高考数学二轮复习：立体几何人教实验版(B)知识精讲

高考数学二轮复习：立体几何人教实验版(B)

【本讲教育信息】

一.教学内容：

高考二轮复习：立体几何

二.考纲要求

1.掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系(特别是平行

和垂直关系)以及它们所成的角与距离的概念.

2.对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.

3.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与

判定，进行论证和解决有关问题.

4.会用斜二测的画法画水平放置的平面图形(特别是正三角形、正四边形、正五边形、两

个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系.

5.理解用反证法证明命题的思路，会用反证法证明一些简单的问题.

6.掌握几种常见的几何体的性质及面积和体积的计算方法。

三.典型例题

例1.已知斜三棱柱ABC—A/J。中，AC]=B[C]=2,D、.分别是AB、4居的中点，平

面平面A/ig，异面直线ABX和C,互相垂直.

(1)求证：ABJCA；

(2)求证：面A。；

(3)若AB]=3,求直线AC与平面&C。所成的角.

【解析】⑴证明：q是4氏的中点，."]〃/下约于四

又•.・平面平面平面A^^A,

而A81U平面：.AB{LCXDV

(2)证明：连结QD,是A8中点，

:.DD[nCC',:."“CD,

由⑴得CD_L40i，又；[£)11_平面4£8约，C削明,由三垂线定理得BQLA/,

又而0)。4]。=。，平面AjCD

(3)由(2)平面4C3于。，连结CO1得/AC。为直线AC与平面4C3所成

的角，'：AB=3,AC=A,C=2,：.AO=l,/.sinZOCA=-=i,/.ZOCA=-.

111AC26

例2.两个全等的正方形ABC。和ABE尸所在平面相交于且AM=FN,

求证：〃平面BCE

【解析】证法一：如图①作MP_L8C,NQ1BE,P、。为垂足，则M尸〃AB,NQ//AB.

J.MP//NQ,又AM=NF,AC=BF,

：.MC=NB,ZMCP=ZNBQ=45°

/.RtAMCP^RtANBQ

：.MP=NQ,故四边形MPQV为平行四边形

1/18

J.MN//PQ

,：PQu平面BCE,MN在平面BCE外,

〃平面BCE.

证法二：如图②过M作于则

.AM_AH

~AC~~AB

FNAH

连结NH,由Bf=AC,FN=AM,得——=——

BFAB

：.NH//AF//BE,

MHIIBC}丁生

由卜二平面跖VH//平面BCE

NH//BE

〃平面BCE.

例3.在斜三棱柱4纥0一ABC中，底面是等腰三角形,AB=AC,侧面底面ABC.

(1)若〃是8c的中点，求证：AD±CC^

(2)过侧面881cle的对角线BC1的平面交侧棱于M,若求证：截面MBC^

侧面BB£C；

(3)AM=MAX是截面Affiq平面BB£C的充要条件吗？请你叙述判断理由.

【解析】(1)证明：；AB=AC,。是8C的中点，...AZ)_L8C

:底面A8C_L平面BB£C,；.AZ)_L侧面BBJC

：.ADLCCV

(2)证明：延长%4与交于N,连结C]N

\'AM=MAl，.•.町=4/]

：.A1C=AlN=AlBl

：.ClN±ClBl

•.•底面NBjC]，侧面BB£C,.•.gN，侧面BB£C

二截面C,NB_L侧面BB,C,C

2/18

，截面MBCi，侧面台与。户.

(3)结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性.

过M作ME1BC1于E,'：截面侧面BB£C

侧面BB£C,又：AO_L侧面BB£C.

J.ME//AD,：.M.E、D、A共面

〃侧面：.AM//DE

VCC}LAM,：.DE//CCl

是BC的中点，是Bq的中点

：.AM=DE=-CC=-AAt,：.AM=MA,.

