2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编20（解析版）

2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（二十）

一、单选题

1.（2023•河北•模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，£是侧面内的一个

动点（不包含端点），则下列说法中正确的是（）

A.三角形AER的面积无最大值、无最小值

B.存在点E,满足AELBg

C.存在有限个点E,使得三角形AE"是等腰三角形

D.三棱锥B-AEA的体积有最大值、无最小值

【答案】B

【解析】选项4中，边A"的长度为定值，：.角形AER面积与点E到AR的距离有关，

当点E在线段BG上时，距离最小，此时面积取得最小值，在端点4,C处的距离最大，

此时面积取得最大值（舍去，端点不可取），所以A不正确；

选项B中，若RE上B1E,可得点E在以4R中点为球心，0为半径的球面上，

因为以4R为宜径的球面与侧面84CC有交，所以存在点E，满足。£，8万，

所以B正确；

选项C中，三角形是等腰三角形，当=时，点E在AR的中垂面上，且E在侧面上,

所以点E的轨迹是线段4c（不含端点），有无穷多，所以C不正确；

选项。中，由％一AED,=%r叫高不存在最大值（不包含端点）和最小值，所以D不正确.

故选：B.

2.（2023•河北•模拟预测）若正实数小〃满足〃＞匕，且In〃ln）＞0,则下列不等式一定成立的是

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()

A.logb<0B.a-->b--C.2^+,<2a+hD.<ba~l

aba

【答案】D

【解析】因为a>5>0,y=出工为单调递增函数，故lna>ln/?,由于Ina/n/?〉。，故lna>lnh>0,或

lnZ?<ln«<0,

当ln〃>lnb>0时,a>b>\,此时log“h>0；

/?--]=(a--Y|>0,tha-->b--；

b\aJ<ab)ha

而+1—(〃+力)=(〃-1乂力一1)〉0,2"屏।>2a+b；

当ln/?<lnQ<0时，0<b<a<\,此时log〃b>0,b—|=(a-b)\1|<0,^a——<b——；

b\a)\ab)ba

必+1-(。+/?)=(。-1乂〃一1)〉0,2ab+[>2a+b;

故ABC均错误;

D选项，＜ba~},两边取自然对数，3—l）lnav（。一l）lnb,因为不管还是OvZ?vavl,均有

/八/,1\八llI、।InciInb-j-、十InciInb—

(a-l)(/?-l)>0,所以一,故只需证一7VLu即ri可r，

a-\b-\。一1b-\

inx1।---1---I,nX

设(x>0且x*l)，则尸(x)=X,，令g(x)=l------In”(x>0且贝(!

(1)

g'(x)=J-g=，^,当xe(O,l)时，g<x)>0,当xe(l,+<»)时，g，(x)<0,所以g(x)<g(l)=0,所以

/'(x)<0在x>0且xwl上恒成立，故/(冷=笞(x>0且XKI)单调递减，因为a>b,所以

粤<曾，结论得证，D正确

a-\h-\

故选：D

|ln(x-2)|4>2

3.(2023•辽宁沈阳•沈阳二十中校考)已知函数f(x)={1,若函数g(x)="(x)f-2c/(x)有

2H—/W2

四个不同的零点，则实数a的取值范围是（）

【答案】A

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|ln（尤—2）|/>2

【解析】由g（x）=。得：/（工）=0或/（幻=2〃，因函数/。）=1,由/。尸。解得x=3,

2+—,x<2

因此函数g（x）=［f（x）『-2af（x）有四个不同的零点，当且仅当方程/（X）=2。有三个不同的根，

函数/（X）在（-8,1］上递减，函数值集合为6,+8）,在［1,2］上递增，函数值集合为弓，自，

函数/㈤在（2,3］上递减，函数值集合为10,+8）,在［3,+纥）上递增，函数值集合为［0,+纥），

在同一坐标系内作出直线V=2。与函数的图象，如图，

方程f（x）=2a有3个不同的根，当且仅当直线y=2a与函数y=f（x）的图象有3个公共点，

观察图象知，当24='3或2”>］5,即a=j3或“>=5时，直线>与函数y于'（x）的图象有3个公共点，

所以实数。的取值范围是｛=3｝0（15,+8）.

