高中数学 向量的应用 考点梳理及习题训练

9.4向量的应用

【考点梳理】

考点一向量方法解决平面几何问题的步骤

用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：

⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为囱量问

题.

(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.

⑶把运算结果“翻建”成几何关系.

考点二向量方法解决物理问题的步骤

用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：

⑴问题转化，即把物理问题转化为数学问题.

⑵建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.

⑶求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.

(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.

技巧：(1)用向量法求长度的策略

①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2=a2求解.

②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a=(x,y),则|a|=Nx2+y2.

⑵用向量法解决平面几何问题的两种思想

①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用

向量的运算法则、运算律或性质求解.

②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化

为代数运算.

【题型归纳】

题型一：用向量证明线段垂直问题

1.（2021春・浙江•高一期末）已知点。为△ABC所在平面内一点，＞OA2+BC=OB+CA2=OC+AB）则。一

定为△ABC的（）

A.外心B.内心C.垂心D.重心

2.（2022春.四川成都.高一统考期末）已知平面四边形ABCD中,\AB\=\AD\=2\D^\=2,\BC\=y/3,向量AB,A。的

夹角为

（1）求证：AB1BC;

（2）点E是线段BC中点，求EAZD的值.

3.（2022春・全国•高一期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是的中点，尸,G是AD,BC的三等分点

22

(AF=-AD,BG=-BC),^AB=a，AD=b.

⑴用a,b表示EG；

（2）如果卜卜gW，用向量的方法证明：EF1EG.

题型二：用向量解决夹角问题

4.（2022春・福建厦门・高一福建省同安第一中学校考阶段练习）在，。出中，OA=OB=2,AB=2代,动点尸位于

直线。4上，当己.而取得最小值时，的正弦值为（）

&3币277「国n◎

A.---D.----C.---D.---

77143

5.（2022春・福建福州・高一福建省福州第一中学校考期中）已知梯形ABC。中，AB//CD,AB=2CD,E为BC的

中点，尸为BO与AE的交点，AD=AAB+nAE.

（1）求2和〃的值；

⑵若AB=2a,BC=6,XABC=45°,求助与83所成角的余弦值.

6.（2021春・重庆•高一校联考期末）如图，在14ABe中，已知N54c=120。，AB=2,AC=4,点。在BC上，且

BD=2DC,点E是AC的中点，连接AD,BE相交于。点.

（1）求线段AD,BE的长;

（2）求/EOD的余弦值.

题型三：用向量解决线段的长度问题

7.（2022春・辽宁锦州・高一统考期末）已知」.A5C,AB=1,AC=2,44c=60。，点。在BC边上且2。=,

则AD长度为（）

A.73B.3C.也D.空

233

8.（2022春・福建福州•高一福州四中校考期末）平面内不同的三点O,A,2满足|。4卜,q=4,若加40,1],

打。8-04+（1-7力）80-；84的最小值为比?,则例=（）

A.瓜B.C.26D.4石

9.（2022春•新疆乌鲁木齐・高一乌鲁木齐市第70中校考期末）如下图，在中，尸为边43上的一点,

BP=2PA,|OA|=6,|OB|=2,且OA与08的夹角为60°.

B

（1）求。尸的模长

⑵求OPAB的值.

题型四：向量与几何最值问题

10.（2022春.辽宁沈阳•高一沈阳二十中校联考期末）如下图，在平面四边形中，AB1BC,AD1.CD,

ABCD=—,CB=CD=2A/3.若点Af为边上的动点，则AA/-DW的最小值为（）

TT

11.（2022春・广西柳州•图一校考阶段练习）在ABC中，C4=6,AB=8,^BAC=-,。为边BC中点.

⑴求A»C8的值；

⑵若点尸满足CP=2C4（2eR）,求PBPC的最小值；

12.（2022・浙江•高一校联考期中）在△ABC中，已知钻=3,AC=\,ABAC=-1，设点尸为边8C上一点，点Q

为线段C4延长线上的一点，且AQ=tAC（"O）.

⑴当f=-l且尸是边3c上的中点时，设与A3交于点求线段CM的长；

（2）若P4PQ+3=AP-AB,求卜。|的最小值.

