第10讲 幂函数与二次函数（教案）（含解析）2023年高考数学二轮考点复习

第10讲幕函数与二次函数

考点1:幕函数的图象与性质

考点2:二次函数的解析式

幕函数与二次函数

二次函数图像的识别

考点3:二次函数的图象和性质

<二次函数的单调性与最值

H走进教材・自主回顾上

i.幕函数

⑴定义

形如y=xa(aGR)的函数称为嘉函数，其中底数尤是自变量，a为常数.常见的五类嘉

1

函数为y=x>y=x2>y=^3，y=x2.>\=尤-1.

(2)性质

①幕函数在(0>+网上都有定义；

②当a>0时，幕函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，+oo)上单调递增;

③当a<0时，募函数的图象都过点(1，1)，且在(0，+oo)上单调递减.

2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

①一般式：—=加+法+<:(4#0)；

②顶点式：Ax)=a(x-〃2)2+”(“#));

③零点式：*x)=a(x-xi)(x-X2)(a*0).

(2)二次函数的图象和性质

fix）=a^+bxf^x）=a^-\-bx

解析式

+c（〃>0）+。（。<0）

\Lz

图象

/°\V

定义域（—00，+co）（-oo，+oo）

4ac—b2）

值域L4a'+叼14a」

在（一二’一€上单调递减；在（一8'—勖上单调递增；

单调性

在'+℃）上单调递增'+℃）上单调递减

在

奇偶性当b=0时为偶函数，当厚0时为非奇非偶函数

（b_44。一吟

顶点V2a4a）

h

对称性图象关于直线尤=—或成轴对称图形

考点探究-题型突破

A考点1******

［名师点睛］

1.对于福函数图像的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即X

=1,y—1,y=无所分区域.根据a<O,O<a<l,a—1,a>l的取值确定位置后，其余象限

部分由奇偶性决定.

2.在比较嘉值的大小时，可结合嘉值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比

较.

3.在区间（0,1）上，嘉函数中指数越大，函数图像越靠近x轴（简记为“指大图低”），在区

间（1,+到上，黑函数中指数越大，函数图像越远离x轴（简记为“指大图高”）.

［典例］

m

1.（2022•全国•高三专题练习）若累函数”（m,HEN%m,〃互质）的图像如图所示,

A.m,〃是奇数，且慢<1

n

B.根是偶数，”是奇数，且%>1

n

C.他是偶数，W是奇数，且‘<1

n

D.机是奇数，〃是偶数，且竺>1

n

【答案】C

【解析】

由图知事函数/U）为偶函数，且竺<1,排除B,D；

n

当加，"是奇数时，事函数於）非偶函数，排除A；

故选：C.

2.（2022•全国•高三专题练习）暴函数f（%）=（m2+5•-5），-。Z）是偶函数，且在（0,

+co）上是减函数，则根的值为（）

A.-6B.1C.6D.1或-6

【答案】B

【解析】

:幕函数/（*）=02+5»1-5）--3"，（„162）是偶函数，且在（0,+℃）上是减函数,

m2+5/77—5=1

，且77?-3机为偶数

m2—3m<0

〃Z=1或7"=-6

当〃?=1时，加2-3;〃=-2满足条件；当根=-6时，m1—3m=54>舍去

因此：m=1

故选：B

3.（2022•全国•高三专题练习）己知暴函数=的图象过点⑺,8）.设。=/（2必）,

2

^=/（0.3）,c=/（log20.3）,则a,b,c的大小关系是（）

A.b<c<aB.a<c<b

C.a<b<cD.c<b<a

【答案】D

【解析】

因幕函数/'（x）=（加一l）x"的图象过点（九8）,贝1Jm-1=1,且"=8,

于是得m=2,n=3,函数了（助=炉，函数/⑺是R上的增函数，

2203

而log20.3<0<0.3<1<20,则有/（log20.3）</（0.3）</（2）,

所以cvZ?<a.

