考点 7函数的单调性与最值（精练）-2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）（解析版）

第7练函数的单调性与最值

伺③②_____________________________

一、单选题

1.(2021•广东•小榄中学高一阶段练习)函数/。)=-尤2+2(1_m次+3在区间(f,4]上单调

递增，则用的取值范围是()

A.[-3,+oo)B.[3,+oo)

C.(―°o,5]D.(―—3]

【解析】函数f(x)=-x2+2(1-m)x+3的图像的对称轴为x=-迫普=l-m,

-2

因为函数/U)=+2(1-Mx+3在区间(7,4]上单调递增，

所以1一“吐4,解得m4-3,

所以加的取值范围为

故选：D

2.(2020•浙江•高一期末)下列函数在R上是增函数的是()

A.丫=_》+1B.y=x2C.y=3工D.y=一

【解析】根据定义域的要求：选项D定义域Joo,0)=(0,+8),故排除D；

A选项：在/?上为单调递减：故排除A：

B选项：在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，故排除B；

C选项：因为3>1,所以y=3”在R上单调递增，

故选：C.

3.(2022•全国•高一)下列函数既是偶函数又在(0,+8)上单调递减的是()

A.y=x+—B.y=-x3C.y=2-|x|D.y=--\

XX

【解析】厶项丫=*+丄，B项y=均为定义域上的奇函数，排除；

X

D项y=-1为定义域上的偶函数，在(0,*«)单调递增，排除；

x~

C项丁=2-|乂为定义域上的偶函数，且在(0,+00)上单调递减.

故选：C.

4.(2019•福建省仙游县郊尾中学高一期中)已知(/+a+2)’>(/+4+2>，则x的取值范

围为()

A.(-oo,l)B.C.(0,2)D.R

I7

【解析】/+。+2=3+)2+>1恒成立，

24

根据指数函数单调性，单调递增，

：.X>\-X,解得X>；,即X的取值范围是(g,+8)

故选：B.

5.(2022•河南•信阳高中高一期末(理))函数/(x)=x(|x|-l)在上的最小值为-丄,

4

最大值为2,则〃-机的最大值为()

A.-B.-+—C.-D.2

2222

【解析】当您0时，/(x)=x(|x|-l)=x2-x=(x-^)2--1>-^-,

当x<0时，/(x)=x(|x|-1)=-x2-x=-(x+^)2+^-,

作出函数f(x)的图象如图：

当X=；时，〃；)='•

当x<o时，由y(x)=-f-x=-；,

即4x2+61=0，

解得尤=-4±“2+4X4_-4土底=-4±4应=-1士应

2x4--8---8---

团此时x:土变，

2

机叽勾卜.的最小值为-二，最大值为2,

4

-\-yFi1

回〃=2,v<m<-,

22

回〃一切的最大值为2-土卫=9+立，

222

故选：B.

6.(2020•甘肃•张掖市第二中学高三阶段练习(文))下列函数中，既是偶函数又在区间(0,”)

上单调递增的是()

A.y=TB.y=x2-1

C.y=COS%D.y=f

【解析】对于D,因为函数的定义域为[0,内)，故函数y=J不是偶函数，故D错误.

对于A,)'=-％的定义域为R且它是奇函数，故A错误.

对于C,，=8$*的定义域为我，它是偶函数，但在(0,内)有增有减，故C错误.

对于B,丫=1-1的定义域为R,它是偶函数，在(0,«»)为偶函数，故B正确.

故选:B.

f-ffv+3?x<

7.(2022•陕西省商洛中学高二期末(文))已知函数〃幻=、2、，则不等式

[-x-+0?x>

/(a)>/(3a-4)的解集为()

A.[-g，+8)B.(2,+oo)C.(-<»,2)D.

【解析】根据题目所给的函数解析式，可知函数f(x)在(YO,4W)上是减函数，

所以。<3。一4,解得。>2.

