-人教版八年级下册勾股定理

勾股定理勾股定理1一、新知探究

相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系．我们也来观察右图中的地面图案，看看能发现些什么？一、新知探究相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友2数学家毕达哥拉斯的发现：①A，B，C的面积有什么关系？②直角三角形三边有什么关系？SA+SB=SC两直角边的平方和等于斜边的平方ABC数学家毕达哥拉斯的发现：①A，B，C的面积有什么关系？②直角3（1）探究：等腰直角三角形三边关系如图，每个小方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A,B,C的面积，能得出什么结论ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1图2（1）探究：等腰直角三角形三边关系ABCABC（图中每个小方4ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1图2方法1：分“割”成若干个直角边为整数的三角形ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1图2方法15ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1图2方法2：把C“补”成边长为6的正方形面积的一半ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1图2方法26ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1图2SA+SB=SCA的面积(单位面积)B的面积(单位面积)C的面积(单位面积)图19918图2448A，B，C面积关系直角三角形三边关系两直角边的平方和等于斜边的平方SA+SB=SCABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1图2S7（2）探究：一般的直角三角形三边关系请问：三个正方形A，B，C面积之间有什么关系？ABCSA+SB=SC即：两直角边的平方和等于斜边的平方（2）探究：一般的直角三角形三边关系ABCSA+SB=SC即8ABCacbSA+SB=SCa2+b2=c2（3）直角三角形三边关系设：直角三角形的两直角边a，b与斜边c，它们之间的关系？ABCacbSA+SB=SCa2+b2=c2（3）直角三角形9赵爽弦图毕达哥拉斯证法总统证法数学家毕达哥拉斯的发现：两直角边的平方和等于斜边的平方（8-x）2=42+x282-16x+x2=42+x2赵爽弦图毕达哥拉斯证法总统证法如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么5或C.如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么S部分面积之和=S整体的面积5、如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，求阴影部分的面积S部分面积之和=S整体的面积=（8-x）2=42+x282-16x+x2=42+x2方法1：分“割”成若干个直角边为整数的三角形①A，B，C的面积有什么关系？（1）若a=b=2,求c②∵FC=AC-AF∴FC=10-6=4（1）∵Rt△ABC，∠ACB=90°∴c2=a2+b2∵c>0∴c=∵DE=EF,且DE+EC=CD=8∴EF+EC=8如图，将长方形的一边AD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm,求EC的长.（图中每个小方格代表一个单位面积）48=16xx=3∴EC=3命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么赵爽弦图毕达哥拉斯证法总统证法命题1：10（3）直角三角形三边关系如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么∵Rt△EFC,∠C=90°∴EF2=FC2+EC2S部分面积之和=S整体的面积=（2）若a=24，c=25，则b=__________________如图，每个小方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A,B,C的面积，能得出什么结论4、在Rt△ABC中，∠C=90°（1）∵Rt△ABC，∠ACB=90°∴c2=a2+b2（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）①A，B，C的面积有什么关系？S部分面积之和=S整体的面积5、如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，求阴影部分的面积设：直角三角形的两直角边a，b与斜边c，它们之间的关系？（1）∵Rt△ABC，∠ACB=90°∴c2=a2+b2（1）若a=b=2,求c如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么赵爽弦图毕达哥拉斯证法总统证法（8-x）2=42+x282-16x+x2=42+x2（1）探究：等腰直角三角形三边关系（3）若a=,b=，则c=________设：直角三角形的两直角边a，b与斜边c，它们之间的关系？赵爽弦图例1：已知：如图为四个全等的直角边为a，b，斜边为c的直角三角形拼接而成的大正方形，中空部分为小正方形，求证：a2+b2=c2abc∵∴思路：等积法，部分面积之和=整体的面积二、典型例题（3）直角三角形三边关系赵爽弦图例1：已知：如图为四个全等的11变式练习1、已知：如图，大正方形的边长为a+b，中间正方形的边长为c周围是四个全等的直角三角形，求证：a2+b2=c2毕达哥拉斯证法证明：S部分面积之和=S整体的面积=

