江苏省无锡市高三上学期期终教学质量调研测试数学试题

无锡市2023年秋学期高三期终教学质量调研测试数学2024.1命题单位：江阴市教师发展中心制卷单位：无锡市教育科学研究院一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已如集合，集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式求得集合，结合交集运算，可得答案.【详解】由题意集合，.故选：A.2.复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限C.笵三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的运算将化简，从而可求对应的点的位置.【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点为，易得该点在第四象限.故选：D.3.已知，是两个不共线的向量，命题甲：向量与共线；命题乙：，则甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用向量共线定理即可判断.【详解】向量与共线等价于.因为，是两个不共线的非零向量，所以，解得：.所以甲是乙的充要条件.故选：C.4.从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时托油量（单位：）与速度（单位：（）的下列数据：04060801200.0006.6678.12510.00020.000为描述汽车每小时枆油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意以及表中数据可知，函数在定义域上单调递增，且函数的图象经过坐标原点，即可判断出最符合实际的函数模型．【详解】依题意可知，该函数必须满足三个条件：第一，定义域为；第二，在定义域上单调递增；第三，函数经过坐标原点.对于A选项：不经过坐标原点，故A不符合;对于B选项：满足以上三个条件，故B符合;对于C选项：在定义域内单调递减，故C不符合;对于D选项：当时，无意义，故D不符合;故选:B.5.已知，设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，.若，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意及椭圆和双曲线的离心率公式求得的值，写出双曲线的渐近线即可.【详解】因为，结合离心率公式可得，解得，所以双曲线的渐近线方程为.故选：A.6.已知直四棱柱的底面是边长为2的菱形，且.若，分别是侧棱，上的点，且，，则四棱锥的体积为（）A. B.2 C. D.6【答案】A【解析】【分析】通过分析得到为四棱锥的高，计算体积即可.【详解】取的中点，连接，由直四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，所以易得，所以,又因为面，且面，所以,又因为且面，所以面，故为四棱锥的高.易得到，四边形的面积为,所以四棱锥的体积为,故选：A.7.已知是等比数列的前项和，且存在，使得，，成等差数列.若对于任意的，满足，则（）A. B. C.32 D.16【答案】D【解析】【分析】借助等比数列知识，利用，，成等差数列，求出，再利用，求出，再计算即可.【详解】因为，，成等差数列，所以即，即，所以，因为数列是等比数列，且，所以，，所以，即，所以（无解）或，即又因为，所以，所以，所以，故选：D.8.已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数.令函数若存在唯一的整数，使得不等式成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据函数奇偶性定义求出，表示出，画出图象，分类讨论即可.【详解】令，，因为为奇函数，为偶函数.所以，，所以可得，同理可得，由得，所以，要满足存在唯一的整数，使得不等式成立，而，当时，，显然不成立，当时，要使只有一个整数解，因为所以，即.当时，要使只有一个整数解，因为,所以，即综上所述：实数的取值范围为.故选:B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.第一组样本数据，第二组样本数据，，…，，其中（），则（）A.第二组样本数据的样本平均数是第一组样本数据的样本平均数的2倍B.第二组样本数据的中位数是第一组样本数据的中位数的2倍C.第二组样本数据的样本标准差是第一组样本数据的样本标准差的2倍D.第二组样本数据的样本极差是第一组样本数据的样本极差的2倍【答案】CD【解析】【分析】根据平均数和标准差的性质以及中位数和极差的概念可得答案.【详解】设样本数据，的样本平均数为，样本中位数为，样本标准差为，极差为，对于A,C选项：由，根据平均数和标准差的性质可知，样本数据，，…,的样本平均数为，故A错误；样本数据，，…,的样本方差为，所以第二组数据的样本标准差，故C正确；对于B选项：根据中位数的概念可知，样本数据，，…,的中位数为，故B错误；对于D选项：根据极差的概念可知,样本数据，，…，的极差为,故D正确.故选：CD.10.已知函数，，则下列说法正确的是（）A.的图象关于点对称B.在区间上单调递增C.将图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到的图象D.函数的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】对于A选项：：将代入验证即可；对于B选项：换元后结合三角函数图象与性质判断即可；对于C选项：利用三角函数得图象变换化简整理即可；对于D选项：借助和差角公式计算即可.【详解】对于A选项：将代入，得，故的图象不关于点对称,故选项A错误;对于B选项：在，令，则，因为，所以，根据余弦函数图象可知在单调递增，故选项B正确；对于C选项：将图象上的所有点向右平移个单位长度,可得到故选项C正确；对于D选项：,结合余弦函数的性质可知：，故选项D正确.故选：BCD.11.已知过点的直线与抛物线：相交于、两点，直线：是线段的中垂线，且与的交点为，则下列说法正确的是（）A.为定值 B.为定值C.且 D.【答案】BD【解析】【分析】由两直线位置关系设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，求出点的坐标，代入即可判断选项A和B，利用已知条件找出与的关系，结合即可判断选项C和D.【详解】由题意可知，直线的斜率存在且不为0，因为直线过点且与抛物线：相交于、两点，直线：是线段的中垂线，所以设直线：，联立方程，可得，所以,，所以的中点坐标，由题意可知，点是中点，所以，，因为在直线：上，所以，因为，所以，所以为定值，故选项B正确；因为是变量，所以不是定值，故选项A错误；因为，，所以，即，又因为，所以，即，解得或，故选项C错误；对选项D，由选项C可得，，所以，解得，故选项D正确.故选：BD.12.已知在伯努利试验中，事件发生的概率为，我们称将试验进行至事件发生次为止，试验进行的次数服从负二项分布，记作，则下列说法正确的是（）A.若，则，B.若，则，C.若，，则D.若，则当取不小于的最小正整数时，最大【答案】ACD【解析】【分析】利用负二项分布的概念可判断AB选项；利用二项分布和负二项分布的概率公式可判断C选项；分析可得，结合负二项分布的概率公式可判断D选项.