近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编 平面向量

近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编

五、平面向量

一、多选题

1.（2021♦全国新高考1）已知0为坐标原点，点《（cosa,sina）,g（cos2,-sin"）,

月（cos（a+4）,sin（a+4）），A（l,0）,则（）

A.|M=|网B.|叫=|明

C.OAOP=OPOP

OAOPI=OPCOP2D.}2y

二、单选题

2.（2021•浙江）已知非零向量”*,c,则“a.c="c”是"a=b”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

3.（2020•海南）在..A8C中，。是AB边上的中点，则Q5=（)

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

4.（2020•海南）已知P是边长为2的正六边形A8CQEF内的一点,则AP-AB的取值

范围是（）

A.(-2,6)B.(-6,2)

C.(-2,4)D.(-4,6)

5.（2020・全国2（理））已知向量成a,Z?满足Ia1=5,|。|=6ab=-6>则

cos(a,q+6)=

)

A.且,191719

B.----C.—D.—

35353535

6.（2020•全国3（文））已知单位向量”,〃的夹角为60。，则在下列向量中，与〃垂直

的是（）

A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-h

7.(2019•全国2(文))已知向量a=(2,3)$=(3,2),则1|=

A.72B.2

C.572D.50

8.（2019•全国1（文））已知非零向量a石满足H=2”，且（a-b）工b，则a与人的

夹角为

兀兀2兀5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

9.（2019•全国2（理））已知AB=（2,3）,AC=（3，。，忸。卜1,则A5-5C=

A.-3B.-2

C.2D.3

10.（2018•北京（理））设向量a,〃均为单位向量，则“|"3。|03。+以''是''：_1力''的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件

11.（2018•浙江）已知.、b、e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角

为耳•，向量b满足。?—4e+3=0，则卜-目的最小值是

A.73-1B.73+1C.2D.2-73

12.（2018•天津（理））如图，在平面四边形A3C。中，

AB±BC,AD±CD,ABAD=120,AB=AO=1,若点E为边CO上的动点，则

AEBE的最小值为

21325

A.B.-C.—D.3

16216

13.（2018•全国1（文））在△ABC中，AO为边上的中线，E为AO的中点，则

EB=

3113

A.-AB——ACB.-AB——AC

4444

31——1-3

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

14.（2018•全国2（文））已知向量a,b满足同=1,ab=-l＞则a-（2a-b）=

A.4B.3C.2D.0

15.（2018・天津（文））在如图的平面图形中，已知OM=1,ON=2,NMON=120,

BM=2M4,CN=2NA,则BCOM的值为

A.-15B.-9

C.-6D.0

16.（2017・浙江）如图，已知平面四边形ABC。，ABVBC,AB^BC=AD=2,CD=3,

AC与8。交于点O,记,I=OBOC,I3=OCOD,贝U

A.1\<12<13B.11^132C.D.12<]1<13

17.（2017♦全国2（理））己知.ABC是边长为2的等边三角形，P为平面A8C内一点，

贝ijPA.（PB+PC）的最小值是（）

34

A.-2B.---C.---D.—1

23

18.（2017•北京（文））设也”为非零向量，则“存在负数/I,使得机=丸〃”是“机•〃<（）”

的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

19.（2017・全国2（文））设非零向量d,〃满足,+可=卜一可，则

A.dVbB.同=网

C.d//bD.\a\>\b\

三、填空题

20.（2021•浙江）已知平面向量风dc,（cH0）满足M=1,忖=2,a2=0,•c=0.

记向量d在。/方向上的投影分别为x,y,d-a在c方向上的投影为z,则f+丁+z2

的最小值为.

21.（2021•全国甲（文））若向量a/满足卜卜3,k一4=5,。・0=1,则恸=.