故选：B

8.(2022・河南•济源市基础教育教学研究室高二期末(文))集合〃=卜--2犬<0},

A^={x|lgx>0},则MN=()

A.(0,2)B.(1,-KO)C.(1,2)D.(0,+s)

【解析】因为M=(O,2),N=(1,4W),所以MCN=(1,2),故选：C

9.(2022•全国•高三专题练习)己知定义在R上的函数〃x)满足/(x)=/(-x),且在[0,y)上

是增函数.不等式/3+2)«/(-1)对于万中,2]恒成立，则。的取值范围是()

A.-1,-1B.-1,-1C.-pOD.[0,1]

【解析】由题可知，.f(x)的图象关于y轴对称，且在(-8,0)上单调递减，

由/3+2)4/(-1)得—I4OT+241在［1,2］上恒成立，

7131

得一二一丄在［L2］上恒成立，因为y=一三和丁=一一单调递增，

XXXX

3.亠31

所以当x=2时，y=—取最大值为-不；当x=l时，y=—取最小值为-1,

x2x

.3

所以一2WaW-1.

故选:A.

10.(2022•广东,普宁市第二中学高一期中)已知定义在［。-1,2勾上的偶函数/(X),且当

xt［O,2句时，“X)单调递减，则关于X的不等式〃％—1)>〃21-口)的解集是()

B.丄2

66

122?

【解析】由题意。一1+2a=0,〃=工，f(x)的定义域［―可不，心。亨时，人幻递减，

又fM是偶函数，因此不等式〃x—l)>/(2工一3。)转化为/(卜一1|)>/(|2x-l|),

\x~^\-T»(x—^)2<(2x—I)2<—,解得

3936

故选：D.

、f—3x+3,x<0

IL(2022•陕西省商洛中学高二期末(理))已知函数/。)二一।、八，则不等式

e+l,x>0

/(〃)v/(3a—l)的解集为()

,［-3x+3,x<0

【解析】因为/(X)=-।、八，

［e+l,x>0

,pix<0时/(X)=—3x+3函数单调递减，且//x)>—3X0+3=3,

当xNO时/(x)=eT+l函数单调递减，且/(0)=e°+1=2<3,

所以函数f(x)在(7，”)上是单调递减，

所以不等式f(a)<等价于a>3a-\,解得“<g.

即不等式的解集为(TO，；)；

故选：c

12.(2023・全国•高三专题练习)已知定义在R上的函数/(x)满足：？'(力+/(6>0,且

"1)=2,则/(e»歯■的解集为()

A.(0,+oo)B.(In2,+oo)C.D.(0,1)

【解析】设g(x)=#(x),则g，(x)=")+/(x)>0,

故g(x)为R上的增函数，

而/(e,)>［可化为e"(e*)>2=1xf⑴即g(e，)>g⑴,

故e、>1即x>0，所以不等式〃e')>4的解集为(0,e)，

故选：A.

13.(2021•全国•高考真题(文))下列函数中是增函数的为()

A./(x)=-xB.=C./(x)=x2D.f(x)=^fx

【解析】对于A,/(x)=-x为R上的减函数，不合题意，舍.

对于B,〃x)=(|J为R上的减函数，不合题意，舍.

对于C,/(力=/在(3,())为减函数，不合题意，舍.

对于D,f(x)=取为R上的增函数，符合题意，

故选：D.

14.(2022•甘肃县第一中学高一期末)已知函数关于直线x=0对称，且当

为<々40时，)］(々-为)<0恒成立，则满足f(3x-1)>吗)的x的取值范围

是()

A.惇+8)B.卜喇(”)

UHlD.卜啕

【解析】由题意，函数f(x)关于代线x=0对称，所以函数/(x)为偶函数，

又山当药<*2V。时，［/(超)-/(占)］(》2-王)<0恒成立，

可得函数/(X)在(y，0］为单调递减函数，则在(0,+8)为单调递增函数，

因为可得|3x-l|>g,即3x-l>g或3x-l<-g,

解得x>[或送，即不等式的解集为卜o,|j嗚收)，

即满足了(31)>/出的x的取值范围是18,悖+“

故选：B.

