河北省高二年级上册期末考试数学试题（解析版）

一、单选题

1.如图所示，在正方体N8CO-44GA中，点F是棱工4上的一个动点（不包括顶点），平面8ER

交棱CG于点E,则下列命题中正确的是（）

A.存在点F,使得NRFB为直角

B.对于任意点R都有直线4Gli平面5即破

C.对于任意点R都有平面4G。，平面8EAF

D.当点尸由4向/移动过程中，三棱锥尸的体积逐渐变大

【答案】C

【分析】A：验证而・丽是否为零即可；B：根据线面平行的性质即可判断；C：证明平面

&CQ即可；D：证明《411平面58a即可.

【详解】对于A,易知瓦K丽=（万％+乖）•（或+荏）=卒•切=-|吊斗|成卜0,故印与丽

不垂直，故A错误；

对于B,连接4G、AC.EF,则平面/CG4n平面反。尸=所，

若4Gli平面8瓦）尸，则4GIIEE显然仅当尸和E为所在棱中点时4G与E尸才平行，故B错

误；

对于C,连接4。、4G、CQ、BD\、g、BC1,

由48_L平面ADDS得ABL4，易知g1A,D,

•MBng=A,AB,工。《平面/36口，二4。3_平面286口，

.-.AtD1BD],同理可证4G1BD、,

••♦/Qn4G=4,AQ、4Gu平面4G。，.^.•8。」平面4CQ,

•.-82<=平面8£。或，二平面4£。_1平面8£。尸，故C正确；

对于D,连接8"、FB]、B、D、,

AAt||BB{,44（Z平面88Q],Bqu平面网。一

4M平面BB、D、,则F到平面BB,D、的距离为定值，

又△B8Q面积为定值，故三棱锥RB5Q体积为定值，故D错误.

故选：C.

2.己知邛（q，4）与P2（生也）是直线V=丘+1/为常数）上两个不同的点，则关于x和V的方程组的

解的情况是（）

A.无论左记,5如何，总是无解B.无论左,匕鸟如何，总有唯一解

C.存在£匕使之恰有两解D.存在人/,£,使之有无穷多解

【答案】B

【分析】将<3也）与6（。2，4）代入直线方程，可得方程（％-牝）》=仇-4有唯一的解，即可得答

案；

【详解】解：$％,A）与乙3也）是直线歹=丘+1依为常数）上两个不同的点，

y=Ax+l的斜率存在，

即a产出，并且W=k%+1也=M+1，

/.a2bl—a}b2=ka}a2-ka}a2+a2-a}=a2-a]

①x4-②哂得：（a1Z>2-a2i1）x=Z>2-i1,

即（q-生卜也-4.

・•・方程组有唯一解.

故选：B.

3.在平面直角坐标系中，已知点P（a⑼满足|。|+网=1,记d为点P到直线x-机y-2=0的距离.当

a,“机变化时，d的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据直线/：8-叼-2=0过定点A确定出对于给定的一点P,"取最大值时尸/，/且

人”=帜川，然后根据点P为正方形上任意一点求解出|/切胸，由此可知人…

【详解】直线殴-2=0过定点4（2,0）,

对于任意确定的点P,

当尸么!./时，此时1=|尸4|,

当尸/不垂直/时，过点P作尸8_L/,此时d=|尸耳，如图所示:

因为所以|尸/|>俨8|,所以4m=|4|，

由上可知：当P确定时，［祠即为|4|，且此时P4_U；

又因为P在如图所示的正方形上运动，所以"max=|R<Lx，

当|4|取最大值时，p点与"（-1,0）重合，此时阳|=2-（-1）=3,

所以"max=3,

故选：C.

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于利用图像分析“取最大值时P/与直线/的位置关系，通

过位置关系的分析可将问题转化为点到点的距离问题，根据图像可直观求解.

4.己知点P在直线/：3x+4y-20=0上，过点尸的两条直线与圆O：/十/=4分别相切于

两点，则圆心。到直线48的距离的最大值为（）

A.—B.—C.百D.1

25

【答案】D

【分析】得到P，4。,8四点共圆，且圆的直径为OP,从而设出尸（见"），表达出圆心和半径，写

出圆的方程，与一+丁=4相减后得到直线的方程为4-mx-秋=0,利用点到直线距离公式得

4

到圆心O到直线Z8的距离।一配方求出/+二的最小值，从而得到d的最大值.