∵S部分面积之和=S整体的面积∴∴∴变式练习毕达哥拉斯证法证明：122、已知：如图，为两个直角边为a，b的全等的直角三角形和一个以c为直角边的等腰直角三角形拼接而成的，求证：a2+b2=c2总统证法证明：S部分面积之和=S整体的面积=

∵S部分面积之和=S整体的面积∴∴∴2、已知：如图，为两个直角边为a，b的全等的直角三角形和一个13几何语言：∵Rt△ABC中，∠C=90°勾股定理：（毕达哥拉斯定理）

如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么∴几何语言：∵Rt△ABC中，∠C=90°勾股定理：（毕达哥拉14（2）若a=24，c=25，则b=__________________S部分面积之和=S整体的面积5B.5或C.（1）若a=b=2,求c两直角边的平方和等于斜边的平方S部分面积之和=S整体的面积1、已知：如图，大正方形的边长为a+b，中间正方形的边长为c周围是四个全等的直角三角形，（1）探究：等腰直角三角形三边关系方法1：分“割”成若干个直角边为整数的三角形（图中每个小方格代表一个单位面积）D.AB=8→S=64→阴影部分的面积=64如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么1、已知：如图，大正方形的边长为a+b，中间正方形的边长为c周围是四个全等的直角三角形，（图中每个小方格代表一个单位面积）（8-x）2=42+x282-16x+x2=42+x2（1）探究：等腰直角三角形三边关系（1）∵Rt△ABC，∠ACB=90°∴c2=a2+b2（3）若a=,b=，则c=________（1）∵Rt△ABC，∠ACB=90°∴c2=a2+b2（图中每个小方格代表一个单位面积）如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么赵爽弦图毕达哥拉斯证法总统证法（1）∵Rt△ABC，∠ACB=90°∴c2=a2+b2S部分面积之和=S整体的面积（2）若a=24，c=25，则b=__________________（3）若a=,b=，则c=________①AF=10,∵Rt△ABF,∠B=90°∴BF2=AF2-AB2（1）探究：等腰直角三角形三边关系5B.（1）若a=b=2,求c（3）若a：b=3:4，c=15，求b②直角三角形三边有什么关系？（2）探究：一般的直角三角形三边关系∴c2=22+22=4+4=8c=（4）若a=6，b=8，求c的长及斜边的高如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么∵Rt△EFC,∠C=90°∴EF2=FC2+EC25、如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，求阴影部分的面积（1）∵Rt△ABC，∠ACB=90°∴c2=a2+b2设：直角三角形的两直角边a，b与斜边c，它们之间的关系？（图中每个小方格代表一个单位面积）①A，B，C的面积有什么关系？例2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a，b，c（1）若a=b=2,求c（2）若a=5，c=13，求b（3）若a：b=3:4，c=15，求b（4）若a=6，b=8，求c的长及斜边的高解：（1）∵Rt△ABC，∠ACB=90°∴c2=a2+b2∴c2=22+22=4+4=8c=∵c>0∴c=（2）b=12（3）b=12（4）c=10，（2）若a=24，c=25，则b=_____________15变式练习3、若一个直角三角形两边长分别是3和4，则第三边长为（）A.5B.5或C.D.4、在Rt△ABC中，∠C=90°（1）若a=1.5，b=2，则c=_______（2）若a=24，c=25，则b=__________________（3）若a=,b=，则c=________5、如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，求阴影部分的面积B7SRt△ABAB=8→S=64→阴影部分的面积=64变式练习3、若一个直角三角形两边长分别是3和4，则第三边长为16例3.如图，将长方形的一边AD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm,求EC的长.81010810解：①AF=10,∵Rt△ABF,∠B=90°∴BF2=AF2-AB2

∴BF2=102-82∴BF=6②∵FC=AC-AF∴FC=10-6=4∵DE=EF,且DE+EC=CD=8∴EF+EC=8③设EC=xcm,EF=(8-x)cm∵Rt△EFC,∠C=90°∴EF2=FC2+EC2（8-x）2=42+x282-16x+x2=42+x264-16x=1664-16=16x48=16xx=3∴EC=3

6方程思想例3.如图，将长方形的一边AD沿AE折叠，使点D落在BC边上17变式练习6、如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD的中点C’处，点B落在B’处,其中AB=9,BC=6，则FC’的长度为()A.7、如图长方形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为_________D