故选：D

［举一反三］

1.（2022•北京•二模）下列函数中，与函数y=d的奇偶性相同，且在（0,y）上有相同单调

性的是（）

A.B.y=lnx

C.y=sinxD.y=x|x|

【答案】D

【解析】

由y=d为奇函数且在（0,内）上递增，

A、B：y=、y=inx非奇非偶函数，排除；

C：y=sinx为奇函数，但在（0,+8）上不单调，排除；

-x2,x<0.、

D：y=/（x）=/x>0，显然"一无）=一/5）且定义域关于原点对称，在（°，内）上递增，

满足.

故选：D

2.（2022•全国•高三专题练习）已知哥函数y=A尤）经过点（3,也）,则兀0（）

A.是偶函数，且在（0,+（»）上是增函数

B.是偶函数，且在（0,+8）上是减函数

C.是奇函数，且在（0,+oo）上是减函数

D.是非奇非偶函数，且在（0,+oo）上是增函数

【答案】D

【解析】

设幕函数的解析式为>=尤°,

将点（3,6）的坐标代入解析式得3"=0，解得a=；,

=函数的定义域为［0,+s）,是非奇非偶函数，且在（0,—）上是增函数，

故选：D.

3.（2022•全国•高三专题练习）函数/（x）=x2与g（x）=g）均单调递减的一个充分不必要

条件是（）

A.（0,2）B.[0,1)C.[1,2)D.(1,2]

【答案】C

【解析】

函数/（x）=x0-2单调递减可得。-2<0及。<2；

函数g（元）=（：］单调递减可得。<卜，解得0<〃<4,

若函数/（x）=x"-2与g（x）=1］均单调递减，可得0<”2,

由题可得所求区间真包含于（0,2）,

结合选项，函数与g（x）=（Bj均单调递减的一个充分不必要条件是C.

故选：C.

4.（多选）（2022•广东潮州•二模）已知暴函数/（X）的图象经过点（4,2）,则下列命题正确的

有（）,

A.函数/（尤）的定义域为R

B.函数/（x）为非奇非偶函数

C.过点p［o,£|且与“X）图象相切的直线方程为V=夫+；

D.若当">0,则"♦；八xJ>d%1X］

【答案】BC

【解析】

设〃耳=产，将点（4,2）代入〃耳=产，

11

得2=4%则a=5,即/。）=必，

对于A：〃x）的定义域为［0,E）,即选项A错误；

对于B：因为“X）的定义域为［0,内），

所以/'（x）不具有奇偶性，即选项B正确；

对于C：因为/（x）=x5，所以,'（x）=H，

设切点坐标为卜o,A）,则切线斜率为％=（"。）=可上，

切线方程为y-.=J=（x-x°）,又因为切线过点P（0,g,

26（）2

所以;一6'=7"一尤。），解得%=1,

22Po

即切线方程为即y=；x+g,

即选项C正确；

对于D：当0<玉<々时,

[”占）+/（*_产自+々）J%+X1

2T~

7

即“xj+"%）</（士玉）成立,即选项D错误.

22

故选：BC.

5.（2022•海南•文昌中学高三阶段练习）己知嘉函数/（x）=x"（ae&过点A（4,2）,则/（：）

【答案】|

【解析】

点A（4,2）代入幕函数〃x）=x"解得a=；,〃x）=£,=1

故答案为：

6.（2022•北京通州•一模）暴函数〃力=/在（0,+功上单调递增，8（%）=*'在（0,+8）上单

调递减，能够使y=/（x）-g（x）是奇函数的一组整数租，w的值依次是.

【答案】1,-1（答案不唯一）

【解析】

因为基函数f（x）=/在（0,+8）上单调递增，所以%>0,

因为暴函数8（%）=尤"在（0,+8）上单调递减，所以〃<0,

又因为y=/（x）-g（x）是奇函数，所以幕函数/⑺和塞函数g（x）都是奇函数，所以冽可以

是1,w可以是-1.

