2023年中考数学二轮专项练习-二次函数-动态几何问题

2023年中考数学二轮专项练习：二次函数-动态几何问题

一、单选题

1,两个少年在绿茵场上游戏.小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，以相同的

速度沿。O逆时针运动一周回到点C,两人的运动路线如图1所示，其中AC=DB.两人同时开始

运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如

图2所示.则下列说法正确的是（）

|O|//、、

I©Ii-

o*I9M17.12t

•a

S1图2

A.小红的运动路程比小兰的长

B.两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇

C.当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点D

D.在4.84秒时，两人的距离正好等于。O的半径

2.将抛物线丫=-3x2平移，得到抛物线y=-3（x-1）2-2,下列平移方式中，正确的是（）

A.先向左平移1个单位，再向上平移2个单位

B.先向左平移1个单位，再向下平移2个单位

C.先向右平移1个单位，再向上平移2个单位

D.先向右平移1个单位，再向下平移2个单位

3.把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为

()

A.y=-2(x+1)2+2B.y=-2(x+1)2-2

C.y=-2(x-1)2+2D,y=-2(x-1)2-2

4.如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为(1,1),(3,1),(3,0),点A为

线段MN上的一个动点,连接AC,过点A作AB_LZC交y轴于点B,当点A从M运动到N时，

点B随之运动，设点B的坐标为(0,b),则b的取值范围是()

1CQ1Q

A.一了工人工1B.——<b<1C.--r<b<D.——<<1

5.将抛物线y=-2x2先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，两次平移后得到的抛物线的解析

式为()

A.y=-2(x+1)2+3B.y=-2(x+1)2-3

C.y=-2(x-1)2+3D.y=-2(x-1)2-3

6.如图，AC=BC,点D是以线段AB为弦的圆弧的中点，AB=4,点E是线段CD上任意一点，点

F是线段AB上的动点，设AF=x,AE2-FE^y,则能表示y与x的函数关系的图象是()

8.如图，在ZiABC中，ZC=90°,AB=10cm,BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以Icm/s的速度

运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程

中，四边形PABQ的面积最小值为（)

A.19cm2B.16cm2C.15cm2D.12cm2

9.二次函数y=-（x-1）2+3的图象的顶点坐标是（）

A.(-1,3)B.(1,3)

C.(-1,-3)D.(1,-3)

10.下列函数，其中图象为抛物线的是（）

1

A.y=-B.y=2xC.y=x2D.y=2x+3

11.下列函数中，二次函数是()

A.y=8x2B.y=8x+lC.y=-8xD.y=9

12.如图，矩形043c的顶点A、C分别在x轴、y轴上,OA=4,OC=3，直线，〃：尸-永从原

点。出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于

点“，N,直线m运动的时间为/（秒）,设△OMN的面积为S,则能反映S与t之间函数关系的大致

图象是（）

X

二、填空题

13.如图，P是抛物线y=x2-4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作OP,当OP与直

线y=2相切时，点P的坐标

为_____________________________________________________________________________________

14.如图，在AABC中，ZB=90°,AB=12mm,BC=24mm,动点P从点A开始沿边AB向B以

2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与

点C重合).如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过秒，四边形APQC的面积最

小.

15.如图，在RtAABC中，NC=90。，BC=4,BA=5，点D在边AC上的一动点，过点D作DE〃

AB交边BC于点E,过点B作BF±BC交DE的延长线于点F,分别以DE,EF为对角线画矩形

CDGE和矩形HEBF，则在D从A到C的运动过程中，当矩形CDGE和矩形HEBF的面积和最小

时，则EF的长度为.

16.如图，抛物线y=#—|%一号的图象与坐标轴交于A、艮£>,顶点为E,以AB为直径画半

圆交y轴的正半轴于点C,圆心为M,P是半圆上的一动点，连接EP,N是PE的中点，当P沿半

圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是.