2i211

例4.如图：已知四棱锥P-ABC。中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形,

且平面PDC_L底面ABCD,E为PC中点。

(1)求证：平面EDBL平面P8C；

(2)求二面角3-OE-C的平面角的正切值。

【解析】(1)要证两个平面互相垂直，常规的想法是：证明其中一个平面过另一个平面

的一条垂线。

首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面PDC为正三角形，所以，DELPC,

那么我们自然想到：是否有面P5C?这样的想法一经产生，证明它并不是一件困难

的事情。

■；面PDC_L底面ABCD,交线为DC,

DE在平面ABCD内的射影就是DC。

在正方形ABCD中，DC_LCB,

DEXCBo

又PCcBC=C,PC、BCu面PBC,

DEX面P5C。

又DEu面EDB,

平面EDB1.平面P8C。

(2)由(1)的证明可知：DEL面PBC。所以，NBEC就是二面角3—DE—C的

平面角。

面PDC_L底面ABCD,交线为DC,

又平面ABCD内的直线CB±DCo

CS±ffiPDC»

又PCu面PDC,

CBXPCo

3/18

在RtAECB中，tan/BEC=+=2。

CE

例5.如图：在四棱锥S-ABCD中，SA平面ABCD,ZBAD=ZADC=-,

2

(1)求证：CE〃平面出1。；

(2)当点E到平面SC。的距离为多少时，平面SBC与平面所成的二面角为

45°?

【解析】题目中涉及到平面SBC与平面£4。所成的二面角，所以，应作出这两个平面

的交线(即二面角的棱)。另一方面，要证CE〃平面SA。，应该设法证明CE平行于面&4。

内的一条直线，充分利用中点(中位线)的性质，不难发现，刚刚作出的二面角的棱正好符

合要求。

(1)延长BC、AD交于点F。

在AFAB中，ZBAD=ZADC=-,

2

所以，AB、CD都与AF垂直，

所以，CD//AB,所以，ACDFcz.ABAFo

又AB=2a,CD=a,所以，点D、C分别为线段AF、BF的中点。

又因为E为S3的中点，所以，EC为AS3C的中位线，所以，ECZ/SFo

又EC<Z面SAQ,S歹u面SA。，所以，CE〃平面&4。。

(2)因为：平面ABC。，ABCD,所以，AB-LSAO又

AFr\SA=A,所以，AB，面出LF。

过A作AH^SF于H,连BH,则BH_LSF,所以，/BHA就是平面SBC与平面SA。

所成的二面角的平面角。

在RtASHA中，要使/BH4=45°,需且只需AH=AB=2a。

4/18

此时，在ASAF中，.=SF.A”=巧+Cz,所以，SA=^3_ao

AF4a3

在三棱锥S-ACD中，设点A到面SCD的距离为h,则

ADDC_

一一_AD"皿SA

S^SCDSD-CDSDJsA2+A£)24

2

因为4B//DC,所以，AB〃面SCD。所以，点A、8到面SCD的距离相等。又因为E为

SB中点，所以，点E到平面SCD的距离就等于点8到面SCD距离的一半，即2=』£。

28

例6.如图，在三棱柱ABC—中，四边形AAB*是菱形，四边形BCC®是矩形，

C'B'IABo

(1)求证：CA'BIA'AB;

(2)若C'B'=3,AB=4,ZABB'=60°,求AC'与平面8CC'所成角的大小(用反三

角函数表示)

【解析】(1)证明：

在三棱柱ABC—A'B'C中,C'B'//CB

：.CB±AB-,又•：CBLBB'；ABdBB'=B

：.CB_L平面448

•.•CBu平面CAB

，平面C431平面443

(2)由C'B'_L平面4A8,得平面4AB_L平面8CC'

过点A作AH,平面BCC,以为垂足，则〃在88'上，

连结CH,则ZAC'W为AC'与平面BCC'所成的角再连接

AB',由四边形是菱形，ZABB'=60°

可知AA88为等边三角形，而H为BB，中点,又AB=4

AH=26,于是在MAC'B'A中，

4。=”'42+32=5,而在HfAAHC，中，

sinZACH=

5

ZACH=arcsin

5

2/3

因此，直线A。'与平面BCC'所成的角是arcsin，-

5

5/18

例7.长方体ABCD-Aqjq中，AB=BC=1,鹏=2E是侧棱四产点.

(1)求直线44与平面A所成角的大小；

111

(2)求二面角E-AC]-B的大小；

(3)求三棱锥A-CDE的体积.

【解析】(1)要求线面所成角，首先需要找到这个角，

为此，我们应该先作出面々RE的一条垂线.不难发现，AE正为所求.

由长方体A5CD—A8CQ知：DA1面ABBA,又AEu面A,所以，

1111111111

DA1AE

11

在矩形A55A中，E为88中点且A4=2,AB=1,所以，AEAE=<2,所

11111

以，AAAE为等腰直角三角形，EALAE.