题型五：向量在物理中的应用

13.（2022春・山东烟台•高一烟台二中校联考期中）一条东西方向的河流两岸平行，河宽2506m,河水的速度为向

正东3km/h.一艘小货船准备从河南岸码头P处出发，航行到河对岸。（PQ与河的方向垂直）的正西方向并且与。

相距250m的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为5km/h,则当小货船的航程最短

时，小货船航行速度的大小为（）

A.36km/hB.6km/hC.7km/hD.3面km/h

14.（2022・全国•高一假期作业）长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.假设游船在静水

中的航行速度片的大小为同=10km/h,水流的速度匕的大小为同=4km/h.设匕和％的夹角为。（0°<6<180。），

北岸的点A'在A的正北方向，则游船正好到达A处时，cos。等于（）

A.叵B.一叵C,2D.二

5555

15.（2022春・吉林长春•高一长春外国语学校校考阶段练习）一只鹰正以与水平方向成30角的方向向下飞行，直扑

猎物，太阳光垂直于地面照射下来，鹰在地面上影子的速度是50m/s,则鹰的飞行速度为（）

.50050A/3,「100A/3,„100

A.—m/sB.-------m/sC.--------m/sD.-----m/s

3333

题型六：平面向量应用的综合问题

16.（2022春•上海浦东新•高一上海师大附中校考期末）在梯形A5co中，ABIICD,AB=BC=2,CD=1,ZBCD=120°,

p,Q分别为直线BC,8上的动点.

⑴当P,Q为线段上的中点，试用AB和AO来表示。尸；

（2）若=求|AP|；

4

（3）若B-=〃2。,£>0=%£>6\/1>0,〃>0。为八4尸。的重心，若。,G,8在同一条直线上，求砂的最大值.

17.（2022春.山东枣庄•高一统考期末）在中，AB=2,AC=4,cosZBAC=；,r>是线段BC的靠近点B的三等

4

分点.

⑴用ARAC表示AO；

⑵求AD的长度.

18.（2022春•上海浦东新•高一上海市建平中学校考期末）已知等边三角形4BC的边长为2,P为三角形ABC所在

平面上一点.

uun/Uiruur、

(1)若尸C=-(P4+尸B),求ARLB的面积；

।uiruinnI

(2)若鹿PC=0,求网+|四的最大值;

UUUULULIUUU

⑶求2PAPB+PAPC的取小值.

【双基达标】

一、单选题

ABACABAC

19.（2022・高一单元测试）已知非零向量和AC满足--------1--------・-BC=0,且加隔则.他。为（）

2

A.等边三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.三边均不相等的三角形

20.（2022春•陕西渭南•高一统考期末）如图，一个力尸作用于小车G,使小车G发生了40米的位移，尸的大小为

50N,且与小车的位移方向（s的方向）的夹角为60。，则力F做的功为（）

_JL2__CL,_____

A.1000JB.1000而C.2000JD.500J

21.（2022春・四川内江•高一统考期末）四边形A8CO中，AB=4,NA=/B=60。，Z£>=150°,则DC的最小

值为（）

A.gB.—y/3C.3D.—3

22.（2022春・河南南阳•高一统考期末）已知。是ABC的边BC上一点，且3。=3瓦），AD=2,tanZBAC=V15,

则AC+2AB的最大值为（）

A12M06M「12715C6A/15

A.-----D.----------C.----------D.--------

5555

23.（2022春•山东济宁•高一统考期中）等边...ABC的外接圆的半径为1,M是ABC的边AC的中点，P是该外接圆

上的动点，则的最大值为（）

A.1B.2C.-D.0

2

24.（2022春・四川内江.高一四川省资中县第二中学校考阶段练习）如图，在ABC中，AN=；NC,尸是BN上的

3

一点，^AP=-AB+mAC,则实数加的值为()

25.(2022春•辽宁沈阳•高一校联考期中)如图，在边长为2的等边三角形ABC中，。是BC的中点.

D

⑴求向量与向量AC-2A3的夹角；

(2)若。是线段AD上任意一点，求0408的最小值.

26.(2022春.上海长宁•高一上海市延安中学校考阶段练习)如图，在直角三角形ABC中，ZC=90°,C4=3,CB=4,

CD=mCA，CE=nCB，其中"？，〃e(0,l),设DE中点为M,AB中点为N.

(2)若m+w=l,求|MN|的最小值.