7nr+〃

【详解】由题意得：P,40,8四点共圆，且圆的直径为。尸，

设尸（见〃）,则3加+4〃-20=0,

则OP的中点为圆心，圆心坐标为仁,3半径为gj”+〃2，

22

mm2+n2

所以圆的方程为:x

24

22

整理得：x-mx+y-ny=0f

22〃)

x+y=4与12_加入+>2_=0相减得：4-mx-ny=0,

故直线的方程为4-〃a-沙=0,

|4|4

圆心。到直线AB的距离d=/;';-/)’，

7+n+n~

因为3冽+4〃-20=0,

所以〃?2+/=*+5工="3匕+25后加上+16216,

I4；1621615)

当且仅当根=1?2时，等号成立,

44

故a=I<-=\

7^774

故选：D

5.已知NT苧1L-竽,P(x。,％,)为椭圆C:]+[=l上不同的三点，直线/：x=2,直线

尸/交/于点"，直线P8交/于点N,若忘以s=之户"可，则/=()

55L

A.0B.-C.-D.G

43

【答案】B

【分析】根据三角形面积公式及乙4P8=/A/PN或4P8+NMPN=7r得|尸蜀尸/=归训/>M，再应

用相交弦长公式列方程，即可求吃.

【详解】由£幺6=邑。“"，则gin4PBM训尸8|=gsinNA/PNMM|PM，

所以阳||尸8|=忸圳「陷，而直线“尸、8尸斜率存在且不为O（X°W±1）,

^\PA\\PB\=3+心优+1].而福仇-1|,

|尸刑「陷="有上。-4脑「卜-2|,

所以忖一1|=（X°-2）2,即其一1=年一4%+4或1一工；=4一4%+4,

当x；-l=xj-4xo+4,化简得

当1一片二%一4%+4时,2xg-4xo+3=O,显然△=16-20＜0,无解.

所以X°=9.

故选：B.

6.已知大、鸟为双曲线/-2=1（。＞0,6＞（））的左、右焦点，P为双曲线的渐近线上一点，满足

3户工=60。，|0目=孝闺同（。为坐标原点），则该双曲线的离心率是（）

.2厢口8及„2V14门16+30

575v7

【答案】A

【分析】设「m，根据|。尸卜孝山用求出a,再在△2/笆中，利用余弦定理得到关于

a,b,c的齐次方程，结合〃+b2即可求得双曲线的离心率.

【详解】由题可知,U-c,O）,t（c,O）,

根据对称性，不妨设尸为渐近线尸9上一点，坐标为b

,M>0,

a

且2c,则机

因为尸|=2c~，故〃?=6a,

故P(缶,伍)，

在△「大入中，4；桃=60。，

由余弦定理得由周2=|尸用2+|刊珠—2|巴讣归/讣cos行，

即4c2=(\[2a+c)2+(V2Z>)2+(V2a—c)2+(V26)2-2-J(6a+c)?+(垃b)2-yj(A/2(J-c)2+(y/2b)~x；,

即4c2=4a2+2c2+4b2-J3c2+2而c•-2Oac>

贝|J2c2=J9c1*-8a2c2,即4c4=9c4-Sa2c2,

c28

即McJ5c4,即8/=5入即

故选：A.

7.点尸在直线/：y=x+p（p>0）上，若存在过产的直线交抛物线y=2pHp〉0）于48两点，且

2\P^\=\AB\,则称点P为“M点”，那么下列结论中正确的是（）

A.直线/上的所有点都是“M点”

B.直线/上仅有有限个点是““点”

C.直线/上的所有点都不是“M点”

D.直线/上有无穷多个点（但不是所有的点）是点”

【答案】A

【分析】首先判断直线/与抛物线的位置关系，确定48,尸三点的位置关系，利用共线向量表示出

48两点的坐标，再根据两点都在抛物线上可联立方程组根据方程是否有根确定P点是否存在，即

可得出结果.

