(初中)中考数学总复习第六单元圆第20讲圆的有关概念及性质课件

第20讲圆的有关概念及性质第20讲圆的有关概念及性质考点一考点二考点一圆的有关概念和性质

1.圆的定义:在同一平面内,一条线段OA绕着它的一个端点O旋转一周

,另一个端点A所形成的封闭图形,叫做圆;直径等于半径的2倍.

2.垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧

.

推论:平分弦(不是直径

)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧

.

3.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧

相等,所对的弦

相等,所对的弦的弦心距

相等.

推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角以及这两个圆心角所对的弧、所对的弦、所对的弦的弦心距中,有一组量相等,那么其余的各组量也都相等

.

考点一考点二考点一圆的有关概念和性质

考点一考点二4.圆的对称性圆是轴对称图形,其对称轴是过圆心的直线

,圆是旋转对称图形,其对称中心是圆心

.

5.三角形的外接圆、外心(1)确定圆的条件:①过不在同一直线上

的三点确定一个圆;②已知圆心和半径

;③已知直径

.

(2)三角形的外接圆、外心:三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形

,这个圆的圆心叫做三角形的外心

.

6.圆的内接多边形如果一个多边形的每一个顶点都在同一个圆上,那么这个多边形叫做这个圆的内接多边形

,这个圆叫做这个多边形的外接圆

.

7.圆内接四边形的性质圆的内接四边形的对角互补

,并且一个外角等于它的内对角.

考点一考点二4.圆的对称性考点一考点二考点二圆周角与圆心角

1.圆心角:顶点在圆心

的角叫做圆心角,圆心角的度数等于它所对的弧

的度数.

2.圆周角:顶点在圆上、两边分别和圆相交

的角叫做圆周角,圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.

3.圆周角定理(圆周角和圆心角的关系):在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

.

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等,在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等

;

推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角

;90°的圆周角所对的弧是半圆

,所对的弦是直径

.

考点一考点二考点二圆周角与圆心角

考法1考法2考法3圆心角与圆周角的相关计算问题在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍.利用这个关系来解决的问题常常是:已知圆周角求圆心角或已知圆心角求圆周角,有时也结合勾股定理进行半径或直径的计算.考法1考法2考法3圆心角与圆周角的相关计算问题考法1考法2考法3例1(2018山东聊城)如图,在☉O中,弦BC与半径OA相交于点D,连接AB,OC.若∠A=60°,∠ADC=85°,则∠C的度数是(

)A.25° B.27.5°C.30°

D.35°答案:D

解析:∵∠A=60°,∠ADC=85°,∴∠B=85°-60°=25°,∠CDO=95°,∴∠AOC=2∠B=50°,∴∠C=180°-95°-50°=35°.故选D.

方法点拨直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC的度数,再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案.考法1考法2考法3例1(2018山东聊城)如图,在☉O中,弦考法1考法2考法3垂径定理及其推论的应用利用垂径定理和勾股定理相结合,进行有关弦、弦心距、半径(直径)的计算是中考中关注热度较大的题型.例2(2018河北张家界)如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,OC=5cm,CD=8cm,则AE=(

)A.8cm B.5cmC.3cm D.2cm答案:A

解析:∵弦CD⊥AB于点E,CD=8

cm,∴CE=CD=4

cm.在Rt△OCE中,OC=5

cm,CE=4

cm,∴OE=3

cm,∴AE=AO+OE=5+3=8

cm.故选A.

考法1考法2考法3垂径定理及其推论的应用考法1考法2考法3方法点拨根据垂径定理可得出CE的长度,在Rt△OCE中,利用勾股定理可得出OE的长度,再利用AE=AO+OE即可得出AE的长度.考法1考法2考法3方法点拨根据垂径定理可得出CE的长度,在R考法1考法2考法3例3(2018浙江杭州)如图,☉O的半径OA=6,以A为圆心,OA为半径的弧交☉O于B,C两点,则BC=(

)考法1考法2考法3例3(2018浙江杭州)如图,☉O的半径O考法1考法2考法3答案:A

解析:设OA与BC相交于D点.连接AB,OB.∵AB=OA=OB=6,∴△OAB是等边三角形.又根据垂径定理可得,OA平分BC,方法点拨在应用垂径定理时,往往需要作垂直于弦的直径或半径,利用垂径定理及其推论和勾股定理达到解题的目的.考法1考法2考法3答案:A方法点拨在应用垂径定理时,往往需考法1考法2考法3圆的性质的综合应用圆的有关性质包括半径与直径的关系、圆心角与圆周角的关系,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆的对称性等.题型有有关圆的角度的计算,圆的内接三角形的相关计算,直径(半径)、弦、弦心距的计算问题,往往综合性较大.考法1考法2考法3圆的性质的综合应用考法1考法2考法3例4(2018浙江衢州)如图,AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于点E,连接BC,过点O作OF⊥BC于点F,若BD=8cm,AE=2cm,则OF的长度是(

)考法1考法2考法3例4(2018浙江衢州)如图,AC是☉O的考法1考法2考法3答案:D

解析:连接OB,∵AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于点E,BD=8

cm,AE=2

cm,在Rt△OEB中,OE2+BE2=OB2,即OE2+42=(OE+2)2解得OE=3,∴OB=3+2=5,∴EC=5+3=8,方法点拨根据垂径定理得出OE的长,进而利用勾股定理得出BC的长,再利用相似三角形的判定和性质解答即可.考法1考法2考法3答案:D方法点拨根据垂径定理得出OE的长1.(2018甘肃)如图,☉A过点O(0,0),C(

,0),D(0,1),点B是x轴下方☉A上的一点,连接BO,BD,则∠OBD的度数是

(

B

)A.15° B.30° C.45° D.60°1.(2018甘肃)如图,☉A过点O(0,0),C(解析:连接DC,

∴∠DCO=30°,∴∠OBD=30°.故选B.解析:连接DC,∴∠DCO=30°,2.(2016甘肃兰州)如图,在☉O中,点C是

的中点,∠A=50°,则∠BOC=(

A

)A.40° B.45° C.50° D.60°解析:在△OAB中,OA=OB,所以∠A=∠B=50°.根据题意得OC平分弦AB所对的弧,所以OC垂直平分弦AB,即∠BOC=90°-∠B=40°,故选A.2.(2016甘肃兰州)如图,在☉O中,点C是3.(2016甘肃兰州)如图,四边形ABCD内接于☉O,四边形ABCO是平行四边形,则∠ADC=(

C

)A.45° B.50° C.60° D.75°解析:连接OB,则∠OAB=∠OBA,∠OCB=∠OBC,∵四边形ABCO是平行四边形,则∠OAB=∠OBC,∴∠ABC=∠OAB+∠OBC=∠AOC,∴∠ABC=∠AOC=120°,∠OAB=∠OCB=60°,连接OD,则∠OAD=∠ODA,∠OCD=∠ODC,由四边形的内角和等于360°可知,∠ADC=360°-∠OAB-∠ABC-∠OCB-∠OAD-∠OCD,∴∠ADC=60°.3.(2016甘肃兰州)如图,四边形ABCD内接于☉O,四边4.(2017甘肃武威)如图,△ABC内接于☉O,若∠OAB=32°,则∠C=58

°