11

所以，面ADE.

11

所以，44AE就是直线A4与平面ADE所成的角，为45°.

1111

(2)要作出二面角的平面角，一般的思路是最好能找到其中一个面的一条垂线，则可

利用三垂线定理(或逆定理)将其作出.

注意到A3上面,所以，面A3C，面,所以，只需在面3产q内

11111

过点石作跖_LBC于F,则所，面ABC.

11

过尸作FGLAC于G,连EG,则NEGB就是二面角E—AC—3的平面角.

11

在AE3C中，后5=巴叫=里2=好，

1BCBC5

1_1

所以，cF={CE2-EF2=九1.

1'15

在AA5C中，FG=CFsmZFCG=CF-^-=—.

।111AC10

1

6/18

在H/AE尸G中，tan/成才=竺=乃.

FG3

I—

所以，二面角E—AC-§的平面角的大小为arctan9.

13

(3)要求三棱锥A-。。£的体积，注意到(2)中已经求出了点后到平面AC。的

1111

距离EF.所以，

V=V=-SEF=-ADCDEF=-

A-C*E-AC巴3AAC"6116'

另一方面，也可以利用等积转化.

因为A3〃OC,所以，A3〃面CDE.所以，点A到平面C。E的距离就等于点

111111

3到平面CQE的距离.所以，

11

V=V=V=-SDC=-EBCB-DC=-

A-CDEB-CDED^-EBC}3\EBC]11511115•

例8.如图，已知PA，面ABC,A£)_L8C于D,BC=CD=AD=1.

(1)令PD=x,ABPC=6,试把tanO表示为x的函数，并求其最大值;

(2)在直线PA上是否存在一点Q,使得NBQC>ABAC?

【解析】(1)为寻求tanO与x的关系，首先可以将0转化为NPCD-NP3。。

•.•24_1面43。，4。_13。于口，

PD±BDO

pnPDx

••tan/PCD=-x,tan/PBD=二—。

DCBD2

x

Atan0=tan(ZPC£>-ZPBD)=----2_=。

,X2+2

l+x--xy+”

2

•/A。为P。在面A3。上的射影。

PD>AD=1,即X>1。

tan0=-=_J_<_J_=go

尤2+2,22V24

rXn--

X

即tanO的最大值为史，等号当且仅当天=拒时取得。

4

(2)由正切函数的单调性可知：点Q的存在性等价于：是否存在点Q使得

tanZBQC>tanABACo

tan44。=tanGxCZ)-ZABD)=-。

3

7/18

4-tan0=_>1,解得：l<x<2,与x>l交集非空。

无2+23

满足条件的点Q存在。

例9.如图所示：正四棱锥P-ABC。中，侧棱PA与底面ABC。所成角的正切值为之。

2

（1）求侧面与底面A3CO所成二面角的大小；

（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；

（3）在侧面上寻找一点F,使得EFJ■侧面PBC。试确定点F的位置，并加以证

明。

【解析】（1）连AC,6。交于点。，连P0,

则PO_L面ABCD,

ZPAO就是PA与底面ABCD所成的角，

tan/PAO=®

2

设AB=1,则PO=AOtanNPAO=—»