15.(2020天津市滨海新区塘沽第一中学高一期中)已知奇函数/*),且g(x)=4.(x)在

[0,+(»)上是增函数.若a=g(-2),Zj=g(2°*),c=g(3),贝ija,b,c的大小关系为()

A.a<h<cB.c<h<aC.h<a<cD.b<c<a

【解析】因为f(x)是奇函数，

所以g(-X)=-犷(-x)=-x•(-“X》=对1(x)=g(x),g(x)是偶函数，

g(-2)=g(2),又2°8<2<3,所以g(2°x)<g(2)<g(3),即[<y.

故选：C.

16.(2022•全国•高三专题练习)已知函数〃幻=丝匚在(2,+8)上单调递减，则实数”的取

x-a

值范围是()

A.(-00,T)D(1,+oo)B.(—1,1)

C.(―,2]D.(。,-1)^(1,2)

a(xa)+fl21

【解析】根据题意，=—=-~=—+a,

x-ax-ax-a

若/(X)在区间(2,+co)上单调递减，必有卜T>°,

14,2

解可得：a<T或1<4,2,即。的取值范围为(-8,-1)0(1,2],

故选：C.

17.(2022•广西玉林•高二期末(理))已知。=孚，b丄,c=玉，则a,h,c的大小关

2e9

系为()

A.a>b>cB.a>c>b

C.h>a>cD.b>c>a

【解析】令/(x)=(，所以『(力=上黑

所以当xe(o,e)时，r(x)>0,/(x)=W单调递增；

当xe(e,y)时，r(x)<0,单调递减，

MI不In221n2In4,1Ine,、21n3In9

因为〃=丁<F=〃4),b=-=—=f(e),c=—=—=/((9)x,

所以"e)>/(4)>〃9),^b>a>c.

故选：C

18.(2022•江西省信丰中学高二阶段练习(文))已知奇函数Ax)是定义在R上的可导函数,

/(X)的导函数为了'(X),当x>0时，有2/(x)+矿(x)>0,则不等式

(x+2022)2/(x+2022)+4/(2)<0的解集为()

A.(-»,-2020)B.(9,-2024)

C.(-2020,+8)D.(-2024,-H®)

【解析】依题意，令g(x)=//(x),因/(X)是R上的奇函数，则

g(-x)=(-x)2/(-x)=-x2f(x)=-g(x),即g(x)是R上的奇函数,

当x>0时，g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=M2/(x)+货(刈>0,则有g(x)在(0,+co)单调递增，

又函数g(x)在R上连续，因此，函数g(x)在R上单调递增，

不等式(x+2022尸/a+2022)+4/(2)<0og(x+2022)+g(2)<0og(x+2022)<g(-2),

于是得x+2022<—2,解得x<—2024,

所以原不等式的解集是(f，-2024).

故选：B

19.(2022•广东•海珠外国语实验中学高二期中)己知是定义在R上的偶函数，当x>0时,

xf(x)-f(x)>()f且/i)=0,则不等式上@>。的解集是()

XX

A.(-1,0)|(0,1)B.(Y,1)I(1,+8)

C.(-co,-1).(0,1)D.(-1,0)；(1,+oo)

【解析】由题意，当x>0时，矿(x)：f(x)J4]>0,则函数31在(0,+8)上单调递

x~\_x]x

增，而yw是定义在R上的偶函数，容易判断工区是定义在(e,o)u(o,y)上的奇函数，

X

于是迫在(一,0)上单调递增，而於1)=0,则丄(4=0,型=0.

X-11

于是当XW(T,0)。(1,+8)时,四>0.

X

故选：D.

20.(2022・河北唐山•高二期中)已知凡r)是定义在R上的函数，且负2)=2,广。)>1,则危)

＞》的解集是（)

A.(0,2)B.(-2,0)J(0,2)

C.(—oo,—2)(2,+oo)D.(2,+oo)

【解析】令g(x)=/(x)-x,山题设知：g'(x)=/'(x)-l>0,即g(x)在R上递增，

又g(2)=〃2)-2=0,所以小)>x等价于g(x)>g(2),即x>2.