44

故选：A

InY

4.（2023•辽宁沈阳•沈阳二十中校考）已知直线x+y+“=0与曲线y=e"',>=三分别交于点A8,

则|A8|的最小值为（）

2o5

A.一B.个士C.1D.e

ee

【答案】B

【解析】设与直线x+y+Q=0垂直，FL与>=小相切的直线为4,

设与直线x+y+〃=0垂直，且与y=上二相切的直线为6，

e

所以，勺=与=1,

设直线4与尸e#的切点为〃（西,乂），

因为"尸，所以”』，解得寸-V即哈：｝

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设直线4与y=¥的切点为N（W，%），

因为y'=‘，所以‘r=i,解得々=L%=-1，即N口,一口，

exex?eeIeeJ

此时々MN=T，

所以，当直线x+y+a=O与直线MN重合时，|AB|最小，最小值为|“叩=述.

故选：B

5.（2023春•湖南长沙•高三长郡中学阶段练习）三棱锥A-8CZ）中，

AB=BC=AD=CD=BD=2&,AC=30,则三棱锥A—BCD的外接球的表面积为（）

A.207rB.28%C.32;rD.36万

【答案】B

AE=y]AB2-BE2=x/12-3=3-同理可得CE=3.

又AE=CE=3,AC=36第=j即4EC=12。，

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过公BCD的外心作平面8co的垂线为I,垂足为。，

同理过△Aa)的外心作平面的垂线为并设//'=。'，易知。'为球心.

连接。'E,O'O,O'C.

.。为△38的外心，:.OC=2OE=2,

又「在《X7E中，<7O=OE-tan60=6，

22

•••得OC=y]o'O+OC=屈="，即外接球半径R=币,

故外接球表面积S=4乃R2=4X7乃=28万.

故选：B

fe*r>0

6.(2023春•湖南岳阳•高三阶段练习)已知函数/(*)=；八，若方程/(x)+收=。恰好有

[-2x'+4x+l,x<0

三个不等的实数根，则实数”的取值范围是()

a-(4,0)B-Z'T

C.(-e,0)D.y,-e)

【答案】D

【解析】当x=0时，/(O)+ZXO=1HO,故0不是方程/(©+依=。的根；

当xrO时，方程/0)+辰=0恰好有三个不等的实数根即？=△立与y=-A的图象有3个交点；

X

,x>0

.、f(x]7

又a(x)=—=,

—2x4--F4,x<0

x

当x>0时，万⑶J11,故当xw(0,1)时，/i(x)单调递减，在时，〃(x)单调递增：

X

当x>0,x.0时，/i(x)->+oo；时，/Z(X)->-HX»；且〃(l)=e；

又当x<OH寸，"(x)=-2-J<0,故秋x)在(TO,0)单调递减，

当X<0,X.0时，/?(X)->YO；X-YO时，/?(%)-»+00；

故在同一坐标系下，y=/i(x),y=T:的图象如下所示：

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故％的取值范围为(f,y).

故选：D.

7.(2023春•湖南岳阳•高三阶段练习)在.ABC中，角A,2,C的对边分别是a1,c,若

c,▲cEacosA+hcosBU日....

6rcosB-/?cosA=-,则---------——的最小值为u

2acosB

A.&B.短C.JiD.巫

333

【答案】D

【解析】因为acosB-bcosA=£,

2

所以2sinAcosB-2sinBcosA=sinC,

2sinzAcosB—2sinBcos/I=sin(A+B)=sinAcosB4-cosAsinB,

•/>>4八11,।sinA3cosA

sinAAcos3D—3sin3DcosA=0,即----

sinBcosB

tzcosA+bcosBcosAbcosAsinBcosAcosB八IcosAcosB2V3

因为-------------=-----+—=-----+----=-----+------>2J------------------=—

acosBcos8acosBsinAcos33cosAvcosB3cosA3

«cosA+bcosB曰.任、]2G一

所以------------的最小值为工，故选D.

acosB3

8.(2023春•福建•高三福建师大附中阶段练习)若过点(0,-1)可以作三条直线与函数

外同=_3+"2_21相切，则实数〃的取值范围是()

A.[2,+oo)B.(2,+oo)C.[3,+ao)D.(3,+oo)