2

设F为AD中点，连FO、P0,则OFLAD,所以，PFXAD,所以，NPR9就是侧面

PAD与底面A5CD所成二面角的平面角。

在RtARF。中，tan/PFO="=£,

FO

ZPFO=~.即面PA。与底面ABC。所成二面角的大小为三

33

（2）由（1）的作法可知：O为BD中点，又因为E为PB中点，所以，EOH-PD□

=2

/.NEOD就是异面直线PD与AE所成的角。

在RtAPDO中，PD=/0D2+P02=。

2

・s后

••EO-----o

4

由A0L3。，AOLPO可知：4。，面「3。。

所以，AO1EOo

在RtAAOE中，tanNAE。=9=至°。

E05

...异面直线PD与AE所成的角为arctan巫。

5

8/18

(3)对于这一类探索性的问题，作为一种探索，我们首先可以将条件放宽一些，即先

找到面P3C的一条垂线，然后再平移到点E即可。

为了达到上述目的，我们可以从考虑面面垂直入手，不难发现：面P尸。，面P5C。

延长歹。交3。于点G,连接PG。设〃为PG中点，连接EH,GH。

,/四棱锥P—ABCD为正四棱锥且尸为中点，所以，G为3C中点，

BC1PG,BC1FGO

.•.5CJL面PPG。面PBC上面PPG。

t/PF=PG,ZPFO=-,/.APFG为正三角形。

3

FHLPG,7;7/，面PBC。

取AF中点为K,连EK,

则由HE〃FK及HE=FK得四边形HEKF为平行四边形，

所以，KE//FHo

.•.KE,面PBC。

综上，EFXffiPBCo

例10.如图，在直三棱柱ABC-A5C中，底面是等腰直角三角形，ZACB=90°,侧

111

棱A4=2,D、E分别是CC与A8的中点，点E在平面A3。上的射影是AA3。的重

111

心G。

(1)求A5与平面A3。所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；

1

(2)求点A到平面A3。的距离。

1

【解析】（1）连接GB,

则ZEBG即为A5与平面ABD所成的角,

1

设AF=3R=CF=x,EF=1,

在RtADEF中，EF2=FD-FG

9/18

J-2+11

：.X=6,,FG=2

3

则EG=半，EB=73,.-.ZEBG=arcsinV32

V32

AB与平面ABD所成角的大小为arcsin

1

（2）设点A到平面AEO的距离为d,

1

'/AE=6,DE=yfl,AD=v'5,

***AAE£）是直角三角形

由v=v,

A^-AEDD-AAE

即!.（；.石.五）.〃=；.（；.2.、5）.、5,得〃=^1。

例11.如图，在三棱柱ABC—A|B|G中，四边形A/BB]是菱形，四边形BCgB]是矩形,

AB±BC,CB=3,AB=4,ZA]AB=60°.

C

(1)求证：平面CA]B_L平面AlABBl

(2)求直线AC与平面BCCRi所成角的正切值；

(3)求点G到平面AjCB的距离.

【解析】(1)证：因为四边形BCCjB1是矩形；.BC，BB],

又；4BJ_BC,；.BCJ_平面

；BCu平面CAjB,；.平面C4]B_L平面A]ABB「

(2)过&作A]DJ_B|B于D,连接DC,

.•.A]DJ_平面BCC1B1,故乙A/D为直线&C与平面BCC&]所成的角.

在矩形BCC|BI中，DC=JF,

因为四边形A/1BB是菱形，ZAAB=60°,CB=3,

10/18

AB=4,：.AD=2^,

1

人5AD2、口2^39

..tanCD——i———

CDV1313

(3)；B|Ci〃BC],；.B]C]〃平面"Be,

.♦.C[到平面A]BC的距离即为B1到平面A1BC的距离.

,

连结AB1,AB1与AjB交于点O,：四边形A]ABB]是菱形,•.B1O±A,B.

:平面C&B1.平面A/BB],；.BQ,平面A&C

•..BQ即为C1到平面ARC的距离.

VB]O=2百，

G到平面ARC的距离为2方.

例12.如图，四棱锥P—ABCD中，PDJ_平面ABCD,P4与平面ABCD所成的角为60°,

在四边形ABCD中，ZD=ZDAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2.

(1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标；

(2)求异面直线PA与BC所成的角；

(3)若P8的中点为M,求证：平面AMCL平面PBC.

【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系。-DZ,

VZD=ZDAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2,

AA(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0).

由PD_L平面ABCD,得/PAD为PA与平面ABCD所成的角，AZPAD=60°.

在RtAPAD中,由AD=2,得PD=273,

/.P(0,0,2x/3).

(2)-.-PA=(2,0-273),BC=(-2-3,0),

,cos〈丽前>=2X(-2)+0X(?+(2BX。=①

4«313

v'13

所以PA与BC所成的角为arccos—0

(3)〃为PB中点,”的坐标为(1,2,小).

AM=(-1,2,73),07=(1,1,扬，崩=(2,4-273)

♦.•布屈=(-1)x2+2x4+、回x26=0,

=1x2+1x4+273x(-273)=0

11/18

AM±PB,CM±PB,PB±平面AMC.­.■PBu平面P3c

平面AMC_L平面PBC.