故选：D

21.(2020•浙江衢州•高一期末)已知函数"xbd+Mx+x/TW),若当de0,y时,

/(fsin*)+.f(4f-sine)>0恒成立，则实数f的取值范围是()

A.(0,1]B.f)C."D.你+8)

【解析】解：/(X)的定义域为R，

因为/(x)+/(-x)=x3+lg(x+yjx2+1)-x3+lg(-x+\lx2+i)=1g1=0，

所以/(x)为奇函数，

因为函数y=x\y=lg(x+7x2+l)在[0,+8)上均为增函数，

所以/(X)在。+8)上为增函数，所以/(x)在R上为增函数，

由/(fsin26»)+/(4r一sin0)>0得f(rsin2^)>-f(4t-sin0),

所以/(zsin26*)>/(-4?+sin6),

所以Zsin?e>-4z+sin8,即/sin?<9-sin<9+4r>0,

TT

当。eO.y时，sin[0,1],

令g(x)=枕2-x+4r,xe[0,l|

当t=0时，g(x)=-x40,舍去，

当时，对称轴为x=!，

当0<丄<1时，即t>:,则有g(3=4f-；>0,解得<>]，所以

2t22r4f42

当!<0时，即t<0,有g(l)=f-l+4f>0,得f>丄，所以

2t5

当时，g|10<r<p有g⑴=r-l+4r>0,得f>g，所以

综上，f€(S，+00),

故选：D

22.(2021•江西学高三阶段练习)己知〃x)=2W+cosx,xeR,若

21)20成立，则实数f的取值范围是

A.(o,：)B.0,1c.(-8,0)」［,+℃)D.(-a>,O］ufo,1

【解析】函数y=/(x)的定义域为R,关于原点对称，

Q/(-X)=2|-x|+cos(-X)=2|A］+cosX=/(x)，二函数y=/(x)为偶函数，

当x20时，/(x)=2x+cosx,/,(x)=2-sinx>0,

则函数y=/(x)在［0,E)上为增函数，

由〃lT)-/(l-2f)20得2f),

由偶函数的性质得〃|1-力二川1-训，

由于函数y=/(x)在［0,m)上为增函数,则|1T|印一2即(IT)&(i-2r『，

?r2'

整理得3/-2Y0,WW0<z<-,因此，实数f的取值范围是0,-,故选B.

23.(2023・全国•高三专题练习)已知函数“X)满足〃-x)=-7'(x),且对任意的

司,々€［0,物),王片当，都有‘(<>2J(1)=2020,则满足不等式

“2—玉

“x-2020)>2(x-1011)的x的取值范围是()

A.(2021次)B.(2020,y)C.(1011,+a>)D.(1010,^o)

【解析】根据题意可知，"、)一,°')>2

x2-x}

可转化为［"々A2々卜［"斗)-2冋>0,

当一七

所以f(x)-2x在［0,+8)上是增函数，又/(r)=-/(x),

所以f(x)-2x为奇函数，所以/(x)-2x在R上为增函数，

因为“x-2020)>2(x7011),/(1)=2020,

所以/(x-2020)-2(x-2020)>/(1)-2,

所以x-2020>1,

解得x>2021,

即x的取值范围是(2021,”).

故选：A.

24.(2022广东广州六中高二期中)已知函数/(为满足/(©+/(-幻=0,且当x€(3,0)时,

/(x)+矿(x)<0成立，若”=(2°6)./(2巧，b=(In2)./(In2),c=|^log2log2,则

a,b,c的大小关系是()

A.a>b>cB.c>h>aC.a>c>bD.c>a>h

【解析】因为函数“X)满足/(x)+/(-x)=O,g|J/(x)=-/(-x),且在R卜一是连续函数，

所以函数是奇函数，

不妨令g(x)=x-y(x),则g(-x)=—x./(—x)=x./(x)=g(x),所以g(x)是偶函数，

则g'(x)=/(x)+x・f(X),因为当xw(-oo,0)时，/(X)+犷(x)<0成立,

所以g(x)在xe(3,O)上单调递减，

又因为g(x)在R上是连续函数，且是偶函数，所以g(x)在(。，+8)上单调递增，

-lo

则a=g(206),/>=g(ln2),c=glog25f§2>

因为2°6>1，0<ln2<l,-log21=-(-3)=3>0,

8

所以ln2<l<2°6<-log,丄，所以c>a>6,

8

故选：D.