【高分突破】

一、单选题

27.（2022・全国・高一）已知尸是等边三角形ABC所在平面内一点，且4?=26,BP=1,则AP-CP的最小值是（）

A.1B.V2C.GD.2

28.（2022・全国•高一假期作业）已知平面向量£,b,c满足W=W=°-6=2,且仅-c）-（36-c）=0,则k最小

值为（）

A.2点+1B.3石-3C.V7-1D.2A/3-2

29.（2022•全国•高一假期作业）骑自行车是一种能改善心肺功能的耐力型有氧运动，深受大众喜爱.如图所示是某

一型号自行车的平面结构示意图，已知图中自行车的前轮圆A,后轮圆。的半径均为石，一ABE,BEC,ECD

均为边长为4的正三角形，设点尸为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AO3P的最大值为（）

A.12B.24C.36D.48

30.（2022春.江苏无锡.高一无锡市第一中学校考期中）在11ABe中，A：=—>AB—1,G为；ABC的重心，若

AGAB^AGAC，贝LABC外接圆的半径为（）

A.后B.1C.2D.2A/3

二、多选题

31.（2022.高一课时练习）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境,两个人共提一个行李包.假设行李包所受重

力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为可，入，且用=图，片与£的夹角为夕下列结论中正确的是（）

A.。越大越费力，。越小越省力B.。的取值范围为［。,句

C.当时，闻=GD.当"与时，闻=忖

32.（2022春.江苏南通•高一金沙中学校考期末）直角ABC中，斜边AB=2,P为ABC所在平面内一点,

AP=-sin2OAB+cos20-AC（其中OcR）,则（）

2

ULMUUIU,,_,,一_

A.AB.AC的取值范围是（0,4）

B.点P经过AfiC的外心

C.点P所在轨迹的长度为2

D.尸C-（PA+PB）的取值范围是-;,0

33.（2022春•福建福州•高一校联考期末）G是ABC的重心，AB=2,AC=4,ZCAB=120,「是_/18。所在平面内

的一点，则下列结论正确的是（）

A.GA+GB+GC=0

B.AC在AB方向上的投影向量等于AB

4

C.GAGB=-

3

3

D.A尸・（3P+CP）的最/J、值为一5

34.（2022春.广东梅州.高一统考期末）在AABC中，下列正确的是（）

A.若AC5A<0,则△ABC为钝角三角形

B.^\AB+AC\=\AB-AC\,则△ABC为直角三角形

C.^（AB+AC]-（AB-AC]=0,则△ABC为等腰三角形

D.已知笳+法+发=6,且|of=|oq=|oc],则△ABC为等边三角形

35.（2022秋•河南洛阳•高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知点。为ABC所在平面内一点，且

2Q4+3O8+4OC=0则下列选项正确的有（）

14

A.AO=-AB+-ACB.直线A0过BC边的中点

39

3

C.^AAOB^/^BOC=2:1D.若|OA|=|OB1=1OC|=1,贝IJOCA8=-7

16

三、填空题

36.（2023•高一课时练习）在，ABC中，OAOB=OBOC=OCOA,则。是ABC的心.

37.（2022春・上海长宁•高一上海市第三女子中学校考期末）在1：ABC中，0为中线AAf上的一个动点，若40=3,

则OA-（OB+OC）的取值范围是.

38.（2022春・江苏南通高一金沙中学校考期末）如图，正八边形ABCDEFG以中，若4E=XAC+zMF（%〃eR）,则

2+〃的值为.

F

E

B

39.（2022•高一课时练习）已知A,B,C是坐标平面上的三点，其坐标分别为4（1,2）,B（4,l）,C（0,-l）,则.ABC

的形状为.

40.（2022•高一课时练习）若平面上的三个力耳，月，£,作用于同一点，且处于平衡状态.已知用=6N,向=2N,

且月与耳的夹角为5手兀，则鸟与玛的夹角为.

41.（2022•全国•高一假期作业）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250国，河水的速度为向东2km/h.一艘小货

船准备从河南岸的码头A处出发，航行到位于河对岸8（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距250m的码

头C处卸货.若流水的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h,则当小货船的航程最短时，小货船航行

的速度大小是km/h.

四、解答题

42.（2022春•山东枣庄•高一统考期中）如图，在J1BC中，NBAC=120,AB=1,AC=3,点。在线段BC上,

(2)求cos/ZMC.

43.（2022春・江苏连云港•高一连云港高中校考期中）在直角坐标平面xQy内，已知向量。4=（1,5）,OB=（7,1）,

OM=（1,2）,尸为满足条件=（teR）的动点.当PAPS取得最小值时，求：

⑴向量0P的坐标;

（2）cos4PB的值；

⑶求点A到直线尸3的距离.

