高考数学一轮复习 第十二单元 空间向量双基过关检测 理试题

“空间向量”双基过关检测

一、选择题

1.在空间直角坐标系中，点尸(见0,0)到点A(4,1,2)的距离为弧，则勿的值为()

A.-9或1B.9或一1

C.5或一5D.2或3

解析：选B由题意/弭=4而，

即'm—42+_]2+_2三的,

，(加一41=25,解得朋=9或加=—1.

2.已知a=(H+l,0,2),b=(6,2〃一1,24)，若8〃1),则4与〃的值可以是()

111

-B--

A.2,22

3f

C.-3,2D.2,2

解析：选AVa/7b,.'.b=Aa,

即(6,2〃-1,24)=A(A+1,0,2),

6=k4+1,(4=2,A=—3,

・・・<2〃-1=0,解得41或11

3.(2018•揭阳期末)已知a=⑵3,-4),b=(-4,-3,-2),6=J-2a,则x=()

A.(0,3,-6)B.(0,6,-20)

C.(0,6,-6)D.(6,6,-6)

解析：选B由b=gx—2a,得x=4a+2b=(8,12,—16)+(—8,—6,—4)=(0,6,

—20).

4.已知a=(2,1,-3),b=(-l,2,3),c=(7,6,A),若a,b,c三向量共面，则

4=()

A.9B.-9

C.-3D.3

解析：选B由题意知©=B+"，

即(7,6,X)=x(2,L-3)+y(-l,2,3),

2x—y=7,

.・.<x+2y=6,解得4=-9.

、一3x+3y=4，

5.在空间四边形ABCD中,・CD+AC•DB+AD♦~BC=)

A.-1B.0

C.1D.不确定

解析：选B如图，令AB=a,AC=b,AD=c,

则AB・CD+AC*DB+AD・BC

=a•(c-b)+b•(a—c)+c•(b-a)

=a•c—a•b+bb•c+c*b—c•a

=0.

6.已知空间四边形如8C,其对角线为仍，也N分别是如，回的中点，点G在线

段腑上，且MG=2GN,现用基底｛OA,OB,%｝表示向量OG,有OG=xOA+yOB

+zOC,则x,y,z的值分别为()

111111

八.6，3，33'3'6

111111

手

---一-

3,2D.2M6

---A---A---►J---►2---»

解析：选AVOG=OM+MG=~OA+-MN

乙J

1—►2―►—►

=-OA+-(ON-掰)

乙o

1—►21—*,—>■1—*■

=50A+耳5OB+OC-z0A

乙o_乙乙

1—*,1—►1—►

=-OA+-OB+-0C,

633

._1_1_1

..x一4y—Z--

7.如图所示，在大小为45°的二面角小距。中，四边形｛朋5；

防都是边长为1的正方形，则6,〃两点间的距离是()

A.小B.y/2

C.1D、3f

解析：选D,:BD=BF+FE+ED,

----n-c---门--c=------------------------w

：.|BD「=1BF|2+|FE1+1ED|2+2BF-FE+2FE-ED+2BF-ED

—l+l+l-^2—3—\/2,故|BD—yji—yl2..

8.(2018•东营质检)已知/(I,0,0),6(0,—1,1),如+4仍与OB的夹角为120°,

则才的值为()

B吊

D.土乖

解析：选C因为。1+4OB=(1,一4，4),

XX1、历

所以3⑵。=q…得

经检验力=变不合题意，舍去，所以"邛.

66

二、填空题

9.已知2a+b=(0,-5,10),c=(1,—2,-2),a•c=4,b|=12,则以b,c为

方向向量的两直线的夹角为.

解析：由题意得，(2a+b)•c=0+10—20=-10.

即2a•c+b•c=-10,又•c=4,.'.b•c=-18,

b9c—181

.•.cos(b,c>=7^=12x11+4+4=%

<b,c)=120°,.•.两直线的夹角为60°.

答案：60。

10.在正方体儿花》45C〃中，材，N分别是棱44,郎的中点，则sin(~CM,万T〉

解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2,

则以0,2,0),材(2,0,1),"(0,0,2),M2,2,1).