17.如果将抛物线y=x2-2x-1向上平移，使它经过点A((),3),那么所得新抛物线的表达式

是.

18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=(x-2)2与X轴交于点A,与y轴交于点B,过点B作BC

〃x轴，交抛物线于点C,过点A作AD〃y轴，交BC于点D,点P在BC下方的抛物线上(不与点

B,C重合),连接PC,PD,设2kPCD的面积为S,则S的最大值是.

三、综合题

19.已知二次函数的图象以X(-l,4)为顶点，且过点6(2,-5).

(1)求该函数的关系式；

(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标；

(3)将函数图象向左平移多少个单位，该函数图象恰好经过原点.

20.如图，在四边形ABCD中，ZD=ZBCD=90°,ZB=60°,AB=6,AD=9,点E是CD上的一个

动点(E不与D重合)，过点E作EF〃AC,交AD于点F(当E运动到C时，EF与AC重合)，把

△DEF沿着EF对折，点D的对应点是点G.设DE=x,AGEF与四边形ABCD重叠部分的面积为

y-

(1)求CD的长及/I的度数；

(2)若点G恰好在BC上,求此时X的值；

(3)求y与x之间的函数关系式，并求x为何值时，y的值最大？最大值是多少？

21.如图1,在aABC中，NC=90°,点D在AC上，且CD>DA,DA=2，点P,Q同时从点D出

发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动，过点Q作AC的垂线段QR，使QR=PQ,连接

PR,当点Q到达点A时，点P,Q同时停止运动.设PQ=x,APQR与^ABC重叠部分的面积为S,

s关于X的函数图象如图2所示(其中0<9<xwm时，函数的解析式不同).

(1)填空：n的值为—；

(2)求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围.

22.如图，二次函数y=a/+bx的图象经过点4(2,4)与8(6,0)

(2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点，横坐标为%(2<x<6),写出四边形

OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值.

23.综合与探究：

如图，已知抛物线y=-暴2+%+4与x轴相交于A、8两点，与y轴交于点C,连接BC，点

P为线段BC上一动点，过点P作BC的垂线交抛物线于点。，请解答下列问题：

(1)求抛物线与X轴的交点A和8的坐标及顶点坐标

(2)求线段PQ长度的最大值，并直接写出及此时点P的坐标.

24.如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为(6,0),(6,8\动

点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动、其中，点M沿OA向终点A运

动，点N沿BC向终点C运动、过点N作NP_LBC,交AC于P,连结MP、已知动点运动了t秒、

(1)P点的坐标为(,)(用含t的代数式表示)；

(2)试求4MPA面积的最大值，并求此时t的值;

(3)请你探索：当t为何值时，4MPA是一个等腰三角形？

答案解析部分

1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】B

10.【答案】C

11.【答案】A

12.【答案】D

13.【答案】(2+V2,11(2-V2,11(0,31(4,3)

14.【答案】3

15.【答案】|

16.【答案】1.5兀

17.【答案】y=x2-2x+3

18.【答案】4

2

19.【答案】(1)解：设抛物线顶点式y=a(x+l)+4，将B(2,-5)代入得：a=-l,.♦.该函

2

数的解析式为：y=-(x+1}+4=一/一2%+3；

(2)解：令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为：(0,3),令y=0,r2-2久+3=0,解

得：%!=-3,x2=1,即抛物线与x轴的交点为：(-3,0),(1,0);

(3)解：设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧)，由(2)知：M(-3,0),N(1,0),

当函数图象向左平移经过原点时，乂与0重合，因此抛物线向左平移了1个单位.

过点A作AH1BC于点H,

•.•在RSAHB中,AB=6,ZB=60°,

，AH=AB・sinB=6x孚=3百，

VZD=ZBCD=90°,

.♦•四边形AHCD为矩形，

，CD=AH=3V3,

••.CD3&V3

飞*以/r0n=而=.=?’

