高考数学（新高考版）一轮复习教师用书 第二章 第一讲函数及其表示

第二章函数概念与基本初等函数

I

第一讲函数及其表示

1.下列说法中正确的个数是()

(1)/0)=爲+后是一个函数.

(2)已知/(x)=m(x£R),则/(/7)3)=如3

⑶片InX?与y=2lnx表示同一函数.

<A\H+1--1<X<1,(x1+1,-1<x<1,

()/(x)-(+>1或无<口則〃x)-［_#+3优>1或尤<-1.

2.侈选题］已知函数/(x)的图象如图211所示,则函数/(x)的解析式不可能是()

A./(x)=(4x+4X)|x|

xX

B./(x)=(44)log4|x|

C./(x)=(4x+4x)logi|x|

4

D./(x)=(4x+4X)log4|x|

3.［2016全国卷II］下列函数中，其定义域和值域分别与函数片10庚的定义域和值域相同的是

A.y=xB.y=lgxC.y=2xD.y=^z

Vx

黑友”‘则〃2时⑴二

4.［2020成都市高三测试］已知函数/(x)=

A呼B竿D.l

5.［2019江苏高考］函数y=V7+6x-x2的定义域是

6.［2015福建高考］若函数〃必修；器歯2(。>0,且”1)的值域是［4,+8),则实数a的取值

范围是.

考法1求函数的定义域

命题角度1求具体函数的定义域

示例»⑴函数片忘行+点的定义域为

(2)函数片加二“J。〉。且awl)的定义域为.

flogi(2-x)>0,f0<2-x<1,fl<x<2,

解析>(1)要使函数有意义测5=L三=

12%-3#0于2I*于2'

所以函数的定义域为(19U(|,2).

⑵当a>l时，由log°(x1)>0彳导x1>1,所以x>2；

当0<a<l时，由logo(x1)>0彳导0<x1<1,所以l<x<2.

所以当a>l时，函数的定义域为(2,+8)；当0“<1时，函数的定义域为(1,2).

命题角度2求抽象函数的定义域

因独⑴若函数f(x)的定义域为[1,2],则函数/(I2x)的定义域为.

⑵若函数/(I2x)的定义域为[1,2],则函数/(x)的定义域为.

(3)若函数〃2、)的定义域为[1,1],则函数6(x)=f(x)+/(x1)的定义域为.

解析〉⑴由1<12x42,得i<x<l,

所以函数/(I2x)的定义域为[1,1].

⑵因为函数f(l2x)的定义域为[1,2],

所以1女42,所以3412x43.

所以函数/(x)的定义域为[3,3].

⑶因为函数”2，)的定义域为[1,1],

所以*2仁2,

所以函数/(x)的定义域为42].

(~<x<2,二

对于函数h(x),有料一所以浓42,

[-<x-l<2,2

所以函数h(x)的定义域为区2].

考点2求函数的解析式

示例同已知二次函数/(2X+1)=4X26x+5,贝jlf(x)=

思维导引〉已知复合函数〃g(x))求/(x),可用换元法或配凑法求解.由于〃x)是二次函数,也可采

用待定系数法求解.

解析嘛法一令2x+l=t(tGR)厕x=y,

所以/(。=4弓)26苫+545f+9(teR),

所以/(x)”25X+9(X£R).

解法二因为〃2x+l)=4x26x+5=(2x+l)210x+4=(2x+l)25(2x+l)+9,

所以/(x)=x25x+9(x£R).

解法三寺定系因为/(X)是二次函数，所以设/(x)=ox2+bx+c(80),则/

(2x+l)=a(2x+l)2+b(2x+l)+c=4ax2+(4a+2b)x+

o+b+c.

4a=4,fa=1,

因为/(2x+l)=4x26x+5,所以4Q+2b=-6,解得b=-5,

a+b+c=5,(c=9,

所以/(x)=x25x+9(x£R).

国科已知/(x)满足2f(x)+f(^)=3x1,则f(x)=.

思维导引,注意等式左边两个变量的内在联系(互为倒数)，先构造一个新的等式,然后通过解方

程组求得了(x)的解析式.

解析〉已知2/(x)+/(，=3x1①，

以3弋替①中的X(XHO>得2/g)+/(x)彳1②，

①x2②，得3/(x)=6x-

故f(x)=2x-i-細0).

