初中2023年湖南省湘潭市中考数学试卷

2023年湖南省湘潭市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的4个选项中，只

有一项符合题目要求，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）

1.（3分）中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻.观察下列汉字，其中

是轴对称图形的是（）

A.爱B.我C.中D.华

2.（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（)

A.x<lB.x>\C.xWlD.

3.（3分）下列计算正确的是（）

A.a8-i-a2=a4B.〃+/=/C.(a2)3=『D.a2,a3=a5

4.（3分）某校组织青年教师教学竞赛活动,包含教学设计和现场教学展示两个方面.其中

教学设计占20%,现场展示占80%.某参赛教师的教学设计-go分，现场展示95分，则

她的最后得分为（）

A.95分B.94分C.92.5分D.91分

5.连接AC,BD,若N1=20°，则N2的度数为（）

C.70°D.80°

6.（3分）如图，平面直角坐标系中，。是坐标原点，点A是反比例函数y=K（kWO）图

X

象上的一点，过点A分别作轴于点M,ANJ_y轴于点N,若四边形AMON的面

)

-2C.1D.-1

7.（3分）如图，圆锥底面圆的半径为4,则这个圆锥的侧面展开图中旷■的长为（）

A

C.8nD.167r

8.（3分）某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米.师生乘大

巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往,

结果同时到达.设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（）

A.-^2.=-j,Q—+AB.^2.+io=...^Q—

x1.2x6x1.2x

C.50=5。+1。D.50+l-50

x1.2xx61.2x

二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分，在每小题给出的4个选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确答案

的选项代号涂在答题卡相应的位置上）

（多选）9.（3分）下列选项中正确的是（）

A.8。=1B.|-8|=8C.-（-8）=8D.J§=±2亚

（多选）10.（3分）2023年湘潭中考体育考查了投掷实心球的项目.为了解某校九年级男

生投掷实心球水平，随机抽取了若干名男生的成绩（单位：米），列出了如表所示的频数

分布表并绘制了扇形图：

类别ABCDE

成绩6«77«88«99«1010Wx<ll

频数2625125

B.成绩在9<x<IO米的人数最多

C.扇形图中C类对应的圆心角为180°

D.成绩在7WxV8米的频率为0.1

（多选）11.（3分）如图，AC是。。的直径，8为弦，过点A的切线与CD延长线相交

于点B,若AB=AC,则下列说法正确的是（）

A.AD1.BCB.NC4B=90°C.DB=ABD.AD=^BC

2

（多选）12.（3分）如图，抛物线与x轴交于点（3,0）,则下列结论中正确

c>0C.层-4ac<0D.9a+3b+c=0

三、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分。请将答案写在答题卡相应的位置上）

13.（3分）数轴上到原点的距离小于灰的点所表示的整数有.（写出一

个即可）

14.（3分）已知实数”，〃满足（a-2）2+|ft+l|=0,则/=.

15.（3分）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小

于AC长为半径作弧，分别交AC,48于点M,N；②分别以M,N为圆心，以大于2MN

2

的长为半径作弧，在NBAC内两弧交于点O；③作射线AO,交BC于点D.若点3到

AB的距离为1,则CD的长为

C

D

M

16.（3分）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具.某同学用边长为4而7的正方形纸

板制作了一副七巧板（见图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组

成.则图中阴影部分的面积为，加2.

四、解答题（本大题共10个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,

请将解答过程写在答题卡相应位置上）

17.（6分）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来.

12（x+3）＞x+4（2）

-5-4-3-2-1012345

C2工

18.（6分）先化简，再求值：（1+上_）・2」引，其中x=6.

x+1X2-9

19.（6分）在RtZWBC中，ZBAC=90°,4。是斜边BC上的高.

（1）证明：

（2）若AB=6,BC=10,求BO的长.

A

20.（6分）为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组

建了四个社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（街舞社团）、D（面

点社团）.学生从中任意选择两个社团参加活动.

（1）小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有的可能结

果；

（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团C（街舞社团），第二个社团他俩决定

随机选择，请用列表法或树状图求他俩选到相同社团的概率.