故答案为：1,-1（答案不唯一）.

7.（2022•重庆•二模）关于X的不等式（X-1广—29999.胃99<x+i,解集为.

【答案】[-L-）

【解析】

由题设，(X-1)9999_(2x)9翔Vx+1,而y=/99在R上递增,

当x-l>2x即x<-l时，（X-1）9999-（2X）"99>0>X+1,原不等式不成立；

当龙-1V2X即X2T时，（尤-1）9999一（2x）9999V0VX+1,原不等式恒成立.

综上，解集为［T,田）.

故答案为：［-L+00）

8.（2022•全国•高三专题练习）如图是累函数y=尤％（编>0,i=l,2,3,4,5）在第一象

限内的图象，其中a/=3,a2=2,«3=1,。4=；，%=；，已知它们具有性质：

①都经过点（0,0）和（1,1）；②在第一象限都是增函数.

请你根据图象写出它们在（1,+oo）上的另外一个共同性质：.

»//

【答案】a越大函数增长越快

解：从累函数的图象与性质可知：①a越大函数增长越快；②图象从下往上a越来越大；③

函数值都大于1;④a越大越远离无轴；⑤a>l,图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为

倒数时，图象关于直线y=x对称；⑧当a>l时，图象在直线y=x的上方；当0<a<l时，

图象在直线y=x的下方.

从上面任取一个即可得出答案.

故答案为：a越大函数增长越快.

9.（2022•广东深圳•高三期末）已知函数f（x）的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，

则满足上述条件的幕函数可以为.

【答案】V（答案不唯一）

【解析】

设募函数〃司=/，

由题意，得/（x）=x“为奇函数，且在定义域内单调递增，

rvt

所以a=2〃+l（〃EN）或。=—（W是奇数，且互质），

所以满足上述条件的幕函数可以为/（X）=X3.

故答案为：/（答案不唯一）.

10.(2022•北京•高三专题练习)已知幕函数Mx)=(苏一5〃1+1卜'用为奇函数.

(1)求实数〃2的值；

(2)求函数g(x)=/z(x)+Jl-2/z(x)[xe的值域.

【解】(1);•函数刈同=(用-5"z+l)x"M为塞函数，

/.m2-5m+l=1,解得m=。或5,

当m=0时，/z(x)=x,M%)为奇函数，

当机=5时，h(x)=x6,M%)为偶函数，

函数为奇函数，.•.机=0；

(2)由(1)可知，h^x)=x,则g(x)=x+&-2元,xe0,；

令A/1-2x=19则x=-5j+e，(0,1]9

则/⑺=+/+；=_g(/_l)2+],te(0,1],

函数了⑺为开口向下，对称轴为U1的抛物线，

.・・当，=0时，函数〃。)=；,

当1=1,函数/⑺取得最大值为1,

二/⑺的值域为1，1,故函数g(x)的值域为g，l.

＞考点2二次函数的解析式

[典例]

1.（2022•全国•高三专题练习）已知二次函数八尤）满足/（2）=-1,八-1）=—1,且八x）的

最大值是8,二次函数的解析式是

【答案】J（x）=-4x2+4x+7.

【解析】

法一（利用“一般式”解题）

设fix)=ax2+bx+c(a班)).

4〃+2b+c=-1,CL——4.

由题意得a-b+c=-l,解得<6=4,

4ac-b2门c=7.

-——二&

4〃

所求二次函数为兀v）=-4/+4X+7.

法二（利用“顶点式”解题）

设fix)=a{x~m)2+M(G#0).

因为/(2)=/-l),

所以抛物线的对称轴为、=”=：,所以巾=称

又根据题意，函数有最大值8,所以"=8,

所以y=Ax)=a(x-^)2+8.

因为/(2)=-1,所以。(2-3)2+8=-1,解得。=—4,

所以/(x)=-4(x-1)2+8=—4N+4X+7.

