6.1平面向量的概念

6.1平面向量的概念知识点一向量、数量的概念向量在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量数量在数学中，我们把只有大小没有方向的量叫做数量微点拨：1、向量的二要素：向量由大小与方向两个要素组成．向量的大小是代数特征，方向是几何特征．2、向量既有大小又有方向，因为方向不能比较大小，所以向量不能比较大小．.3、数量是一个代数量，只有大小没有方向，其大小可以用正数、负数、零来表示，可以比较大小，如长度、质量、面积、体积等．知识点二向量的几何表示有向线段具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度．向量的表示方法几何表示向量可以用有向线段AB来表示，我们把这个向量记作AB.有向线段的长度|AB|字母表示向量也可以用字母表示向量的长度定义向量AB的大小称为向量AB的长度（或称模）表示向量AB，a的长度分别记作AB微点拨：向量与有向线段的区别与联系①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相等向量.②有向线段是表示向量的图形工具，它不是向量，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．③用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点，必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向（即夹角）或长度（即模），选择合适的比例关系作出向量.知识点三向量的相关概念零向量长度为0的向量叫做零向量.记作，它的方向是任意的．单位向量长度等于1个单位长度的向量平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量．向量a与b平行，记作a∥b．规定：零向量与任意向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量．向量a与b相等，记作a＝b微点拨：1、单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．2、在平面内，将所有单位向量的起点平移到同一点，则它们的终点构成一个半径为1的圆．3、与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．4、共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．向量中的“平行”与“共线”是一个概念，而几何中的“平行”与“共线”不是一个概念．由于向量可以平移，因此无论两个向量所在的直线是平行还是共线，我们都说这两个向量共线，而几何中则不同．5、任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关．6、两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量．7、相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同.8、向量相等具有传递性，即若a＝b，b＝c，则a＝c.而向量的平行不具有传递性，若a∥b，b∥c，未必有a∥c.因为零向量平行于任意向量，那么当b＝0时，a，c可以是任意向量，所以a与c不一定平行．但若b≠0，则必有a∥b，b∥c⇒a∥c.因此，解答问题时要看清题目中是任意向量还是任意非零向量．考点一向量的有关概念提分笔记对于向量的相关概念问题，关键是把握好概念的内涵与外延，对于一些似是而非的概念一定要分辨清楚，如有向线段与向量，有向线段是向量的表示形式，并不等同于向量；还有如单位向量，单位向量只是从模的角度定义的，与方向无关．零向量的模为零，方向则是任意的．题型一向量的概念辨析1．（2023上·黑龙江·高二统考学业考试）下列量中是向量的为（

）A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离【答案】B【分析】根据向量与数量的意义直接判断即可.【详解】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.故选：B2．（2022·全国·高一专题练习）给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是(

)A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量【答案】D【分析】根据向量的定义即可判断.【详解】密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；速度、位移既有大小又有方向，是向量．故选：D．题型二向量的模1．（2022下·山东菏泽·高一统考期中）数轴上点A，B分别对应，则向量的长度是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据数轴上的点的位置，直接计算长度，即可得解.【详解】数轴上点A，B分别对应，则向量的长度即.故选：C．2．（2022·高一课时练习）如图，已知是单位向量，求出图中向量，，，的模.【答案】【分析】因为是单位向量，所以图中小正方形的边长为，再根据平面向量模的概念即可得到结果.【详解】因为是单位向量，所以图中小正方形的边长为；所以，由勾股定理可知，，.3．（2023下·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】根据，可得，进一步得出答案.【详解】如图，连接AC，由，得.因为为半圆上的点，所以，所以．故选：A.题型三零向量与单位向量1．（2022下·高一校考课时练习）下列说法正确的是（

