全国2011年中考数学试题分类解析汇编-专题30等腰三角形

全国2011年中考数学试题分类解析汇编(181套）专题30：等腰三角形一、选择题1.（浙江舟山、嘉兴3分）如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（A） （B） （C） （D）【答案】B。【考点】等边三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理或正弦函数。【分析】根据边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，得出DE=2，BD=2，∠B=600。从而DF=（可用勾股定理或正弦函数求得）。再利用梯形的面积公式求出：。故选B。2.（浙江衢州3分）衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡AF、AG分别架在墙体的点B、点C处，且AB=AC，侧面四边形BDEC为矩形．若测得∠FAG=110°，则∠FBD= A、35° B、40°C、55° D、70°【答案】C。【考点】等腰三角形的性质，矩形的性质，平角的定义。【分析】根据已知∠FAG=110°，在等腰△ABC中根据等边对等角求出角∠ABC=∠ACB=35°，再根据矩形的性质可知矩形的每个内角都为90°，这样得出∠DBC=90°，最后观察图形可知∠ABC、∠DBC和∠FBD构成一个平角，再根据平角的定义即可求出∠FBD=180°﹣∠ABC﹣∠DBC=180°﹣35°﹣90°=55°。故选C。3.（辽宁沈阳4分）如图，矩形ABCD中，AB＜BC，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰三角形有A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【答案】B。【考点】矩形的性质，等腰三角形的判定。【分析】根据矩形的性质得出OA=OB=OC=OD，从而得出图中等腰三角形中的个数：∵矩形ABCD中，AB＜BC，对角线AC、BD相交于点O，∴OA=OB=OC=OD，∴图中的等腰三角形有△AOB、△AOD、△COD、△BOC四个。故选B。4.（广西来宾3分）如图，在△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC=2，O为BC的中点，以O为圆心的圆弧分别与AB、AC相切于点D、E，则图中阴影部分的面积 A、 B、QUOTEπ4 C、 D、【答案】A。【考点】等腰直角三角形的性质，切线的性质，扇形面积的计算。【分析】连接OD，OE，根据切线的性质得到OD⊥AB，OE⊥AC，则四边形OEAD为正方形，而AB=AC=2，O为BC的中点，则OD=OE=1，再根据正方形的面积公式和扇形的面积公式，利用S阴影部分=S正方形OEAD﹣S扇形OED，进行计算即可：S阴影部分=S正方形OEAD﹣S扇形OED=。故选A。5.（广西河池3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36º，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E．下列结论错误的是A．BD平分∠ABCB．△BCD的周长等于AB＋BCC．AD＝BD＝BCD．点D是线段AC的中点【答案】D。【考点】等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角定理。【分析】根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理可作出判断：A．∵AB＝AC，∠A＝36º，∴根据等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，得∠ABC＝72º，又∵DE是AB的垂直平分线，∴根据线段垂直平分线的性质，得∠ABD＝∠A＝36º，∴∠DBC＝36º，∴∠ABD＝∠DBC，∴BD平分∠ABC。结论正确。B．∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴△BCD的周长AD＋DC＋BC＝AB＋BC。结论正确。C．∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，又∵∠BDC＝∠ABD＋∠A＝72º＝∠C，∴BD＝BC，∴AD＝BD＝BC。结论正确。D．∵在△BCD中，∠C＝72º，∠CBD＝36º，∴∠C＞∠CBD，∴BD＞CD，∴AD＞CD，∴点D不是线段AC的中点。结论错误。故选D。6.（山东济宁3分）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长是A.15cmB.16cmC.17cmD.16cm或17cm【答案】D。【考点】等腰三角形的定义。【分析】根据等腰三角形的定义，5cm为底，周长是17cm；6cm为底，周长是16cm。故选D。7.（山东泰安3分）如图，l∥m，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上，若∠β=20°，则∠α的度数为 A、25° B、30°C、20° D、35°【答案】A。【考点】邻补角的定义，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的外角性质，对顶角的性质。【分析】如图，根据平角的定义求出∠ACR＝180°－∠ABC－∠β＝70°；根据平行线内错角相等的性质得出∠FDC＝∠ACR=70°；根据等腰直角三角形的性质得到∠A＝45°；根据三角形的外角等于和它不相邻的两内角之和的性质求出∠AFD＝∠FDC－∠A＝70°－45°＝25°；根据对顶角相等的性质得到∠α＝∠AFD＝25°。