法三（利用“零点式”解题）

由已知y(x)+l=o的两根为无7=2,X2=—l,

故可设Ax)+1—a(x—2)(x+1)(^0),

SPf(x)=ax2—ax—2a—l.

又函数有最大值8,即4&-2"1）-（一4-=8.

4a

解得a=—4或4=0(舍).

故所求函数的解析式为_/<>）=-4x2+4x+7.

故答案为：式》）=-4/+41+7.

2.（2022•全国•高三专题练习）己知为二次函数，"0）=0,〃2x+l）-/（x）=d+3x+2,

求〃尤）的解析式.

【解】

解：因为/(%)为二次函数，所以设/(%)=办2+区+,，因为"0)=0,所以c=0,

所以〃%)=办2+区,

所以/(2%+1)=々(2%+1)2+〃(2%+1)=4以2+(4〃+2/7)%+(〃+6),

因为/(2x+l)-〃%)=X2+3%+2,所以3办之+(4a+b)%+(“+/?)=%2+3%+2,

所以3a=l,4a+b=3,a+b=2,所以〃=g,Z?=j,所以/(%)=.

［举一反三］

1.(2022•全国•高三专题练习)若函数丫二。一+2过定点尸，以尸为顶点且过原点的二次函

数八%)的解析式为()

A./(J;)=-3X2+6xB./(X)=-2X2+4X

C./(X)=3J;2—6xD./(X)=2X2-4X

【答案】A

【解析】

对于函数丁=优一1+2,当x=l时，y=a0+2=3f

所以函数y="T+2过定点产(1,3),

设以尸(1,3)为顶点且过原点的二次函数"%)=Q(X-+3,

因为〃%)过原点(。,。),

所以0=a(0-l)2+3,解得：々=-3,

所以/(%)的解析式为：/(x)=-3(x-l)2+3=-3x2+6x,

故选：A.

2.(2022•全国•高三专题练习)已知“力为二次函数，且/(x)=f+广(x)-1,则/⑴=(

A.f—2x+1B.%?_|_2%+1

C.2x2-2x+lD.2X2+2X-1

【答案】B

【解析】

设</(%)=以之+fev+c(aw°),则f'(x)=2ax+b,

由/(x)=x2可得办2+for+c=x2+2ax+(&-1),

。=1a=\

所以，'b=2a,解得<6=2,因此，/(X)=X2+2X+1.

c=b-lc=l

故选：B.

3.(2022•全国•高三专题练习)已知了⑺是二次函数且满足/(0)=1"(%+1)-/(幻=2%,则

函数/⑺的解析式为.

【答案】f(x)=x2-x+l

【解析】解：由题意，设/(%)=狈2+版+o(。。0),

因为/(。)=1,即c=l,所以/(%)=〃/+Z?x+1,

所以于(x+1)-f(x)=[a(x+1)2+b(x+1)+1]—(ox?+笈+1)=2ax+a+b=2x,

f2a=2

从而有＜,n＞解得4=1,6=-1,

[a+b=0

所以f(x)=x2-x+1,

故答案为：f(x)=x2-x+l.

＞考点3二次函数的图象与性质

［名师点睛］

二次函数最值问题的类型及求解策略

(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变

动.

(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是

对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.

［典例］

1.(2022•全国•高三专题练习)函数/'⑺二加+二+4”。)和函数g(x)=c.尸(x)(其中

尸(x)为〃尤)的导函数)的图象在同一坐标系中的情况可以为()

①②③

【答案】B

【解析】易知/'(%)=2or+b,贝！]g(尤)=2acx+Z?c.

由①②中函数g(x)的图象得[c<0，

[a<0/、b

若cv。，则7八，此时〃O)=cvO,-白>。，

[b>02a

又Q<0,所以/(%)的图象开口向下，此时①②均不符合要求；

伍〉0,、b

若C>0,则｛7n9此时/(°)=。>°，一>0,

[/?<02a

又a>。,所以〃x)的图象开口向上，此时②符合要求，①不符合要求；

由③④中函数g(x)的图象得

[a<0/、b

若c>0,则八，止匕时———>0,

[Z?>02a

又a<0,所以/(x)的图象开口向下，此时③符合要求，④不符合要求；

/、b

若c<0,则7八，此时"0)=cv。，-->0,

[Z?>02a

又。>0,所以“X)的图象开口向上，此时③④均不符合要求.

