方法吗？请利用图2画出草图,

并说明作法以及理由.

oo

【答案】(1)见解析；(2)ZBAlC=120°：Z4Mβ=120iZAMC=UO;(3)见解析

【分析】（1）结合等边三角形的性质，根据SNS可证I∕Λ"ENB

（2）连接MV,由（1）的结论证明Δ8MV为等边三角形，所以8M=KV,即

AM+BM+CM=EN+MN+CM,所以当£、N、M.C四点共线时，4V/+8M+CM的值最小，

从而可求此时IZNA/3、BMC、ACK4的度数；

（3）根据（2）中费马点的定义，又/8C的费马点在线段EC上，同理也在线段8尸上,

因此线段EC和BF的交点即为口N8C的费马点.

【详解】解：（1）证明：AABE为等边三角形，

AB=BE,ZABE=60°.

而NMBN=60。,

ZABM=NEBN.

在，AMB与公ENB中,

AB=BE

，ZABM=4EBN

BM=BN

一AMBMENB（SAS）.

（2）连接MN.由（1）知，AM=EN.

NMBN=&）。,BM=BN,

BMN为等边三角形.

BM=MN.

AM+BM+CM^EN+MN+CM.

当E、N、M、C四点共线时，40+3M+00的值最小.

此时，ZBMC=180o-ZMWB=120o：ZAMB=NENB=I80°—NBNM=I20。；

ZAMC=360o-ZBMC-ZAMB=120°.

（3）如图2,分别以，ABCAB,AC为一边向外作等边AWE和等边4Ab,连接C£,8尸,

相交于“，则点M即为&ABC的费马点，由（2）知，ABC的费马点在线段EC匕同理

也在线段所上.因此线段EC与8尸的交点即为一ABC的费马点.

（方法不唯一，正确即可）

E.

A

B图2C

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质,掌握三角形全等的判定

和性质是解题的关键.

15.如图，在一ABC中，ZAeB=30。,BC=6,AC=5,在二ABC内部有一点尸，连接《4、PB、

PC.(加权费马点)求：

(2)PA+PB+0PC的最小值

(3)Λ4+P8+√5PC的最小值;

(4)2PA+PB+&PC的最小值

(5),pA+PB+也PC的最小值；

22

(6)2P4+4P8+2gPC的最小值

(7)4PA+2PB+2√5PC的最小值；

(8)3∕¾+4PB+5PC的最小值

【答案】(I)√61；(2)√91；(3)√61+30√3；(4)2√34；(5)y；(6)26；(7)4√M：

(8)—

4

【分析】(1)将45PC绕点8顺时针旋转60得到ABPC,则BP=B尸，P,C=PC,

ZPBP'=60.可以推出，BP尸为等边三角形，得到BP=PP,则

PA+PB+PC=PA+PP+PC,即可得到4P、P、C'四点共线时，PA+PB+PC最小，

最小值为AC',然后证明/ACC'=/ACB+/8Ce=90°，由此利用勾股定理求解即可；

(2)将48PC绕点C逆时针旋转90得到4CP'B',则可证明Pp=&PC，从而得到

PA+PB+-∕1PC=PA+PP,+P,B.则当/、P、P、夕四点共线时PA+PB+PC最小，最

小值为AB',过点A再作BtC的垂线,垂足为E,利用勾股定理求出AE=^AC2-CE2=短，

2

B'E=B'C+EC=^17-,由此即可得到答案；

(3)将ʌspe绕点C逆时针旋转120得到ΛB,PC,则可证明PP'=√3CP,则

PA+PB+>∕3PC=PA+PP1+P'B',故当X、P、P'、B'四点共线时∕Λ4+P8+√5PC最小，

最小值为AQ,过点/再作B'C的垂线，垂足为区利用勾股定理求出

CE=√AC2-AE2=—,B'E=CE+CB'=12+5λ^.由此即可得到答案：

22

(4)将48PC绕点C顺时针旋转60，得到VCpA,再将VCPH以点C为位似中心放大2

倍，得到VC尸A",连接PP,先证明/p=√k∙p,则可以得到

2PA+PB+√3PC=A"P"+P"P+PB,故当A",产，P,B共线时2P4+PB+&PC最小，

最小为A"8,然后证明NBc4"=NAa3+NAC4"=90°,即可利用勾股定理求解；

(5)将48PC绕点。顺时针旋转60,得到VCPA,再将VCPA以点C为位似中心缩小2

倍，得到VCp7T,同(4)原理可证得当A",P",P,8共线时LPA+PB+且PC最小，

22

最小为A"8,然后证明NBC4"=NAC8+NAC4"=90°,由此求解即可；

(6)[i]2PA+4PB+2y∣3PC=4^jPA+PB+--PC可由(5)得：2PA+4P8+2百PC的

最小值为26；

(7)山424+2尸8+26/^?=2(224+28+力尸0可由(4)得4PA+2P8+26尸C的最小值

为4后:

(8)将ABPC绕点C顺时针旋转90,得到VcPW,再将VCPA'以点C为位似中心缩小N

倍，得到VCp¼",同理可以证得当4P、P"、A〃，共线时3Q4+4/归+5PC的值最小,在

315

8C4"中，ZBCAn=ZACB+AACAT=120o,AffC=-CA=-,过点A〃作A"ELBC交BC

44

延长线于瓦然后求出E4”,8E的长，由此即可求解.