【详解】由题意可知，将直线/：V=x+P和抛物线V=2px联立消去x整理得，

y2-2py+2p2=0；

此时该方程A=4p2-8p?=-4p2<0,即该方程无解;

可得直线/：y=x+P和抛物线无交点，

过户的直线交抛物线于48两点，由几何关系可知，48在尸点的同侧，如下图所示:

不妨设P(X0,Xo+p),4(x“JB(x.,%),

由2陷|=|明可得22=布，即[；

[2(无-/-。)=%一为

所以B(3XA-2x0,3乃-2x0-2p),

又因为48在抛物线上，所以[W/

1(3乃-2%-2。)=2p(3xd-2xo)

消去心并整理得2/2+6(p-yA)x0+3y/+2P2-6pyA=0

此时关于％的一元二次方程

△=36(。--8(3y/+2P2-6pyA)=12y/-24*+20/=12(以-。了+8加>0恒成立，

即%恒有解，

也就是对于直线/：V=x+P上任意一点P,过户的直线与抛物线/=2「,交于48两点，都有

21PH=|48],所以A正确.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题以新定义的形式考察直线和圆锥曲线的位置关系，关键是将点在直线和

抛物线上是否满足一定条件的问题转化成方程解的存在性问题，注意等价转化方能找到题眼求解.

8.正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色.先染1；再染3个偶数2,

4,6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7,9,11,13,15；再染15后面最邻近的7个连续偶数

16,18,20,22,24,26,28；再染此后最邻近的9个连续奇数29,31,45；按此规则一直

染下去，得到一红色子数列：1,2,4,6,7,9,11,13,15,16......则在这个红色子数列

中，由1开始的第2021个数是()

A.3991B.3993C.3994D.3997

【答案】D

【分析】根据题意将染色的所有数字进行分组，找出每组数字的最后一个数与组数和该组数的数字

个数的关系，找出第〃组最后一个数在红色子数列中所处的位数，即可求得结果.

【详解】根据染色规律可将染色的所有数字分组，规律如下：

第一组：1共1个数；

第二组：2,4,6共3个数；

第三组：7,9,11,16,15共5个数；

第四组：16,18,20,22,24,26,28共7个数；

第五组：29,31,33,35,37,39,41,43,45共9个数;

由此规律可知，第”组最后一个数是组数〃与该组的数字个数2〃-1的乘积为〃(2〃-1),且该数在组

成的红色子数列中是第1+3+5+……+2〃-1=〃2个数，

易知，当”=45时，即第45组最后一个数是452=2025与数字2021接近，

此时，红色子数列中第2025个数为45x(2x45-1)=4005,

所以再往前数4个计数即为第2021个数，该数为3997.

故选：D

二、多选题

9.下列结论正确的是()

A.VxeR,x+—>2B.若a<6<0,贝|(工)

C.若x(x-2)<0,则log2xe(0,l)D.若“>0,b>0,a+b<\,则

【答案】BD

【分析】对每个选项注意检验，要么证明其成立，要么举出反例判定其错误.

【详解】当x<0时，x为负数，所以A不正确；

X

若“<6<0,则:<L<0,考虑函数/1x)=1在R上单调递增，

ba

所以yd)>“3,即d)3>(：)3,所以B正确；

abab

若x(x-2)<0,则0<x<2,log,xe(-oo.l),所以C不正确;

若a>0,b>0,a+b<\,根据基本不等式有疝4空,0<管）2=]

所以D正确.

故选：BD

【点睛】此题考查命题真假性的判断，内容丰富，考查的知识面很广，解题中尤其注意必须对每个

选项逐一检验，要么证明其成立，要么举出反例，方可确定选项.

10.圆。：》2+炉-2》=0和圆O2：x2+/+2x-4y=0的交点为48,则有（）

A.公共弦N8所在直线方程为x-y=0

B.公共弦的长为应

C.线段48中垂线方程为x+y-l=0

D.尸为圆。，上一动点，则尸到直线48距离的最大值为交+1

2

【答案】ABC

【分析】对于A,两圆方程作差即可求出公共弦方程；

对于B,求出一个圆的圆心到公共弦的距离，利用垂径定理计算即可；

对于C,线段月8的中垂线即为两圆圆心的连线，利用点斜式求解即可；

对于D,求出仪到公共弦的距离，加上半径即可求出最大值.