25.(2022•安徽学三模(文))已知a,b,ce(0,l)，且a—lna+l=e,b-\nb+2=e2,

c-lnc+3=e3,其中e是自然对数的底数，则()

A.c>b>aB.c>a>b

C.a>c>bD.a>b>c

【解析】加，b,cG(0,1),a—}na=e—\,b-lnb=e2-2ic-lnc=e3-3»

令/(x)=x-lnx,xe(O,l),/,(x)=l--=-~

xx

当x«0,l)时,r(x)<0,/(x)在(0,1)上单调递减，

令g(x)=e*-x,xe[l,+a)),g[x)=e*-l,当xN]时,e*-l>0，

所以g(x)在[1,+w)上单调递增，即e-l<e2_2<e3_3,

^la-]na<b-\nb<c-]nc,即/(tz)</(/?)</(c),

^[a>b>c.

故选：D.

4(2-In4)1In4

26.(2022•江西•模拟预测(理))设。=b=—，c=—,则a，b,。的大小顺

ee4

序为()

A.a<c<bB.c<a<b

C.a<b<cD.b<a<c

一

【解析】因为”=4(~21n4)=3,。=丄=巫，。=等构造函数/(》)=也，

eeee4x

z

则广(上又^，a"b=f3,c=/(4),

f(x)在(0,e)上递增,在(e,+oo)上递减.则有b=/(e)最大,即a<b,c<b.

若f=¥有两个解，则1<眞<6<七,正(0()，

所以InX=txi,Inx2=a?，所以In七-Inx2=txx-tx2,In%+Inx2=tx1+tx2,

即f=再，山(可电)="飞+七),

入2%

令g(x)=Inx-2。：)(X>1),则g，(x)=(:?、>0,

x+1x(x+l)

故g(x)在(l，+8)上单增，所以g(x)>g⑴=0,

即在。，+8)上，lnx>2(x-。

x+1

/、

2强_i

若工=强，贝ij有In至>丄-L即."n”>

CX,上+i々一不%+%

不

2t,

故"1^党,所以*%”.

当“2=4时，有彳"<e,故/匕<F(xJ=/(4)

4I4丿

所以〃<c.

综上所述：a<c<b.

故选：A

二、多选题

27.(2021・全国•高一单元测试)下列函数既是偶函数，在(0,+8)上又是增函数的是()

A.y=x2+1B.y=2xC.y=]x\

【解析】对A,开口向上，目对称轴为x=0,所以y=f+i是偶函数，

在(0,e)上是增函数，故A正确；

对B,y=2x为奇函数，故B错误；

对C,y=|x|为偶函数，当xe(0,+oo)时，y=x为增函数，故c正确；

对D,令/(x)='-x,f(-x)=丄+x=丄-x=/(x)为偶函数，

X-xX

当xe(O,l),y=1-x为减函数，故D错误，

x

故选：AC

28.(2021•全国•高一专题练习)已知幕函数f(x)=(涙-〃对任意X”％w((),+8),

且x尸々，都满足&"㈤>0,若且f3)+/S)<0,则下列结论可能成立的

xx-x2

有()

A.a+b>0且a6<0B.a+b<05.ab<0

C.a+h<0且a/?>0D.以上都可能

［解析】因为/(X)=(4—为塞函数，

所以，"2-帆-1=1,解得："7=2或，〃=-1.

因为任意知X2e(0,+oo),且工尸马，都满足-------；J>。，

X1~X2

不妨设公>2,则有了。)-/a)>0,所以y=/(x)为增函数，

所以，"=2,此时/。)=戸

因为/(-x)=(-x)3=-d=-f(X),所以/(X)=V为奇函数.