22.（2021•全国甲（理））已知向量a=（3,1）,/?=（l,0）,c=a+以J.若a_Lc，则”=

23.（2021•全国乙（理））已知向量a=（l,3）,/?=（3,4）,若（a—4份,匕，贝飘=

24.（2021.全国乙（文））已知向量a=（2,5）,Z?=（/l,4）,若》/力，则;1=

25.（2020•浙江）设,e；为单位向量，满足|2勺-«2区近，a=ei+e2,b=3ex+e2,

设a，b的夹角为。，则cos?。的最小值为.

26.（2020•江苏）在△ABC中，AB=4,AC=3,Z7MC=90。,。在边BC上，延长AO

3

到尸，使得AP=9,^PA=mPB+（--m）PC为常数），则C。的长度是

2

--I1

27.（2020•全国1（文））设向量a=（l,-4）,6=（利+1,2加一4）,若aLb，则血=

28.（2020.全国1（理））设为单位向量，且|a+Z?|=l,则|。一。|=.

29.（2020.全国1（理））已知单位向量〉了的夹角为45。，与;垂直，则

k=.

30.（2019・江苏）如图，在6ABe中，。是的中点，E在边A8上，BE=2EA,AD

A3

与CE交于点。.若AB.47=640EC，则k的值是-

AC

31.（2019•北京（文））己知向量。=（—4,3）,b=（6,m）,S.aA.h,则m=.

32.（2019•全国3（文））已知向量9=（2,2）,6=（-8,6）,则cos（a,b）=.

33.（2019•全国（理））已知为单位向量，且若c=2a-J5。，则

cos<a,c>=.

34.（2019•天津（文））在四边形A8CD中，AD//BC,AB=2^>，AD=5,

NA=30°，点E在线段C3的延长线上，且AE=BE,则.

35.（2019・上海）在椭圆土-+乙=1上任意一点P,。与P关于x轴对称，若有

42

F}PF2P<\,则HP与巴。的夹角范围为

2

36.（2018•上海）已知实数玉、/、弘、为满足：x:+y|2=i,x2+y2=1,

W+xT,旧+%-U

玉々+"2=1,则的最大值为

2

37.（2018・江苏）在平面直角坐标系xOy中，A为直线/：y=2x上在第一象限内的点,

5（5,0）,以A8为直径的圆C与直线/交于另一点0.若AB-CO=0,则点A的横

坐标为•

38.（2018•北京（文））设向量a=（1,0）,b=（Tj”）,若a_L（加,贝U〃?=.

39.（2018•全国3（理））已知向量a=（l,2）,匕=（2,-2）,c=（l,A）.若c（2a+b1

则2=.

40.（2017・上海）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点耳、P-〃、巴以及

四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合。={4,£,《,吕}，点尸€。，过P作

直线/尸，使得不在％上的“”的点分布在0的两侧.用。（0）和。2（/p）分别表示一

侧和另一侧的“”的点到。的距离之和.若过P的直线0中有且只有一条满足

2（/p）=4（/p）,则。中所有这样的p为

41.（2017•北京（文））已知点P在圆f+y2=1上，点A的坐标为（一2,0）,。为原点，

则AO-AP的最大值为.

42.（2017•全国1（理））已知向量&与b的夹角为60°,\a\=2,\b1=1，则I。+2b1=

43.（2017・天津（文））设抛物线y2=4x的焦点为尸，准线为/.已知点C在/上，以C

为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若NE4C=120。，则圆的方程为.

44.（2017•天津（文））在<中，ZA=60°,AB=3,AC=2fBD=2DC，

AE=AAC-AB（AeR）,且A£>.AE=-4，则2的值为.

45.（2017•山东（理））已知q,e2是互相垂直的单位向量，若由q-g与q+入e2

的夹角为60。，则实数入的值是一.

46.（2017•全国3（文））已知向量。=（一2,3）1=（3,加），且4_1_力，则〃?=.

47.（2017・全国1（文））已知向量a=（-l,2）,b=（m,1）,若（a+b）_La,则

m=・

48.（2017•山东（文））已知向量。=（2,6）力=（—1,之）,若。〃4则2=.