...ZCAD=30°,

：EF〃AC,

/.Z1=ZCAD=3O°

(2)解：若点G恰好在BC上，如图2,

由对折的对称性可知RSFGE丝RtAFDE,

，GE=DE=x,ZFEG=ZFED=60°,

，ZGEC=60°,

•.♦△CEG是直角三角形，

，ZEGC=30°,

.,•在RsCEG中,EC=1EG=1x,

由DE+EC=CD得x+；=3遍,

/.x=2V3

（3）解：分两种情形：

第一种情形：当0<%W2百时，如图3,

在RtzkDEF中,tanZl=tan30°=锦,

.♦.DF=x+亭=6x,

•♦y=SAEGF=S&EDF=④.DE•DF=,x,V3x=-^-x^

•.号>（）,对称轴为y轴，

，当0<%W2旧，y随X的增大而增大，

.,.当x=26时，y最大值=亨x（2通,=6V3；

第二种情形：当28<xW3百时，如图4,

设FG,EG分别交BC于点M、N,

（法一）：DE=x,

••EC=3^3—x,NE=2(3^3—x),

，NG=GE-NE=x-2(373-x)=3x-6V3,

又；NMNG=NENC=30°,ZG=90°,

MG=NG«tan300=乎(3%-6V3),

:，SAMNG=3•NG•MG=：(3比一6V3)x整(3x—6V3)=孚(3x—6V3)2

y—SAEGF-SAMNG=(3x—6V3)——+18x—18v5

V-V3<0，对称轴为直线”=一哥篇=38，

...当20<xW3b时，y有最大值，且y随x的增大而增大,

4X/3X1873-182

，当时,

x=3V3y值一'-473

综合两种情形：由于6遍<9V3；

...当x=3遮时，y的值最大,y的最大值为9V3.

21.【答案】(1)解：如图1,

图1

当x=S时，APQR与AABC重叠部分的面积就是APQR的面积，

•••PQ=1,QR=PQ,

二QR=?,

,-c_l/8)2_1乂64_32

..nn-S-^x-2X49-49-

(2)解：如图2,

图2

根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况：

当0<x争寸，

S=lxPQxRQ=1x2,

当点Q点运动到点A时,

x=2AD=4,

/.m=4.

当畀X"时,

S=SAAPF-SAAQE=^AP・FG-|AQ»EQ,

AP=2+J,AQ=2-J,

•；AAQE-AAQIRI,猊=,

•••QE=|（2-J）,

设FG=PG=a,

ACFG

•••AAGF-AAQ^I,晒=,

Y

AG=2^-2~a,

2+今-aa

8-

10=7

~T

，a奇（2+卜）,

AS=SAAPF-SAAQE

=|AP«FG-1AQ»EQ

92+力P2+»4(2-J)4(2-J)

一语2x-0+,诟56％一3石2

；.5=一急2+涔一落

综上，可得

^X2/0<X<y

s=22,56328,//

-45x+45x-457<x-4

0)代入y=ax2+bx,

(2)如图，过A作x轴的垂直，垂足为。(2,0)，连接CD、CB,过C作CE14D,CF1x

轴，垂足分别为E,F,

11

=：=

S〉OAD=20。*AD2,X2X44；

11

S^ACD—•CF=2x4x(%-2)=2x—4；

11ioo

S"CD~,CF=2x4x(-2%23%)=~x2+6x,

2

则S=S^0AD+S&ACD+S^BCD=4+2%—4—/+6%=—x+8%,

•*-S关于x的函数表达式为S=-X2+8x(2<%<6),

vS=—%2+8%=—(%—4)24-16,

.・.当％=4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16.

23.【答案】(1)解：把y=0代入y=—如2+%+4中得:

o=-i%2+%+4

乙

解得：xi=-2,X2=4

.••点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(4,0).

11g

=—-%2+x+4=—2(x—l)2+2

,抛物线