【详解】对于A,因为圆G：x2+/-2x=0和圆。2：/+/+2》-4夕=0的交点为48,

作差得4x-4y=0,所以圆Q与圆色的公共弦48所在的直线方程为x-y=0,故A正确；

对于B,圆。2：x2+_/+2x-4y=0的圆心为。2（-1,2）,半径々=石，则圆心Q（-l,2）到直线

A,,D„1-2|3>/2

x-y=0的总巨离d=ll1=——,

J22

所以圆Q与圆。2的公共弦48的长为2J（百）2-（乎）=&,故B正确；

2

对于C,因为圆心q（L0）,。2（-1，2）,QU所在直线斜率为一L=-1，

所以线段的中垂线的方程为尸0=-（x-l）,即x+y-l=0,故C正确；

对于D,由选项B易得，P到直线月8的距离的最大值为述+石，故D错误.

2

故选：ABC.

11.已知双曲线：-£=is>0）右焦点为耳，过耳且垂直于X轴的直线与双曲线交于a8两

点，点/（-4,0）,若△/B尸为锐角三角形，则下列说法正确的是（）

A.双曲线过点(-2,0)

B.直线3x-y=0与双曲线有两个公共点

C.双曲线的一条渐近线y=gx的斜率小于手

D.双曲线的离心率取值范围为L，0叵]

【答案】ACD

【分析】将点(-2,0)代入双曲线即可判断A选项，然后结合题干信息得到+从

而可求出离心率的范围进而可判断D选项，再结合c的范围利用放缩即可判断C选项，联立根据公

即可判断B选项，进而可得出结果.

【详解】A选项：将点(-2,0)代入双曲线，得到?-彳=1,符合，所以双曲线过(-2,0)点，故A

选项正确；

b2

D选项：因为△招F是锐角三角形，所以乙4@<£,则7.I，即

4tanZylrr1=-^—<tan—=1

〃<8+2c.因为双曲线占-4=1中。=2,所以〃=C2-/=C2—4,所以C2-4<8+2C,解得

4b-

1-Vi3<c<l+Vi3,所以上二叵<£<匕2叵.因为e=£>l,贝叵，所以双曲线的离

2a2a2

心率的取值范围是，♦手)，D选项正确；

C选项：双曲线的一条渐近线为y则斜率为2，—=-1,又£=£<匕』叵，则

22444a22

/上_]<*7=如叵，又屈,屈…所以。<如叵<2,即乙逑，故c选项

442242222

正确，

22

\y2

B选项：联立了一5句伯,。)，得片_6^1=1，即伍2_36)/_4从=0,则

3x-y=04b2

△=0+166*2-36),由C选项得，b<6,止匕时A<0,故B选项错误.

故选：ACD.

【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，

常见有两种方法：

①求出a,c,代入公式0=£；

a

②只需要根据一个条件得到关于“，6,c的齐次式，结合炉=。2—〃转化为。,。的齐次式，然后

等式(不等式)两边分别除以a或/转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值

范围).

12.若函数y=/(x)的图象上存在两个不同的点P,Q,使得/(X)在这两点处的切线重合，则称函

数y=/(x)为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是()

A.y=sinx+cosxB.y=sin(cosx)

C.y=x+sinxD.j^=x2+sinx

【答案】ABC

【分析】求出导函数，确定切线斜率，选项AB,过图象最高点(或最低点)处的切线是同一条直

线，可判断，选项C,由导函数斜率相等的点有无数组，结合函数单调性，确定斜率为1的切线，

可判断结论，百选项D,导函数是单调增函数，因此不存在斜率相等的两点，这样易判断结论.

【详解】A,f(x)=sinx+cosx=41(^-sinx+cosx)=V2sin(x+.

