2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第30讲平面向量的数量积学生版

第30讲平面向量的数量积思维导图知识梳理1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积3.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0题型归纳题型1平面向量数量积的运算【例1-1】已知向量，满足，，则A．0 B．2 C．3 D．4【例1-2】在中，为线段的中点，，，则A． B． C．3 D．4【跟踪训练1-1】平行四边形中，，，，是线段的中点，则A．0 B．2 C．4 D．【跟踪训练1-2】已知，满足，，的夹角为，则．【名师指导】求非零向量a，b的数量积的3种方法方法适用范围定义法已知或可求两个向量的模和夹角基底法直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解坐标法①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积题型2平面向量数量积的应用【例2-1】已知向量，的夹角为，，，则A．1 B． C．3 D．2【例2-2】已知平面向量，，，则与的夹角为A． B． C． D．【例2-3】已知是两个非零向量，其夹角为，若，且，则A． B． C． D．【跟踪训练2-1】已知向量，满足，，，，则A．2 B．3 C．4 D．6【跟踪训练2-2】已知，是单位向量，若，则与的夹角为A． B． C． D．【跟踪训练2-3】已知向量、满足，，向量，的夹角为，则的值为A．4 B．3 C．2 D．【跟踪训练2-4】（已知，，若，则．【跟踪训练2-5】已知向量，，且，则A． B． C．6 D．8【跟踪训练2-6】已知向量，，向量在向量方向上的投影为．若，则实数的值为A． B． C． D．【跟踪训练2-7】已知向量，，若，则实数的值为A． B．1 C． D．2【跟踪训练2-8】已知向量与的夹角为，，，当时，实数为A．1 B．2 C． D．【跟踪训练2-9】已知，，且，则．【跟踪训练2-10】已知，，若，则实数的值为．【跟踪训练2-11】在中，，若角的最大值为，则实数的值是．【名师指导】1.求平面向量模的2种方法公式法利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算几何法利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解2.求平面向量夹角的2种方法定义法当a，b是非坐标形式，求a与b的夹角θ时，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求得坐标法若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))，〈a，b〉∈[0，π]3．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．4．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．题型3平面向量与三角函数的综合问题【例3-1】已知向量，，向量，，函数．（1）求的最大值；（2）若，是关于的方程的两根，且，求及的值．【例3-2】已知向量，，函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）若，，时，求函数的最值．【跟踪训练3-1】已知向量，，，．（1）若，求的值；（2）若，则函数的值域．【跟踪训练3-2】已知，．（1）若，求向量在向量方向的投影的数量．（2）若，且，求向量的坐标．【名师指导】向量与三角函数综合问题的特点与解题策略(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目，通过向量的坐标运算