49.（2017・江苏）在同一个平面内，向量。4。氏0。的模分别为1,1,0,。4与。。的

夹角为a,且tana=7,OB与0c的夹角为45，若。。="2。4+〃。3（/篦,〃£尺），

则m-k-n=.

50.（2020・天津）如图，在四边形A5C。中，ZB=60\AB=3,BC=6,且

3

AD=ABC.AO-A8=-二，则实数4的值为,若M,N是线段8C上的

2

动点，且|MN|=1,则。ON的最小值为.

51.（2020•北京）已知正方形ABC。的边长为2,点尸满足AP=g（A8+AC）,则

口。1=--------------；PBPD=-------------

52.（2019•浙江）已知正方形ABCO的边长为1,当每个4。=123,4,5,6）取遍±1时,

的最小值是；最大值是

14AB+A^BC+CD+A4DA+A5AC+A6BD|

53.（2017•浙江）已知向量满足口=1，M=2,则卜+目+卜一4的最小值是

，最大值是.

四、解答题

54.（2017・江苏）已知向量a=（cosx,sinx）,xe[0,句.

（1）若〃，求X的值；

（2）记/（x）=a・b,求函数y=/（x）的最大值和最小值及对应的x的值.

近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编

五、平面向量(答案解析)

1.AC

【解析】

2

A：OF\=(cosa,sin。)，0Pl=(cos尸，一sin4),所以|OP}|=A/COSa+sin2a=1，

|OP2\=J(cos0)?+(-sin,y=1，故IOP{|=|OP21,正确；

B：APX=(cosa-I,sina),AR=(cosy5-l,-sin/?),所以

I|=5/(cos^-l)2+sin2a-Jcos?a-2cosa+1+sin2a=J2(l-cosa)=^4sin2y=21sin-y|

同理|A鸟|=J3s夕一+sin?夕=21sinj,故||不一定相等，错误；

C：由题意得：OAOP3=lxcos(2+/7)+0xsin(a+Q)=cos(a+Q),

OP、OR=cosa-cos/3+^na-<-sin/3)=cos(<z+/3)，正确；

D：由题意得：。4。勺=lxcosa+Oxsina=cos。，

OP,OP3=cos/3xcos(cr+尸)+(—sin/7)xsin(a+J3)

=cos(p+(a+p))=cos(a+2p),故一般来说w0鸟故错误；

2.B

【解析】

若a•c=b•c,贝ll,c=。，推不出°=6;若a=b,则Q.C=〃,C必成立，

故"a-c=h-c"是“a=h”的必要不充分条件

3.C

【解析】

4.A

【解析】

AB的模为2,根据正六边形的特征，可以得到AP在A5方向上的投影的取值范围是(-h3),

结合向量数量积的定义式，可知APAB等于AB的模与AP在AB方向上的投影的乘积,

所以AP-A3的取值范围是(一2,6),

5.D

【解析】卜］=5,|“=6,〃.8=一6，.•.々・(Q+h)=W+<2-/?=52-6=19.

,+〃卜J(a+Z?)=飞J+2a・b+b,-525-2x6+36=7，

Q'(Q+O)1919

因此，COS<。,〃+>>=*］----T=----=一.

〃.卜+〃5x735

6.D

【解析】由已知可得：4为=田年cos60°=lxlxg=g.

.215

A：因为(a+2份力=am+2h=-+2xl=-^0,所以本选项不符合题意；

22

B：因为(2a+6)为=2am+/=2x‘+l=2w0,所以本选项不符合题意；

2

-2I3

C：因为(a-26)"=a•〃-2b=—―2x1=-二。0,所以本选项不符合题意；

22

..21

D：因为(2a—3小=2"2一/=2x—―1=0,所以本选项符合题意.

2

7.A

【解析】由已知，4一匕=(2,3)-(3,2)=(-1,1),所以|“_切=J(_l)2+f=五,

8.B

【解析】因为(a—Z?)_LZ?,所以(a—b)-b=a•b—力=。，所以a2=Z7~，所以cosO=

a-b\b\21兀

丽=诉=5'所以。与匕的夹角为丁故选民

9.C

［解析］由BC=AC-A8=(1,7-3),=#+(-3)2=1,得/=3,则3C=(1,()),

AB.BC=(2,3)・(1,())=2xl+3x0=2.故选C.

