线性代数相似矩阵与二次型第4节二次型及其标准型

线性代数相似矩阵与二次型第4节二次型及其标准型目录CONTENTS二次型基本概念与性质二次型标准型求解方法二次型规范型与惯性定理二次型正定性判断及应用相似矩阵与合同矩阵关系探讨总结回顾与拓展延伸01二次型基本概念与性质二次型定义二次型是n个变量的二次多项式，其一般形式为$f(x_1,x_2,...,x_n)=sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$，其中$a_{ij}$为常数，且$a_{ij}=a_{ji}$。表示方法二次型可以用矩阵形式表示为$f=X^TAX$，其中$X=[x_1,x_2,...,x_n]^T$，$A$为对称矩阵，其元素为$a_{ij}$。二次型定义及表示方法二次型矩阵与秩二次型矩阵对于给定的二次型$f=X^TAX$，矩阵$A$称为该二次型的矩阵。由于$A$是对称矩阵，因此它具有一些特殊的性质，如特征值均为实数、不同特征值对应的特征向量正交等。秩二次型的秩定义为其矩阵$A$的秩，即$r(f)=r(A)$。秩反映了二次型中独立变量的个数和二次型的复杂程度。等价变换定义：若两个二次型经过可逆线性变换后可以相互转化，则称这两个二次型是等价的。具体来说，若存在可逆矩阵$C$使得$C^TAC=B$，则二次型$X^TAX$与$Y^TBY$等价，其中$Y=CX$。等价变换的性质等价变换不改变二次型的秩。等价变换不改变二次型的正定性、负定性和半正定性等性质。通过等价变换，可以将二次型化为标准型或规范型。0102030405二次型等价变换02二次型标准型求解方法步骤一将二次型表达式化为完全平方的形式，即配成平方项。步骤三将标准型中的系数按照从小到大的顺序排列，得到标准型。步骤二通过平方项的系数，确定标准型中的系数。配方法求解标准型步骤一求出二次型的矩阵A。步骤二求出矩阵A的特征值和特征向量。步骤三将特征向量单位化，得到正交矩阵P。步骤四通过正交变换$x=Py$，将二次型化为标准型。正交变换法求解标准型特征值法求解标准型求出二次型的矩阵A。步骤一根据特征值和特征向量，构造可逆矩阵P。步骤三通过可逆线性变换$x=Py$，将二次型化为标准型。步骤四求出矩阵A的特征值和特征向量。步骤二03二次型规范型与惯性定理01020304定义：对于二次型$f(x_1,x_2,ldots,x_n)=sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$，若存在可逆线性变换$x=Cy$，使得$f$变为$f=y_1^2+y_2^2+ldots+y_p^2-y_{p+1}^2-ldots-y_{p+q}^2$（其中$p+qleqn$），则称该式为$f$的规范型。规范型定义及性质性质1.规范型是唯一的，不依赖于线性变换的选择。2.规范型中的正平方项数$p$和负平方项数$q$分别称为二次型的正惯性指数和负惯性指数，它们的和$p+q$称为惯性指数。输入标题02010403惯性定理及其推论惯性定理：对于任意二次型，其规范型中的正惯性指数$p$、负惯性指数$q$和零项的个数$r$都是确定的，不随所选取的线性变换而改变。2.若两个实对称矩阵合同，则它们具有相同的特征值符号数（即正、负特征值的个数）。1.若两个二次型的矩阵合同，则它们的规范型相同，从而具有相同的正、负惯性指数。推论标准型定义：形如$f=lambda_1y_1^2+lambda_2y_2^2+ldots+lambda_ny_n^2$（其中$lambda_i$为实数）的二次型称为标准型。关系1.规范型是标准型的特例，其中$lambda_i$只能取$pm1$或$0$。2.通过适当的线性变换，可以将任意二次型化为标准型。进一步，通过正交变换，可以将标准型化为规范型。3.二次型的规范型和标准型在本质上描述了二次型的几何性质，如形状、方向和大小等。0102030405规范型与标准型关系04二次型正定性判断及应用对于任意非零向量x，都有f(x)>0，则称f为正定二次型；若f(x)<0，则称f为负定二次型。定义正定二次型的矩阵A是正定矩阵，即A的所有特征值均为正数；负定二次型的矩阵A是负定矩阵，即A的所有特征值均为负数。性质正定二次型定义及性质123若二次型的矩阵A的各阶顺序主子式均大于零，则A是正定矩阵，从而二次型是正定的。顺序主子式法计算二次型的矩阵A的特征值，若所有特征值均为正数，则A是正定矩阵，从而二次型是正定的。特征值法通过合同变换将二次型化为标准型，若标准型的系数均为正数，则原二次型是正定的。合同变换法判断正定性的方法正定二次型在优化问题中应用在最小二乘法中，若系数矩阵是正定矩阵，则最小二乘解存在且唯一。凸优化问题在凸优化问题中，若目标函数是正定二次型，则问题的解存在且唯一。约束优化问题在约束优化问题中，若目标函数和约束条件均为正定二次型，则问题的解存在且可以通过求解KKT条件得到。最小二乘法05相似矩阵与合同矩阵关系探讨010405060302定义：设$A,B$都是$n$阶矩阵，若有可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=B$，则称$B$是$A$的相似矩阵，或说$A$和$B$相似。性质相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。相似矩阵具有相同的行列式值。相似矩阵具有相同的秩。相似矩阵具有相同的迹（即主对角线上元素之和）。相似矩阵定义及性质回顾0102030405定义：设$A,B$都是$n$阶矩阵，若存在可逆矩阵$C$，使得$C^TAC=B$，则称$B$是$A$的合同矩阵，或说$A$和$B$合同。性质合同矩阵具有相同的秩。合同矩阵具有相同的正负惯性指数（即正特征值、负特征值的个数）。合同矩阵具有相同的行列式值。合同矩阵定义及性质介绍相似矩阵与合同矩阵关系分析联系相似矩阵和合同矩阵都是矩阵之间的一种等价关系。在某些特殊情况下，相似矩阵也可能是合同矩阵，例如当相似变换矩阵$P$是正交矩阵时。相似矩阵与合同矩阵关系分析相似变换保持矩阵的特征值不变，但不保持特征向量；而合同变换保持特征值的符号不变（即保持惯性指数不变）。区别在实际应用中，相似变换常用于矩阵的对角化、求特征值和特征向量等问题；而合同变换常用于二次型的化简、求标准型等问题。相似矩阵的判定条件较为宽松，只要找到一个可逆矩阵$P$使得$P^{-1}AP=B$即可；而合同矩阵的判定条件较为严格，需要找到一个可逆矩阵$C$使得$C^TAC=B$。06总结回顾与拓展延伸01020304二次型的定义及基本性质二次型的矩阵表示法二次型的标准型及其求法正交变换与二次型的化简本节知识点总结回顾01020304如何判断