【详解】对于A选项，因为，则，A对；对于B选项，因为，则，，B错；对于C选项，因为从中取出个数的取法有种，这些取法可按的值分类，即时的取法有种，所以，，因为，，设，则，所以，，C对；对于D选项，因为，最大，则，所以，，解得，所以，当取不小于的最小正整数时，最大，D对.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查负二项分布问题，解决本题的关键在于正确理解负二项分布的定义，知晓负二项分布的概率公式，结合负二项分布的概率公式求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线与圆相交于两点，则______.【答案】【解析】【分析】首先求出圆的圆心坐标和半径，计算圆心到直线的距离，再计算弦长即可.【详解】圆，，圆心，半径.圆心到直线的距离..故答案为：【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系中的弦长问题，熟练掌握弦长公式为解题的关键，属于简单题.14.随着杭州亚运会的举办，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”火遍全国.现有甲、乙、丙位运动员要与“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”站成一排拍照留念，则这个吉祥物互不相邻的排队方法数为______.（用数字作答）【答案】【解析】【分析】先将甲、乙、丙位运动员排序，然后将“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”三个吉祥物插入位运动员形成的个空位中，利用插空法可得出不同的排队方法种数.【详解】先将甲、乙、丙位运动员排序，然后将“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”三个吉祥物插入位运动员形成的个空位的个空位中，所以，不同的排队方法种数为种.故答案为：.15.已知函数在区间上值域为，则的值为______.【答案】【解析】【分析】先得到，根据得到，根据值域得到方程，检验后求出答案.【详解】由题意得，当时，，由于在区间上的值域为，故①或②，解①得，满足解②得，不满足，舍去，综上，的值为.故答案为：16.已知函数，若函数的图象在点和点处的两条切线相互平行且分别交轴于、两点，则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】由可得出，利用弦长公式得出，利用导数求出函数在上的值域，即可为所求.【详解】当时，，，则，当时，，，则，因为函数的图象在点和点处的两条切线相互平行，则，即，则，，，所以，，令，其中，则，当时，，此时函数在上单调递减，当时，，此时函数在上单调递增，所以，，因此，的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用切线斜率相等得出、所满足的关系式，然后将转化为含的函数，转化为函数的值域问题求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设数列满足，，.（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的通项公式.【答案】17.证明见解析18.【解析】【分析】（1）整理题目中的等式，根据等比数列的定义，可得答案；（2）根据等比数列的通项公式，利用累加法，可得答案.【小问1详解】由，则，所以，由，，则故数列为等比数列.【小问2详解】由（1）可知数列是以为首项，以3为公比，故，，则；；.由累加法可得：，由，则18.在中，角的对边分别为，，，已知的面积为.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）借助面积公式与余弦定理以及同角三角函数的平方关系计算即可.（2）借助三角函数的相关知识求出，利用配凑角及二倍角公式计算即可.【小问1详解】结合题意：的面积为,，结合余弦定理可得：，所以，解得，所以.【小问2详解】因为，所以，易得为锐角，所以，所以，由上问可知,,所以，所以,整理得,即，解得（舍去），或.19.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，是线段的中点.（1）若，求证：平面；（2）若，，且平面与平面夹角的正切值为，求线段的长.【答案】（1）证明见详解（2）【解析】【分析】（1）首先证平面ACD，通过证明四边形BGFE是平行四边形，得，进而得证；（2）利用空间向量法求解即可【小问1详解】取AC的中点G，连接BG、FG，因为，所以,又因为平面平面，平面ABC平面，，所以CD平面ABC，平面ABC，所以，因为，平面,所以平面ACD，又因为是线段的中点，所以且，且，所以且，四边形BGFE是平行四边形，所以，所以平面【小问2详解】如图建系因为，又，所以,又因为，，所以四边形BCDE是直角梯形，所以设，所以，，，所以，，设平面ADE的一个法向量，所以，平面ABC的法向量，设平面ABC与平面ADE夹角为，所以，，所以，所以，，所以20.为考察药物对预防疾病以及药物对治疗疾病的效果，科研团队进行了大量动物对照试验.根据100个简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只）药物疾病未患病患病合计未服用301545服用451055合计7525100（1）依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性；（2）用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取1只，用药物进行治疗.已知药物的治愈率如下：对未服用过药物的动物治愈率为，对服用过药物的动物治愈率为.若共选取3次，每次选取的结果是相互独立的.记选取的3只动物中被治愈的动物个数为，求的分布列和数学期望.附：，0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】20.药物对预防疾病有效果.21.答案见解析.【解析】【分析】（1）根据公式算出卡方，与表格中的数据比较即可.（2）结合全概率公式先求概率，每名志愿者用药互不影响，且实验成功概率相同，X服从二项分布求分布列和数学期望即可．【小问1详解】零假设为:药物对预防疾病无效果，根据列联表中的数据，经计算得到,根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立，即认为药物对预防疾病有效果.【小问2详解】设A表示药物的治愈率，表示对未服用过药物,表示服用过药物由题，，，且，，.药物的治愈率，则，所以，，，，X的分布列如下表所示X0123P．21.在直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，记动点的轨迹为.（1）求的方程；（2）过动点（）的直线交轴于点，交于点（点在第一象限），且.作点关于轴的对称点，连接并延长交于点.证明：直线斜率不小于.【答案】（1）;（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意列出关于动点的轨迹表达式，化简整理即可.（2）设直线的方程为,借助及韦达定理，求出的坐标，表示并化简直线斜率，利用基本不等式计算即可.【小问1详解】结合题意：设点到定直线：的距离为，则