新人教九下数第28章《锐角三角函数》知识点与典型例题

新人教版初三数学第28章《锐角三角函数》辅导资料：知识点一：锐角三角函数的定义：锐角三角函数定义：在Rt△ABC中，∠C=900,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，那么∠A的正弦可表示为：sinA=，∠A的余弦可表示为cosA=∠A的正切：tanA=，它们弦称为∠A的锐角三角函数【特别提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与有关，与直角三角形的无关2、取值范围<sinA<cosA<tanA>】例1．如下图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．第1题图①＝______， ＝______；②＝______， ＝______；③＝______， ＝______．例2.锐角三角函数求值：在Rt△ABC中，∠C＝90°，假设a＝9，b＝12，那么c＝______，sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．例3．：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R点，TN＝4，MN＝3．求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．典型例题：类型一：直角三角形求值1．Rt△ABC中，求AC、AB和cosB．2．：如图，⊙O的半径OA＝16cm，OC⊥AB于C点，求：AB及OC的长．3．：⊙O中，OC⊥AB于C点，AB＝16cm，(1)求⊙O的半径OA的长及弦心距OC；(2)求cos∠AOC及tan∠AOC．是锐角，，求，的值对应训练：3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，假设BC＝1，AB=，那么tanA的值为A．B．C．D．25．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么tanA的值等于〔〕.A．B.C.D.类型二.利用角度转化求值：1．：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点．DE∶AE＝1∶2．求：sinB、cosB、tanB．2．如图，直径为10的⊙A经过点和点，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，那么cos∠OBC的值为〔〕A．B．C．D．3.如图，角的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P〔3，4〕，那么．4.如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，，那么这个菱形的面积=cm2．5.如图，是的外接圆，是的直径，假设的半径为，，那么的值是〔〕A．B．C．D．6.如图4，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点处．，，AB=8,那么的值为()Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．7.如图6，在等腰直角三角形中，，，为上一点，假设，那么的长为()A．B．C．D．8.如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD=求∠B的度数及边BC、AB的长.图6类型三.化斜三角形为直角三角形例1〔2012•安徽〕如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，求AB的长．例2．：如图，△ABC中，AC＝12cm，AB＝16cm，(1)求AB边上的高CD；(2)求△ABC的面积S；(3)求tanB．例3．：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．求：sin∠ABC的值．对应训练1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．假设AB=2，求△ABC的周长．〔结果保存根号〕2．：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sinB．3.ABC中，∠A=60°，AB=6cm，AC=4cm，那么△ABC的面积是A.2cm2 B.4cm2C.6cm2 D.12cm2类型四：利用网格构造直角三角形例1〔2012•内江〕如下图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，那么sinA的值为〔〕A．B．C．D．对应练习：1．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么sinA=_______.2．如图，A、B、C三点在正方形网络线的交点处，假设将绕着点A逆时针旋转得到，那么的值为A.B.C. D.3．正方形网格中，如图放置，那么tan的值是〔〕A．EQ\F(EQ\R(,5),5) B.EQ\F(2EQ\R(,5),5)C.EQ\F(1,2)D.2特殊角的三角函数值锐角30°45°60°sincostan 当时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而例1．求以下各式的值．1〕.计算：．2〕计算：.计算：3－1+(2π－1)0－tan30°－tan45°4．计算：．5．计算：；例2．求适合以下条件的锐角．(1) 2)(3) (4)〔5〕为锐角，且，求的值〔〕在中，假设，都是锐角，求的度数例3.三角函数的增减性1．∠A为锐角，且sinA<，那么∠A的取值范围是A.0°<A<30°B.30°<A＜60°C.60°<A<90°D.30°<A<90°A为锐角，且，那么〔〕A.0°<A<60°B.30°<A<60°C.60°<A<90°D.30°<A<90°例4.三角函数在几何中的应用1．：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，求此菱形的周长．2．：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，，作∠DAC＝30°，AD交CB于D点，求：(1)∠BAD；(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．CAD、cos∠CAD、tan∠CAD．4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，点D在BC边上，DC=AC=6，求tan∠BAD的值．5.〔本小题5分〕如图，△ABC中，∠A=30°，，．求AB的长.解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如下图)：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________．③边与角之间的关系：______；_______；_____；______．④直角三角形中成比例的线段(如下图)．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．CD2＝_________；AC2＝_________；BC2＝_________；AC·BC＝_________．类型一例1．在Rt△ABC中，∠C＝90°．(1)：a＝35，，求∠A、∠B，b；(2)：，，求∠A、∠B，c；(3)：，，求a、b；(4)：求a、c；(5)：∠A＝60°，△ABC的面积求a、b、c及∠B．例2．：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．求AB及BC的长．例3．：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的长．