新版高中数学北师大版必修1习题第二章函数2.5

§5简单的幂函数课时过关·能力提升1函数f(x)=x121的图像大致是(解析:∵12>0,∴f(x)在[0,+∞)上是增加的,排除当x=0时,f(0)=1,即f(x)的图像过点(0,1),排除C,D,故选A.答案:A2已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),则f(6)的值为()A.1 B.0C.1 D.2解析:∵f(6)=f(4+2)=f(4)=f(2+2)=f(2)=f(0+2)=f(0),又f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,∴f(6)=0.答案:B3若偶函数f(x)在(∞,0]上是减少的,则下列关系式中成立的是()A.f-32<f(1)B.f(1)<f-32C.f(2)<f(1)<f-D.f(2)<f-32<f解析:∵f(x)在(∞,0]上是减少的,且2<32<∴f(2)>f-32>f(又f(x)是偶函数,∴f(2)=f(2),∴f(2)>f-32>f(答案:B4如果奇函数f(x)在区间[5,3]上是增加的,且最大值为4,那么f(x)在区间[3,5]上是()A.增加的且最大值为4B.增加的且最小值为4C.减少的且最大值为4D.减少的且最小值为4解析:作一个符合条件的图像,如图.由图像知,f(x)在区间[3,5]上是增加的且最小值为4.答案:B★5设定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=x24(x>0),则f(x2)>0的解集为()A.(4,0)∪(2,+∞)B.(0,2)∪(4,+∞)C.(∞,0)∪(4,+∞)D.(4,4)答案:B6如图,曲线是幂函数y=xk在第一象限内的图像,已知k分别取1,1,12,2四个值,则相应的图像依次为.

解析:在第一象限直线x=1的右侧,大指数在上,小指数在下,在y轴与直线x=1之间正好相反.答案:C4,C2,C3,C17函数f(x)是定义在R上的奇函数,且它是减函数,若实数a,b满足f(a)+f(b)>0,则a+b0(填“>”“<”或“=”).

解析:f(a)+f(b)>0,∴f(a)>f(b).又f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(a)>f(b).又f(x)为减函数,∴a<b,∴a+b<0.答案:<★若y=xa2-4a-9是偶函数,且在(0,+∞)内是减函数答案:1,1,3,59已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x22x+m.(1)求m及f(3)的值;(2)求f(x)的解析式并画出简图;(3)写出f(x)的单调区间(不用证明).解(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,∴m=0,∴当x≥0时,f(x)=x22x,∴f(3)=f(3)=3.故m=0,f(3)=3.(2)当x<0时,x>0,∴f(x)=(x)22(x)=x2+2x,∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x)=f(x),∴f(x)=x2+2x,即f(x)=x22x(x<0).∴f(x)的解析:式为f(x)=x画出f(x)的图像如下图.(3)由f(x)的图像,可知f(x)在区间(∞,1]和[1,+∞)上是增加的,在区间[1,1]上是减少的.∴f(x)的递增区间为(∞,1],[1,+∞),递减区间为[1,1].10若函数f(x)的定义域为R,且对任意x,y,f(x)+f(y)=f(x+y)恒成立.(1)判断f(x)的奇偶性;(2)若f(8)=4,求f-12分析:因为f(x+y)=f(x)+f(y)对任意x,y恒成立,所以可对x,y取某些特殊值.解(1)令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0),∴f(0)=0.令y=x,则f(x)+f(x)=f(0)=0,∴f(x)=f(x),∴函数f(x)是奇函数.(2)令y=x,由f(x)+f(y)=f(x+y),可得f(2x)=2f(x),由此可得4=f(8)=2f(4)=4f(2)=8f(1)=16f12∴f12∴f-12=f12★11已知函数f(x)的定义域是(∞,0)∪(0,+∞),对定义域内的任意x1,x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0.(1)求证:f(x)是偶函数;(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增加的;(3)试比较f-52与f7(1)证明由题意知,函数f(x)的定义域关于原点对称,∵取定义域内的任意x1,x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),∴令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0.令x1=x2=1,得f((1)×(1))=f(1)+f(1),即f(1)=2f(1),即2f(1)=0,∴f(1)=0.∵f(x)=f((1)·x)=f(1)+f(x)=f(x),∴f(x)是偶函数.(2)证明任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则f(x2)f(x1)=fx1·x2x=f(x1)+fx2x1f(x1)∵x2>x1>0,∴x2x1∴fx2x