【答案】D

【解析】设切点尸(，,-尸+/_2小

由〃x)=-x3+/-2x可得/'(x)=-3f+2av-2,

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切线的斜率为k=/'（f）=-3»+2af-2,

所以切线的方程为V—（-/+.产—2r）=（—3/+2S-2）（XT）

又因为点（0，-1）在切线上，所以-1-（-尸+。产-2）=（-3"+20-2）（0一）,

即2/_”2+]=0有三个不同的实数解，

f=0不是方程的解，

所以“=其口有三个不同的实数解，

r

人，、2P+124--]）2”3_力

令/）=丁，

当fe（l,+oo）,（YO,0）时，〃'⑺单调递增，

当时，/«）<0,/2（。单调递减,

41）=3,当/趋于0时，〃«）趋于正无穷，

所以a>3,

故选：D

9.（2023春•江苏南京•高三期末）若函数/"）的定义域为Z,且

f(x+y)+f(x-y)=f(x)[f{y)+,/(-l)=0,/(0)=/(2)=l,则曲线y=1/(x)I与y=log?可的交

点个数为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】由题意函数八刈的定义域为Z,&f(x+>•)+f(x-y)=f(x)[f(y)+/(-y)l,

/(-D=0,/(0)=/(2)=l,

令y=i,则/(x+i)+f(x-r)=/(x)[/(i)+/(-i)]=/(x)/(i),

令x=l,则/(2)+/(())=尸⑴，即尸⑴=2,

令X=2,则/(3)+/⑴=/(2)/⑴，即/⑶=0,

令x=3,则f(4)+〃2)=〃3).〃l),即/(4)=-1,

令x=4,则/(5)+/(3)=/(4)八1),即门5)=-/(I),

令x=5,则f(6)+/(4)=/(5)/⑴，HP/(6)-l=-/2(l),.-./(6)=-1,

令x=6,则/(7)+/(5)=/(6)/(1),即f⑺—〃1)=—川),"⑺=0,

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令x=7,则f(8)+/(6)=/(7)/(l),即/(8)-1=0,二〃8)=1,

依次类推，可发现此时当xeZ,且x依次取0,1,2,3,时，

函数y="(x)|的值依次为1,应,即每四个值为•循环，

此时曲线V=1f(幻|与y=Iog2W的交点为(2,1)；

令％=-1,则/(0)+/(-2)=/(—1)/(1)=0,二/(一2)=-1,

令x=—2,则/(-1)+/(-3)=/(-2)/(1)==-/(I),

令x=—3,则/(-2)+/(-4)=f(-3)/(1)=-/2(1),.'./(-4)=-1,

令x=T,则/(-3)+/(-5)=m(l)=-/⑴,；.f(-5)=0,

令x=-5,则/(-4)+/(-6)=令-5)/(1)=0,.•./(-€)=1,

令x=-6,则/(-5)+/(-7)=/(-6)/(1)=/(1),.-./(-7)=/(I),

令x=-7,则/(-6)+/(-8)=/(-7)/(1)=/2(1),.-./(-8)=1,

依次类推，可发现此时当xeZ,目.x依次取-1,-2,-3,时，

函数y="(x)l的值依次为0,1,也1,0,1,&,1,0,,即每四个值为一循环,

此时曲线y=1/(x)I与y=Iog2W的交点为(-1,0),(-2,1)；

故综合上述，曲线y=lf(x)l与y=iog2|R的交点个数为3,

故选：B

10.(2023春・江苏南京•高三期末)sin6z=2sin^,sin(«+/7)tan((7-/?)=1,则tanatany0=)

A.2B.一c.1D.1

2

【答案】A

cos(c+p)=cosacos/?-sincrsinp

【解析】因为＜

cos(a_0)=cosacos夕+sinasinfi

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所以sinasiny?=^[cos(cr-；0)-cos(«+/7)],

所以sin(a+/7)sin(a-/7)=g(cos2/7-cos2a),

又sin(a+/>tan(a-/?)=l,

所以sin~=1即sin(a+/7)sin(a-/)=cos(a-Q),

所以;(cos2/3-cos2a)=cos(a-B),

所以;(1一2sin2/一1+2siMa)=cos(a-/?)即sin2a-sin?0=cos(ar-y?),

又sina=2sinp,

所以4sin26-sin2(3=cosacos/7+sincrsin/3,

所以4sin?夕-sin?〃=cosacos+2sin2,

所以sin/=cosacosp,

所以gsinasin/3=coscrcosP即sinasinp=2cosacos尸，

又易知cosacospwO,

.sincrsin/?八一

所以---------=2,gptanatan/?=2,

cosacosp

故选：A

11.(2023春•海南省直辖县级单位•高三嘉积中学校考阶段练习)已知函数/(x)对任意的x,yeR,总

有/(x+y)=/(x)+〃y),若x«9,0)时，/(A-)>0,K/(l)=-j,则当xw[—3,1]时，/(X)的最大值

为()

2

A.0B.-C.1D.2

【答案】D

【解析】令x=y=o,则〃())=〃。)+〃())，得/(0)=0,

令'=-X，则〃())=〃x)+〃f).