故选A。8.（江西省B卷3分）如图,将矩形ABCD对折，得折痕PQ，再沿MN翻折，使点C恰好落在折痕PQ上的点C′处，点D落在D′处，其中M是BC的中点.连接AC′，BC′，则图中共有等腰三角形的个数是A.1B.2C.3D.4【答案】C。【考点】翻折变换（折叠问题），平行的判定和性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定。【分析】根据翻折，平行及轴对称的知识找到所有等腰三角形的个数即可：∵C′在折痕PQ上，∴AC′=BC′，∴△AC′B是等腰三角形；∵M是BC的中点，∴BM=MC，∴△BMC是等腰三角形；由翻折可得∠CMF=∠C′MF，∵PQ∥BC，∴∠PFM=∠CMF，∴∠C′MF=∠PFM，∴C′M=C′F，∴△C′MF是等腰三角形。共有3个等腰三角形，故选C。9.（山西省2分）如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形．若DE=2cm，则AC的长为A．cm B．4cmC．cmD．cm【答案】D。【考点】等腰三角形的性质，三角形中位线定理，正方形的性质，勾股定理。【分析】根据三角形的中位线定理可得出BC=4，由AB=AC，可证明BG=CF=1，由勾股定理可求出CE=，即可得出AC=2。故选D。10.（内蒙古呼和浩特3分）如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是A、9cm B、12cmC、15cm或12cm D、15cm【答案】D。【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。【分析】求等腰三角形的周长，即要确定等腰三角形的腰与底的长，根据三角形三边关系知当6为腰，3为底时，6﹣3＜6＜6+3，能构成等腰三角形，周长为6+6+3=15；当3为腰，6为底时，3+3=6，不能构成三角形。故选D。11.（四川巴中3分）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是A．30°B．60°C．150°D．30°或150°【答案】D。【考点】三角形内角和定理和外角定理，平角的定义。【分析】如图，当点D在AB上，由CD与AC的夹角为60°，根据三角形内角和定理，得∠A=30°；如图，当点D在BA延长线上，由CD与AC的夹角为60°，根据三角形内角和定理，得∠CAD=30°，由平角的定义，得∠BAC=150°。故选D。12.（四川内江3分）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=，则△ABC的面积为A、B、15C、D、【答案】C。【考点】等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】∵△ABC是等边三角形，∠ADE=60°，∴∠B=∠C=∠ADE=60°，AB=BC。∵∠ADB=∠DAC+∠C，∠DEC=∠ADE+∠DAC，∴∠ADB=∠DEC。∴△ABD∽△DCE。∴。∵BD=4，CE=，设AB=x，则DC=x－4，∴，解得x=6。∴AB=6。过点A作AF⊥BC于F，在Rt△ABF中，AF=AB•sin60°=6×=3，∴S△ABC=BC•AF=×6×3=9。故选C。13.（四川凉山4分）如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于A．B．C．D．【答案】C。【考点】等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】可用面积相等求出DE的长，知道三边的长，可求出BC边上的高，连接AD，△ABC的面积是△ABD面积的2倍：连接AD，∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD=CD=×10=5。∴。∵△ABC的面积是△ABD面积的2倍，∴2•AB•DE=•BC•AD。∴。故选C。14.（青海西宁3分）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB＋∠EDC＝120°，BD＝3，CE＝2，则△ABC的边长为A．9 B．12 C．16 D．18【答案】A。【考点】等边三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质。【分析】∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°（等边三角形每个内角等于60°）。∵∠ADB＋∠EDC＝120°，∴∠ADB＝120°－∠EDC。∴∠BAD＝180°－∠B－∠ADB（三角形内角和定理）＝180°－60°－（120°－∠EDC）（等量代换）＝∠EDC∴△ABD∽△DCE（相似三角形的判定）。∴（相似三角形的性质）。设△ABC的边长为x，则BD＝3，CE＝2，AB＝x，DC＝x－3。∴，解得x＝9。故选A。15.（新疆乌鲁木齐4分）如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若∠APD=60°，则CD的长为A． B． C． D．1【答案】B。【考点】等边三角形的性质，三角形内角和定理，平角定义，相似三角形的判定和性质。