贵州省贵阳市南明区2022-2023学年下学期九年级期中数学试卷（含答案）

-2023学年贵州省贵阳市南明区九年级（下）期中数学试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）﹣2的相反数是（）A．2 B．﹣2 C． D．2．（3分）如图所示的圆柱，它的俯视图为（）A． B． C． D．3．（3分）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝35°，则∠2的大小为（）A．35° B．125° C．145° D．155°4．（3分）不等式2x+1＞3的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．5．（3分）已知关于x的方程x2+bx+2＝0的一个根为x＝1，则实数b的值为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣36．（3分）已知点A（2，m），B（5，n）在一次函数y＝2x+1的图象上，则m与n的大小关系是（）A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．无法确定7．（3分）2023年3月30日上午，第十届中国网络视听大会在成都开幕．大会以“新征程，再出发”为主题，会上正式发布《2023中国网络视听发展研究报告》．根据《报告》，截止2022年12月，我国网络视听用户规模达10.4亿，超过即时通讯（10.38亿），成为第一大互联网应用．其中“10.4亿”用科学记数法表示正确的是（）A．1.04×108 B．0.104×109 C．1.04×109 D．0.104×10108．（3分）如图，小亮家的木门左下角有一点受潮，他想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断∠B是否为直角，这样做的依据是（）A．勾股定理 B．三角形内角和定理 C．勾股定理的逆定理 D．直角三角形的两锐角互余9．（3分）如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为（）A． B． C． D．10．（3分）如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝60°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是（）A．4 B．2 C．2 D．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．（3分）计算：＝．12．（3分）函数中，自变量x的取值范围是．13．（3分）4件外观相同的产品中有2件不合格，现从中一次抽取2件进行检测，抽到一件产品合格一件产品不合格的概率是．14．（3分）如图，若∠CAB＝30°，AE＝1，EF＝3，AD＝2，则ED2+FD2＝．15．（3分）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，则∠DAE＝度；的值等于．三．解答题（共7小题，满分75分）16．（10分）计算：（1）x（x﹣4y）﹣（x﹣2y）2；（2）．17．（9分）如图，已知矩形ABCD，AB＞AD，E为BC延长线上一点，连接AE交CD于点F．（1）尺规作图：过点B作AE的垂线交AE于点G．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，连接BF，若AF＝AB，求证：BF平分∠GBE．为证明BF平分∠GBE，小明的思路是将其转化成证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质和角平分线的定义使问题得到解决．（请根据小明的思路补全下面的证明过程）证明：四边形ABCD是矩形，∴，∴∠ABF＝∠BFC．∵AB＝AF，∴，∴∠BFG＝∠BFC．∵，∴∠BGF＝90°．∵在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，∴．又∵，∴△GBF≌△CBF（AAS），∴，∴BF平分∠GBE．18．（10分）某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球．其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相等．（1）篮球和足球的单价各是多少元？（2）该校打算用800元购买篮球和足球，恰好用完800元，问有哪几种购买方案？19．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．20．（10分）设二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）．（1）若a＝1，求该函数图象的顶点坐标．（2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（﹣2，3），（0，﹣2）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式．（3）若二次函数图象经过（x1，y1），（x2，y2）两点，当x1+x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2，求证：a＜﹣．21．（12分）如图，点F是正方形ABCD边AB上一点，过F作FG∥BC，交CD于G，连接FC，H是FC的中点，过H作EH⊥FC交BD于点E．（1）连接EF，EA，求证：EF＝AE．（2）若，①若CD＝2，，求HE的长；②连接CE，求tan∠DCE的值．（用含k的代数式表示）22．（14分）如图，直线y＝x与双曲线y＝（k＞0，x＞0）交于点A，将直线y＝x向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y＝（k＞0，x＞0）交于点B．（1）设点B的横坐标为b，试用只含有字母b的代数式表示k；（2）若OA＝3BC，求k的值．2022-2023学年贵州省贵阳市南明区九年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）﹣2的相反数是（）A．2 B．