44.（2022春・浙江台州高一校联考期中）在直角梯形ABQ）中，已知ABDC,ADJ.AB,CD=1,AD=2,AB=3,

动点E、歹分别在线段8C和。C上，AE和8。交于点M,且BE=2BC，DF=（1-A）DC,AeR.

（1）当AE.BC=0时，求4的值;

（2）当2=彳2时，求D部M的值；

3MB

⑶求AF+^AE的取值范围.

45.（2022春・江苏扬州•高一统考期中）已知正六边形ABCDEF的边长为1,

.3

⑴当点M满足时，BFBM=~.

（注：无需写过程，填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）

⑵若点N为线段AE（含端点）上的动点，MDN=mDC+nE>E（meR,neR）,求〃?+〃的取值范围;

⑶若点〃是正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，求.A8的取值范围.

【答案详解】

1.c

【解析】利用向量的等式关系囱?+附>网2+同2,转化成o/_o4=c/一8c2，

利用向量加减法运算化简得到CO=0，即证COLM,再同理证得OBLACOALBC,

即得。是^ABC的垂心.

【详解】i|OA|2+|BC|2=|OB|2+|CA|2\DAI2-|OBI2=|CAI2-|BCI2,

即OA-OB2=CA-BC^故6-QB).(04+OB)=(CA-BC)(CA+BC),

故BA•(OA+OB)=(CA+CB>BA,BA\OA+OB-CA-CB)=0,

5iCA=OA-OC，CB=OB-OC，

BA,•(04+OB+CO—OA+CO—。8)=0541CO=0,即COJ_AB,

同理AC・08=0,8C-04=0,即08_LAC,OA_L3C,所以。是，ABC的垂心.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：

本题的解题关键在于将模的平方转化成向量的平方，进行向量的灵活运算，才能证得垂直关

系，突破难点.

2.(1)证明见解析；

77

【分析】(1)画出示意图，根据边的关系可得/A8C=3,因而AB_LBC.

(2)以2为原点建立平面直角坐标系，写出各个点坐标，进而根据平面向量数量积的坐标

运算即可求出结果.

【详解】(1)根据题意，画出示意图如下图所示

JI

由题意可知IA引=|AD|=2,ABAD=-

所以三角形ABD为等边三角形,

则B4=2,又|DC|=I,忸C|=G,

所以|DC『+忸C『=|B球,

-TT-TT

即△BCD为直角三角形，且NC=z，NB=",

26

所以NABC=g+£=g,

362

所以AB_L2C;

(2)根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系,

y

则4(0,2),。(石,1),因

贝1J£A=-千,2,ED=

所以胡.即=-三,2・十,1,

」+2

4

_5

-4

2-112

3.(1)EF=—b——a,EG=—a+—b.

3223

⑵证明见解析.

【分析】(1)利用平面向量基本定理表示出所,EG；

(2)利用EG数量积为0证明£FLEG.

【详解】(1)因为点E是A8的中点，所以AE=E2=：A2=；a.

因为A尸=§A£),5G=q5C,所以BG=A/=]AZ)=§b.

21.——1-2-

所以石尸二A/—AE=—b——a,EG=EB+BG=-a+-b.

3223

2112

(2)由(1)可得：EF=-b一一a,EG=-a+-b.

3223

因为卜卜gw，

所以一：(：恸)=0,

所以EF_LEG.

4.C

【分析】建立平面直角坐标系，写出坐标表示小.丽，利用二次函数求出最小值时尸的坐

标，最后利用向量的夹角公式求解即可.

【详解】建立如图所示平面直角坐标系：

则4(-0,0),3(右,0)0(0,1),

设P(x,y),

因为动点P位于直线OA上，

直线。4的方程为：y=^x+l,

3

2G,、2422石-4,右、29

=x-3+('§1%+D=~xH———x-2=—(xH—^―)—-?

当x=¥时，港法取得最小值-，此时尸(-手怖),

扇=(-乎令|(-2后0),

15

前氤55s

所以cosZPBA=万

2r一14

BP-BA20呵

4

又因为NPR4e(0㈤，

所以sin/PBA=应，

14

故选：C.