【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似，即可证得ABP∽△PCD，然后根据相似三角形的对应边的比相等即可求得CD的长∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°（等边三角形每个内角等于60°）。∵∠APD=60°，∴∠BAP＝180°－∠B－∠APB（三角形内角和定理）＝180°－∠B－（180°―∠APD―∠CPD）（平角定义）＝180°－60°－（180°―60°―∠CPD）（等量代换）＝∠CPD∴△ABP∽△PCD（相似三角形的判定）。∴（相似三角形的性质）。∵等边三角形ABC的边长为3，即AB=3，BP=1，∴PC=2。∴，即CD＝。故选B。16.（安徽芜湖4分）如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为A．B．4C．D．【答案】B。【考点】等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】根据等腰直角三角形的性质可得BD=AB，从而根据全等三角形AAS的判定，可有△BDF≌△ADC，因此DF=DC=4。故选B。17.（贵州铜仁4分）下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是Ａ、等腰三角形两底角相等；B、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合；C、等腰三角形是中心对称图形；D、等腰三角形是轴对称图形．【答案】C。【考点】等腰三角形的性质，轴对称图形，中心对称图形。【分析】根据等腰三角形的性质作出判断：：A、等腰三角形两底角相等，故本选项正确；B、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合，故本选项正确；C、等腰三角形不是中心对称图形，故本选项错误；D、等腰三角形是轴对称图形，故本选项正确。故选C。18.（贵州黔南4分）如图，△ABC中，AB=AC=6，BC=8，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是A、B、10 C、 D、12

【答案】B。【考点】三角形中位线定理，等腰三角形的性质。【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，先求出BE，再利用中位线定理求出DE即可：∵在△ABC中，AB=AC=6，AE平分∠BAC，∴BE=CE=BC=4。又∵D是AB中点，∴BD=AB=3，DE是△ABC的中位线。∴DE=AC=3。∴△BDE的周长为BD+DE+BE=3+3+4=10，故选B。19.（福建莆田4分）等腰三角形的两条边长分别为3，6，那么它的周长为 A．15 B．12 C．12或15 D．不能确定【答案】A。【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系，可求出第三条边长，即可求得周长：∵当腰长为3时，3+3=6，显然不成立，∴腰长为6。∴周长为6+6+3=15。故选A。CBA20.（福建宁德4分）将量角器按如图所示的方式放置在三角形CBAC在半圆圆心上，点B在半圆上，则∠A的度数约为.A．10°B．20°C．25°D．35°【答案】C。【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理。【分析】如图，设AB交半圆于点D，由量角器的读数，得∠ACB=1600－500=1100，∠DCB=1600－700=900。∵CB=CD，∴∠DBC=450。∴∠A=1800－∠ACB－∠DBC=25°。故选C。21.（福建南平4分）边长为4的正三角形的高A．2 B．4 C．eq\r(,3) D．2eq\r(,3)【答案】D。【考点】等边三角形的性质，勾股定理。【分析】根据等边三角形三线合一的性质，即可得D为BC的中点，即可求BD的值，已知AB、BD根据勾股定理即可求AD的值：∵等边三角形三线合一，∴D为BC的中点。∴BD=BC=2。在Rt△ABD中，AB=4，BD=2，则AD=A。故选D。二、填空题1.（浙江舟山、嘉兴4分）如图，在△ABC中，AB=AC，，则△ABC的外角∠BCD＝▲度．【答案】110。【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质。【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B=∠ACB，根据三角形的内角和定理求出∠B=∠ACB=（180°﹣∠A）=70°，再根据三角形的外角性质即可求出答案：∠BCD=∠A+∠B=40°+70°=110°。2.（浙江杭州4分）在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，过点C作直线∥AB，F是上的一点，且AB=AF，则点F到直线BC的距离为▲【答案】。【考点】等腰直角三角形的性质，勾股定理，。【分析】（1）如图，延长AC，做FD⊥BC交点为D，FE⊥AC，交点为E，易得，四边形CDFE是正方形，即，CD=DF=FE=EC。∵在等腰直角△ABC中，AC=BC=1，AB=AF，∴AB=。∴AF=。∴在Rt△AEF中，（1＋EC）2＋EF2=AF2，即(1＋DF)2＋DF2=()2。解得，DF=。（2）如图，延长BC，做FD⊥BC，交点为D，延长CA，做FE⊥CA于点E，易得，四边形CDFE是正方形，即，CD=DF=FE=EC。同上可得，在Rt△AEF中，（EC－1）2＋EF2=AF2，即(FD－1)2＋FD2=(2)2。解得，FD=。综上所述，FD=。3.