解三角形（结构不良型）-高考数学复习

专题1.2解三角形（结构不良型）

考向解读

1.“结构不良问题”是近两年高考出现的新题型：题目所给的三个可选择的条件是平行

的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让

解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分.

2.一般先选择条件，再根据正余弦定理化简求值、计算.可以从两方面思考：

①从题目给出的条件，边角关系来选择；

②从式子结构来选择.

3.在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系.题

中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、

余弦定理时，注意公式变式的应用.解决三角形问题时，注意角的限制范围.

4.求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦

定理与三角形面积公式，建立a+b,ab,6+/之间的等量关系与不等关系，然后利用

函数或基本不等式求解.

5.在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余

弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：

①若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；

②若式子中含有。、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；

③若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；

④代数式变形或者三角恒等变换前置；

⑤含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

⑥同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.

最新模拟题赏析

1.（2023・吉林通化•校考模拟预测）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.从

①②③中选取两个作为条件，补充在下面的问题中，并解答.①cos2=-②AABC的面

积是W；③c=3.

问题：已知角A为钝角，6=5,.

（1）求AaBC外接圆的面积；

（2）4。为角A的平分线，。在2c上，求的长.

2.(2023•河南・统考模拟预测)已知在AABC中，角4,B,C的对边分别是a,b,c,在①asinC-

ccos(2—q=0；②2ccosA=acosB+bcosA；③bsinB+csinC—GtsinX—bsinC=0中任

选一个作为条件解答下面两个问题.

⑴求角力；

(2)己知6=6,SAABC=3V5,求a的值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

3.(2023・云南红河•统考一模)在①.si"--1---1,②ccosCsinA=(2b—c)sinCcosA这

smA+smBa+c

两个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答.

记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且____________.

⑴求乙4;

(2)若|万一刀|=4,cosB+cosC=1,求△ABC的面积.

(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.)

4.(2023•辽宁沈阳•统考一模)在△ABC中，角4、B、C的对边分别为a、b、c.已知sinA+

V3cosX=0.

(1)求角4的大小；

(2)给出以下三个条件：①a=4V5,6=4；②炉—a?++I。。=0；③S—BC=15百.

若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：

(i)求sinB的值；

(ii)NB4C的角平分线交BC于点。，求4。的长.

5.(2023•安徽•统考一模)在平面直角坐标系Oxy中，锐角a,0的顶点与坐标原点。重合，始

边与无轴的非负半轴重合，终边与单位圆。的交点分别为P,Q.已知点P的纵坐标为第，点Q的

横坐标为3

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⑴求cos(a-0)的值；

⑵记△48C的内角的对边分别为a,b,c.

请从下面两个问题中任选一个作答，如果多选，则按第一个解答计分.

①若C=a-。，且c=2,求AABC周长的最大值.

②若4=a,B=0,且c=11,求△4BC的面积.

6.(2023•全国•模拟预测)在①ccosB+(6—2a)cosC=0,②a+6=ccosB+V5csinB,③

百cosC(acosB+bcos4)=csinC这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问

题.

在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.

⑴求角C的值；

⑵若仆ABC的面积S=噂(8b2-9c2),试判断△ABC的形状.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

7.(2023•四川南充・校考模拟预测)在①次(a—bcosC)=csinB,②2a—c=2bcosC,③

(a-h)(a+b)=(a-c)c这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.

在△ABC中，内角4B,C的对边分别是a,b,c,且满足,b=2A/3.

(1)若a+c=4,求△ABC的面积；

(2)求4ABC周长/的取值范围.

8.(2023•全国•模拟预测)在①次。=V5acosB+bsinA,②(b+a)(sinB-sinA)=

c(sinF—sinC),③小—b2=accosB—[be这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中,

并解答问题.

在锐角中，内角。的对边分别为见hc,且______.

⑴求a；

(2)若a=6,2BD=DC,求线段力D长的最大值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

9.(2023•山东潍坊•统考一模)在①taMtanC-V3tanX=1+V3tanC；②(2c-V3a)cosB=

V3bcos?l；③(a—V3c)siiVl+csinC=bsinB这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并

作答.

问题：在△ABC中，角4B,C所对的边分别为a,仇c,且__________.

⑴求角B的大小；

(2)已知c=6+1,且角4有两解，求b的范围.

10.(2023・吉林・统考二模)已知AABC的三个角2,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC+

ccosB=6.

(1)求边a；

(2)若△ABC是锐角三角形，且___________,求△ABC的面积S的取值范围.

要求：从①4=9②b+c=10从这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解

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答.如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

11.(2023•安徽马鞍山•统考一模)己知条件:①回空詈=华;②1+吗「。制=回③小a=

2csin(B+§.在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答,问题：在△ABC中，

角4B,。所对的边分别是a,6,c,满足：.注：如果选择多个条件分别作答，按第

一个解答计分.

(1)求角C的大小；

(2)若AABC为锐角三角形，c=当，求a2+b2的取值范围.

12.(2023・山西•统考一模)在①b(l+cosC)=V^c，sinB；②(sinA-《sinB，=sin2C—

-sin25；③36cosc+ccosB=a+6这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解决该

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问题.

问题：在△ABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且______.

⑴求角C的大小；

(2)若a=2,6=3,AB边上一点P满足|PB|=2|P*，求|PC|.

13.(2023•广东惠州・统考模拟预测)条件①acosB=c+^b,

攵件②sinZ-sinC_sinB+sinC

ba+c

条件③V5bsin=asinB.

请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.

已知AaBC的内角4、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足

⑴求力；

(2)若4。是NBAC的角平分线，且4。=1,求2b+c的最小值.

14.(2023•山东^校考模拟预测)在①acosC+ccosa=：6cosB,②5sin(：+8)+5sin(—B)=1,

③Be(0,)，cos2B=cosB-j|.这三个条件中任进一个，补充在下面问题中并作答.

已知中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,且________.

⑴求tan2B的值；

⑵若tanA=—号,c=苛，求△ABC的周长与面积.

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15.(2023・四川德阳•统考一模)在中，边人6、c对应角分别为A、8、C,且2=等匚.

aV3smz

⑴求角8的大小；

(2)从条件①、条件②、条件③中任选一个作为已知条件，使得△ABC存在且唯一，求AC边

上的高.

条件①：C0S71=F，b=l；

条件②：6=2,c=2V3；

条件③：a=3,c=2.

注：若选多个条件分别作答，则按第一个解答给分.

16.(2023・四川广安•统考一模)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,6,c从下

列三个条件中选择一个并解答问题:

2coSi4=干+喀②cosC-百sinC=4

becibaca

(§)a2—c2+be=abcosC.

(1)求角A的大小;

(2)若c=3,且△ABC的面积为3百，求AZBC的周长.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

17.(2023•安徽宣城•模拟预测)△ABC中，已知遮cos-B)+cos仁+B)=0.4C边上的

中线为BD.

⑴求NB；

(2)从以下三个条件中选择两个，使AaBC存在且唯一确定，并求力C和BD的长度.

条件①：a2—b2+c2-3c=0；条件②a=6；条件③〃4加=15V3.

18.(2023・云南曲靖•校考模拟预测)在锐角△ABC中，角A,B,C,的对边分别为a,b,c,

从条件①：sinXcosXtanX=条件②：fSM-COSA=工，条件③：2acos4—bcosC—ccosB这

4V3sm4+cos42

三个条件中选择一个作为已知条件.

(1)求角A的大小；

(2)若a=2,求△ABC周长的取值范围.

19.(2023・云南・