21.（6分）教育部正式印发《义务教育劳动课程标准（2022年版）》.劳动课成为中小学的

一门独立课程，湘潭市中小学已经将劳动教育融入学生的日常学习和生活中.某校倡导

同学们从帮助父母做一些力所能及的家务做起，培养劳动意识，提高劳动技能.小明随

机调查了该校10名学生某周在家做家务的总时间，并对数据进行统计分析，过程如下：

收集数据：在家做家务时间：（单位：小时）

(1)m=，并补全频数分布直方图;

（2）数据统计完成后，小明发现有两个数据不小心丢失了.请根据图表信息找回这两个

数据.若a<b,则a,b—

（3）根据调查结果，请估计该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数.

频数（个）

22.神舟十六号载人飞船成

功发射.某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50

元/件.

（1）设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元.求利润y（元）关于售价x（元/

件）的函数表达式；

（2）当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，

并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完

毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？

23.（8分）如图，点A的坐标是（-3,0）,点B的坐标是（0,4）,点C为。8中点.将

△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到AA'BC'.

（1）反比例函数y=K的图象经过点C',求该反比例函数的表达式；

x

（2）一次函数图象经过A、A'两点，求该一次函数的表达式.

24.（8分）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科

学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）.假定在水流量稳

定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120

秒.

问题设置：把筒车抽象为一个半径为，•的如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车

半径为2米.当/=0时，某盛水筒恰好位于水面4处，此时N4OM=30°,经过95秒

后该盛水筒运动到点8处.

问题解决：

（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到2处时，/3OM的度数；

（2）求该盛水筒旋转至8处时，它到水面的距离.（结果精确到0.1米）（参考数据

1.414,北比1.732）

图①图②

25.（10分）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在

正方形ABCD的边BC上任意取一点G,以BG为边长向外作正方形BEFG,将正方形

BEFG绕点8顺时针旋转.

图①图②图③

特例感知：（1）当BG在BC上时，连接。F,AC相交于点P,小红发现点P恰为。尸的

中点，如图①.针对小红发现的结论，请给出证明；

（2）小红继续连接EG,并延长与。尸相交，发现交点恰好也是。尸中点P,如图②.根

据小红发现的结论，请判断△APE的形状，并说明理由；

规律探究：

（3）如图③，将正方形BEFG绕点8顺时针旋转a,连接。F,点尸是。尸中点，连接

AP,EP,AE,△APE的形状是否发生改变？请说明理由.

26.（10分）如图，二次函数y=W+fet+c的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点,

其中B(1,0),C(0,3).

（1）求这个二次函数的表达式：

（2）在二次函数图象上是否存在点P,使得S△由C=SMBC?若存在，请求出P点坐标;

若不存在，请说明理由；

（3）点。是对称轴/上一点，且点Q的纵坐标为。，当△QAC是锐角三角形时，求,

的取值范围.

2023年湖南省湘潭市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的4个选项中，只

有一项符合题目要求，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）

1.（3分）中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻.观察下列汉字，其中

是轴对称图形的是（）

A.爱B.我C.中D.华

【分析】根据轴对称图形的概念判断.

【解答】解：人汉字“爱”不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

8、汉字“我”不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C、汉字“中”是轴对称图形，故本选项符合题意；

。、汉字“华”不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能

够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.

2.（3分）若式子后T在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.x<\B.x>\C.D.

【分析】直接利用二次根式的有意义，被开方数不小于0,进而得出答案.

【解答】解：式子汇I在实数范围内有意义，则x-l至0，

解得：

故选：D.

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式有意义的条件是解

题关键.

3.（3分）下列计算正确的是（）

A.a84-t/2=a4B.a+t/2=a3C.（t/2）3=a5D.a2,a3=a5

【分析】直接利用同底数塞的乘除运算法则以及塞的乘方运算法则、合并同类项法则分

别判断得出答案.

【解答】解：A.故此选项不合题意；

B.a+a1,无法合并，故此选项不合题意;

C.（/）3=/,故此选项不合题意；

D.«2»«3=«5,故此选项符合题意.

故选：D.