目拓展变式一卜1.已知函数/(x)=卜("<°)'g(x)=x+l,则①g(f(x))=____________；(2)/

(%2(x>0),

(g(x))=-

考法3已知定义域(值域)求参数的值或取值范围

示例B已知函数啖2%：，的定义域为R,则实数k的值为________.

KXTO/CXTI

解析〉函数y=「产：的定义域即满足k2x2+3fcx+1^0的实数x的集合.

‘kQ'+3kx+l

由函数的定义域为R得方程k2x2+3kx+l=0无解.

当k=0时，函数y=五程一7=1，函数的定义域为R，因此k=0符合题意;

当kHO时，要使/c2x2+3kx+l=0无解，即4=9k24k2=5k2<o,不等式不成立.

所以实数k的值为0.

示例6已知函数/(x)=x2+4x+l,其中xe[函数的值域为［4,5］,则实数t的取值范围

是.

解析>函数/(x)=x2+4x+l=(x2产+5,对称轴方程为x=2,且/(刈在［1,2］上单调递增/(1)=

4/(2)=5,

因为xw[l,t]时,f(x)的值域为[4,5],所以也2,

由x2+4x+l=4,可得x=1,或x=5,所以抬5,

所以实数t的取值范围是[2,5].

S拓展变式?2.(1)已知函数/(x)=lg(2N1)的定义域是(2,+8),则实数。的取值集合

是.

(2)已知函数〃x)W(x1)2+1的定义域与值域都是[l,b](b>l),则实数b的值为.

考法4分段函数的应用

询7(1)(2015新课标全国1口设函数/化)={二豎2；-x)，x<1，则〃2)V(log212)=

(2)[2017山东高考]设/(x)=|对：：：J若/(。)=/(。+1),则/©=

),X三丄,a

(3)[2019南京金陵中学模拟]已知函数霁蘭)则使得〃x)43成立的x的取值范围

是.

,o121

解析〉⑴因为/(2)=l+log24=3/(log212)=282=2脸6=6,所以〃2)+/(1唯12)=9.故选C.

⑵当0<。<1时,a+l>l,/(a)=VH,/(a+l)=2(a+ll)=2a,因为/(a)=/(a+l),所以VH=2a,解得a=；或

a=0(舍去).所以f(?=/⑷=2x(41)=6.当a>l时,a+l>2,所以/(a)=2(a1),/(a+l)=2(a+l

所以2(al)=2a,无解.当a=l时,a+l=2/⑴=0〃2)=2,不符合题意.综上/©)=6.故选C.

⑶当x>0时,2*143,所以2%4=22,所以0<x<2.

当x<0时*2x43,所以x22x3S0,所以1女<0.

综上可得x的取值范围是[1,2].

S拓展变式&(1)[2017全国卷III]设函数则满足〃x)+/(x的x的取

I乙，4U,4

值范围是.

(2)[2016北京高考]设函数/(x)={,*；

①若a=0,则/(x)的最大值为；

②若/(x)无最大值,则实数a的取值范围是.

数学探究与函数有关的新定义问题

示例£在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,若函数/(X)的图象恰好

经过个整点，则称函数/(X)为〃阶整点函数.下列函数中，是一阶整点函数的是

A./(x)=sin2xB.g(x)=x3C./7(x)=(^)xD.(p(x)=lnx.

给什么Q)新定义二九阶整点函数，即其图象恰好经过〃个整点(其横、纵坐标为整数的点卜注意这里，饴好〃指的是经

过且仅经过。个整点.

(2)4个具体的函数.

求什么

判定给出的4个具体函数中哪几个为一阶整点函数.

想什么

差什么

分别判定有关函数是否为一阶整点函数，并结合选项排除得解.

找什么

解析〉对于函数f(x)=sin2x,它的图象(图略)只经过一个整点(0,0),所以它是一阶整点函数；

对于函数g(x)=W,它的图象(图略)经过整点(0,0),(1,1)，…,所以它不是一阶整点函数;..

对于函数/7(x)=($，它的图象(图略)经过整点(0口),(1,3)，…,所以它不是一阶整点函数；

对于函数3(x)=lnx,它的图象(图略)只经过一个整点(1,0),所以它是一阶整点函数.