/'(x)=V^cos(x+f),x=2k7r+^-,kEZm，/,(x)=0,/(x)取得最大值

44

直线y=也是函数图象的切线，且过点(2版■+?,后),keZ,函数是“切线重合函数”；

B,/(X)=sin(cosx),f\x)=-sinxcos(sinx),x=2k/r,kff\x)=0,cosx=l,

-sinl</(x)<sinl,此时/(x)=sin1是函数的最大值，

直线》=sin1是函数图象的切线，且过点(2左肛sinl),/twZ,函数是“切线重合函数二

C,/(X)=x+sinx,/"(X)=1+cosx,

x=2^+y,A-e/(x)=1,/(2攵;r+§=2%乃+],

jrjr-JrTT

过点(2丘+5,2履+5+1),丘Z的切线方程是y-(2版■+5+l)=x-(2%r+5),即y=x+l,因此该

切线过/(x)图象上的两个以上的点，函数是“切线重合函数”；

D,/(x)=x2+sinx,/'(x)=2x+cosx,令g(x)=/'(x)=2x+cosx,

则g'(x)=2-sinx>0,所以g(x)即/(x)是R增函数，因此函数图象上不存在两点，它们的切线斜

率相等，也就不存在切线过图象上的两点，因此函数不是“切线重合函数”.

故选：ABC.

【点睛】本题考查导数的几何意义，解题关键是理解新定义，实质仍然是求函数图象上的切线方

程，只是要考虑哪些切线重合，因此本题中含有三角函数，对三角函数来讲，其最高点或最低点是

首选，对其它与三角函数有关的函数，涉及到其中三角函数的最大值或最小值点也是我们首选考虑

的.

三、填空题

13.阅读材料：空间直角坐标系。-xyz中，过点NX。,%*。）且一个法向量为万=（a,b,c）的平面a

的方程为“（》-%）+65-4）+。（2-2。）=0,阅读上面材料，解决下面问题：已知平面a的方程为

3x-5y+z-7=0,直线/是两平面x-3y+7=0与4y+2z+l=0的交线，则直线/与平面a所成角

的正弦值为.

【答案】叵QM

3535

【分析】根据阅读材料可得平面a的一个法向量，再在两平面的交线上取两个点，从而得交线的方

向向量，由此利用向量夹角余弦的坐标表示即可得解.

【详解】因为平面a的方程为3x-5y+z-7=0,所以平面a的一个法向量万=（3,-5,1）,

又直线，上有两个点4T2,高，心」,一斗

所以直线/的方向向量为所=或=（3,1,-2）,

|9-5-2|回

所以直线/与平面a所成角的正弦值,为依.,研,=\m扁-n\=旨悬=皆.

故答案为：典.

35

14.已知P为正方体/8CZ）-48CQ表面上的一动点，且满足归/|=夜归身,48=2,则动点尸运

动轨迹的周长为.

【答案】（&+1）乃

【分析】首先根据条件确定尸点所处的平面，再建立坐标系求出动点尸的轨迹方程，据此求出轨

迹的长.

【详解】由|尸旬=&|尸耳,/8=2可知，正方体表面上到点4距离最远的点为G,

所以2点只可能在面/8氐4,面Z8C。，面88CC上运动,

当P在面Z8C。上运动时;如图示，建立平面直角坐标系，

则，(0,0),8(2,0),

设尸(x,y),由|射=&眼|得:x2+y2=2[(x-2)2+y2],

即(尤-4)2+/=8,即P点在平面ABCD内的轨迹是以E(4,0)为圆心，以2&为半径的一段圆

弧，

因为£4=2后,8E=2，故=?,

所以P点在面ABCD内的轨迹的长即为工、2&=叵

同理，P点在面月88/内情况亦为2x2&=叵；

42

尸点在面上时，因为归/|=&户8|,NPBA=g,

所以/己48=£,尸8=2,

4

所以此时尸点轨迹为以8为圆心，2为半径的圆弧，

其长为，x2»x2=7r,

4

综上述，尸点运动轨迹的周长为2x与+乃=(&+1)乃，

故答案为：(收+1%.

15.设P（x,y）是曲线C：后+后=1上的点,

耳（-3,0）,工（3,0）,则归用+|尸用的最大值等于

【答案】10

【分析】作出曲线c和椭圆［+《=1的图象，延长用5交椭圆于点可得出|MG|+|g卜10,

2516

由三角形三边关系得出|可|+|「用4阿用+|M周=10,当且仅当点P为椭圆的顶点时，等号成立,

由此可得出|尸耳|+|「用的最大值.

则点片、入分别为椭圆］+［=1的左、右焦点，由椭圆定义得四用+|阳用=10.

2516

延长耳尸交椭圆于点"，

当点P不在坐标轴上时，由三角形三边关系得|九①|+|岫|>|「周，

所以，|P4|+归用<俨用++可用=|岫|+1"周=10；

当点P为椭圆C的顶点时|尸耳|+|「用=10.