所以/'(—)=-〃x),

所以/(x)为奇函数，

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x

任取且王＜占，则玉-马＜0，f（i-x2）＞0,

所以/a）一/区）=/［（与一W）+*2］一/（毛）

=f（x,-x2）+f（x2）-f（x2）

=/（x,-x2）＞0,

所以/&）＞/（%）,

所以/(X)在R上递减,

所以当XG［—3,1］时,〃力的最大值为〃-3),

因为〃1)=-彳，所以/(-)=，,

2

所以〃一3)=〃-1)+/(-2)=〃-1)+.“-1)+〃-1)=3*§=2,

故选：D

12.(2023春•广东广州•高三中山大学附属中学校考)连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点,

拐点在统计学、物理学、经济学等领域都有重要应用.若f(x)的图象是一条连续不断的曲线，

Vxe(a,b),f(x)的导函数1(x)都存在，且:(x)的导函数/(力也都存在.若*e(a,b),使得

r(Ao)=0,且在与的左、右附近，_T(x)异号，则称点(如/(%))为曲线y=〃x)的拐点，根据上述定

义，若(2,〃2))是函数〃*)=(1内-景5+注4("0)唯一的拐点，则实数上的取值范围是().

A-B.卜式

C.蜀D.

【答案】B

［解析］〃x)=(x-4)e'_±x5+:依4,f，(x)=(x_3)e'_§d+/fcr3,

20643

/"(X)=(x-2)e*―芹+2小=(x-2)(e”一小)，

因为(2,〃2))是/(x)唯一的拐点，所以x=2是f〃(x)唯一的变号零点，

即y=心小无变号零点，即心与无变号零点，

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设g(x)$，g，(尤人与2x>2,短(x)>0,x<2,g[x)<0,

2

所以=g(2)=1,X—+8时，g(X)f+8,当X>0时，Xf(),g(X)f+8,

故土，满足题意.

4

故选：B.

13.(2023春•广东广州•高三中山大学附属中学校考)我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形

的棱台称为“刍童已知侧棱都相等的四棱锥P-ABCD底面为矩形，且/W=3,BC=",高为2,用一

个与底面平行的平面截该四棱锥，截得一个高为1的刍童，该刍童的顶点都在同一球面上，则该球体的表

面积为()•

A.167tB.187tC.207rD.25n

【答案】C

【解析】如图1,设棱台为ABC。-A耳GR,

如图2,该棱台外接球的球心为。，半径为凡上底面中心为下底面中心为。2，

P

则由题意。。=1,AQ=2,A°=l,OA=OAt=R,

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当。在。0,下方时，设。。2=〃，

则在.4。。2中，有：R-4(1),

在中，有：R2=(//+1)2+1(2),

联立(1)、(2)得/i=l,R2=5,

所以刍童外接球的表面积为207r.

同理，当。在«。2中间时，设

则有2=层+1，/=(1一”)?+4,解得〃=2,不满足题意，舍去.

综上所述：当刍童外接球的表面积为20Tl.

故选：C

14.(2023春•广东广州•高三校考)己知数列｛q｝是公比不等于±1的等比数列,若数列｛见｝,

｛(-l)ZJ,｛a；｝的前2023项的和分别为明加_6,9,则实数加的值()

A.只有1个B.只有2个C.无法确定有几个D.不存在

【答案】A

【解析】设｛““｝的公比为q,

由,缉="可得：

(-1)4an

｛(-1)%,｝为等比数列，公比为-4,｛“；｝为等比数列，公比为/,

则止亡1=机①，一"｝1产]=W(1+产)=时6②，

1-91+q1+q

_^4046\一〃2/[一4046、

义(=9③,①x②得：一上)=/_6,〃④,

X-q1\-q2

山③④得：〃/—6"?+9=0，解得：m=3,

故实数m的值只有1个.

故选：A

15.(2023春•湖南株洲•高三株洲二中校考阶段练习)已知奇函数/(x)在R上是减函数.若

«=/(log24.6),ft=-/[log21\C=-/(-2°9),则a也c的大小关系为()

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A.a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.c>a>b

【答案】B

【解析】因为奇函数f(x)在R上是减函数.