答案〉AD

S拓展变式”[2017山东高考]若函数e'/(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在〃x)的定义域

上单调递增，则称函数

〃x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为.

①f(x)=2"②/(x)=3*②/(x)=x3@/(X)=X2+2

思想方法分类与整合思想在函数中的应用

区曲[2015山东高考]设函数〃x)=｛對;:1'则满足加(。))=2八。)的a的取值范围是

A.[|,l]B,[0,l]C,[|,+°°)D.[l,+°°)

解析〉由/。(。))=2八。),得/(。)21.若则3a121,解得|“<1；若a”,则2。21,解得综上,a

的取值范围是[|,+8).

答案*C

但拓展变式)5.函数y=/(x)的图象是如图212所示的折线段OA8,

其中41,2)6(3,0),函数g(x)=x-f(x),那么函数g(x)的值域为

£

1.B对于⑴，定义域是空集，不满足函数的概念，故⑴错误;对于⑵,/(x)是常数函数,所以/

(m3)=m,故⑵错误;对于⑶，两个函数的定义域不同，故不是同一函数，⑶错误;对于⑷，结合分

段函数可知(4)正确.所以正确命题的个数为1,故选B.

2.ABC对于A/(x)大于等于0恒成立，与图象不符;对于B,当x<1时J(x)<0,与图象不符;对

于C,当X>1时〃x)<0,与图象不符;对于D,当冈21时J(x)20,当0<3<1时,/(x)<0,与图象有可

能吻合.选ABC.

3.D解法一函数y=10ig*的定义域为(0,+8),当x>0时,y=10ig，=x,故函数的值域为(0,+8).只

有选项D符合.

解法二易知函数9=10以中x>0,排除选项A,C；因为10电、必为正值,所以排除选项B.选D.

4.C/(2)+〃l)=sin(2n+^)+(21+l>sin>3=二3=2,故选C.

6622

5.［1,7］要使函数有意义，则7+6xx22o,解得1女<7,则函数的定义域是［1,7］.

6.(1,2］因为污攵7所以当x<2时,/(x)24.又函数“X)的值域是［4,+8),所以

”i7>4解得1<。必所以实数。的取值范围是(1,2］・

十lOga4—由

(-+1(XV0),(――(XV-1),1ri1

1.\I)…J①当x<0时/(x)=则g(/(x))=%;

U2+l(x>0)l(x+l)2(x>-l)x”

当x>0时J(x)=x2,则g(/r(x))=x2+l.

：+l(x<0),

，g(/(x))=

.x2+1(%>0).

②令g(x)=x+l<0,得x<1,则此时/(g(x))=」；.

令g(x)=x+l>0,Wx>1,则此时/(g(x))=(x+l)2.

"(g(x))：

/x+l)2(x>-l).

2.(1){1}由题意得,不等式2。*l>0的解集为(2,+8),由2。f1>0可得x4,.•.歯=2,；.a=

1.

(2)3f(x)=«xl)2+l,xG[l,b]且b>l,

/⑴=lj(b)彳(b1尸+1,

函数图象的对称轴为直线x=l,且/(x)在［1,句上单调递增.

•••函数的值域为口/b1)2+1］.

由已知得l)2+l=b，解得b=3或b=l(舍).

3.(1)(*8)当x>0时,f(x)=2'>：l恒成立，当x40,即x>；时/(x；)=2*2>1,当x1<O,BP

0<xS；时/(x；)=x+；>；,则不等式/(x)+/(x()>1恒成立.当xSO时/(x)+/(x1)=x+l+x

|+l=2x+|>l,即940.综上所述,x的取值范围是(*8).

(2)①2若a=0,则/化)=咛3"？0,当x>o时，2xv0；当辉0

时/0=3x23=3(X+1)(X1),令/'(x)>0,得x<1,令/，(x)<0,得l<x40,所以函数/(x)

在(8,1］上单调递增，在(1,0］上单调递减，所以函数/仕)在(8Q］上的最大值为/(1)=2.

综上可得，函数〃x)的最大值为2.

②(8,1)函数片x33x与片2x的大致图象如图D211所示，

图D211

若函数〃止｛夢工能无最大值，由图象可知