【模拟试题】

1、下列命题中，正确的是()

A.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

B.如果一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行。

C.如果两条直线都平行于同一平面，那么这两条直线平行

D.如果一条直线上有两个点到一个平面的距离相等，那么这条直线和这个平面平行。

2、设a、b、c是不同的直线，a,p是不同的平面，下列三个命题：

(1)若a//b,则a与c所成的角和b与c所成的角相等

(2)若al1b,则。与a所成的角和b与a所成的角相等

(3)若a〃仇则。与a所成的角和。与p所成的角相等

其中，正确命题的个数是：()

A.0B.1C.2D.3

3、设a,p表示平面，L表示不在a内也不在p内的直线，存在下列三个事实：(l)L_La；

(2)alp；(3)L//p,若以其中两个作为条件，另一个作为结论，则可以构成三个命题，

这三个命题中，正确命题的个数是：()

A.OB.1C.2D.3

4、已知m、n是直线，a、0、丫是平面，给出下列命题

(1)若a_Ly,四丫则a//p(2)若u_La,u邛,则a//0

(3)若a内不共线的三点到平面B的距离都相等，则a〃p

(4)若nua,机ua,且n〃B，机〃P，则a//|3；

(5)若m,n为异面直线，且nua,n〃。，机邙，机〃a,则a//。

其中正确的两个命题是：()

A.(1)与(2)B.(3)与(4)C.(2)与(5)D.(2)与(3)

5、空间有6个点，任意四点都不共面，过其中任意两点均有一条直线，则成为异面直线

的对数为()

A.15B.30C.45D.60

6、a、P是不重合的2个平面，在a上任取5个点，在B上任取4个点，由这些点所确

定的平面的个数最多是()

A.42个B.70个C.72个D.84个

7、若平面a，平面B，又直线机ua,直线/uB,且mL,则()

A.mXPB./J_aC._LP且/_LaD.或/J_a

8、已知二面角a—AB—0是直二面角，P为棱AB上一点，PQ、PR分别在平面a、p

内，且NQPB=NRPB=45°,则ZQPR为()

A.45°B.60°C.120°D.150°

9、正方体的棱长为。，由它的互不相邻的四个顶点连线所构成的四面体的体积是()

A.—B.—C.—D.—

6432

10、平行六面体的棱长均为4,由同一顶点出发的三条棱上分别取PA=1,PB=2,PC=3,

则三棱锥P—MC的体积与平行六面体的体积之比是()

A.1：64B.2：7C.7：19D.3：16

11、在正方体ABCD中，二面角？一A］。一4的度数是()

12/18

A.45°B.60°C.120°D,135°

12、正方形ABCD被对角线BD和以A为圆心，AB为半径的圆弧⑨分成三部分，绕AD

旋转，所得旋转体的体积V、V、V之比是()

123

A.2：1：1B.1：2：1

C.1：1：1D.2：2：1

13.已知/AOB=90。，过O点引ZAOB所在平面的斜线OC,与OA、OB分别成45。、60°,

则以OC为棱的二面角A—OC—B的余弦值等于.

14.正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2：3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二

面角的度数为.

15、如左下图，空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a,动点尸在线段

A8上，动点。在线段CD上，则P与。的最短距离为.

16、如上图，ABCD与ABE尸均是正方形，如果二面角E—的度数为

30°,那么EF与平面ABCD的距离为.

17、已知四边形A8CD为直角梯形,ZABC=90°,平面AC,且PA=AD=AB=1,

BC=2

(1)求PC的长；

(2)求异面直线PC与8。所成角的余弦值的大小;

(3)求证：二面角8—PC—。为直二面角.

18、设△ABC和△D8C所在的两个平面互相垂直，S.AB=BC=BD,NABC=NDBC=120。

求：(1)直线与平面BCD所成角的大小；

(2)异面直线AD与所成的角；

(3)二面角A—8。一C的大小.

19、一副三角板拼成一个四边形A8CD,如图，然后将它沿BC折成直二面角.

13/18

(1)求证：平面A8£)J_平面ACO；

(2)求A。与8c所成的角；

(3)求二面角A—BD—C的大小.

20、在长方体ABCD—Aj约GR中，AB=4,BC=3,CC=2,如图:

(1)求证：平面A[BC]〃平面AC0；

(2)求(1)中两个平行平面间的距离；

(3)求点约到平面A/q的距离.

21、已知正四棱柱A8C/)—480〃],点E在棱。Q上，截面EAC〃〃,且面E4C与底

面A8CA所成的角为45。，AB=a,求：

(1)截面EAC的面积;

(2)异面直线A1约与AC之间的距离;

(3)三棱锥B—EAC的体积.