【点评】此题主要考查了同底数基的乘除运算以及累的乘方运算、合并同类项，正确掌

握相关运算法则是解题关键.

4.（3分）某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面.其中

教学设计占20%,现场展示占80%.某参赛教师的教学设计90分，现场展示95分，则

她的最后得分为（）

A.95分B.94分C.92.5分D.91分

【分析】根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出她的最终得分.

【解答】解：由题意可得，

90X20%+95X80%=94（分），

即她的最后得分为94分，

故选：B.

【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式.

5.（3分）如图，菱形ABCD中，连接AC,BD,若Nl=20°,则N2的度数为（）

［分析］根据菱形的性质和平行线的性质以及三角形的内角和定理即可得到结论.

【解答】解：•••四边形ABCC是菱形，

：.AB//CD,AC.LBD,

AZ£)CA=Z1=20°,

.••Z2=90°-Z£)CA=70°,

故选：C.

【点评】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的性质定理是解题的关

键.

6.（3分）如图，平面直角坐标系中，。是坐标原点，点A是反比例函数y=K（々W0）图

X

象上的一点，过点A分别作AMLx轴于点M,AN-Ly轴于点N,若四边形AMON的面

)

-2C.1D.-1

【分析】依据题意，根据四边形面积与反比例函数的关系即可得解.

【解答】解：由题意，设A（〃，b）,

♦・cib=k.

又SwijimANOM=2=ab,

：.k=2.

故选：A.

【点评】本题主要考查了反比例的图象与性质的应用，解题时要能熟悉题意学会转化是

关键.

7.（3分）如图，圆锥底面圆的半径为4,则这个圆锥的侧面展开图中AA'的长为（）

B.6TtC.8irD.16IT

【分析】根据圆锥的侧面展开图中弧的长等于圆锥底面周长即可得出答案.

【解答】解：这个圆锥的侧面展开图中AA'的长为如X4=8ir.

故选：C.

【点评】本题考查了圆锥的计算.圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1.圆

锥的母线长为扇形的半径，2.圆锥的底面圆周长为扇形的弧长.

8.（3分）某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米.师生乘大

巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往,

结果同时到达.设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（）

A..50_=_50_+_1_B..5°.+10=―5°.

x1.2x6x1.2x

c.^2.=.jQ—+10D.旦L+-l=—

x1.2xx61.2x

【分析】设大巴车的平均速度为x千米/时，则小车的平均速度为1.2%千米/时，根据题意

列出方程即可.

【解答】解：设大巴车的平均速度为x千米/时，则小车的平均速度为1.2x千米/时，

根据题意可得：毁

x1.2x6

故选：A.

【点评】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题关键关键是分析题意找出相等

关系.

二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分，在每小题给出的4个选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确答案

的选项代号涂在答题卡相应的位置上）

（多选）9.（3分）下列选项中正确的是（）

A.8°=1B.|-8|=8C.-（-8）=8D.弧=±2&

【分析】根据算术平方根、绝对值、相反数的含义和求法，以及零指数基的运算方法，

逐项判断即可.

【解答】解：

•••选项A符合题意；

VI-8|=8,

二选项B符合题意;

：-（-8）=8,

选项C符合题意;

•••我=2我,

...选项。不符合题意.

故选：ABC.

【点评】此题主要考查了算术平方根、绝对值、相反数的含义和求法，以及零指数暴的

运算方法，解答此题的关键是要明确：①『=1②0°#1.

（多选）10.（3分）2023年湘潭中考体育考查了投掷实心球的项目.为了解某校九年级男

生投掷实心球水平，随机抽取了若干名男生的成绩（单位：米），列出了如表所示的频数

分布表并绘制了扇形图：

类别ABCDE

成绩6«770V880V99«10lOWxVll

频数2625125

B.成绩在9Wx<10米的人数最多

C.扇形图中C类对应的圆心角为180°

D.成绩在7Wx<8米的频率为0.1

【分析】把各类频数相加可得样本容量；根据分布表可得成绩在9Wx<10米的人数最多;

用360°乘C类所占比例可得扇形图中C类对应的圆心角度数：用B类的频数除以样本

容量可得成绩在7Wx<8米的频率.

