河南省安阳市滑县2022-2023学年高二下学期期末数学试题

滑县2022—2023学年下学期期末测评试卷高二数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式化简集合A，B，再利用交集的定义求解作答.【详解】解不等式，得，即，解不等式，得，即，所以.故选：B2.已知O为坐标原点，复数，，在复平面内对应的向量分别为，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数与向量的关系结合向量垂直的坐标运算即可解出值，再根据向量的模以及向量除法运算即可得到答案.【详解】复数在复平面内对应的向量分别为,则，故，因为，所以，解得，则，所以，所以.故选：D.3.已知随机变量，且，则（）附：若，则，.A.0.1587 B.0.1359 C.0.2718 D.0.3413【答案】B【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质结合3原则即可得到答案.【详解】因为随机变量,所以正态曲线关于直线对称，又因为,所以，所以，所以，所以.故选：B.4.已知数列满足，，，则（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】根据给定条件探求数列的性质，再利用性质求解作答.【详解】数列中，由，得，则有，因此数列是以4为周期的周期数列，又，，则，所以.故选：A5.入夏以来，雪糕再次成为消费者的喜爱品，雪糕也迅速成为众多网红业态中的一个缩影.某雪糕店有一款高为10cm，下底部直径为4cm，上面开口圆的直径为6cm的圆台状雪糕模具，计划用此模具制作一个雪糕，如图，要求成型后雪糕模具正上方的部分为一个半球形状（底面大小与模具开口大小相同），则成型后雪糕的总体积为（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据圆台体积公式和球的体积公式即可.【详解】圆台状模具的体积为,半球部分的雪糕体积为,故成型后雪糕的总体积为.故选：B.6.2023年5月份开始，为防范社会风险，更好服务群众，某地公安局推出社区民警“驻村”工作模式，要求民警每周一到周五，把值班地点挪到村子中，该地某派出所计划下周的周一到周五派出本所甲、乙等5名优秀民警轮流“驻村”，每名民警安排1天值班，则甲、乙两名民警不能相邻值班的排法有（）A.58种 B.60种 C.72种 D.78种【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用不相邻问题列式计算作答.【详解】排除甲乙外的3人值班有种方法，在4个空隙中取2个空隙插入甲乙有种方法，所以甲、乙两名民警不能相邻值班的排法有种.故选：C7.函数的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，即可确定.【详解】恒成立，所以函数在定义域上单调递减，且对任意，都有，所以对任意，都有，所以结合选项可知A满足，故选：A.8.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对数的性质比较的大小关系，再利用作差法比较的大小关系.【详解】因为，所以，又因为，且，所以，所以，即，因此，故选:C.9.2023年“五一”假期之前，“淄博烧烤”话题持续火热，并吸引了全国各地的关注，有网友梳理了淄博烧烤热度不减的原因：第一，城市烟火气的回归，来一场说走就走的烧烤之旅，是老百姓追求美好生活需求的集中释放；第二，淄博市政府出台了一系列“保姆式服务”，包括开通高铁烧烤专列、定制公交专线、绘制烧烤地图等；第三，规范管理，维护市场秩序，确保每一位消费者的合法权益.济南某大型烧烤店效仿淄博成功经验，采取烧烤回馈顾客活动，并利用抖音和美团APP进行了大力宣传，取得了良好效果，下表是该烧烤店统计的从2022年12月到2023年4月，五个月的销售收入.2022年12月至2023年4月121234月份代码12345销售收入/万元812172226若y关于x的经验回归方程为，则下列说法错误的是（）附：相关系数，线性回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式为，.参考数据：，，.A.该大型烧烤店这5个月的销售收入的方差为42.4B.销售收入y与月份代码x的样本相关系数约为0.999C.D.预测该大型烧烤店5月份的销售收入约为29万元【答案】CD【解析】【分析】根据方差公式可求解A；利用样本相关系数结合所给数据可求解B；利用最小二乘法求回归直线方程即可求解C,D.【详解】由题可得，，该大型烧烤店这5个月的销售收入的方差为，A正确；，，所以相关系数，B正确；，，C错误；所以回归方程为，令，则，D错误；故选：CD.10.在正方体中，下列结论错误的是（）A.若，则直线与平面ABCD所成角的正弦值为B.直线与所成的角为C.平面D.四面体的外接球体积与该四面体的体积之比为【答案】D【解析】【分析】利用正方体的结构特征，结合线面角、异面直线夹角的定义计算判断AB；利用线面垂直的判断推理判断C；求出正四面体的体积及外接球体积判断D作答.【详解】设正方体的棱长为2，如图，对于A，由，得点在线段上，且，由平面，得为直线与平面所成的角，在中，，A正确；对于B，连接，正方体的对角面是矩形，有，即是异面直线与所成的角，因为为等边三角形，即，所以直线与所成的角为，B正确；对于C，由平面，平面，得，而，平面，则平面，又平面，于是，同理，平面，所以平面，C正确；对于D，四面体的外接球即正方体的外接球，外接球的半径为，因此四面体的外接球体积为，而正方体的体积，则四面体的体积为，所以，D错误.故选：D11.已知抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2，过点F且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，则（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出抛物线方程衣直线方程，再联立并结合抛物线定义求解作答.【详解】设抛物线C的方程为，因为焦点到准线的距离为2，则，抛物线C为：，焦点，准线方程为，直线方程为，由消去y得：，设，则，所以.故选：B12.已知函数，则下列说法错误的是（）A.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数是偶函数B.是函数的一个零点C.函数在上单调递增D.在上的所有实根之和为【答案】D【解析】【分析】先将函数利用两角和的余弦公式和辅助角公式整理为，A选项根据的图像变换和性质可判断A正确；B选项由可得B正确；C选项判断为函数的单调增区间的子集可得C正确；D选项求出在的所有实根可得D错误.