数学-江西省宜春市丰城市第九中学2023-2024学年高三上学期12月月考试题和答案

第1页/共5页丰城九中2023-2024学年上学期高三月考数学试卷xx=3k-1,kEN}，则AnB=()2.若虚部大于0的复数z满足方程z2+4=0，则复数的共轭复数为42424242A.+iB-iC-+iD--i3.古希腊数学家泰特托斯（Theaetetus，公元前417—公元前369年）详细地讨论了无理数的理论，他通过2-32-A.B.C.D.B.(-4,3)C.5D.255.血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理.某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的40%，当血药浓度为峰值的1.024%时，给药时间为()A.11小时B.13小时C.17小时6.对于一些不太容易比较大小的实数，我们常常用构造函数的方法来进行，如，已知a=6ln5，b=7ln4，ln3，要比较a，b，c的大小，我们就可通过构造函数f(x)=lnxln(11-x)来进行比较，通过计算，第2页/共5页你认为下列关系正确的一项是()有且仅有3个零点，则负的最小值为()5A.2B.39D.28.定义在R上的不恒为零的偶函数f(x)满足xf(x+2)=(x+2)f(x)，且f(2)=4.则f(2k)+f(-2k)=()A.30B.60C.90D.120合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得09.气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22℃”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度（单位:℃)的记录数据（记录数据都是正整数）:①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体平均数为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体平均数为26，总体方差为10.8.则肯定进入夏季的地区有()A.一个都没有B.甲地C.乙地D.丙地10.点P是直线y=3上的一个动点，过点P作圆x2+y2=4的两条切线，A,B为切点，则()A.存在点P，使得ZAPB=90。第3页/共5页4B弦长AB的最小值为4C.点A,B在以OP为直径的圆上D.线段AB经过一个定点BCD=AB=2，P是棱CC1的中点．Q是棱C1D1上一动点（不包含端点则()A.AC与平面BPQ有可能平行B.B1D1与平面BPQ有可能平行C.三角形BPQ周长的最小值为+D.三棱锥ABPQ的体积为定值0k，则()n81(2x+1)(x+1)5的展开式中x4的系数为.（用数字作答）14.写出一个同时具有下列两个性质的函数f(x)：.)时，f¢(x)>0.△F1MF2的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为.第4页/共5页弦值为弦值为16.已知正四面体A_BCD的外接球半径为3，MN为其外接球的一条直径，P为正四面体A_BCD表面上任意一点，则.的最小值为.四、解答题（本大题共6个小题，共70分.解17.在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2(asinA+csinC_bsinB)2=a2(1_cos2C).（1）求B.（2）是否存在Ae(0,π)，使得a+c=2b，若存在，求A;若不存在，说明理由.(1)lanJ19.如图所示，等腰梯形ABCD中，AB//CD，AD=AB=BC=2，CD=4，E为CD中点，AE与BD交于点O，将VADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P生平面ABCE）.（1）证明：平面POB」平面PBC；（2）若PB=，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点使得直线PC与平面AEQ所成角的正5,若存在，求三棱锥P_AQE的体积，若不存在，说明理由.20.已知函数f(x)=ex_.（1）若f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的最大值；（2）若0<a<1，求证：f(x)>.21.新高考数学试卷中有多项选择题，每道多项选择题有A，B，C，D这四个选项，四个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知测试过程第5页/共5页中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.某次多项选择题专项训练中，共有kke**)道题，正确选项设计如下：第一题正确选项为两个的概率为，并且规定若第i(i=1,2,...,k1)题正确选项为两个，则第i+1题正确选项为两个的概率为；若第i(i=1,2,...,则第i+1题正确选项为三个的概率为.（1）求第n题正确选项为两个的概率；（2）请根据期望值来判断：第二题是选一个选项还是选两个选项，更能获得较高分.（1）求椭圆C的方程；（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线x=4上运动时，直线AM，BM分别交椭圆于两点P和Q.