10.C

【解析】因为向量。力均为单位向量

所以|。一3加=|3a+Z?|-3b)~=(3a+〃)"oj一6。仍+9片=91+6。/+//

所以“Ia-3引=|3a+例”是“alb”的充要条件

11.A

【解析】设〃=(%,6,0=(1,0),。=(加,小,

111111

Z\兀兀71

则由e)=5得a•e=a-ecos—,x=5J%一+/,y—i>/3x,

3

由-4；.3+3=0得病+n2-4m+3=0,(m-2)2+n2=1,

因此，，-'的最小值为圆心(2,0)到直线y=±6x的距离乎=g减去半径1,为

百-1.选A.

12.A

【解析】连接BD,取AD中点为0,可知△A3。为等腰三角形，而A8，BC,AZ)，C。,

所以△BCD为等边三角形，BD=6设。E=/OC(OK/W1)

Q3

=3Z2--Z+-(0</<1)

22

]21

所以当/=一时，上式取最小值一，选A.

416

点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量

都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。

13.A

【解析】根据向量的运算法则，可得

BE^-BA+-BD=-BA+-BC^-BA+~(BA+AC)

222424、'

=-BA+-BA+-AC^-BA+-AC,

24444

所以旗=』48-工4。，故选A.

44

14.B

【解析】因为小(2。一。)=2。2一。/=2|。|2_(-1)=2+1=3,

15.C

【解析】如图所示，连结

由=2MA,CN=2NA可知点M,N分别为线段AB,AC上靠近点A的三等分点,

则BC=3MN=3(0N-0M),

由题意可知：0加2=『=1，OM・ON=lx2xcosl20=—1，

结合数量积的运算法则可得：

BCOM=3(0N-OM)OM=30N0M-30M2=一3-3=-6.

本题选择C选项.

16.C

【解析】因为ZAO8=NCOD>90，0A<0C，0B<0D,

所以O8OC>0>OAO8>OC。。，故选C.

17.B

【解析】建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A(0,Ji),B(-l,0),C(l,0),

设P(x,y),则PA=(-x,百一y),PB=(-1-x,-y),PC=(\-x,-y),

则PA.(PB+PC)=2x2-2百y+2y2=2[x2+(y-^)2-6

二当X=0,)=立时，取得最小值2x(—=)=-],故选：B.

y242

18.A

【解析】若三九<0,使机=/1〃，则两向量机〃反向，夹角是180。，那么

m-n=|m||n|cosl800=-|m||n|<0；若那么两向量的夹角为(90。,180°],并不一

定反向，即不一定存在负数X,使得机=/1〃，所以是充分而不必要条件，故选A.

19.A

【解析】

由卜+加卜1一身平方得&2+24%+/=°2一2&%+62,即石名=。,则

2

20.-

5

【解析】由题意，设。=(1,0),/?=(0,2),c=(〃?,〃)，贝i](a—=〃?-2"=0,即m—1n,

又向量d在方向上的投影分别为x,y,所以d=(x,y),

所以»—£在c方向上的投影z=3：")"m[x-\)+ny_2x-2+y

Cylm2+n2亚

即2x+y-亚z-2,

所以x2+y2+z2=B22+12+(-V5)-(^x2+y2+z2^>-^(2x+y-y/5zy=1,

2

x--

5

xJ工z

12

当且仅当.27-V5即Jy=-时,等号成立，所以F+V+z?的最小值为一.

5

2x+y-y/5z=2

小

z=----

I5

21.3正

【解析】；,一4=5—力/=/+/—2a•8=9+1(一2=25/.|^|=3V2.

10

22..

3

【解析】a=(3,l),b=(l,0),;Z=a+^=(3+Z,l),

tz±c,/.«4c=3(3+A:)+lxl=0(解得上=—与，故答案为：—与.