22、如图，已知三棱柱4B[C]—ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱&A与AB、AC

均成45。角，且/于E,Ap_LCC]于E

(1)求点A到平面BlBCCl的距离；

(2)当A41多长时，点4到平面ABC与平面B/CC]的距离相等.

14/18

［参考答案］

1、A2、D3、B4、C5、A6、C7、D8、B9、C10、A

11、C12、C

13.解析：在。。上取一点C,使0。=1,过C分别作C4LOC交04于A,CB.LOC^

0B于B,贝l」AC=l,0A=y!2,BC=>J3,05=2,中，AB2=6,△ABC中，由余弦

定理，得cosAC8=———.

3

答案：一J

3

q

14.解析：设一个侧面面积为H，底面面积为S,则这个侧面在底面上射影的面积为三，

13

1s

由题设得曰设侧面与底面所成二面角为仇贝!JCOS9=3-=-^-=—,.*.0=60°.

S3S3S2

11

答案：60°

15、解析：以A、B、C、。为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P、。分别

为AB、。的中点，因为40=80=3。，：tPQLABf同理可得C。，故线段PQ的

长为P、Q两点间的最短距离，在RtAAPQ中，PQ=4AQ2-AP2=｛俘a)2_(g)2=^-a

答案：——a

2

16、解析：显然/必。是二面角E—AB—C的平面角，ZFAD=30°,过/作FG_L平面ABCD

于G,则G必在A。上，由所〃平面ABCD.

：.FG为EF与平面ABCD的距离，即FG=-.

2

答案：-

2

17、解析：(1)解：因为E4_L平面AC,AB1BC,：.PB±BC,即NPBC=90。，由勾股定

理得PB=yiPA2+AB2=四.

PC=，PB2+PC2=屈.

(2)解：如图，过点C作CE〃刀。交A。的延长线于E,连结PE,则尸C与BO所成

的角为/PCE或它的补角.

15/18

；CE=BD=V2,且PE=J/M2+AE2=710

PC2+C£2—P£26

由余弦定理得cosPCE=

2PCCE~6~

•••PC与即所成角的余弦值为史.

6

(3)证明：设尸8、PC中点分别为G、F,连结歹G、AG,DF,贝!IGfWBCWAD,且

GF=LBC=1=AD,从而四边形ADFG为平行四边形，

2

又AOJ_平面：.AD±AG,即AZ5FG为矩形，DFLFG.

在4PCD中，PD=v'2,CD=JI,尸为BC中点，DFVPC

从而。尸_L平面PBC,故平面尸DCJ_平面PBC,即二面角B—PC—D为直二面角.

18、解：(1)如图，在平面4BC内，过A作垂足为“，则平面

ZADH即为直线AD与平面BCD所成的角.由题设知△AHB^^AHD,则DH1.BH,

AH=DH,

：.ZADH=45°

(2)•：BCLDH,且08为在平面BCD上的射影，

：.BCLAD,故A。与BC所成的角为90。.

(3)过H作HRLBD,垂足为R,连结AR,则由三垂线定理知，AR1BD,故NAR8

为二面角A—BD—C的平面角的补角.设BC=a,则由题设知，AH=DH=^a,BH=-,在

22

△HDB中,HR=^a,：.t^RH=—=2

4HR

故二面角A一BD-C大小为arctan2.

19、解析：(1)证明：取BC中点E,连结AE,；4?=4C,.•.AE_L8C

;平面ABC_L平面BCD,；.AE_L平面BCD,

'：BC±CD,由三垂线定理知A8_LCD

XVABXAC,BCD,平面ABD

平面ABO_L平面ACD

(2)解：在面BCD内，aDF//BC,过E作£冗!。歹，交DF于F,由三垂线定

理知AF_LZ)F,NA。下为与BC所成的角.

设AB=w,则C£=DF=-,CD=EF=­m

2m3

AF个AE2+EF2"/“八厂回

tanADF==------------------=------,ZADF=arctan------

DFDF33

历

即AD与BC所成的角为arctan--

3

(3)解：VAE±ffi5CD,过E作EG_LBD于G,连结AG,由三垂线定理知AG_LBD,

16/18

・・・ZAGE为二面角A—BD—C的平面角

J2.JI

NEBG=3。。,BE=—m,：.EG=