）A．零向量没有大小，没有方向B．零向量是唯一没有方向的向量C．零向量的长度为0D．任意两个单位向量方向相同【答案】C【分析】根据零向量和单位向量的概念求解.【详解】零向量有大小，有方向，其长度为0，方向不确定，任意两个单位向量长度相同，方向无法判断.故选：C.2．（2021下·高一课时练习）若为单位向量，，则可用表示.【答案】【分析】根据单位向量的模和的倍数关系即可得到答案.【详解】∵为单位向量,∴,又∵,∴,故答案为:.3．（2022下·新疆巴音郭楞·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．单位向量均相等 B．单位向量C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则【答案】C【分析】对于A：由方向不一定相同否定结论；对于B：单位向量.否定结论；对于C：零向量与任意向量平行.即可判断；对于D：，的方向可以是任意的.否定结论.【详解】对于A：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A错误；对于B：单位向量.故B错误；对于C：零向量与任意向量平行.正确；对于D：若向量，满足，但是，的方向可以是任意的.故选：C考点二向量的表示及应用提分笔记用有向线段表示向量的步骤1．（2023下·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考阶段练习）对下面图形的表示恰当的是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】图像是个有向线段，可知其表达是一个向量.【详解】图像有起点有终点，有箭头有方向，可知其代表的是向量.故选：C.2．（2022·高一课时练习）在平面直角坐标系中，已知，与x轴的正方向所成的角为30°，与y轴的正方向所成的角为120°，试作出.【答案】答案见解析【分析】根据题意建立平面直角坐标系，再根据题意作图即可.【详解】如图，根据方位角及长度来确定.3．（2022·高一课时练习）某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D．试分别作出向量，和．【答案】答案见解析.【分析】根据题意，在平面内任取一点为，按照要求进行绘制即可.【详解】根据题意，在平面内任取一点为，按照题意要求方向，作线段，，则向量，和如下所示：.4．（2023下·安徽淮北·高一濉溪县临涣中学校考阶段练习）在如图的方格纸中，画出下列向量．(1)，点在点的正西方向；(2)，点在点的北偏西方向；(3)求出的值．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)3【分析】（1）根据向量的大小和方向，作向量，（2）根据向量的大小和方向，作向量，（3）根据向量的模的定义求.【详解】（1）因为，点在点的正西方向，故向量的图示如下：（2）因为，点在点的北偏西方向，故向量的图示如下：（3）

.考点三相等向量和共线向量及其应用提分笔记相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些同向共线．(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．题型一相等向量和共线向量1．（2020·高一课时练习）已知A＝{与共线的向量}，B＝{与长度相等的向量}，C＝{与长度相等，方向相反的向量}，其中为非零向量，则下列命题错误的是（

）A．C⊆A B． C．C⊆B D．【答案】B【分析】根据题意得到是由与的模相等且方向相同或相反的向量构成的集合，即可得到答案.【详解】因为是由与共线且与的模相等的向量构成的集合，即由与的模相等且方向相同或相反的向量构成的集合，所以是错误的．故选：B2．（2024上·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）设点是正三角形的中心，则向量，，是（

）A．共起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等向量【答案】B【分析】利用平面向量的相关概念判断.【详解】因为点是正三角形的中心，所以，，是模相等的向量；向量只有大小与方向两个要素，没有起点之说；这三个向量方向不同，不是共线向量；这三个向量方向不同，不是相等向量.故选：B3．（2023·全国·高一课堂例题）已知O为正六边形的中心，在图所标出的向量中：(1)试找出与共线的向量；(2)确定与相等的向量；(3)与相等吗？【答案】(1)和；(2)；(3)不相等.【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，利用正六边形的性质，结合共线向量、相等向量的意义判断作答.【详解】（1）由O为正六边形的中心，得与共线的向量有和.（2）由于与长度相等且方向相同，所以.（3）显然，且，但与的方向相反，所以这两个向量不相等.题型二向量在几何中的应用1．（2021下·浙江嘉兴·高一校联考期中）已知是单位向量，在四边形ABCD中，，，则四边形ABCD的形状为．（矩形、正方形、菱形、梯形）.【答案】菱形；【分析】利用向量得到四边形对边和邻边的位置关系，判断四边形的形状.【详解】是单位向量，在四边形ABCD中，，，则，在四边形ABCD中，，，可知四边形ABCD是平行四边形，又，，所以四边形ABCD是菱形.故答案为：菱形.2．（2020·高一课时练习）分别根据下列条件判断四边形ABCD的形状:(1);(2),并且与不平行;(3),并且.【答案】(1)平行四边形.(2)梯形.(3)菱形.【解析】（1）根据向量相等的意义判断；（2）由向量共线的意义判断（3）根据向量相等的意义及模的意义判断；【详解】（1）由得，四边形是平行四边形；（2）,并且与不平行，则.四边形是梯形；（3）由得四边形是平行四边形，，即，四边形是菱形．【点睛】本题考查向量相等，向量平行的意义．掌握向量相等与平行的概念是解题基础．3．（2020下·高一课时