函数的值域的求法讲义-高三数学一轮复习

函数的值域的求法总结函数的定义域和对应法则确定的前提下，绝大数的函数值域是可以求的。本专题研究某几个形式的基本初等函数的值域，讲述分离常数、几何法、换元法和单调性法这几种普遍的方法。求函数值域的方法总结：观察法。对于一些简单的函数，可以通过定义域及对应关系观察的方法来确定函数的值域。配方法。求形如的函数的值域采用配方法来解决，但要注意g（x）的范围。三、分离常数法。求分式型函数，常用分离。常数法求值域。四、判别式法。求形如，如可将函数化为关于自变量的一元二次方程，利用判别式求函数的值域。五、反表示法。根据函数解析式反解出x，根据x的取值范围转化为y的不等式或者不等式组，求解。六、换元法。对于一些无理函数常通过换元的方法将其转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法求出原函数的值域七、数形结合法。当函数的图像容易做时适用此方法八、基本不等式法。形如的值域求解，可用此法。方法举例：简单函数的值域求法（1）分段函数例题1.已知函数，则函数的值域为解析：当时，的值域为；当时，单调递增，最小值为2，无最大值，此时的值域为所以函数的值域为例题2、若函数的值域是，则实数的取值范围是解、当时，的值域为；因为整个函数的值域为，所以当时，函数的值域应包含于；因为单调递减，所以只需=a2,解得（2）复合函数例题3、函数的值域为（）解析、令，则原函数化为：所以，选B例题4、已知函数，若对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值。解、由且所以，即令，则在上恒成立，即例题5、已知函数则函数的值域为解：函数的定义域为令，两边平方可得：所以，则原函数化为：，显然：，，所以值域例题6、已知函数，则函数的值域为解、令，由，则再对平方得原函数化为：，，再令，显然在上递增，故，，所以值域根式型值域例题7、已知函数，则函数的值域为函数定义域为R值域转化为的最值，因为所以函数的值域为例题8、已知函数，则函数的值域为法一、函数定义域为函数在定义域内单调递增，，值域法二、令，则，从而在内单调递增，，值域例题9、已知函数，则函数的值域为解、法一、已知定义域为，两边平方，因为，所以函数的值域为法二、因为令，原函数化为：，所以例题10、已知函数，则函数的值域为解、函数变形为令，原函数化为：所以例题11、已知函数，则函数的值域为解、令原函数化为：所以例题11、已知函数，则函数的值域为解、已知函数的定义域为函数有理化变形为分母在定义域内单调递增，可得函数的值域为例题12、已知函数，则函数的值域为解、易知函数定义域为R，几何意义是动点P(x,0)到两个定点A(1,1),B(1,1)的距离之和。做出点A(1,1)关于x轴的对称点A’(1,1),A’B交x轴于点P(0,0)，此时A’B就是PA与PB长度之和的最小值为如图，函数的值域分式型值域分式型的常见形式：分子0次型，先求出分母的值域，通过取倒数就可以得到的值域。分子分母一次齐次型，先分离出一个常数，变成分子0次型，再用分子0次型方法解得值域。分子二次分母一次型，即（a为常数），当a>0是对钩函数，当a<0是“飘带”函数。例题13、已知函数，则函数的值域为解、分式型函数首先要确定分子与分母的次数，若是齐次性，则需要分离常数。因为：，所以，即函数的值域为例题14、已知函数，则函数的值域为解、此时，分子分母次数不一致，分离常数失效，因此考虑分离变量是化简结果，往对勾函数靠根据对勾函数的图像可知或函数的值域为例题15、已知函数，则函数的值域为法一、本例是分子次数为一次，分母次数为二次，常用的办法就是除分子使得分母变成对勾函数，需要特别注意的是要考虑分子是否为零。恒成立，所以定义域为R。令，则，当t=0时，当，或所以且综上，数的值域为法二、恒成立，所以定义域为R。则等价于在R上有解当y=0时，解得x=1当时，则解得且综上，数的值域为例题16、已知函数，则函数的值域为解析：分子与分母的次数相同，需要先分离常数转化为分子为一次型分母为二次函数然后按照例题15方