因为a力eR且/(“)+fS)<0,

所以/(a)</(4).

因为y=/(x)为增函数，

所以a<->，所以a+b<0.

故BC正确.

故选：BC

29.(2022•山东•烟台市教育科学研究院二模)已知“、6«0,1),且a+b=l,则()

,,1

A.«■+/?7■>—B.Ina+ln&<-21n2

2

C.lnaln/j>In22D.a+lnb<0

【解析】对于A选项，因为1=(〃+6)2=/+从+2"42(4+/)，

所以，a2+b2>^-,当且仅当。=》=:时，等号成立，A对；

22

对于B选项，由基本不等式可得用学)=；,当且仅当=；时，等号成立，

所以，lna+lnb=lnab〈ln丄=-21n2,B对，；

4

1Q133

对于C选项，取。=一，力=一，则ln〃lnb—ln22=ln—ln二一h?2=—21n21n,一h?2

44444

=ln2^1n--In<0,此时Inalnb<In?2,C错；

对于D选项，令〃x)=l-x+lnx,其中Ovxvl,

则/'(力=丄-1=匕±>0,所以，函数“X)在(0,1)上为增函数，

XX

因为0<bvl,则=1一b+ln匕=a+lnZ?v/(l)=O,D对.

故选：ABD.

30.(2022•山东滨州•高二期中)已知函数〃x)=W，5W=lg(>/?+i-^))则()

A.函数/(x)为偶函数

B.函数g(x)为奇函数

C.函数尸(x)=/(x)+g(x)在区间［T1］上的最大值与最小值之和为0

D.设尸(x)=f(x)+g(x),则*2a)+F(-l-a)<0的解集为(1,+8)

【解析】对于A：/")=仁，定义域为R,7(ThmM—Wn-Ax)，

JLI41IM1I厶

则”X)为奇函数，故A错误；

对于B：g(x)=lg(GTl-x),定义域为R,

g(-x)=lg(j(-x『+l-(-x))=-lg(\/x2+l-x)=-g(x),

则g(x)为奇函数,故B正确；

对于C：尸(x)=/(x)+g(x),/(x),g(x)都为奇函数，

则/(3)=/(力+8(”为奇函数，

F(x)=/(x)+g(x)在区间［T1］上的最大值与最小值互为相反数，

必有F(x)在区间［T,1］上的最大值与最小值之和为0,故C正确；

Ax

i_o?4-1—2I9

WD：/W=-=—__1,则“X）在R上为减函数,

2

g（x）=1g［yjx+l-x）=lglx2+i+x，则g（x）在R上为减函数，

则F（x）=〃x）+g（x）在R上为减函数，

若尸（2）+尸（一l-a）＜0即尸（2）〈尸（1+a）,

则必有2a＞l+a,解得。＞1,

即产（勿）+网的解集为（1,例），故D正确;

故选：BCD

三、填空题

31.（2021・全国•高一期中）定义在R上的奇函数/（X）在［（）,内）上是减函数，若

/（m）+/（3-2/77）＞/（0）,则m的取值范围为.

【解析】由题意，函数/（x）是在R上的奇函数，且在［0,M）上是减函数，

可得函数/（x）在R上单调递减，且/（。）=0，

又由不等式/（加）+/（3—2加）＞八0）,可化为入咐＞〃2加一3）,

即机＜2，w-3,解得,〃＞3,即的取值范围为（3,+＜»）.

故答案为：（3,+8）.

32.（2021•江苏•高一专题练习）设函数，则不等式/（1—凶）+/（2）＞0

（X—1j+1,X?＞1,

的解集为.