综上，②③符合题意，

故选：B.

2.(2022•全国•高三专题练习)二次函数〃x)=f+2⑪-1在区间上单调递减的一个

充分不必要条件为()

A.aWOB.aW—C.1D.2

2

【答案】D

【解析】解：因为“力=了2+2依-1的对称轴为x=-。，开口向上，所以一解得a4—l,

所以二次函数〃力=犬+2办-1在区间(-叫1)上单调递减的充要条件为aWT,

所以二次函数〃力=犬+20%-1在区间(f,l)上单调递减的一个充分不必要条件为aV-2；

故选：D

3.(2022•全国•高三专题练习)函数y=—在-2,-1上单调递增，则实数。的取值

范围是.

【答案】"

【解析】.，=一二一在-2,-!上单调递增，

x-ax-aL

f(x)=x2-ax-a^-2,-^-单调递减,

则一1V：,即a之一1,

22

同时需满足了(-2)/(-3>0,即］(a+4)(2a—l)<0,

24

解得-4<a<-,

2

综上可知ae—I'，］

故答案为：Tq］

4.(2022•湖南长沙•高三阶段练习)已知函数/(%)=/，g(x)=2ak-l|,。为常数.若对于任

意片,尤2引0,2］,且尤/<检，都有y(xj-F(x2)<ga)-g(%),则实数。的取值范围是

【答案】［0,1］

【解析】对于任意X7,检引0,2］,且尤/<X2,都有/(%)-/(X2)<g(%)-g(X2)，即

2

/(%1)-g(Xj)</(x2)-g(x2),F(x)=f(x)-g(x)=X-2a|x-1|,即歹(士)〈f(々)只需在［0,

2］上单调递增即可，

当x=l时，尸(力=1,函数图象恒过(1,1)；

当x>l时，F(x)=x2-lax+la；

当x<l时，F(x)=x2+lax-la；

要使方(%)在区间［0,2］上单调递增，则当1VXK2时，尸(幻=/一2以+2〃的对称轴

x=a<\,即

当0«X<1时，F(x)=x2+lax-2a的对称轴九=一。<0,即〃20；

.旦1+2ax1-2aW1-2axl+2a,

综上OVaWl

故答案为：［0,1］.

［举一反三］

1.（2022•全国•高三阶段练习）已知函数/（力二=4+法+<:,其中a>0,/(0)<0,a+b+c=o,

则（）

A.Vxe（0,l）,都有〃x）>0B.Vxe(0,l),都有〃x)<0

C.3^6（0,1）,使得了1）=0D.Hxoe(O,l),使得〃％)>0

【答案】B

【解析】

上

由a>0,/（0）<0,〃+b+c=O可知〃〉0,c<0,抛物线开口向上.因为

/（0）=c<0,f（V）=a+b+c=O,即1是方程,ax2+Z?x+c=0的一个根，

所以Vxe（O,l）,都有〃力<0,B正确，A、C<D错误.

故选：B.

2.（2022•全国•高三专题练习）已知函数>=办2+bx+cf如果a>b>c且a+b+c=O,贝！J它

的图象可能是（）

,h.

.</.B

【答案】A

【解析】由题意，函数；y=办？+bx+c,

因为a+6+c=0,令x=l,可得y=a+6+c=0,即函数图象过点(1,0),

又由“>"c,可得a>0,c<0,所以抛物线的开口向上，可排除D项，

令尤=0,可得y=c<°,可排除B、C项；

故选：A.