（浙江衢州4分）在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距▲m．【答案】200。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），三角形内角和定理，等腰三角形的判定。【分析】由已知可推出∠ABC=90°+30°=120°，∠BAC=90°﹣60°=30°，再由三角形内角和定理得∠ACB=30°，从而根据等腰三角形等角对等边的判定求出B、C两地的距离BC=AB=200。4.（浙江宁波）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm，DE=2cm，则BC=▲cm．【答案】8。【考点】等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形性质。【分析】延长ED交BC于M，延长AD交BC与N，作DF∥BC，交BE于F。∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM为等边三角形。∴△EFD为等边三角形。∵BE=6cm，DE=2cm，∴DM=4。∵∠NDM=30°，∴NM=2。∴BN=4。∴BC=8。5.（黑龙江牡丹江3分）腰长为5，一条高为4的等腰三角形的底边长为▲．【答案】6或或。【考点】等腰三角形的性质，勾股定理。【分析】根据不同边上的高为分3类讨论即可得到本题的答案：①如图1，当AB=AC=5，AD=4，则BD=CD=3，∴底边长为6；②如图2，当AB=AC=5，CD=4时，则AD=3，∴BD=2，∴BC=，∴此时底边长为；③如图3：当AB=AC=5，CD=4时，则AD=3，∴BD=8，∴BC=∴此时底边长为。6.（湖南张家界3分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，∠BAD=20°，则∠C=▲.【答案】70°。【考点】等腰三角形的性质。【分析】由已知条件，利用等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线三线合一的性质求解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形。∵D是BC边上的中点，∴AD是BC边上的高且平分∠BAC。∵∠BAD=20°．∴∠C=90°－20°=70°。7.（湖南怀化3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD=▲【答案】4。【考点】等腰三角形的性质，勾股定理。【分析】根据等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线三线合一的性质求出BD=DC=BC=3，AD⊥BC，再利用勾股定理求出AD=。8.（湖南邵阳3分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A＝▲．【答案】800。【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理。【分析】利用等腰三角形底角相等的性质，以及三角形内角和定理∠A=1800－2×500=800。9.（江苏盐城3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝5，则AB的长为▲．【答案】10。【考点】等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质。【分析】∵AB＝AC，AD⊥BC∴D是BC的中点。又∵E是AC的中点．∴DE是Rt△ABC斜边上的中线，∴AB＝AC＝2DE＝10。10.（山东烟台4分）等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为▲.【答案】4或6【考点】等腰三角形的性质，解一元一次方程。【分析】分两种情况讨论：（1）当4为底边时，腰长为（14－4）÷2＝5，5+4＞5，5－4＜5，满足三边关系定理；（2）当4为腰长时，底边为14－4×2＝6，且4+4＞6，6－4＜4，满足三边关系定理。∴该等腰三角形的底边为4或611.（山东潍坊3分）如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，底边BC的长为2，DE是它的中位线，则下面三个结论：（1）DE=1；（2）△ADE∽△ABC；（3）△ADE的面积与△ABC的面积之比为1︰4.其中正确的有．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D。【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半的性质和相似三角形的判定与性质逐个分析，即可得出正确答案：（1）∵△ABC中，BC=2，DE是它的中位线，∴DE=1，故此选项正确。（2）∵△ABC中，DE是它的中位线，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故本选项正确；（3）∵△ADE∽△ABC，相似比为1：2，∴△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：4．故本选项正确。故选D。12.（山东枣庄3分）如图，点A的坐标是（2，2），若点P在轴上，且△APC是等腰三角形，则点P的坐标不可能是A．（2，0）B．（4，0）C．（－，0）D．（3，0）【答案】D。【考点】等腰三角形的判定，勾股定理。【分析】如图知，当AO为等腰三角形底边时，P1（2，0）满足条件；当AO为等腰三角形腰时，P2（4，0），P3（－，0）满足条件。