3

23.

5

【解析】因为。一加=(1,3)—4(3,4)=(1—343—44),所以由(。一劝)可得,

3Q

3(1-32)+4(3-4/1)=0,解得％=：.故答案为：

8

24.-

5

Q

【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2*4—/lx5=0,解方程可得：2=-

28

25.—

29

【解析】Q2^-^|<V2,UUITIT3

「・4—4q,,+1<2,<•~)

424228

=-(1-----------------------)

T29.

'5+3et-e235+3x-

4

26.史或0

5

【解析】三点共线，.•.可设PA=4PQ(/l>0),

VPA=mPB+[^->n^PC,：.m。"尸B+1|-沙C,即尸…小Dy

4A

若mwO且mJ,则民D,C三点共线，“(2一”’)「即2=3,

21+-;-=12

A,A,

：AP=9,，AJD=3,•••/W=4,AC=3,Nfi4C=90°,，BC=5,

设CZ)=x,ZCDA=0,则BD=5-x,ZBDA^n-O.

一口明小研士工田田■阳cAD2+CD2-AC2x,川AD2+BD2-AB1(5T)2-7

・・根据余弦定理可付COS。=--------------==，COS(乃一。)=---c5nc------------

2ADCD62ADBD6(5-x)

Vcos0+cos(^-^)=O,•••★(：/)I。,解得尤=竺，...CO的长度为史.

66(5-X)55

当加=0时，PA=|pc,C,。重合，此时CO的长度为0,

33

当加=一时，PA=：PB,8,0重合，此时24=12，不合题意，舍去.

22

27.5

【解析】由aJ./?可得a-〃=0，又因为a=(1,-1),匕=(/M+1,2m—4),

所以a/=l•(租+1)+(-1>(2加-4)=(),即〃2=5,故答案为：5.

28.G

【解析】因为a,b为单位向量，所以a=8=1

所以卜+0=J(a+Z?)=J"|+2a-/?+|z?|=j2+2a.b=1,解得：2a.0=-l

所以1={(a—b)一2a.1+.故答案为：6

29.也

2

【解析】由题意可得：»=lxlxcos45.由向量垂直的充分必要条件可得：

2

fka—b\a-0,即：kxa-a-b=k--^-=0>解得：左.故答案为：.

kJ222

30.乖).

【解析】如图，过点。作£>f7/CE,交A8于点凡由BE=2E4,。为BC中点，知

BF=FE=EA,AO=OD.

3(212.2、1232

=--AB.AC——AB+AC=W——AB+-AC=A&AC,

2(33J22

得，三=%』即网故必="

22AC

31.8.

【解析】向量Q=(-4,3),〃二(6,m)，〃_L/?，则Q•/?=0,—4x6+3加=0,m=8-

32.一也

10

12x(-8)+2x6V2

W析]cos<ci,b>=]-r-j—r=1.——.=--------

\a\]b\亚百xj(—8>+6210-

2

33.一.

3

【解析】因为C=2Q—，a-b=0所以a•c=2a2—#a•b=2,

_a-c22

|C|2=4|4『-4，^Q.〃+5|〃/=9,所以|C|二3,所以cosva,c>=同时=诙§=§

34.-1.

【解析】建立如图所示的直角坐标系，则5(26,0),D(坐

因为AD〃8C,ZBAD=30°,所以NCB4=150°,

因为AE=3E,所以NB4E=NA8E=30。，

所以直线BE的斜率为g,其方程为y=*(x—26),

直线AE的斜率为-立,其方程为旷=-走X.

3-3

=也,y=-i,所以E(百,一1).

所以8O.AE=（¥，$・（G,-1）=-1.