例4．：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．求AB及BC的长．类型二：解直角三角形的实际应用仰角与俯角：例1．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，那么AB两点的距离是〔〕A．200米B．200米C．220米D．100〔〕米例2．：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．点D到地面的垂直距离，求点B到地面的垂直距离BC．例3〔昌平〕19.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD=30m．从水平面上一点C测得风力发电装置的顶端A的仰角∠DCA=60°，测得山顶B的仰角∠DCB=30°，求风力发电装置的高AB的长．例4.如图，小聪用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高，小聪和树都与地面垂直，且相距米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度.例5．：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)．例5．〔2012•泰安〕如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，那么物体AB的高度为〔〕A．10米B．10米C．20米D．米例6．〔2012•益阳〕超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离〔AC〕为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．〔1〕求B、C两点的距离；〔2〕请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？〔计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒〕类型四.坡度与坡角例．〔2012•广安〕如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤坝高BC=50m，那么应水坡面AB的长度是〔〕A．100mB．100mC．150mD．50m类型五.方位角1．：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，)2．〔2012•恩施州〕新闻链接，据[侨报网讯]外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退2012年5月18日，某国3艘炮艇追袭5条中国渔船．刚刚完成黄岩岛护渔任务的“中国渔政310”船人船未歇立即追往北纬11度22分、东经110度45分附近海域护渔，保护100多名中国渔民免受财产损失和人身伤害．某国炮艇发现中国目前最先进的渔政船正在疾速驰救中国渔船，立即掉头离去．〔见图1〕解决问题如图2，“中国渔政310”船〔A〕接到陆地指挥中心〔B〕命令时，渔船〔C〕位于陆地指挥中心正南方向，位于“中国渔政310”船西南方向，“中国渔政310”船位于陆地指挥中心南偏东60°方向，AB=海里，“中国渔政310”船最大航速20海里/时．根据以上信息，请你求出“中国渔政310”船赶往出事地点需要多少时间．综合题：三角函数与四边形：1．如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，tan∠BDC=eq\f(\r(,6),3)．(1)求BD的长；(2)求AD的长．2．如图，在平行四边形中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．〔1〕求证：∠BAE=∠DAF；〔2〕假设AE=4，AF=，，求CF的长．三角函数与圆：1．如图，直径为10的⊙A经过点和点，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，那么cos∠OBC的值为〔〕A．B．C．D．2.：在⊙O中,AB是直径，CB是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点D,求证：∠AOD=2∠C假设AD=8，tanC=，求⊙O的半径。3.如图，DE是⊙O的直径，CE与⊙O相切，E为切点.连接CD交⊙O于点B，在EC上取一个点F，使EF=BF.〔1〕求证:BF是⊙O的切线;〔2〕假设,DE=9，求BF的长．作业：1．，那么锐角A的度数是A．B． C．D．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，假设BC＝1，AB=，那么tanA的值为A．B．C．D．23．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么tanA的值等于〔〕.A．B.C.D.4.假设，那么锐角＝.5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC=2，那么tanB的值是A． B． C． D．6．将∠α放置在正方形网格纸中，位置如下图，那么tanα的值是A．B．2C．D．7.△ABC在正方形网格纸中的位置如下图，那么的值是A. B. C. D.8．如图，在直角三角形中，斜边的长为，，那么直角边的长是〔〕A． B． C． D．9．如图，P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且OM:OP=4:5，那么cosα的值等于〔〕A．B．C．D．10．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，假设OB长为10，，那么AB的长是A.20B.16C.12D.811.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosA=，那么tanA的值是A．B．C．D．12．如图，在△ABC中，∠ACB=∠ADC=90°，假设sinA=，那么cos∠BCD的值为．计算：计算.计算：．14.如图，小聪用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高，小聪和树都与地面垂直，且相距米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度.15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=，b=.解这个直角三角形16.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分线，tanB=，求的值．17.：在⊙O中,AB是直径，CB是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点D,求证：∠AOD=2∠C假设AD=8，tanC=，求⊙O的半径。18．如图，某同学在楼房的处测得荷塘的一端处的俯角为，荷塘另一端处、在同一条直线上，米，米，求荷塘宽为多少米？〔结果保存根号〕19如图，在△ABC中，点O在AB上，以O为圆心的圆经过A，C两点，交AB于点D，2∠A+∠B=〔1〕求证：BC是⊙O的切线；〔2〕假设OA=6，BC=8，求BD的长〔1〕证明：〔2〕解：20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上．假设DB=6，AD=CD，sin∠CBD=，求AD的长和tanA的值．21．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它方案沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处.〔1〕B处距离灯塔P有多远？〔2〕圆形暗