【解答】解：样本容量为：2+6+25+12+5=50,故选项4符合题意；

成绩在8Wx<9米的人数最多，故选项8不符合题意；

扇形图中C类对应的圆心角为：360°X至=180°,故选项C符合题意；

50

成绩在7<x<8米的频率为：A=0.12,故选项。不符合题意.

50

故选：AC.

【点评】本题考查了频率分布直方图，扇形统计图，读懂图意是解决本题的关键；用到

的知识点为：频数=总数X相应频率.

（多选）11.（3分）如图，AC是。。的直径，CD为弦,过点A的切线与CD延长线相交

于点8,若AB=AC,则下列说法正确的是（）

A.ADA.BCB.ZCAB=90°C.DB=ABD.AD=^BC

2

【分析】利用圆周角定理即可判断A;根据切线的性质即可判断8；利用等腰直角三角形

的性质即可判断C；利用直角三角形斜边中线的性质即可判断D.

【解答】解：A、是。。的直径，

AZADC=90°,

：.AD±BC,故A正确；

8、AC是。。的直径，A8是。。的切线，

J.CA1.AB,

：.ZCAB=90°,故8正确；

C、'：ZCAB=90°,AB=AC,

/.ZB=45°

\'AD±BC,

:.BD=®-AB,故C错误；

2

D、'：AC=AB,AD±BC,

：.CD=BD,

,：ZCAB=9Q°,

，AO=/BO故。正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜

边中线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.

（多选）12.（3分）如图，抛物线y=o?+fcc+c与x轴交于点（3,0）,则下列结论中正确

的是（)

C.b2-4«c<0D.9a+3/?+c=0

【分析】根据图象的开口方向可判断选项4根据图象与x轴的交点位置，可判断选项3；

根据抛物线和x轴交点个数可判断；C：根据x=3的函数值的情况，可判断选项D

【解答】解：A、由函数图象得，抛物线开口方向向下，故故A错误；

B、图象与），轴的交点在原点上方，故c>0,故B正确；

C、因为抛物线和x轴有两个交点，故户故。正确；

D、当x=3时，y—9a+3b+c—0,故£）正确.

故选BD.

【点评】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数有

关性质、以及二次函数的图象特点.

三、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分。请将答案写在答题卡相应的位置上）

13.（3分）数轴上到原点的距离小于泥的点所表示的整数有0（答案不唯一）.（写

出一个即可）

【分析】数轴上到原点的距离小于粕的点所表示的数为-通与粕之间的所有数，然后

写出其中的一个整数即可.

【解答】解：数轴上到原点的距离小于遥的点所表示的数为-遥与遥之间的所有数,

则其中的整数为0（答案不唯一），

故答案为：0（答案不唯一）.

【点评】本题考查实数与数轴的关系，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握.

14.（3分）已知实数a,b满足（a-2）2+|Z>+l|=0,则/=A.

~2~

【分析】根据偶次塞及绝对值的非负性求得a,b的值，然后代入/中计算即可.

2

【解答】解：（。-2）2+收+1|=0,（a-2）>0,|6+1|20,

•・a~2=0,Z?+1—0,

•・。=2,b=~1,

则a"=2"=上，

2

故答案为：1.

2

【点评】本题考查偶次幕及绝对值的非负性和代数式求值，结合已知条件求得。，力的值

是解题的关键.

15.（3分）如图，在RtZVIBC中，/C=90°,按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小

于4c长为半径作弧，分别交AC,AB于点M,N；②分别以M,N为圆心，以大于工MN

2

的长为半径作弧，在NBAC内两弧交于点0；③作射线40,交8c于点D若点。到

【分析】根据角平分线的性质得到C。=点。到AB的距离=1.

【解答】解：由作图知平分/84C,

NC=90°,点D到AB的距离为1,

：.CD=\.

故答案为：1.

【点评】本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平

分线的性质.

16.（3分）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具.某同学用边长为4小〃的正方形纸

板制作了一副七巧板（见图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组

成.则图中阴影部分的面积为2dm2.

【分析】根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得0E的长，即可求解.