1

35.7i-arccos-,TI

3

【解析】由题意：耳(—3,0),^(V2,0)

设尸(x,y)，＜2(x,-y),因为E尸•耳尸W1,则』—2+y2P

22

与5+三=1结合^4-2/-2+/<1,又ye｝血,0]=>/e[l,2]

22cos”与至=-3+4/-1,

与土+二=1结合，消去X,可得:

42/+2丁+2L3

所以8£7i-arccosg,TI

36.V2+V3

【解析】设A（xi,yi）,B（X2,y2）,0A=（xi,yi）,OB-（X2,y2）,

由x/+y]2=l,X22+y22=l,XlX2+yiy2=；,可得A,B两点在圆x2+y2=l上，

且Q4・O3=lxlxcosNAOB二;，即有NAOB=60。，即三角形OAB为等边三角形,

友+弘-1|」々+%-1|

AB=1,的几何意义为点A,B两点到直线x+y-1=0的距离di与

d2之和，显然A,B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=l平行,

可设AB：x+y+t=O,(t＞0),由圆心O到直线AB的距离＜1=4，

可得2/一j=1,解得t=立，即有两平行线的距离为［上=也±包

V22b2

即k'一1+民选T的最大值为加+百,故答案为血+目.

37.3

【解析】设A(a,2〃)(a>0),则由圆心。为AB中点得。［弯,〃)，易得

C:(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0f与y=2x联立解得点0的横坐标程=1,所以

0(1,2).所以46=(5-4,—2。),0)=(1-等,2-“,

由A8.CO=0得+(-2〃)(2—a)=0,ci~-2a—3=0,〃=3或口=-]

因为。>0,所以。=3.

38.-1

【解析】a=(1,0),/?=(-1,m),:.ma-b=(m,0)-(-l,ni)=+,

由aJ_(ma-b)得：。•(根。-6)=0,1.a•(ma—b)=m+T=U,BPm=-\.

39.—

2

【解析】由题可得2a+b=(4,2),-.c/Z^a+b),c=(l,/l)

.•.4入一2=0,即入=L,故答案为!

22

40.I、6、P4

【解析】建立平面直角坐标系，如图所示；

则记为的四个点是A(0,3),B(1,0),C(7,I),D(4,4),

线段AB,BC,CD,DA的中点分别为E,F,G,H,

易知EFGH为平行四边形，如图所示；

设四边形重心为M(x,y),则M4+M8+MC+"O=0，

由此求得M(3,2),即为平行四边形EFGH的对角线交于点6，

则符合条件的直线Lp一定经过点£,且过点P,的直线有无数条：

由过点耳和g的直线有且仅有1条，过点鸟和2的直线有且仅有1条，

过点E和丹的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是＜、8、巴.

41.6

【解析】A0-AP=|A0HAP|cos6»S4O||AP|K2x(2+l)=6.所以最大值是6.

42.2A/3

【解析】•••平面向量力与〃的夹角为60°，|。|=2,网=1

:•a・b=2xlxcos600=1-

：.\a+2b\=«a+2b丫=^a2+4a-b+(2bf=44+4+4=2后故答案为2百.

43.

【解析】设圆心坐标为C(—L/〃)，则40,⑼，焦点厂(1,0),AC=(],O)AF=(1,-»?)

m=±6,由于圆。与＞轴得正半轴相切，则取利=6,所求圆得圆心为(-1,6)，半径

为1.

3

44.—

11

--12

【解析】A6-AC=3x2xcos60°=3,AQ=§A8+§AC，则

I2J2/J,127

ADAE^(-AB+-AC)(AAC-AB)^-x3+—x4——x9——x3=—4=丸=」.

33333311

【解析】由题意，设q=(1,0),e2—(0,1),

则Gq—e2=（百，-1）,C]+入e,=（1,九）;

2

又夹角为60。，（百e「e；）•（e；+〉e；）=73-^=2Xy/1+Axcos60°,

46.2

【解析】由题意可得-2x3+3机=0,解得加=2.

47.7

【解析】由题得a+6=（加一1,3），因为（&+/?）•a=0,所以一（加一1）+2x3=0,解得相=7.

48.-3

【解析】由a〃匕可得-lx6=2/l=/l=-3.

49.3

【解析】以OA为x轴，建立直角坐标系，则A（l