（i）证明：点B在以PQ为直径的圆内；（ii）求四边形APBQ面积的最大值.第1页/共23页丰城九中2023-2024学年上学期高三月考数学试卷xx=3k-1,keN}，则AnB=()【答案】D【解析】【分析】解对数不等式求出A={x0<xx=3k-1,keN}，所以AnB={2,5}.故选：D2.若虚部大于0的复数z满足方程z2+4=0，则复数的共轭复数为42424242A.+iB.-iC.-+iD.--i【答案】B【解析】【详解】由题可知：z=2i，故==，所以共轭复数为-i故选B3.古希腊数学家泰特托斯（Theaetetus，公元前417—公元前369年）详细地讨论了无理数的理论，他通过A.C.2-366B.D.2-66第2页/共23页【答案】B【解析】【分析】利用直角三角形中边角关系和两角和的余弦公式即可求解.【详解】记经BAC=c,经CAD=β,由图知：sinc=cosc=，sinβ=，cosβ=，)=cos(c+β)=cosccosβ_sincsinβ..故选：B.B.(_4,3)C.5D.25【答案】C【解析】(4,_3)可得=5，以及向量与的夹角，结合题意可求得答案2 π2所以向量与 π2故选：C5.血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理.某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的40%，当血药浓度为峰值的1.024%时，给药时间为()A.11小时B.13小时C.17小时【答案】B【解析】【分析】利用题意，将给药时间与检测次数转化为等差数列模型，将给药时间与患者血药浓度转化为等比第3页/共23页数列模型，则利用数列的通项公式求解即可.【详解】解：检测第n次时，给药时间为bn，则{bn}是以3为首项，2为公差的的等差数列，设当给药时间为2n+1小时的时候，患者血药浓度为an，血药浓度峰值为a，5a故选：B.6.对于一些不太容易比较大小的实数，我们常常用构造函数的方法来进行，如，已知a=6ln5，b=7ln4，ln3，要比较a，b，c的大小，我们就可通过构造函数f(x)=lnxln(11-x)来进行比较，通过计算，你认为下列关系正确的一项是()【答案】A【解析】【分析】构造函数f(x)=lnxln(11-x)讨论单调性，可得ln5ln6>ln4ln7>ln3ln8，即eln4ln7>eln3ln8，化简即可得答案.【详解】令f(x)=lnxln(11-x)，f,(x)=ln(11-x)-lnxln(11-x)11-x-lnxxln(11-)11-x x，x(11-x)所以有f(5)>f(4)>f(3)，第4页/共23页ln4ln3，故选：A.eln6ln5ln7ln4ln8ln3，7.函数f(x)=2sin(nx+Q)（n>0，<Q<π)的部分图象如图所示，若g(x)=f(x)+1在[,π]上有且仅有3个零点，则n的最小值为()A.B.3C.D.【答案】A【解析】【分析】先求得Q，然后根据g(x)=f(x)+1在[,π]上有且仅有3个零点列不等式，从而求得n的取值范围，进而求得正确答案.【详解】由图可知f(0)=2sinQ=,sinQ=，依题意，g(x)=f(x)+1在[,π]上有且仅有3个零点，第5页/共23页||3πππ2π4ππ故选：A8.定义在R上的不恒为零的偶函数f(x)满足xf(x+2)=(x+2)f(x)，且f(2)=4.则f(2k)+f(-2k)=()A.30B.60C.90D.120【答案】D【解析】【分析】首先等式变形为=，再结合f(2)=4以及偶函数的性质，即可求和.【详解】由条件可知，f(x+2)=f(x)，且f(2)=2，则f(2)=f(4)=f(6)=f(8)=f(10)=2，因为函数f(x)为偶函数，所以f(-2)+f(-4)+f(-6)+f(-8)+f(-10)=60，则[f(2k)+f(-2k)]=60+60=120.故选：D.合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得09.气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22℃”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度（单位:℃)的记录数据（记录数据都是正整数）:①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体平均数为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体平均数为26，总体方差为10.8.第6页/共23页则肯定进入夏季的地区有()A.一个都没有B.甲地C.乙地D.丙地【答案】BD【解析】【分析】根据统计数据的中位数、众数、平均数和方差的数字特征，逐个判定，即可求解.【详解】①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，根据数据得出，家底连续5天的日平均温度的记录数据可能为22,22,24,25,26，其连续5天的日平均温度均不低于22，可确定甲地进行夏季；②乙地：5个数据的中位数为27，总体平均数为24，当5数据为19,20,27,27,27，可知其连续5天的日温度有低于22，所以不确定；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体平均数为26，若有低于22，假设取21，此时方程就超出了10.8，可知其连续5天的日温度均不低于22，如：22,25,25,26,32，这组数据的均值为26，方差为10.8，但是进一步扩大方差就会超过10.8，所以可判定丙地进入夏季.