【解析】由函数解析式知f（x）在R上单调递增，且-/（2）=-2=/（-2）,

则/（1-|动+/（2）＞0=＞〃1屮）＞-/（2）=/（-2）,

由单调性知1-岡＞-2,解得3,3）

故答案为：（-3,3）

33.（2022•湖南•新邵县教研室高二期末）若对任意的毛，（加,+«））,且当芭＜不时，都有

Inx,一In2

—1一-＞——，则〃?的最小值是

%-x2xxx2------------

【解析】由题意得：0＜芭＜々，

所以玉一々＜0，

Inx-In2、/、

则----2"＞-----等价于与天（zIn玉-In赴）＞2（9一xj,

]为In玉+2<%Inw+2

3%2

令〃力=.vln：+2,则/a)</(动，

又々>玉〉，〃，

所以/(X)在(私收)上是递增函数，

所以((x)=*>0成立，解得x>2

所以〃7N2,

故机的最小值是2,

故答案为：2

34.(2022•江苏•扬州中学高二阶段练习)若命题"3%。41,5],xj+纯一2>0成立."是真命

题，则实数。的取值范围是

【解析】^f(x)=x2+ax-2,则解x)>0在[1,5]上有解,

f(x)开口向上且对称轴为X=△=/+8>0，

a、a

——<3——>3

所以2"或12,解得三.

/(5)=5tz-23>0[f(])=a-\>05

故答案为：(一■-,+°0J

35.(2022•广东•中山市迪茵公学高二阶段练习)已知函数〃x)=3x+g-6,函数

外同=1£手1_〃?，若对任意A；41,2],存在演e[5e],使得/(芭)“(莅)，则实数，”的取

值范围为.

【解析】由题意得了㈤皿点⑸皿

由题可得/,(x)=3一3=3。：",xe[l,2]时/(x)20,

故/(x)在口，2]上单调递增，/(x,)nBx=l

O

由题可得g'(x)=T^，X€[g,l)时g'(x)>0,xw(l,e]时g[x)<0,

故g(x)在弓,1)上单调递增，在d,e]上单调递减，期三)3=1-，"，

〃％),皿Vg(x2)g，即31-m,

故答案为：,8,(.

36.(2021•江西•高一阶段练习)已知函数/(x)=ln(Jl+f-q―1,若

/(2X-1)+/(4-X2)+2>0,则实数x的取值范围为.

【解析】令gGh/aHlwMJ/IT-x),对任意的xeR,J？W-x'W-xNO,

故函数g(x)的定义域为R，

因为g(x)+g(-x)=ln(\/x2+1-x)+ln(Jx?+1+x)=In(J?+l-x2)=0,

则g(-x)=_g(x)，所以，函数g(x)为奇函数,

当x40时，令11=朮+金-X，由于函数％=JiT?和％=T在(7,0］上均为减函数，

故函数〃=Jl+x2-x在(YO，。］上也为减函数，

因为函数V=ln"在(o,y)上为增函数，故函数g(x)在(-oo,0］上为减函数，

所以，函数g(x)在［(),+<»)上也为减函数，

因为函数g(x)在R匕连续，则g(x)在R上为减函数，

由f(2x-l)+/(4-犬)+2>0可得g(2x-l)+g(4-x2)>o,即g(d-4)<g(2x-l),

所以，X2-4>2X-1.即d-2x-3>0，解得x<-l或x>3.

故答案为：x<-l或x>3.

37.(2022•重庆市万州第二高级中学高二阶段练习)意大利著名画家、数学家、物理学家达•芬

奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用

下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖南的

世界第一悬索桥一一矮寨大桥就采用了这种方式设计.经过计算，悬链线的函数方程为

cos/i(x)=e；-,并称其为双曲余弦函数.若cos//(sin，+cos，)2cos//(,w-sin，coserj

IT

VOe0,-恒成立，则实数力的取值范围为.