【详解】A选项：将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数，故函数是偶函数，A正确；B选项：，故B正确；C选项：因，令，，故，，故函数在，，上单调递增，当时，可得函数在上单调递增，故C正确；D选项：令，得，所以或，，故或，，故在上的所有实根为，其和为，故D错误，故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，，，若，则______.【答案】##【解析】【分析】根据向量坐标的线性运算得，再根据即可求出，则得到，最后根据向量模的坐标运算即可得到答案.【详解】因为，所以,又因为，所以，解得，则，所以.故答案为：.14.已知，，则______.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用同角公式求出，再利用二倍角的正弦公式求解作答.【详解】由，两边平方得，则，而，则，，于是，所以.故答案：15.已知椭圆的左、右焦点分别为，，圆，点P为椭圆C上一点，若的最小值为6，则椭圆的离心率为______.【答案】##【解析】【分析】利用椭圆的定义和三点一线得，则，解出值，则得到值，则得到离心率.【详解】由题可知，所以，，则，当点在的延长线上时，等号成立，所以，所以，因为，所以椭圆的离心率为.故答案为：.16.已知函数，若在上恒成立，则实数a的最大值为______.【答案】2【解析】【分析】利用分离参数法得，设，利用导数求得，则得到的最大值.【详解】当时，恒成立，等价于恒成立，令，所以，所以当时，单调递增，又，所以，所以，所以实数的最大值为2.故答案为：2.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简计算作答.（2）利用（1）的结论，结合余弦定理、三角形面积公式求解作答.【小问1详解】在中，由，得，由正弦定理得，即，整理得，又，有，则，即有，，，解得，又，所以【小问2详解】由（1）知，，由余弦定理得，即，整理得，又的面积，则，，因此，所以的周长为.18.已知正项等比数列的前n项和为，且，，等差数列满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）已知数列满足，求的前n项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据等差等比数列的基本量的运算求解；（2）利用错位相减法求和.【小问1详解】设等比数列的公比为，等差数列的公差为，由，，可得，即，化简得，即，解得（舍）或，从而可得，所以；又因为，，所以，解得，所以.【小问2详解】，因为，即，所以，两式相减可得，，所以.19.不负青山，力换“金山”，民宿旅游逐渐成为一种热潮，山野乡村的民宿深受广大旅游爱好者的喜爱.某地区结合当地资源，按照“山上生态做减法、山下产业做加法”的思路，科学有序发展环山文旅康养产业，温泉度假小镇、环山绿道、农家乐提档升级、特色民宿群等一批生态产业项目加快实施.2023年“五一”假期来临之前，为了在节假日接待好游客，该地旅游局对本地区各乡村的普通型民宿和品质型民宿进行了调研，随机抽取了10家乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表：民宿甲乙丙丁戊己庚辛壬癸普通型民宿19541713189201015品质型民宿61210111091285（1）若旅游局随机从乙、丙2家各选2间民宿进行调研，求选出的4间均为普通型民宿的概率；（2）从这10家中随机抽取4家民宿，记其中普通型民宿的房间不低于17间的有X家，求X的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，数学期望为.【解析】【分析】（1）利用超几何分布和独立事件的概率乘法公式求解；（2）利用超几何分布概率模型求解.【小问1详解】设“从乙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件；“从丙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件；所以选出的4间均为普通型民宿的概率为.【小问2详解】这10家民宿，其中普通型民宿的房间不低于17间的有4家，随机变量的可能取值有，则分布列如下，01234所以.20.如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，，，，.（1）证明：平面平面ABCD；（2）若平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为，求直线PD与底面ABCD所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）首先利用菱形的性质得，再利用线面垂直的判定证得平面，从而得，最后利用面面垂直的判定即可证明；（2）建立合适的空间直角坐标系，从而得到两个平面的法向量，利用面面角的空间向量求法得到的长度，再根据线面角的定义即可得到答案.【小问1详解】四边形是菱形，是中点，，平面，平面.平面，是的中点,，平面平面，平面.平面平面平面.【小问2详解】设菱形的边长为，根据余弦定理可得,解得.由（1）可知平面，平面，又两两垂直，以为坐标原点,分别以,,所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,则，设,则，设为平面的法向量，由可得取，则.平面，所以平面一个法向量为，平面与平面的夹角的余弦值为，，所以，，平面为直线与底面所成的角，，故直线与底面所成角的正切值为3.21.已知双曲线C的渐近线为，右焦点为，右顶点为A.（1）求双曲线C的标准方程；（2）若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当时，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用给定的渐近线方程设出双曲线方程，再利用待定系数法求解作答.（2）设出直线l的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理结合垂直关系的坐标表示，求解作答.【小问1详解】双曲线的渐近线化为，设双曲线的方程为，即，又双曲线的右焦点，则，解得，所以双曲线的标准方程为.【小问2详解】由（1）知，，设直线的方程为，显然，由消去整理得，显然，，而，则，化简得，即，而，解得，所以直线的方程为，即.【点睛】思路点睛：如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.22.已知函数，，其中e为自然对数的底数