﹣2 C． D．【解答】解：﹣2的相反数是2，故选：A．2．（3分）如图所示的圆柱，它的俯视图为（）A． B． C． D．【解答】解：竖直放置的圆柱体，从上面看圆，俯视图是圆．故选：A．3．（3分）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝35°，则∠2的大小为（）A．35° B．125° C．145° D．155°【解答】解：如图：∵a∥b，∠1＝35°，∴∠3＝∠1＝35°，∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣35°＝145°．故选：C．4．（3分）不等式2x+1＞3的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：不等式2x+1＞3的解集为：x＞1，故选：B．5．（3分）已知关于x的方程x2+bx+2＝0的一个根为x＝1，则实数b的值为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【解答】解：由题意得：把x＝1代入方程x2+bx+2＝0中得：12+b+2＝0，解得：a＝﹣3，故选：D．6．（3分）已知点A（2，m），B（5，n）在一次函数y＝2x+1的图象上，则m与n的大小关系是（）A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．无法确定【解答】解：∵一次函数y＝2x+1中k＝2＞0，∴y随x的增大而增大，∵2＜5，∴m＜n，故C正确．故选：C．7．（3分）2023年3月30日上午，第十届中国网络视听大会在成都开幕．大会以“新征程，再出发”为主题，会上正式发布《2023中国网络视听发展研究报告》．根据《报告》，截止2022年12月，我国网络视听用户规模达10.4亿，超过即时通讯（10.38亿），成为第一大互联网应用．其中“10.4亿”用科学记数法表示正确的是（）A．1.04×108 B．0.104×109 C．1.04×109 D．0.104×1010【解答】解：10.4亿＝1040000000＝1.04×109，故选：C．8．（3分）如图，小亮家的木门左下角有一点受潮，他想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断∠B是否为直角，这样做的依据是（）A．勾股定理 B．三角形内角和定理 C．勾股定理的逆定理 D．直角三角形的两锐角互余【解答】解：若AB2+BC2＝AC2，则△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，故选：C．9．（3分）如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为（）A． B． C． D．【解答】解：根据函数图可知，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，把x＝1代入y＝﹣x+3，可得y＝2，故关于x、y的二元一次方程组的解为，故选：C．10．（3分）如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝60°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是（）A．4 B．2 C．2 D．【解答】解：由题意可知，OM＝2，点N在直线y＝﹣x上，AC⊥x轴于点M，把x＝2代入y＝﹣x得，y＝﹣，∴点N的坐标为（2，﹣），∴ON＝＝．如答图①所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（终点）时，点B的位置为Bn，连接B0Bn．∵AO⊥AB0，AN⊥ABn，∴∠OAC＝∠B0ABn，又∵AB0＝AO•tan60°，ABn＝AN•tan60°，∴AB0：AO＝ABn：AN＝tan60°，∴△AB0Bn∽△AON，且相似比为tan60°，∴B0Bn＝ON•tan60°＝×＝3．现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）．如答图②所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP，ABi，B0Bi．∵AO⊥AB0，AP⊥ABi，∴∠OAP＝∠B0ABi，又∵AB0＝AO•tan60°，ABi＝AP•tan60°，∴AB0：AO＝ABi：AP，∴△AB0Bi∽△AOP，∴∠AB0Bi＝∠AOP．又∵△AB0Bn∽△AON，∴∠AB0Bn＝∠AOP，∴∠AB0Bi＝∠AB0Bn，∴点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）．综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0Bn，其长度为3．故选：D．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．（3分）计算：＝﹣．【解答】解：＝＝．故答案为：．12．（3分）函数中，自变量x的取值范围是x≥﹣1且x≠2．【解答】解：根据题意得：x+1≥0且x﹣2≠0，解得：x≥﹣1且x≠2．故答案为：x≥﹣1且x≠2．13．（3分）4件外观相同的产品中有2件不合格，现从中一次抽取2件进行检测，抽到一件产品合格一件产品不合格的概率是．【解答】解：把2件合格产品记为A、B，2件不合格记为C、D，画树状图如图：共有12个等可能的结果，抽到一件产品合格一件产品不合格的有8个，∴抽到一件产品合格一件产品不合格的概率为＝，故答案为：．14．（3分）如图，若∠CAB＝30°，AE＝1，EF＝3，AD＝2，则ED2+FD2＝25﹣10．【解答】解：过点D作DH⊥EF于点H，∵∠CAB＝30°，AD＝2，∴DH＝AD＝1，AH＝，在Rt△DEH中，ED2＝EH2+DH2，在Rt△DHF中，FD2＝HF2+DH2，∴ED2+FD2＝EH2+1+HF2+1，∵AE＝1，EF＝3，∴EH＝﹣1，∴HF＝EF﹣EH＝3﹣（﹣1）＝4﹣，∴ED2+FD2＝+1＝25﹣10．故答案为：25﹣10．15．（3分）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，则∠DAE＝72度；的值等于．