综上所述，I尸百|+|尸玛区10,因此，|尸耳|+忸周的最大值为10.

故答案为：10.

【点睛】本题考查曲线与方程之间的关系，同时也考查了椭圆定义的应用，建立不等关系是解题的

关键，考查分析问题和解决问题的能力.

16.函数〃x)=/-2x-3,定义数列｛相｝如下：x,=2,x向是过两点P(4,5)、的直

线PQ.与x轴交点的横坐标，数列｛》,｝的通项公式为.

4

【答案】七二3-拈叼

【分析】求出直线P0”的斜率、P0”的方程，令>=0得三”=?嘿，设g(x)=生;，令8(8)=*解

I”十/X+2

得x,从而、““-3=:者-3x„tl+l=-^—+1,两式相除可得土三是等比数列，从而求出x”.

小十/X“十二[X"+1J

f(x)-5x2-2r-3-5

【详解】由题意｛-4*0,直线PQ”的斜率为人，J'"彳—=匕+2,

x“-4x„-4

54x+3

所以产。“的方程为"5=(x.+2)(x-4),令y=0得：x=4--=-^--,

Xn十/十」

由题意，喂，设g(x)=&U，令g(x)=x可得：生?=X,解得：x=3或-1,

x“+2x+2x+2

<4,r+3x—3

从而X，H-3==-3,整理得：加-3=丁①，

人”十4人"十Z.

Xe+l=¥W+l，整理得：4*I+1="2②，

X”十/七+2

用式①除以式②可得：手胃=《.三，又套=T，

人”+1TIJ人"干I玉十I3

所以[上是首项为公比为9的等比数列，从而土

[x“+lj35xn+\3

故…一招三.

4

故答案为…=3-寸/

【点睛】方法点睛：运用“不动点法”，对递推关系为分式型数列，可顺利构造出等比(等差)型数

列，求出通项公式.

四、解答题

17.如图，在多面体/8CDE/中，底面/BC。为正方形，ED,平面Z8C7),BF1ABCD,

DA=-DE=\,ADA.DC.

2

E

(1)求证：XE〃平面8c产；

(2)若BF=1,求收与平面/CE所成角的正弦值；

(3)若M2平面ZCF,求平面/CE与平面ZCP夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

G

z2\

!

c/T

正

z3\

(!

\/3

【分析】(1)以点。为原点，所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，求得平

面8c尸的法向量，即可证明；

(2)根据题意求得平面/EC的法向量，结合线面角的公式即可得到结果；

(3)根据题意求得平面4C尸的法向量，结合二面角的公式即可得到结果.

证明：因为底面45CD为正方形，平面/8CD,故可建立如图所示的空间直角坐标系,

则0(0,0,0),"(1,0,0),E(0,0,2),C(0,1,0),8(1,1,0)

设户(1,1,f),则酢=(0,0,f),0=(-1,0,0),

故荏=(-1,0,2),设平面瓦(的法向量为G=(xj,z)

ii•BF=tz=0

则_,取N=l,贝什=0,1,0

n，FC=x=0

故乐i=0，而平面2FC,故4E//平面8尸C.

(2)因为|砺卜1,故尸(1,1,1),即脐而太=(-1,1,0),

设平面/EC的法向量为〃?=(x,y,z),

[in-AE=-x+2z=0一,、

故一，取z=l,则X=y=2,故机=(2,2,1

[m-AC^-x+y=0

设所与平面/CE所成角为。，则

sin0-Icos<EF,m>1=—2--=

1173x33

(3)由(1)可得丽^(LV),而万=(O,1J),

设平面的法向量为s=(x,y,z),

s-AF=y+tz=0-,、

则<-_,取z=l,贝”=y=T,故S=(T,T,1),

§ZC=-x+y=0

因为平面4CE,故面■IG,

故存在非零实数4,使得而=右，

即(1,1/-2)=,

[1=—At

故《个]，解得，=1,

[Z-2=X

故s=由(2)可得cos<s,机>="-=—»

'3x33

故ACE与平面ACF夹角的余弦值为史

3

18.已知在平面直角坐标系xQy中,40,1),8(0,4),平面内动点P满足21Pzi=|PB|.