故选：BD.10.点P是直线y=3上的一个动点，过点P作圆x2+y2=4的两条切线，A,B为切点，则()A.存在点P，使得经APB=90。4B弦长AB的最小值为4C.点A,B在以OP为直径的圆上D.线段AB经过一个定点【答案】BCD【解析】可得A不正确；对于B，根据四边形面积关系列式求出|AB|=4，根据|OP|之3可求出第7页/共23页|AB|之，可得B正确；对于C，用以OP方程，可得定点坐标，可得D正确.P所以|AB|=22222222 故B正确；的外接圆的直径，所以点A,B在以OP为直径的圆上，故C正确；对于D，设P(m,3)，则OP的中点为(,)，即x22mx3y4第8页/共23页所以直线AB：mx+3y-4=0过定点(0,)，因为定点(0,)在圆x2+y2=4内，所以线段AB经过定点(0,)，故D正确.故选：BCD=AB=2，P是棱CC1的中点．Q是棱C1D1上一动点（不包含端点则()A.AC与平面BPQ有可能平行B.B1D1与平面BPQ有可能平行C.三角形BPQ周长的最小值为+D.三棱锥A-BPQ的体积为定值【答案】ACD【解析】【分析】对于A，当Q为C1D1的中点时，可证得四边形ABC1Q为平行四边形，则AC1与BQ互相平分于点M，连接PM可证得PM∥AC，再由线面平行的判定定理可得结论，对于B，由题意可得B1D1与平面BPQ相交，对于C，把ABC1D1沿C1D1有最小值，从而可求得结果，对于D，VA-BPQ=VQ-ABP，S△ABP为定值，可得结论.【详解】对于A，连接AQ,C1B，当Q为C1D1的中点时，QC1=D1C1，第9页/共23页因为CDC1D14，CD∥C1D1，AB∥CD，AB2，所以ABQC12，AB∥QC1，所以四边形ABC1Q为平行四边形，所以AC1与BQ互相平分，设AC1与BQ交于点M，连接PM，因为P是棱CC1的中点，所以PM∥AC，因为AC平面BPQ，PM平面BPQ，所以AC∥平面BPQ，故A正确；对于B，B1D1∥BD，又D平面BPQ，BD与平面BPQ只能相交，所以B1D1与平面BPQ只能相交，故B错；对于C，BP，把ABC1D1沿C1D1展开与CDD1C1在同一平面（如图则当B，P，Q共线时，BQPQ有最小值，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，ADDC，BCCD4，AB2，则AD2，所以AD14，所以BP，所以三角形BPQ周长的最小值为√17，故C正确；第10页/共23页对于D，VA_BPQ=VQ_ABP，因S△ABP为定值，因为CD∥C1D1，AB∥CD，所以AB∥C1D1，所以C1D1∥平面ABP，故Q到平面ABP的距离也为定值，所以VA_BPQ为定值．所以D正确，故选：ACD.【点睛】关键点点睛：此题考查线面平行的判定和棱锥体的求法，对于选项A解题的关键是证明四边形ABC1Q为平行四边形，从而可找到AC1的中点，再利用三角形中位线定理可得线线平行，考查空间想象能力，属于较难题.0k，则()【答案】ABD【解析】【分析】根据n的表达式，负(n)的表达式，结合等比数列的前n项和公式确定正确答案.01k_1.9k_1+ak.9k，a0k.9k)003k90910909102k_1.9kkk9n_11_9n ,是首项为1，公比为9的数列的前n项和，第11页/共23页02故选：ABD重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.(2x+1)(x+1)5的展开式中x4的系数为.（用数字作答）【答案】25【解析】【分析】把(x+1)5按照二项式定理展开，可得展开式中x4的系数.故答案为：2514.写出一个同时具有下列两个性质的函数f(x)：.)时，f¢(x)>0.【解析】【分析】根据题意，由条件可知函数f(x)满足在R上单调递增且值域为(一伪,2)，考虑反比例函数类型即可得到结果.考虑y=，则y,=>0且ye(伪,0)，再将函数向上平移两个单位可得f(x)=+2，则f(x)e(伪,2)，第12页/共23页△F1MF2的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为.【答案】+1##1+【解析】【分析】由圆的切线性质及双曲线定义，可得关系式F1M+F2M一F1F2=2a，F1MF2M=2a，从而解出F1M、F2M，利用勾股定理可解.【详解】内切圆Q分别与F1M，F2M，F1F2，y轴切于点S，T，N，P则四边形QSMT、OPQN都为正方形，设内切圆半径为r，由圆的切线性质，所以F1M+F2M一F1F2故答案为：+116.已知正四面体A一BCD的外接球半径为3，MN为其外接球的一条直径，P为正四面体A一BCD表面上任意一点，则.的最小值为.【解析】-----------------【分析】设正四面体外接球球心为O，把PM,PN用PO,OM,ON表示并计算数量积后可得.【详解】设正四面体外接球球心为O，第13页/共23页正四面体ABCD的外接球半径为3，22四、解答题（本大题共6个小题，共70分.解（1）求B.（2）是否存在Ae(0,π)，使得a+c=2b，若存在，求A;若不存在，说明理由.