【解答】解：由折叠性质知∠BCO＝∠DCO，设∠BCO＝∠DCO＝α，则∠BCD＝∠A＝2α，∵OB＝OC，，∴∠B＝∠BCO＝∠D＝α，∴AD＝ED，∴∠DEA＝∠A＝2α，在△ADE中，α+2α+2α＝180°，解得：α＝36°，∴∠DAE＝2×36°＝72°；设圆半径为r，∵∠BEC＝∠DEA＝72°＝∠BCE，∠DCO＝∠B＝36°，∴△BCE∽△CEO，即，∵∠COE＝2∠B＝72°＝∠CEO＝∠BCD，∴CE＝OC＝r，BC＝BE＝OB+OE＝r+OE，∴由得：OE2+r⋅OE﹣r2＝0，解得：OE＝r，负值舍去；∵△DAE∽△BCE，∴，而，即．故答案为：72，．三．解答题（共7小题，满分75分）16．（10分）计算：（1）x（x﹣4y）﹣（x﹣2y）2；（2）．【解答】解：（1）x（x﹣4y）﹣（x﹣2y）2＝x2﹣4xy﹣x2+4xy﹣4y2＝﹣4y2；（2）＝÷＝•＝．17．（9分）如图，已知矩形ABCD，AB＞AD，E为BC延长线上一点，连接AE交CD于点F．（1）尺规作图：过点B作AE的垂线交AE于点G．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，连接BF，若AF＝AB，求证：BF平分∠GBE．为证明BF平分∠GBE，小明的思路是将其转化成证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质和角平分线的定义使问题得到解决．（请根据小明的思路补全下面的证明过程）证明：四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ABF＝∠BFC．∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB，∴∠BFG＝∠BFC．∵BG⊥AF，∴∠BGF＝90°．∵在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，∴∠BGF＝∠BCF．又∵BF＝BF，∴△GBF≌△CBF（AAS），∴∠FBG＝∠FBC，∴BF平分∠GBE．【解答】（1）解：作图见解析部分；（2）证明：四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ABF＝∠BFC．∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB，∴∠BFG＝∠BFC．∵BG⊥AF，∴∠BGF＝90°．∵在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，∴∠BGF＝∠BCF．又∵BF＝BF，∴△GBF≌△CBF（AAS），∴∠FBG＝∠FBC，∴BF平分∠GBE．故答案为：AB∥CD，∠ABF＝∠AFB，BG⊥AF，∠BGF＝∠BCF，BF＝BF，∠FBG＝∠FBC．18．（10分）某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球．其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相等．（1）篮球和足球的单价各是多少元？（2）该校打算用800元购买篮球和足球，恰好用完800元，问有哪几种购买方案？【解答】解：设足球单价为x元，则篮球单价为（x+40）元，由题意得：＝，解得：x＝60，经检验：x＝60是原分式方程的解，则x+40＝100，答：篮球和足球的单价各是100元，60元；（2）设恰好用完800元，可购买篮球m个和购买足球n个，由题意得：100m+60n＝800，整理得：m＝8﹣n，∵m、n都是正整数，∴①n＝5时，m＝5，②n＝10时，m＝2；∴有两种方案：①购买篮球5个，购买足球5个；②购买篮球2个，购买足球10个．19．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵OE∥AC，∴∠1＝∠ACB，∵AB是⊙O的直径，∴∠1＝∠ACB＝90°，∴OD⊥BC，由垂径定理得OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∴∠DBE＝∠DCE，又∵OC＝OB，∴∠OBE＝∠OCE，即∠DBO＝∠OCD，∵DB为⊙O的切线，OB是半径，∴∠DBO＝90°，∴∠OCD＝∠DBO＝90°，即OC⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴∠3＝60°，又OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠COF＝60°，在Rt△COF中，tan∠COF＝，∴CF＝4．20．（10分）设二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）．（1）若a＝1，求该函数图象的顶点坐标．（2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（﹣2，3），（0，﹣2）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式．（3）若二次函数图象经过（x1，y1），（x2，y2）两点，当x1+x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2，求证：a＜﹣．【解答】解：（1）当a＝1时，二次函数，∴顶点坐标为；（2）当x＝﹣1时，y＝0≠1，因此不过（﹣1，1）点，当x＝﹣2时，y＝（﹣2+1）（﹣2a+2a+2）＝﹣2≠3，因此不过（﹣2，3）点，故抛物线过点（0，﹣2），代入得，2a+2＝﹣2，∴a＝﹣2，∴抛物线的关系式为y＝﹣2（x+1）2；（3）∵二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），，0），∴函数图象的对称轴为直线，当a＞0时，函数图象开口向上，∵当x1+x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2，∴，∴，解得，舍去；当a＜0时，函数图象开口向下，∵x1＜x2时，y1＞y2，∴，∵x1+x2＝2，x1＜x2，∴x1＜1，∴，∴．故．21．（12分）如图，点F是正方形AB