(1)求点P的轨迹方程；

(2)点尸轨迹记为曲线r,若C,。是曲线「与x轴的交点，E为直线/:x=4上的动点，直线CE,

11

DE与曲线r的另一个交点分别为N,直线MN与x轴交点为Q,求两？+肉的最小值.

【答案】⑴》2+/=4

⑵W

【分析】（1）根据题意用两点间距离公式求解即可；（2）利用韦达定理求出M,N的坐标，进而求得

11

MN的直线方程，即可利用基本不等式求出而？+询的最小值.

【详解】（1）设尸（XJ）,则2商+（尸1）2=次+（尸4）2,化简得/+y2=4.

(2)由题意得C(-2,0),0(2,0),

设E（4#（fx0）,则直线CE的方程为y=：（x+2）,

直线。E的方程为y=］（x-2）,

F+2),得工、尤.,+J=。,

联立《

X2+/=4,363636

c4/272-2』124/

则与一2=下寿’即nn“=下育,％=w1（x“+2）=产育

72-2/24/、

则知

「+36'「+36,

联立卜=；(x-2),得匕&2»+/2_4=0,

x2+y2=4,4

则x"2=备'即心=1^'yN=^xN-2)=^,

N当士

(产+4，入47

24/-8/

①当fw±2百时，直线MN的斜率左::震一=]2_J

*+36-/+4

—

则rI士直/小线MV的j.^-x-Tr万-1程为8/=8~/~-[\x--27/——8,

r+412-?-[r+4)

Qf

即八7T7(x-i),0(1,0),

LZ.—t

②当f=±2a时，直线MN垂直于x轴，方程为x=l,也过定点。。,0).

综上，直线MN恒过定点0(1,0).

又XCQMS/\DQN,

所以|吸|包0|=1*00|=3,

当且仅当|A/Q|=6时取等,

11

所以两+府的最小值为“2

19.已知双曲线C：=的左、右焦点分别为£、F,直线/过右焦点名且与双

a~b2

曲线C交于A、8两点.

(1)若双曲线C的离心率为#,虚轴长为2/，求双曲线C的焦点坐标；

⑵设a=l,b=也,若/的斜率存在，且(可+耶)•荏=0,求/的斜率；

(3)设/的斜率为A，S.\OA+OB\=\OA-OB\,求双曲线C的离心率.

【答案】⑴(-G@,(G,o)

(2)土平

⑶2

【分析】(I)由离心率公式和。力,。的关系，即可得到结果；

(2)求出右焦点的坐标，设出直线方程，与双曲线方程联立，由韦达定理结合已知条件，即可求

出直线的斜率.

(3)设直线/的方程为y=©x-c),与双曲线方程联立，消元，运用韦达定理，结合由题意得出的

OAOB^O,即可得到。、。的关系，从而求出离心率.

【详解】(I)解：由题意得26=2贬,e=£=百”=/+/,

a

解得。=1,6=也,c=6,

故双曲线。的焦点坐标为(-百,0卜(6,0).

(2)解：双曲线=可得6(2,0),

设”(士,必),8(々,%)，直线/的斜率为：4二"二21,

设直线/的方程为N=«(X-2),

y=kx-2k

联立直线与双曲线的方程，V2,

X~~—=\

I3

消去y得(3-公卜2+4h—4公-3=0,

由直线与双曲线有两个交点，则3-公=。且△=36(1+切＞0,即心土右，

/17,2(4k2、\2k

可得再+々=正与，则必+力=左(西+3-4)=上〔/二§-41=产二3，

又耳力=(%+2,乂)，月8=伍+2,%)

(用+耳可ZB=O,可得(演+七+4,必+y2)-(x2-x],y2-yl)=0,

即。+3+4)仁-再)+(M+))(％-%)=°，

将左=三21代入上式，可得占+七+4+(必+%)4=0,

X2~Xl

4k2,12k.八—rzpii23

得—2---F4H-----左=0,可得人——,

七2一3a-35

解得我=土巫，即/的斜率为土姮.