【解答】解：如图所示，

依题意，0。=返/。=2&,OE=LOD=a,

22

，图中阴影部分的面积为。产=（&）2=2（dm2）,

故答案为：2.

【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关

键.

四、解答题（本大题共10个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,

请将解答过程写在答题卡相应位置上）

[7x744。①

17.（6分）解不等式组:,并把它的解集在数轴上表示出来.

[2(x+3)>x+4(2)

-5-4-3-2-1012345

【分析】先解不等式组求得其解集，然后在数轴上表示其解集即可.

[7x-14<0①

【解答】解:

[2(x+3)>x+4<2)

由①得7xW14,

则xW2,

由②得2x+6>x+4,

则x>-2,

故原不等式组的解集为：-2<xW2,

在数轴上表示其解集如下：

III&IIII〉

-5-4-3-2-1012345

【点评】本题考查在数轴上表示一元一次不等式组的解集，正确解不等式组求得其解集

是解题的关键.

18.（6分）先化简，再求值：（1+，_）•立兰，其中x=6.

x+1X2-9

【分析】利用分式的运算法则将分式进行化简，然后代入已知数据进行计算即可.

［解答］解：原式=幻±辿・X(x：l)

x+1(x+3)(x-3)

=x+3.x(x+l)

x+1(x+3)(x-3)

=^—,

x-3

当x=6时，

原式=_§_=2.

6-3

【点评】本题考查分式的化简求值，将分式化简为上是解题的关键.

x-3

19.(6分)在Rt^ABC中，ZBAC=90°,A£>是斜边BC上的高.

(1)证明：XABDs/\CB限

(2)若AB=6,BC=10,求8。的长.

【分析】(1)根据已知条件得出NBD4=/B4C,又为公共角，于是得出△ABOs4

CBA；

(2)根据相似三角形的性质即可求出8。的长.

【解答】(1)证明：是斜边BC上的高，

AZBDA=90°,

VZBAC=9O°,

：.ZBDA=ZBAC,

又.../B为公共角，

AABDsACBA；

(2)解：由(1)知△ABQs/XCBA,

.BDBA

，，BA=BC，

•..-B-D-=--6-,

610

：.BD^3.6.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟知有两个角相等的两个三角形相似是

解题的关键.

20.(6分)为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组

建了四个社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（街舞社团）、D（面

点社团）.学生从中任意选择两个社团参加活动.

（1）小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有的可能结

果；

（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团C（街舞社团），第二个社团他俩决定

随机选择，请用列表法或树状图求他俩选到相同社团的概率.

【分析】（1）列举出所有的可能结果即可；

（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中小宇和小江选到相同社团的结果有3种，

再由概率公式求解即可.

【解答】解：（1）所有的可能结果共有6种，分别为：AB、AC、AD,BC、BD、CD；

（2）画树状图如下：

开始

ABD

/KZl\/N

ABDABDABD

共有9种等可能的结果，其中小宇和小江选到相同社团的结果有3种，

，他俩选到相同社团的概率为3=」.

93

【点评】本题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能

的结果，适合于两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总

情况数之比.

21.（6分）教育部正式印发《义务教育劳动课程标准（2022年版）》.劳动课成为中小学的

一门独立课程，湘潭市中小学已经将劳动教育融入学生的日常学习和生活中.某校倡导

同学们从帮助父母做一些力所能及的家务做起，培养劳动意识，提高劳动技能.小明随

机调查了该校10名学生某周在家做家务的总时间，并对数据进行统计分析，过程如下：

收集数据：在家做家务时间：（单位：小时）

1541a32b34

整理数据：

时间段0«33«66«9

人数36m

分析数据:

统计量平均数中位数众数

数据3.43.54

请结合以上信息回答下列问题：

（1）m=1,并补全频数分布直方图；

（2）数据统计完成后，小明发现有两个数据不小心丢失了.请根据图表信息找回这两个

数据.若a<b,则。=4,b=7；

（3）根据调查结果，请估计该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数.