【详解】解：(1)如图3-2,将ABPC绕点8顺时针旋转60得到ABPU,

BP=BP,P1C=PC,ZPBP'=60,

为等边三角形，

BP=Pp',

PA+PB+PC=PA+PP,+PC',

/、P、P、C'四点共线时，B4+P3+PC最小，最小值为AC'

同理可证,BCC为等边三角形，

CC=BC=6,N3CC=60°,

NACC'=∕AC8+ZBCC,=90o，

AC=yjAC2+CC2=√61；

上4+PB+PC的最小值为病；

(2)如图3-4,将ABPC绕点C逆时针旋转90得到aCPB',

B'P=BP,PC=PC,NPCP=90"，NPCB'=NPCB,CB'=CB=6,

PP,=JPC2+PC2=叵PC，

PA+PB+∙j2PC=PA+PP'+P'B，

:当4尸、P'、8'四点共线时，PA+P8+PC最小，最小值为49

□□∕lCβ=30o,

ZACP+NPCB=ΛACP+∕P'C8'=30°

ZACB'=ZPCP'+ZACP+NP'CB'=120".

过点/再作B'C的垂线，垂足为E,

3DAEC=90o,EUCE=60。，

口口。E=30。，

CE=-AC=-

22

AE=^AC2-CE2ɪɪ,B'E=B(+EC=g,

Aff=y∣AE2+B'E1=√91，

PA+PB+√2PC的最小值为√91；

(3)如图3-6,将ABPC绕点C逆时针旋转120得到A8'PC,

B'P,=BP,PC=PC,∕PCP'=120°,NPCB'=NPCB,CB'=CB=6,

NCPP=NCP'P=30”，

过点C作CEI于E,

CE=gCP,PE=PE,

2

22

PE=√PC-CE=-CP,

2

PP'=√3CP，

PA+PB+43PC=PA+PP1+P'B',

口当/、P、P、B'四点共线时，PA+P8+KPC最小，最小值为48'

一厂XC8=30°,

ZACP+NPCB=ZACP+∕P'C3'=30°

NACB'=NPCP+ZACP+NP'CB'=150°,

过点/再作8'C的垂线，垂足为E,

□匚∕EC=90°,ACE=3°,

AE=-AC=-

22

CE=√AC2-AE2=—,

2

g,g=CE+Cg,=12-5λ^

2

AB'=>JAE2+B'E2=√61+30√3,

PA+PB+√3PC的最小值为761+3O√3；

(4)如图3-8,将ABPC绕点。顺时针旋转60，得到VeP4,再将VCPA'以点C为位似

中心放大2倍，得到vc%r,连接PP

由旋转的性质得Gr=C4=5,CP,=CP,PA=P1A,ZPCP,=ZACA1=GOo，

C4ff=10,CP"=2CP,P,A,=2AP=2AP,Z∖PCP是等边三角形，

PP,=P'C=P,P",NPPC=60°，

ZPP"P=ZP"PP'=3(f',

N产PC=90°，

P"P=∖∣CP"2-CP2=CCP，

2PA+PB+√3PC=A"Pn+P"P+PB，

「当A",P",P,B共线时2PA+P8+GPC最小，最小为48,

ZBCA"=ZACB+ZACA"=90n,

A"B=y∣BC2+A"C2=2√34，

2PA+PB+石PC的最小值为2扃；

⑸如图3-10,将PC绕点C顺时针旋转60,得到VCPW,再将VCPW以点C为位似

中心缩小2倍，得到VC产A",

同(4)原理可证得当A",「"，P，8共线时LPA+PB+^∙PC最小，最小为A"B,

BA"=√SC2+AffC2=—,

2

LPA+PB+也PC最小为二;

222

(6)2PA+4PB+2y∕3PC=4∖-PA+PB+-PC

22

由(5)得：2PA+4PB+2j5PC的最小值为26；

(7)4PA+IPB+2√3PC=2(2PA+PB+√3PC)

由(4)得4PA+2PB+2√5PC的最小值为4衣：

(8)如图3-12,将ABPC绕点C顺时针旋转90,得到VCP4,再将VCPA以点C为位似

中心缩小［倍，得到VC尸H,

4

同理可以证得当/、P、产、A"共线时3P4+4P8+5PC的值最小.

315

在‘BC4"中，ZBCA"=ZACB+ZACA"ɪ120o,ATC=-CA=-,

44

过点A"作A〃£_L8C交BC延长线于E,

ZAffCE=60t∖

Ne4"E=30o,

CE=-CA!1=-