可知CM—(2)—2,1),

前=(2,2,-1),

~CM•万T=2X2+(-2)X2+lX(-1)=-1,

IO|=3,|〃W|=3,

，A一、~CM•~ON1

〈CM,

/.coszw)=------>-■-----------►--IJ

CM||4/V|

—4\/5

AsinCai,D\N)—§.

答案•矩

口•Q

11.已知点0为空间直角坐标系的原点，向量的=(1,2,3),必=(2,1,2),0P=

(1,1,2),且点0在直线华上运动，当下•下取得最小值时，血'的坐标是.

解析：•.•点0在直线”上，，设点。(/，/，24),

则3=(1—4，2—乂，3—2儿)，QB=(,2—4,1—A,2—2儿)，

QA-Q6=(l一4)(2—儿)+(2—4)(1-1)+(3—2儿)(2—2儿)=6犬-164+10

，、

=60—4'g2,当4时，―QA►•—Q►?取得最小值一2勺，此时—OQ►=<^4.4g,8-J.

(11

答案:(3，313)

n

12.在直三棱柱4?34旦。中，ZBAC=—,46=40=44=1,已知G和E分别为AB

和CG的中点，。与尸分别为线段芯和四上的动点(不包括端点)，若GDLEF,则线段DF

的长度的取值范围为

解析：设［F=a,4〃=b,建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(0,0,0),40,1,1i,

p0,1LNa,0,0),次0,b,0),

—1,-g),DF=(a,—b,0).

Fb，-I

»AAA

因为切_1_防，所以必_L跖，GD•EF=0,

所以一%—b+g=O,即a+2b—1=0,

所以|如|=«#+戌=yj5讨一4b+l

由题意得，a=l-2b>0,所以（Kbg,

所以

□

答案:停1）

三、解答题

13.如图所示，已知空间四边形4腼的各边和对角线的长都等于a,

点MN分别是4?,切的中点.屐［

⑴求证：

⑵求淑的长；

(3)求异面直线4V与GV所成角的余弦值.

解：(1)证明：设［6=p,AC=q,AD—r.

由题意可知，|p［=|q|=|r|=a,且p,q,r三向量两两夹角均为60°.

-►-►-►］-►-►1-►

MN=AN-AM=-(AC+AD)--AB=-(q+r-p),

-*―*11

MN•AB=-(q+r—p)•p=~(q•p+r•p-p")

=^(a2cos600+a2cos60°—a2)=0.

：.HN1,~AB,即助归_力A

_—►1

(2)由(1)可知MN=-^q+r—p),

/.I腑.一夕)'

=；［/+/+p2+2(Q•r—p•q—r*p)}

4a2+/+)+2(»9]

123~

=4X2a-=T

―►、历、历

A|MN|=Va,，北平的长为3-a.

(3)设向量下与赤的夹角为e.

---*■1---►---►1

AN=5(AC+AD)=/(q+r),

—►—►—►1

MC=AC—AM=g—5,，

•*.AN•比=/(g+r)•(q—罚

-1<7•p+r'q--r•'

^^a2—^cos60°+a2cos60°-*cos60°)

S2,a2a、3

—Wa+万一口=万.

又•.1方|=|正|=*a,

__-(3A(3a

/.AN•MC=|AN||MC|cos，=拳&乂学aXcos9=不

2—>―►9

coso=可，.,•向量AN与MC的夹角的余弦值为鼻.

OO

2

因此异面直线的与CV所成角的余弦值为市

14.(2017•全国卷HI)如图，四面体力腼中，a'是正三角D

形，是直角三角形，ZA5D=ZCBD,AB=BD./\^\E

(1)证明：平面ACD1.平面ABC；

⑵过然的平面交加于点£若平面4FC把四面体4?切分成4

体积相等的两部分，求二面角'/AC的余弦值.

解：(1)证明：由题设可得，丛ABI运丛CBD,

从而AD=DC.

又是直角三角形，所以/力":=90°.

取〃的中点。，连接〃。，B0,

则。0J_4GDO=AO.

又因为是正三角形，所以

所以为二面角的平面角.

在RtZ\4如中，BO+AG=Alh

又AB=BD,所以BG+DG=B"AG=AE=B廿,

故/次的=90°.所以平面4微L平面力必

(2)由题设及(1)知，OA,0B,切两两垂直.以。为坐标原点,

以的方向为x轴正方向，IOAI为单位长度，建立如