§1-向量的长度、内积及其正交性_第1页
§1-向量的长度、内积及其正交性_第2页
§1-向量的长度、内积及其正交性_第3页
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第一节向量的长度、内积及正交性内积的定义及性质向量的长度及性质正交向量组的概念及求法正交矩阵与正交变换定义1一、内积的定义及性质设有n维向量令称[x，y]为向量x与y的内积.说明

1.维向量的内积是3维向量数量积的推广.2.内积是向量的一种运算，如果x，y都是列向量，内积可用矩阵记号表示为内积的运算性质且当时，有定义2

令向量的长度具有下述性质：二、向量的长度及性质当时，当时，3.三角不等式2.齐次性1.非负性单位向量及n维向量间的夹角(1)当时，称x为单位向量(2)当x，y都是非零向量时，称为n维向量x与y的夹角.称为n维向量x的长度（或范数）.１正交的概念２正交向量组的概念假设一非零向量组中的向量两两正交，三、正交向量组的概念及求法当[x，y]=0时，称向量x与y正交.由定义知，零向量与任何向量正交.量组为正交向量组．那么称该向证明３正交向量组的性质定理1若n维向量是一组两两正交的非零向量组，则线性无关.设有使两端左乘得由有同理有故线性无关.４向量空间的正交基若是向量空间V的一个基，且是两两正交的非零向量组，空间V的正交基.则称是向量５标准正交基定义3设n维向量组是向量空间V的一个基，如果两两正交且都是单位向量，则称是V的一个规范正交基.由于所以为的一个规范正交基.例如同理可知也为的一个规范正交基.（1）正交化，取，６求标准正交基的方法若为向量空间V的一个基.设是向量空间V的一个基，要求V的一个标准正交基，就是找一组两两正交的单位向量使与等价，这样一个问题，称为把规范正交化.〔2〕单位化，那么两两正交，且与等价.是V的一个规范正交基.则取例1解设试用施密特正交化过程把这组向量标准正交化.取上述由线性无关向量组构成出正交向量组的过程，称为施密特正交化过程.再把它们单位化，取则为两两正交的单位向量组.例2解根底解系为即已知应满足使两两正交.求一组非零向量把根底解系正交化，其中于是有取证明定义4定理2四、正交矩阵与正交变换A为正交矩阵的充要条件是A的列(行)向量都是单位向量且两两正交．若n阶方阵满足即那么称A为正交矩阵.性质

正交变换保持向量的长度不变．证明例3判别以下矩阵是否为正交阵．若P为正交阵，则线性变换称为那么有设为正交变换.正交变换．定义5解所以它不是正交矩阵．考察矩阵的第一列和第二列，由于所以它是正交矩阵．由于1．将一组基标准正交化的方法：先用施密特正交化方法将基

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