3.(2022•全国•高三专题练习)已知函数=-丘-8在［-2,1］上具有单调性，则实数2

的取值范围是()

A.k<-8B.k>4C.依-8或框4D.-8<^<4

【答案】C

k

【解析】函数/(x)=2f-丘-8对称轴为％=

4

要使Ax)在区间［-2,1］上具有单调性，则

kz-

-<-2^->l,：.k<-8^k>4

44

综上所述上的范围是：仁-8或校4.

故选：C.

4.(2022•山东济南•二模)若二次函数〃尤)=加+如+m<0),满足〃1)=/(3),则下列不

等式成立的是()

A./(1)</(4)</(2)B./(4)</(1)</(2)

C./(4)</(2)</(1)D./⑵<〃4)<〃1)

【答案】B

【解析】因为/⑴=/(3),所以二次函数/(xhnY+bx+c的对称轴为x=2,

又因为。<0,所以为4)<〃3)<以2),

又/(I)=/(3),所以/(4)</(1)</(2).

故选：B.

5.(多选)(2022•全国•高三专题练习)已知函数兀0=°了2+2。尤+4(°>0),若无/<叔,贝！1()

A.当Xl+X2>-2时，兀⑺勺(X2)

B.当％/+尤2=-2时，j{xi)=fiX2)

C.当Xl+X2>-2时，fi.Xl）>fiX2）

D.兀⑺与兀⑵的大小与〃有关

【答案】AB

【解析】二次函数段）二办2+2依+4（〃>0）的图象开口向上，对称轴为x=-l,

当X/+%2=-2时，XI,X2关于X=-l对称，则有於。=於2）,B正确；

当%+%2>-2时，而制<X2,则X2必大于-1,于是得尤有|%2-（-1）|>|-1-刈，

因此，点X2到对称轴的距离大于点力到对称轴的距离，即1M）勺（X2）,A正确，C错误；

显然当〃>0时，五%）与的大小只与制，X2离-1的远近有关，与〃无关，D错误.

故选：AB

6.（多选）（2022•全国•高三专题练习）若函数y=x2-4x-4的定义域为［0,a）,值域为［-8,T］,

则正整数。的值可能是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】BC

【解析】

函数>=/-4x-4的图象如图所示：

因为函数在［0,a）上的值域为［-8,Y］,结合图象可得2<a<4,

结合。是正整数，所以BC正确.

故选：BC.

7.（2022•全国•高三专题练习）如果函数/（尤）=加+（°+6口一1在区间（9,1）上为增函数，

则实数4的取值范围是.

【答案】［-2,0］

【解析】当。=0时，f（x）=6x-l,在（-8』）上为增函数，符合题意，

当awO时，要使函数/（X）=Q%2+（〃+6）%_1在区间（-00,1）上为增函数，则需满足a<0且对

称轴为X=-孚21,解得：a>-2,即一2Va<0,

2a

综上所述：实数。的取值范围是：12,0］.

故答案为：［-2,0］

8.(2022•天津•高三专题练习)已知函数/(x)=f-2x在定义域卜1,可上的值域为［-U3］,

则实数”的取值范围为一.

【答案】［1,3］

【解析】函数/(x)=/-2尤的对称轴方程为》=1,在［-1,1］上为减函数，且值域为［-1,

3］,

当正1时，函数为增函数，且"3)=3

•.•要使函数/(x)=无2-2苫在定义域［-1,网上的值域为［-1,3］,实数〃的取值范围是［1,

3］.

故答案为：［1,3］

9.(2022•全国•高三专题练习)已知二次函数/(x)=&+bx+c,满足"0)=2,

/(x+l)-/(x)=2x-L

⑴求函数的解析式；

⑵若函数g(x)=〃x)-〃氏在区间［T，2］上是单调函数，求实数机的取值范围.

【解】

⑴由题意得：八0)=。=2,

/(x+1)—/(x)=«(x+l)2+Z?(x+l)+c—ov2—bx—c=2ax+a+b=2x—l

所以2a=2,a+b=-l,解得：a=l,b=-