频数（个）

【分析】（1）根据各组频数之和等于样本容量可求出m的值，进而补全频数分布直方图；

（2）根据众数的定义确定a的值，再由平均数、中位数确定b的值即可；

（3）求出样本中“学生在这一周劳动时间不少于3小时学生”所占的百分比，进而估计

总体中“学生在这一周劳动时间不少于3小时学生”所占的百分比，由频率=蓼鳌进行

计算即可.

【解答】解：（1）加=10-3-6=1,补全频数分布直方图如下：

频数（个）

（2）样本中1、3、4都出现2次，若这组数据的众数是4,因此漏掉的两个数中必有一

个是4,而因此〃=4,

这10个数的中位数是3.5,平均数是3.4,因此漏掉的另一个数是7,即6=7,

故答案为：4,7；

（3）2000X_i_=1400（人），

10

答:该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数大约有1400人.

【点评】本题考查频数分布直方图，中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均

数的意义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法以及频率=色饕是正确解答的前提.

总数

22.（6分）我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成

功发射.某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50

元/件.

（1）设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元.求利润y（元）关于售价x（元/

件）的函数表达式；

（2）当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，

并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完

毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？

【分析】（1）根据每件的利润X件数=总利润求解即可；

（2）设该商店继续购进了〃?件航天模型玩具，根据资助经费恰好10000元，列方程，求

解即可.

【解答】解：（1）y=1000（x-50）=lOOOx-50000；

（2）设该商店继续购进了，"件航天模型玩具，

（60-50）（1000+/M）X20%=10000,

解得m=4000,

答：该商店继续购进了4000件航天模型玩具.

【点评】本题考查了一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应关系式是解题的关

键.

23.（8分）如图，点4的坐标是（-3,0）,点8的坐标是（0,4）,点C为08中点.将

△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△4'BC.

（1）反比例函数y=K的图象经过点C',求该反比例函数的表达式;

x

（2）一次函数图象经过A、A'两点，求该一次函数的表达式.

【分析】（1）根据旋转的性质得出C的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函

数的解析式；

（2）作A'轴于从证明AAOB丝△BHA'（M5）,推出OA=BH,08=A'H,

求出点A'坐标，再利用待定系数法即可求得一次函数的解析式.

【解答】解：（1）:点A的坐标是（-3,0）,点B的坐标是（0,4）,点C为。8中点,

；.OA=3,08=4,

：.BC=2,

将△ABC绕着点8逆时针旋转90°得到BC,

：.C(2,4),

；反比例函数y=K的图象经过点C',

X

"=2X4=8,

该反比例函数的表达式为

X

(2)作A'轴于”.

VZAOB=ZA,HB=ZABA,=90°,

AZABO+ZAfBH=90°,ZABO+ZBAO=90°,

：.ZBAO=ZA'BH,

t：BA=BA,,

・•./XAOB^/XBHA'(A4S),

：・OA=BH,OB=A,H,

•・・OA=3,OB=4,

:.BH=OA=3,A'H=OB=4,

・・・0H=1，

：.Af(4,1),

设一次函数的解析式为y=ax^b,

把A(-3,0),A,(4,1)代入得，P3a+b=0

I4a+b=l

【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上的点的坐标特征，

坐标与图形的变化-旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形

解决问题.

24.（8分）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科

学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）.假定在水流量稳

定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120

秒.

问题设置：把筒车抽象为一个半径为，的。O.如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车

半径为2米.当f=0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时/AOM=30°,经过95秒

后该盛水筒运动到点B处.

问题解决：

（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，NBOM的度数；

（2）求该盛水筒旋转至8处时，它到水面的距离.（结果精确到0.1米）（参考数据

1.414,百Q1.732）

0

图①图②

【分析】（1）求出筒车每秒转过的度数，再根据周角的定义进行计算即可；

（2）根据直角三角形的边角关系分别求出。。、0C即可.

【解答】解：（1）由于筒车每旋转一周用时120秒.所以每秒转过3600+120=3°,

.•./8OM=360°-3°X95-30°=45°；

（2）如图，过点B、点A分别作的垂线，垂足分别为点C、D,

在RtZXAOQ中，NAO£>=30°,0A=2米，

：.0D=^-0A=M（米）.