909

若a=/(log24.6),b=-/[log?=/,脸看)=/(隰c=-/(-2°')=/(2-),

o“

09

Vlog24.6>log2->2>2,

09

."./(log24.6)</flog2|j</(2-),

^c>b>a.

故选：B.

16.(2023春•湖南常德•高三湖南省桃源县第一中学校考)在数列｛4｝中，4=2,器，则数

列｛"4｝的前2”项的和为()

A.54+3〃B.8/C.6n2+2D.4n2+4

【答案】A

【解析】因为6=2,a“M=T，则%=匕[=3,且q.=也==2一=4，

“”T4-1«„+|-14+1]

所以，对任意的keN",〃2"i=4=2,a2k=a2=3f

记S奇=4+3%+5%++(2〃一,S偶=2生+4〃4+6。6++2〃%〃，

则S奇=2口+3+5++(2“_1)]=2(1+2；_1)x"=2/,

?(2+4+6++2叽3〃(2+2叽3r+3〃,

偶22

因此，数列｛也〃｝的前2〃项和为S奇+5偶=2*+3/+3〃=5"+3〃.

故选:A.

17.(2023春•湖北襄阳•高三期末)若函数g(x)为定义在R上的奇函数，g'(x)为g(x)的导函数，当

x*0时，g\x)>2x,则不等式g(x)>W的解集为()

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A.(-<x\0)B.(-2,0)

C.(0,2)D.(0,+«>)

【答案】D

【解析】令/2(x)=g(x)-x?,则"(x)=g'(x)-2x,

因为，当xNO时，g'(x)>2x,

所以当xNO时，/z(x)>0.

所以"(x)在［0,+8)上单调递增，

因为g(x)为定义在R上的奇函数，

所以g(0)=0,所以〃(0)=g(0)-0=0,

所以不等式g(x)>x2转化为h(x)>/7(0),

因为周X)在［0,+8)上单调递增,所以x>0,

所以当xNO时，g(x)20,

因为g(x)为定义在火上的奇函数，

所以当x<0时，8(幻<0不满足8(%)>%2,

综上，不等式的解集为(0,+8)

故选：D

18.(2023春•山东•高三校联考阶段练习)若点G是A8C所在平面上一点，且AG+BG+CG=5,”是

直线8G上一点，AH=xAB+yAC,则丁+4丁的最小值是().

A.2B.1

C.yD.-

24

【答案】C

【解析】设G(x,y),4(^,^),B(X2,y2),C(x3,y3),

因为AG+BG+CG=G，所以,)，=x+彳+%，

所以点G是,ABC的重心，

设点。是4c的中点，则AC=2AE>，B、G、。共线，如图，

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A

D

G

H

B

X.AH^=xAB+2yAD.

因为8、H、。三点共线，所以x+2y=l,

所以丁+4/=/+⑵羟（x+2y）-J当且仅当x=2y,即x=：,y=:时取等号，即f+4y2的最小

\,2224

值是T.

故选：C.

19.（2023春•山东•高三校联考阶段练习）已知函数./'（x）=e2*,g（x）=x-l,对任意&eR,存在

当€（。,+00）,使/（E）=g（w）,则々一%的最小值为（）.

A.1B.y/2

C.2+ln2D.-+-ln2

22

【答案】D

【解析】由题意，^-f(xl)=g(x2)=m>0,则e%=，〃，x2-l=m,

所以王=—lnm,x2=7W4-1,x2-x1=m+\——In/n,

令〃(/%)=6+1-3111加(〃7>0),所以=1一A，

令"（7%）=0,得帆=g,

所以当加£（0，；［时，然利）＜0,〃（㈤单调递减;

当小£（；,+oo）时、神庙）＞0,〃（加）单调递增，

131

所以当机=5时，〃（"2）石最小值耳+5In2,

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31

即々-%的最小值为/+］ln2.

故选：D.

