结构的稳定计算

结构的稳定计算第6讲§15-1两类稳定问题概述1.分支点失稳分支点对应的荷载称为临界荷载,对应的平衡状态称为临界状态。2.极值点失稳这种失稳形式称为极值点失稳。极值点相应的荷载极大值称为临界荷载。一般说来,非完善体系的失稳形式是极值点失稳。其特征是平衡形式不出现分支现象,而FP-△曲线具有极值点。§15-3有限自由度体系的稳定

----静力法和能量法确定临界荷载的基本方法有两类:一类是根据临界状态的静力特征而提出的方法,称为静力法；另一类是根据临界状态的能量特征而提出的方法,称为能量法。1.静力法在分支点失稳问题中，临界状态的静力特征是平衡形式的二重性。静力法的要点是在原始平衡路径Ⅰ之外寻找新的平衡路径Ⅱ,确定二者交叉的分支点,由此求出临界荷载。根据小挠度理论,其平衡方程为由于弹性支座的反力矩MA=,即得为了得到非零解，齐次方程的系数应为零,即上式称为特征方程,或者稳定方程分支点相应的荷载即为临界荷2.能量法把荷载FP看作重量,体系的势能EP为弹簧应变能与荷载势能VP之和。弹簧应变能为由此可见,能量法与静力法都导出同样的方程。换句话说,势能驻值条件等价于用位移表示的平衡方程。归结起来,在分支点失稳问题中,临界状态的能量特征是:势能为驻值,且位移有非零解。能量法是根据上述能量特征来求临界荷载。下面对势能EP作进一步的讨论。例题

如图所示是一个具有两个变形自由度的体系,其中AB、BC、CD各杆为刚性杆,在铰结点B和C处为弹性支承,其刚度系数都为k。体系在D端有压力FP作用。试用两种方法求其临界荷载FPcr。解

(1)静力法(2)能量法D点的水平位移为荷载势能为弹性支座的应变能为体系的势能为应用势能驻值条件:本节作业试用两种方法求图示结构的临界荷载FPcr。（1）（2）结构的稳定计算第7讲§15—4无限自由度体系的稳定——静力法静力法的解题思路仍旧是:先对变形状态建立平衡方程,然后根据平衡形式的二重性建立特征方程,最后,由特征方程求出临界荷载。在无限自由度体系中,平衡方程是微分方程而不是代数方程,这是与有限自由度体系不同的。图所示为一等截面压杆,下端固定,上端有水平支杆,现采用静力法求其临界荷载。柱顶有未知水平反力FR,弹性曲线的微分方程为或改写为其中上式的解为常数A、B和未知力FR可由边界条件确定。当x=0时,y=0,由此求得A=0。当x=l时,y=0和y=0,由此得将上式展开,得到如下的超越方程式:由于=4.493,故得例题

试求图所示排架的临界荷载和柱AB的计算长度。弹性支座的刚度系数在柱顶处有未知的水平力FR,弹性曲线的微分方程为得到如下的超越方程为了求解这个超越方程,需要事先给定k值(即给出I1/I2的比值)。下面讨论三种情形的解:§15—5无限自由度体系的稳定——能量法无限自由度体系的临界荷载FPcr

仍可根据下列能量特征来求:对于满足位移边界条件的任一可能位移状态,求出势能EP;由势能的驻值条δEP=0,可得包含待定参数的齐次方程组;为了求非零解,齐次方程的系数行列式应为零”由此求出特征荷载值;临界荷载FPcr是所有特征值中的最小值。设压杆有任意可能位移,变形曲线为弯曲应变能荷载势能其中体系的势能为得令例题

如图所示两端简支的中心受压柱,试用能量法求其临界荷载。解简支压杆的位移边界条件为当x=0和x=l时,y=0在满足上述边界条件的情况下,我们选取三种不同的变形形式进行计算。(1)假设挠曲线为抛物线