2

在RtaBOC中，ZBOC=45a,。8=2米，

.•.0。=亚08=&（米），

2

：.CD=0D-OC=V3*72^0.3（米），

即该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为0.3米.

【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提.

25.（10分）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在

正方形ABCD的边BC上任意取一点G,以BG为边长向外作正方形BEFG,将正方形

BEFG绕点8顺时针旋转.

图①图②图③

特例感知：(1)当2G在8c上时，连接。F,AC相交于点P,小红发现点P恰为。尸的

中点，如图①.针对小红发现的结论，请给出证明；

(2)小红继续连接EG,并延长与。尸相交，发现交点恰好也是。尸中点P,如图②.根

据小红发现的结论，请判断AAPE的形状，并说明理由；

规律探究：

(3)如图③，将正方形8EFG绕点8顺时针旋转a,连接。F,点P是。/中点，连接

AP,EP,AE,ZVIPE的形状是否发生改变？请说明理由.

【分析】(1)延长FG,交AC于“，可推出FG=BG,CG=GH,从而CD=FH,进而

得出△C£>P丝△HFP,进一步得出结论；

(2)延长EG,交AO的延长线于点M,设OF和EG交于点Q,同理(1)可证得△OQM

会△尸。E,从而£>。=尸0,从而得出点。和点P重合，进一步得出结论；

(3)延长EP至Q,是PQ=PE,连接QQ,延长D4和FE,交于点N,/\PDQ^/\PFE,

从而DQ=EF,NPQD=NPEF,所以NN+NA£>Q=180°,可推出/N+NABE=180°,

进而推出△AOQ丝△ABE,AE=AQ,ZDAQ^ZBAE,进而推出/QAE=90°,进一步

得出结论.

图1

延长FG,交AC于H,

四边形A8CZ)和四边形BEFG是正方形,

：.BC=CD,FG=BG,CD//AE,FG//AE,NCGH=NBGF=90°,

/.ZCHG=45°,CD//FG,

：.ZACB^ZCHG,4CDP=NHFP,NDCP=4FHP,

:.CG=GH,

，CG+BG=GH+FG,

:.BC=FH,

:.CD=FH,

：./\CDP^/\HFP(ASA),

・•・点尸是。尸的中点；

(2)如图2,

图2

△APE是等腰直角三角形，理由如下：

延长EG,交的延长线于点例，设。/和EG交于点。，

•・♦四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，

・・・N3AQ=90°,NBEG=45°,AD=AB,BE=EF,AD//BC//EF,NR4C=45°,

ZM=45°,NM=NGEF,/MDQ=/EFQ,

；・NM=NBEG,

：.AM=AE,

：.AM-AD=AE-AB,

:.DM=BE,

:.DM=EF,

:.4DQM经4FQE(ASA),

:.DQ=FQ,

・・・点。和点尸重合，即：EG与。尸的交点恰好也是。尸中点P,

・.・NBAC=45°,NBEG=45°,

AZAPE=90°,AP=EP,

・・・△APE是等腰直角三角形；

(3)如图3,

△APE仍然是等腰直角三角形，理由如下：

延长E尸至Q,是PQ=PE,连接。Q,延长D4和FE,交于点N,

"：DP=PF,NDPQ=NEPF,

:APDQQXPF皂(SAS),

：.DQ=EF,4PQD=/PEF,

.•./N+/A£>Q=180°,

,/四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，

:.NBAN=NDAB=90°,NBEN=NBEF=9Q°,AB=AD,BE=EF,

...NN+NABE=360°-/BAN-NBEN=360°-90°-90°=180°,DQ=BE,

：.NABE=/ADQ,

AADQ^AABE(SAS),

：.AE=AQ,ZDAQ=ZBAE,

：.ZBAE+ZBAQ=ZDAQ+ZBAQ^ZBAD^90°,

/.ZQAE=90°,

：.AP±EQ,AP=P£=AEQ,

...△APE是等腰直角三角形.

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定

和性质等知识，解决问题的关键是“倍长中线”.

26.(10分)如图，二次函数y=/+bx+c的图象与x轴交于A,8两点，与y轴交于C点,

其中B(1,0),C(0,3).

O\；/AX

।

।