二、多选题

20.（2023•河北•模拟预测）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分

集，，是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间［0,1］均分为三段，去

掉中间的区间段记为第1次操作：再将剩下的两个区间0，；,|，1分别均分为三段，并各自去

掉中间的区间段，记为第2次操作：L.每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分

为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集若第

〃次操作去掉的区间长度记为火〃），则（）

以〃+1)_3

A.-二彳B.ln[^(/?)]+1<0

叭〃)2

C.C〃)+夕(3")>2<p(2ri)D.n2(p(n)<64^?(8)

【答案】BC

【解析】由题可知〃=1,夕⑴=：；〃=2,0(2)=2x；x；,〃=3M3)=2?x；xgx；；

//八c31111

〃=4,0(4)=2x-x-x-x-,

V73333

由此可知夕（〃）=2"T,即一个等比数列;

夕(〃+1)

夕⑺

ln[^(n)]+1=1比；(|)]+1=«ln|-ln2+l.2

B：因为ln§<0,所以该数列为递减数歹U，

2

又因为当〃=1时，ln--ln24-l=-ln3+l<0,所以In[例〃)]+1<0恒成立，B正确;

C：奴”）+夕（3〃）>2以2及），即两边约去得至+>2^|Y,

4134

当〃=1时，1+-=原式成立；

当“N2时，恒成立,所以1+（|）>2（|）成立，

第16页共54页

即0(〃)+(p(?ri)>2(p(2n)成立，C正确;

D：令：⑺=/双〃）再令后(71+1)-%(〃)=(〃+1)20(〃+1)一〃/(〃)=(〃+1)~

4（1）[|（"+1）'一〃2卜'|["+4〃+2），

令一/+4〃+2=0解得々=2+",%=2—血（舍），因为九wN*,所以取4<〃<5,

由此可矢11〃44时2(〃+1)—％(〃)>0：〃25时左(〃+1)—攵(〃)<。,

故左⑸为最大值,左（8）=82奴8）=64奴8）,根据单调性4（5AM8）,即心火九”&^⑻不恒成立,D错误.

故选：BC

21.（2023•河北•模拟预测）已知抛物线。：产二叔的焦点为R抛物线。上存在〃个点《，鸟，L,

乙（"22且〃N'）满足/《松=/8用==4历=/3=一，则下列结论中正确的是（）

n

11_.

A.n=2时，丽+西=2

B."=30寸，由口+出厂|+|月刊的最小值为9

]11

C"=4时，=可+旭目+]川+忆耳―4

D.〃=4时，|耳尸|+优科+|学1+仍尸|的最小值为8

【答案】BC

【解析】当〃=2时，ZP\FP—P'FP『，此时不妨取48过焦点垂直于x轴,

1111,

不妨取[(1,2),6(1,-2),则丽+网=5+5=1，故A错误；

当“=3时，ZPtFP2=ZP2FP,=£PyFP}=y,

此时不妨设6，E，£在抛物线上逆时针排列，设N4&=a,ae(0,]),

22

皿“PG2।IB/1=----------------^，18尸1=--------------

贝必耳尸1=1^----------，则1m-.,,2%、.,,4%、，

1-cosal-cos(a+-y)l-cos(a+-y)

222

故山尸|+旧制+1学1=---------------I----------------------z------1---------------------—

1-cosa1_cos(a+JL^l-cos(a+-y-)

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4(1+—cosa)

2

1-cosa(cosa+：)2

令"cosa+g,reg,|),则由石+区目+后F|=”+审，

42z+3rf/\82/+6—27(/—1)

令'^)=壬7+丁’则/⑺=及文丁=5济？’

13

当一</<1时，/'(/)>(),/(r)递增,当i<f<一时，/«)<(),/⑺递减,

22

故")*=")=9

故当7=1,即cosa=；,a=g时，山石+区耳+区厂|取到最小值9,故B正确;

TT

当“=4H寸，=/科尸鸟=NRFR=/RFR=3,

此时不妨设6，，6,4在抛物线上逆时针排列，设/6&=。力€(0,5),

2222

I^|=-——-,|^F|=-----------------,I^F|=-——--\PF\=--------------Z—

(则11I|1-cose-i_cos(，+gi-cos(e+mV4…。"+争

222

即Wl=T7^JS=

1+cos。1-sm

224

故麻|+依|二------------1-----------=—,

l-cos014-cos0sin0

224

|2尸|+忆尸|=-------•-------=---;~，

1+sin。1-sin。cos。

「11sin20cos201,.,

所以任尸出4鸟尸,出尸|一4+4-“故C正确；

由C的分析可知：|初+|1|+|四+|"卜=丁号，

111111sin_0cos'0sin'0cos'0sin'20

16

当sin?2。=1时,取到最小值16,

sin226

即归产|+|£川+怛尸|+仍尸|最小值为16,故D错误;