55

(3)解：右焦点为鸟(c,0),设直线/的方程为y=%(x-c),/(演,乂),8(*2，%),

y=k(x-c)

联立直线与双曲线的方程/2

b-F=1

消去y得：(〃一a2k2)x2+2ca2k2x-a2k2c2-a2b2=0,

A=4c2a4kA+4伍2一〃2公),2%2c2+02b2)>o,

-2ca2k2-a2k2c2-a2b2

12h2-a2k212b2-a1k2

2222

则yty2="区_C)(x2-c)=A:[x,x2+c-c(x,+x2)]=A-今，

由〔ON+08卜10/4—OB^,得(04+OB)=(04—OB),

整理得dZ砺=0，则西入2+%歹2=°，

g|Ja2h2+a2k2c2+k2(^a2h2-b2c2)=0,

则〃%2+。242(/+/)+%?一〃(/+〃)]=o.

a2h2

整理得k2

力-2/

因为/的斜率上*所以在总占

整理得〃=3/,

则c2-a2=3a2,c2=4a2,c=2a,

所以离心率e=—=2.

a

20.设几为正实数，若各项均为正数的数列｛4,｝满足：VneN,,都有。向2a,,+2.则称数列｛《,｝

为PQ)数列.

(1)判断以下两个数列是否为尸⑵数列：

数列A：3,5,8,13,21；

数列B：log?5,兀，5,10.

(2)若数列｛〃｝满足4>0且="+"3-而I,是否存在正实数2,使得数列也｝是P(㈤数

列？若存在，求彳的取值范围；若不存在，说明理由.

(3)若各项均为整数的数列｛«„｝是尸⑴数列，且｛%｝的前机(加之2)项和4+々+4+…+%为150,

求明+加的最小值及取得最小值时%的所有可能取值.

【答案】(1)数列A是，数列8不是；

(2)不存在，理由见解析；

(3)答案见解析.

【分析】(1)根据定义验证22是否恒成立，即可判断；

(2)假设存在，则由已知6"+[=6“+J〃+3-dn+l可推得6”+1—6,</・

当〃>好时，b,l+i-bn<^<A,这与假设矛盾，所以不存在；

(3)根据已知推出《向2勺+1,进而推出。„,2心，am_x<am-\,L,<a„,-(/n-1),相加可推

得明2空+£■-2.根据基本式，结合题意可得明,+〃，的最小值不小于30.进而得出力的范围，得到

所有可能的整数解.分情况讨论，得出数列，即可得到%的所以可能的取值.

【详解】(1)根据定义，尸⑵数列应满足都有。用之[+2,

即。川-。,,22恒成立.

对于数列A：有5-3=222,8-5=3>2,13-8=522,21-13=822均满足，所以数列A是

尸(2)数列;

对于数列8,因为5-兀<2不满足，所以数列8不是P(2)数列.

(2)不存在正实数2,使得数列抄“｝是尸(㈤数列.

说明理由如下：假设存在正实数2，使得数列｛4｝是P(㈤数列，

则V〃eN*,都有%>b„+A,即"恒成立.

因为bn+l=b“+y/n+3-\jn+1,

所以明「"=而-内=7方|工7T(京‘

当■时，》<入,这与假设矛盾.

所以，不存在正实数4,使得数列抄“｝是P(㈤数列.

(3)因为数列｛%｝是尸⑴数列，所以知+后怎+1.

所以42am-I+12°时2+22…24+机-12机，

所以am_2<am_x-\<am-l,«,„_3<«,„_2-1<«m-3,L,«2<a3-1<-(/n-2),

所以％+&+%+•••+6”4机*,一口+2+3+…+(*-1)]=加册",

,150tn1

即150K〃nz,“--------,所以之一^一+彳一

匚匕^1503m1J1503〃?1»159

所以勺+加之+—■■一力22X---=30--=—,

m22\m2222

因为数列｛〃“｝是整数列，所以册+机的最小值不小于30.

假设勺+加=30,必有地+”一!430,解得§4机412,

m223

因为机eN”，所以m可取9,10,11,12.

当〃?=9时，a„,=21,存在满足条件的数列.

%=10,tz2=14,%=15,aA=16,a5=17,a6=18,%=19,4=20,a9=21；

当机=10时，am=20,存在满足条件的数列.

%=6,a2=12,a3=13,a4=14,%=15,tz6=16,%=17,a8=18,%=19,al0=20；

当加=11时，品=