故选D。13.（山东滨州4分）边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为▲．【答案】。【考点】等边三角形的性质，勾股定理。【分析】根据等边三角形三角都是60°的性质，利用三角函数可求得其高：如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°。∵AB＝6cm，BD=3cm，∴根据勾股定理，得AD＝。14.（山东济宁3分）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则▲。【答案】。【考点】全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角三角函数。【分析】过点C作CH⊥AB。由已知可得△AEC≌△CDB，∴∠CAE=∠BCD。由AG⊥CD，CH⊥AB可得∠GAD=∠HCD。又∵△ABC是等边三角形，CH⊥AB，∴∠CAB=∠ACB=600，∠BCH=300。∴∠CAE+∠GAD=∠BCD+∠HCD=∠BCH=300。∴∠FAG=∠CAB－（∠CAE+∠GAD）=600－300=300。∴在Rt△FAH中，。15.（山东莱芜4分）如图，已知在△ABC中，AB＝BC，∠B＝1200，AB的垂直平分线交AC于点D。若AC＝6cm，则AD＝▲cm。【答案】2。【考点】等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值。【分析】过点B作BE⊥AC，垂足为点E，AB的垂直平分线交AB于点F。∵在△ABC中，AB＝BC，∠B＝1200，AC＝6cm，∴∠A＝300，AE＝3cm。∴AB＝。又∵DF是AB的垂直平分线，∴AF＝。∴AD＝。16.（山东枣庄4分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=14cm，则阴影部分的面积是▲cm2.【答案】。【考点】特殊角三角函数，相似三角形的判定和性质。【分析】利用特殊角三角函数的定义，直接得出结果：，由相似三角形的判定和性质得CF=AC=7，所以阴影部分的面积是。17.（广东茂名3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=▲度．【答案】15。【考点】等边三角形的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质。【分析】根据等边三角形三个角相等的性质，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等的性质即可得出∠E的度数：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°。又∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°。又∵DF=DE，∴∠E=15°。18.（河南省3分）如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，则∠BDC的度数为▲．【答案】72°。【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理。【分析】∵AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，∴∠B=（180°－36°）÷2=72°，∠DCB=36°。∴∠BDC=72°。19.（江西省B卷3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E,F,P分别是AB,AC,BC边上一点，且BE=BP，CP=CF，则∠EPF=▲度.【答案】50。【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，平角定义。【分析】在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，利用三角形内角和定理和等腰三角形等边对等角的性质求出∠B=∠C=50°，同理，由BE=BP，CP=CF，求出∠BEP=∠BPE=65°，∠CPF=∠CFP=65°。根据平角定义，可求得∠EPF=180°﹣65°﹣65°=50°。ADBCEO20.（ADBCEO【答案】①②。【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定。【分析】∵△ABD、△AEC都是等边三角形，∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°。∴∠DAC=∠BAC+60°，∠BAE=∠BAC+60°。∴∠DAC=∠BAE。∴△DAC≌△BAE（SAS）。∴BE=DC。【①正确】∴∠ADC=∠ABE。∵∠BOD+∠BDO+∠DBO=180°，∴∠BOD=180°﹣∠BDO﹣∠DBO=60°。【②正确】∵由△DAC≌△BAE和AB≠AC，得∠ADC≠∠AEB，∴∠ODB≠∠OEC。又∵∠ODB＜60°，∠OCE＞60°，∴∠ODB≠∠OCE。而∠DOB=∠EOC，∴△BOD和△COE不相似。【③错误】21.（四川达州3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，点D为AB的中点，已知扇形EAD和扇形FBD的圆心分别为点A、点B，且AC=2，则图中阴影部分的面积为▲（结果不取近似值）．【答案】。【考点】扇形面积的计算，等腰直角三角形的性质，勾股定理。