【解析】因为COSM-X)=±F=COS〃(X),所以函数cos〃(x)=£-9是偶函数,

设X1,“2是(0,+8)上任意两个实数，且再VX”即今">0

e'+e"1eX2+e収eJ'er2-l

cos6-cos/?(x)=-----------=](e-

22e*e*2

因为W">0,所以9ve'e'e*>0,ev'eX2=e—>e°=l,

因此g(炉X、e'e^-l)

eD-----------<0,即COS/?(%)-COS力(/)<0=>COS/?(%1<cos/?(x2),

所以函数cos/?(x)=";是偶函数，且在(o.+8)是增函数，

cos〃(sin夕+cos>cos/?(/??-singeos夕)=>cosh(|sin0+cos^|)>cosh(^m-sin夕cos

jr

若cos〃(sin6+cos6)>cosh(m-sin8cos6)在V，w0,—上恒成立，

|sin^+cos^|=五sin[e+?)>|7?7-sin^cos0\,

又因为3sin(e+£)>o,(e+壽(咅]),

所以0由88§6—夜5也(6+7)工/%<0m8856+及0111(6+7)在0£0,y恒成立，

令/=sin8+cos8£11,血],而1+2sin0cos6=rnsin6cos0=~~~

=—

由y=sin9cos，_(sine+cosd)=耳/,/G^1,V2J,=s/2fbtymax—V2,

由y=sin6cose+(sin6+cos6)=；r+/+；,ZG^1,V2j,故/=1时，ym[n=2,

所以m的取值范围为；-&，2.

故答案为：；-&，2

38.(2022•上海・华师大二附中模拟预测)已知椭圆,+丁=1,过左焦点F任作一条斜率为

%的直线交椭圆于不同的两点"，N,点”为点M关于x轴的对称点，若&eg,1],则

△FATN面积的取值范围是.

【解析】由题意尸(7,0),设M析,X),N(x»y2),则MG，-y1),

直线/的方程为尸网x+1),

y=Mx+l)

与椭圆方程联立得1尤22,

2

消去y,(2k2+l)x2+4k2x+2fc2-2=0,

er-|,|-4k~2k~—2

*/1以％]+=9，

1-2F+11-2k2+\

因为上wg』],所以左2,,1,即2二一2,0,即NW”O,

不妨设芭-。，工2<°，

则S△尸MW=SN-SAMM，F=12y|x|々-X]I-于12ylix+11

=\)\IU(-x2-x1-1)=-||(x2+l)=-|A:|(xl+l)(x2+1)

-4左22后2―2

=一|左|(±+工2+飞巧+l)=_|k|(^^+2K+]+1)

,,,43-2餡+2-2炉-1R|1

=1kI-----------------------------=—z——=-----------—

2K+I2k-+12|娼+丄

1*1

令y=2lM+击,

由对勾函数的性质得，函数y=2lH+W在匕，理]上单调递减,

I女I32

在[也，1]上单调递增，所以%M=2及，

2

当k=9寸，y=：,当女=1时，y=3<2,

所以ye[2夜，-y],

所以点，3^'

即力財”碎，%

所以团FMW面积的取值范围是店，争，

故答案为：|《，乎].

四、解答题

39.(2021•湖南•长郡中学高一期中)已知/(x)=¥七，xe(-2,2).

(1)判断〃x)的奇偶性并说明理由；

(2)求证：函数/(x)是增函数.

【解析】(1)由题意，函数f(x)的定义域为(-2,2)关于原点对称，

又由〃-x)=(_{)：+4=~Y-t-4=-"”)，所以/(x)是奇函数.

(2)设为,々€(-2⑵，且为<三，

贝—漳漳=花牆^,

因为一2<F<2,所以工2-%>0，x\x2-4<0,

所以〃王)—〃电)<0,即/&)</(9),

所以函数f(x)在(-2,2)上是增函数.

40.(2021•广东•广州市真光中学高一阶段练习)已知函数/(x)=V—(aw

x+ax

I9

⑴若[(D=]J(2)=M，试确定“力的解析式;

(2)在(1)的条件下，判断了(X)在(-1,1)上的单调性，并用定义证明.

/(1)=-=-

【解析】(1)I+：2解得a=》=i,

〃2)=丄=2

IV'4+a5

所以〃力=七：

(2)函数/(X)在(-11)上单调递增，

证明：令一1<x<々<1,

贝IJ./■(再)-/(七)=-供7

-A।।1人)十1

_X](诙2+])-%(x：+1)

2

(<+1)(X2+1)

9->

_XjX2+k-.r/「-人

一卜：+1而+1)

=X/2(X2-X|)-(X