【解析】【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得cosB，进而求得B.（2）利用正弦定理化简已知条件，对B进行分类讨论，进而求得A.2(1cos2C)，即a2又因为Be(0,π)，所以B=或.第14页/共23页(1)lanJ【答案】（1）证明见解析（2）99【解析】<100，求满足条件的最大整数n.1aan-1)|再由等比数列的定义可得答案；=n+1-n，根据{bn}的单调性可得答案.【小问1详解】1aaa a2an=+22an,1aa第15页/共23页lanJ〈-1〉是以2为首项，lanJ【小问2详解】nn，n，:{bn}单调递增，bn=n+1-n<可得n<99，所以满足条件的最大整数为99.19.如图所示，等腰梯形ABCD中，AB//CD，AD=AB=BC=2，CD=4，E为CD中点，AE与BD交于点O，将VADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（PG平面ABCE）.（1）证明：平面POB」平面PBC；（2）若PB=，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点使得直线PC与平面AEQ所成角的正第16页/共23页弦值为42弦值为42-225,若存在，求三棱锥P-AQE的体积，若不存在，说明理由.【答案】（1）证明详见解析P-AQE2（2）存在，且V=P-AQE2【解析】【分析】（1）通过证明BC」平面POB来证得平面POB」平面PBC.（2）判断出PO」平面ABCE，由此建立空间直角坐标系，利用直线PC与平面AEQ所成角的正弦值确定Q点的坐标，进而求得三棱锥P-AQE的体积.【小问1详解】在原图中，连接BE，由于AB//DE,AB=DE，所以四边形ABED是平行四边形，由于AB=AD，所以四边形ABED是菱形，所以AE」BD，由于AB//CE,AB=CE，所以四边形ABCE是平行四边形，所以BC//AE，所以BC」BD.在反着过程中，AE」OP,AE」OB保持不变，即BC」OP,BC」OB保持不变，由于OPnOB=O,OP,OB一所以BC」平面POB，由于BC一平面PBC，所以平面POB」平面PBC.【小问2详解】由上述分析可知，在原图中，BC」BD，所以折叠后，若PB=，则PO2+OB2=第17页/共23页t-322 t-)-tt-322 t-)-t53sinθ=则2 x所以PO」平面ABCE，由于OB,OE一平面ABCE，所以PO」OB,PO」OE，所以OE,OB,PO两两相互垂直，由此以O为原点建立如图所示空间直角坐标系，，设平面AEQ的法向量为=(x,y,z)，0,t-则0,t-则-t设直线PC与平面AEQ所成角为θ,---n.PCn.---PC,22t2-23t+3 32323232 2t 2 ,2()由于y轴与平面PAE垂直，所以Q到平面PAE的距离为 ,2所以VP-AQE=VQ-PAE=xx2xx=.第18页/共23页20.已知函数f(x)=ex-.（1）若f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的最大值；【答案】（12）证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数单调性可将问题转化为f,(x)<0在[1,2]上恒成立问题，通过分离变量的方式将问题转化为xex)max，利用导数求得g(x)=xex(1<x<2)的最大值，进而得到结果；（2）将问题转化为f(x)min之的证明；利用f,(x)单调递增和零点存在定理可确定存在x0ef,(x0)=0，从而得到ex0=；根据导函数正负可确定f(x)单调性，进而得到f(x)min=f(x0)，化简后，结合基本不等式可证得结论.【详解】由函数解析式可知，f(x)定义域为(0,+m).（1）f,(x)=ex-x>0)，：f(x)在[1,2]上是减函数，:f,(x)<0在[1,2]上恒成立，即之xex恒成立x>0，:g(x)在[1,2]上单调递增，:a的最大值为.（2）由（1）知：f,(x)=ex-x>0)，则f,,(x)=ex+>0，:f,(x)在(0,+m)上单调递增.第19页/共23页1axx喻1，此时f,(x)<0，：由零点存在定理可知，存在x0ef,(x0)=0，即ex0000.10ax0：当xe(0,x0)时，f(x)单调递减；当xe(x0,+伪)时，f(x)单调递增，aa仅当 仅当 0axa0a（当且【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据函数在区间内的单调性求解参数范围、利用导数证明不等式的问题；根据单调性求解参数范围的关键是能够将问题转化为恒成立问题进行求解；证明不等式的关键是能够将问题转化为函数最值的求解问题.21.新高考数学试卷中有多项选择题，每道多项选择题有A，B，C，D这四个选项，四个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.某次多项选择题专项训练中，共有kke**)道题，正确选项设计如下：第一题正确选项为两个的概率为，并且规定若第i(i=1,2,...,k1)题正确选项为两个，则第i+1题正确选项为两个的概率为；若第i(i=1,2,...,k一1)题正确选项为三个，则第i+1题正确选项为三个的概率为.（1）求第n题正确选项为两个的概率；（2）请根据期望值来判断：第二题是