【分析】用三角形ABC的面积减去扇形EAD和扇形FBD的面积，即可得出阴影部分的面积：∵BC=AC，∠C=90°，AC=2，∴AB=2。∵点D为AB的中点，∴AD=BD=。∴S阴影=S△ABC﹣S扇形EAD－S扇形FBD。22.(四川德阳3分)在等腰三角形ABC中，AB=AC，腰AB的高CD与腰AC的夹角为30°，且CD=，则底边BC的长为▲．【答案】4或。【考点】三角形内角和定理和外角定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。【分析】如图，当点D在AB上，由CD与AC的夹角为30°，根据三角形内角和定理，得∠A=60°；因为AB=AC，根据等边三角形的判定和性质，得∠B=60°；因此根据锐角三角函数的定义，得BC=CD÷sin60°=4。如图，当点D在BA延长线上，由CD与AC的夹角为30°，根据三角形内角和定理，得∠CAD=60°；因为AB=AC，根据三角形外角定理和等腰三角形等边对等角的性质，得∠B=30°；因此根据锐角三角函数的定义，得BC=CD÷sin30°=。23.（云南曲靖3分）如图，等边三角形ABC的边长是6cm，BD是中线，延长BC至E,使CE=CD，连接DE，则DE的长是▲cm【答案】。【考点】等边三角形的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形。【分析】根据等边三角形每个内角都等于600的性质，得∠CED＝120°，又因为CE＝CD，所以∠E＝30°。作辅助线，过点C作CF⊥DE于点F，则由BD是中线和等边三角形ABC的边长是6，有CE＝CD＝3。从而在Rt△CEF中，EF＝CEcos∠E＝3cos300＝。因此DE＝2EF＝。24.（福建泉州4分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，则∠A=▲来【答案】100°。【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理。【分析】由AB=AC，根据等腰三角形等边对等角的性质得到∠B=∠C=40°，再由三角形的内角和定理即可求出∠A=180°－40°－40°=100°。三、解答题1.（辽宁沈阳10分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°．⑴求∠DAC的度数；⑵求证：DC=AB【答案】解：⑴∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°。∵∠C＋∠BAC＋∠B=180°，∴∠BAC=180°－30°－30°=120°。∵∠DAB=45°，∴∠DAC=∠BAC－∠DAB=120°－45°=75°。⑵证明：∵∠DAB=45°，∴∠ADC=∠B＋∠DAB=75°。∴∠DAC=∠ADC。∴DC=AC。又∵AB=AC，∴DC=AB。【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角定理。【分析】（1）由AB=AC，根据等腰三角形的两底角相等得到∠B=∠C=30°，再根据三角形的内角和定理可计算出∠BAC=120°，而∠DAB=45°，则∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°。（2）根据三角形外角性质和得到∠ADC=∠B+∠DAB=75°，而由（1）得到∠DAC=75°，再根据等腰三角形的判定可得DC=AC，这样即可得到结论。2.（湖南株洲6分）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=360，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长．【答案】解：（1）∵DE垂直平分AC，∴CE=AE∴∠ECD=∠A=360。（2）∵AB=AC，∠A=360，∴∠B=∠ACB=720。∵∠ECD=360，∴∠BCD=∠ACB－∠ECD=720－360=360。∴∠BEC=720=∠B。∴BC=EC=5。【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角定理。【分析】（1）ED是AC的垂直平分线，可得AE=EC；∠ECD=∠C；已知∠A=360，即可求得。（2）△ABC中，AB=AC，∠A=36°，可得∠B=72°又∠BEC=∠A+∠ECA=72°，所以，得BC=EC=5。2.（江苏扬州10分）已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．【答案】解：（1）证明：∵BD、CE是△ABC的高，∴∠BEC＝∠CDB＝900。∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB。又∵BC＝BC，∴△BEC≌△CDB（AAS）。∴∠ABC＝∠ACB。∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形。（2）点O在∠BAC的角平分线上。理由如下：∵△BEC≌△CDB，∴BD＝CE。又∵OB＝OC，∴OD＝OE。又∵OD⊥AC，OE⊥AB，点O在∠BAC的角平分线上。【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，角平分线的判定。【分析】（1）要证△ABC是等腰三角形，只要∠ABC＝∠ACB，只要△BEC≌△CDB。由已知，用AAS即可证明。（2）要证点O在∠BAC的角平分线上．只要证点O到两边的距离相等OD＝OE。而由（1）的证明有△BEC