故选：BC

22.(2023•辽宁沈阳•沈阳二十中校考)已知三棱锥P-A5C的四个顶点都在球。的球面上.尸A，平面

ABC,在底面&ABC中，NB=f,BC=2,AB=—,若球。的体积为"万，则下列说法正确的是

42

()

A.球。的半径为且B.AC=—

22

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C-底面ABC外接圆的面积为彳D.AP=l

【答案】BCD

【解析】设球的半径为凡由体积公式得：V=^R3=瓜兀,

则『=?指，即/?=匹，故A错误;

42

在ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+8C2—2A8X8C*COS8,

=4+、2X2X亚x理一,

2222

所以AC=®,故B正确；

2

设，他C外接圆的半径为厂,

由正弦定理得2r==后，则「=正，

sinB2

所以底面&ABC外接圆的面积为5=万产=。乃，故C正确;

4

如图所示:

设,ABC的外心为E,作OEL平面ABC,

则OE=：AP,所以a=20E=2依-/=2P_=1,故D正确，

2丫44

故选：BCD

23.(2023•辽宁沈阳•沈阳二十中校考)己知函数/。)=111因11》)+8$2X，则()

A./(x)=/(x+7t)

B./(X)的最大值为一--

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c./(x)在职J单调递减

D./(x)在(2兀,苧)单调递增

【答案】BC

【解析】/^=lnl+O=O,但/(与)无意义，故/■(》+兀)=/。)不恒成立，故A选项错误；

/(X)定义域满足sinx>0,即无£(2E,2E+TU),%£Z,在定义域内

/(x+2兀)=ln(sin(x+2K))+cos2(x+2兀)=ln(sinx)+cos2x=/(x),故不妨考虑XG(0,TT),

r(x)=£2^—2sinxcosx=cosx，九⑺[,故时，0<sinx<—,cosx>0,fM>0,fM

sinxsinxJI4J2

单调递增，—<sinx<l,cosx>0,f'(x)<0,f(x)单调递减，故C选项正确；

(42)2

》€。兀,当)时，由于在定义域内〃x+2兀)=,f(x),故等效于考虑此时f(x)先递增后递减，故

D选项错误；

设〃=sinxw(O,l],贝I」/(%)=ln〃+l-〃之，此时t己g(〃)=ln〃+l-〃2,^r(w)=--2w=-~,

uu

〃Jo,g|,g'(u)>0,g(〃)单调递增,"JWg'Q)<0,g(〃)单调递减，故g(〃)在“=在取到

I2)I2)2

最大值8(等)=ln孝+；=上詈，故B选项正确.

故选：BC

24.(2023春•湖南长沙•高三长郡中学阶段练习)某校3200名高中生举行了一次法律常识考试，其成绩

大致服从正态分布，设X表示其分数，且X~N(70,82),则下列结论正确的是()

(附：若随机变量X服从正态布则

P（//-o^iJV〃+cr）=0.6827,P（〃-2成度〃+2cr）=0.9545,P（4-3c^ik//+3cr）=0.9973）

A.E（X）=0.2,D（X）=8

B.P（7®78）=0.34135

C.分数在［62,78］的学生数大约为2185

D.分数大于94的学生数大约为4

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【答案】BCD

222

【解析】X~N（70,8）A=70,a=8E（X）=70,D（X）=8,A选项错误;

P（70gik78）=尸（或W/z+0-）=2^7=0.34135,B选项正确;

P（62领k78）=P（〃一成N//+cr）=0.6827,3200x0.6827»2185,C选项正确;

1-09973

P（X>94）=P（X>〃+3<T）=---=0.00135,3200x0.00135»4,D选项正确.

故选：BCD

25.（2023春•湖南岳阳•高三阶段练习）如图，棱长为2的正方体A8CC-AMG2中，P为线段耳已上

动点（包括端点）.则下列结论正确的是（）

A.当点P在线段与〃上运动时，三棱锥P-A3D的体积为定值

B.记过点尸平行于平面48。的平面为a,a截正方体ABCD-AAG。截得多边形的周长为3亚

TT

C.当点尸为BQ中点时，异面直线4P与8。所成角为万

D.当点尸为8冷中点时，三棱锥P-A3。的外接球表面积为1E

【答案】ACD

【解析】对A,由于显然8a〃平面41。，

又PeBQ、,所以