5.(1)2=-|,〃=2

⑵-巫

10

—,3

【分析】(1)由向量的运算得出AD=-]A3+2AE,进而得出九和〃的值；

(2)由向量的运算得出E4=；CB+BA,=+进而得出|EA|,\BD\,EABD，

再由数量积公式求解即可.

【详解】(1)根据题意，梯形ABC。中，AB//CD,AB=2CD,E为8c的中点

1113

则AT>=A3+3C+CO=/A3+8C=5A3+23^=5A3+2(AE—A3)=—5A3+2AE

3

又由AD=XAS+可得X=一万，〃=2

(2)NAFD是E4与3。所成的角，设向量E4与3。所成的角为。

1c122

EA=EB+BA=-CB+BA,则|E4「=—CBA4-CBBA=9+8-12=5

24+B

1.-21-2

BD=BC+CD=BC+-BA,贝“加降9氏；+-BA、+BCBA=2+36+12=50

24

贝『EA|=6|8。|=病

因为£4.20=(#3+可｛g+；可=(24_；

1.21-23-

=一一CB+-BA+-CB-BA=-18+4+9=-5

224

而a__EABD-5_710

所以COS0——r--

\EA\\BD\Vr5x5^10

所以E4与BD所成角的余弦值为-巫.

10

6.(1)4。=^!,BE=26

3

⑵也

26

【分析】(1)由卜目2=BE2=l^AC-AB|AD|2=AD2=(|AC+1根据向量数量

积的运算即可求解;

(2)由4。与BE的夹角即为利用向量的夹角公式即可求解.

(1)

4cl

解：由题意，AB=2,AE=—=2,ZBAC=120°,

y.BE=AE-AB=-AC-AB,

2

所以

|BE|2=BE2=^AC-AB^=^AC2-AC-AB+AB2=Ac|2-1Ac|•|cosABAC+1Afi|2

=12,

/.|BE|=273,即5E=2g,

2221

AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AC+-AB

3333

I-|2-221

.-.|AD|=AD=(-AC+-AB)92

2

4-2211-241I21I11I11p52

=-AC+2X-X-XACAB+-AB=-AC+2x—x—xAC.A3cosN3AC+—A3=—

93399113311119119

.,\AD\=^,即A以垃I

1133

(2)

解：BE=AE-AB=^AC-AB,

2111-21-1-2

:.ADBE=(-AC+-AB)(-AC-AB)=-AC——ACAB——AB=

332323

AO与成的夹角即为NE。。，

ADBE635/39

1.cos/EOD=

HM26

7.D

【分析】利用向量数量积去求AO长度即可.

【详解】ABC中，点。在8C边上且

11Q

贝ljAD=AB+BD=AB+^AC-AB^=^AC+^AB

又网=1,|AC|=2,Zfi4C=60°,

则M=「AC+泗飞|时+胃时+15

=A/—x4+—xl+-xlx2x-=—^/3,即A£)长度为5道

V999233

故选：D

8.C

【分析】设OC=〃zOB(OWmMl),BD=；BA,乙"。=矶0＜。＜9,作。关于。3的对称

点R,如图根据向量的线性运算化简题中的等式|AC|+|OC|,利用点关于直线的对称性可

得,同=晒，结合余弦定理可得出cos28,利用二倍角的余弦公式求出cos。，最后根据

|。@=2,2卜(《，即可求解.

【详解】解：由题意得:

如图所示:

A

设。？=加0百(0《/41),则点C在线段OB上运动

故\inOB-OA|=|OC-OA|=|AC|

设BD=；BA

(1-m)BO-1BA=|(m-1)OB-BO|=^mOB-OB-Bo|=\rnOB-[OB+BD)|=\0C-(9D|=|oc|

\mOB-OA\+(l-m)BO--BA=\Ac\+\Dc\,即+.=719

作。关于。3的对称点2，设/A2O=d(0＜，＜，

|Ac|+\DC\=IAc|+l^cl＞|AD；|,gp(|Ac|+|z)c|)=,叶川?

在ABD1中，但=网=4,即=做卜；网=1,卜闻=炳

由余弦定理可得：cos2e=2cos2g_l=l?+：-：9=一;，解得：cost)巫

2x1x444

|OB|=2|AB|COS0=2X4X^=2A/6

故选：C

9.⑴[0P|=^^；

62

(2)---.

【分析】（1）用。4。3表示出0P，然后可计算出答案;

（2）OPAB=[^OA+^OB^\OB-OA],然后可计算出答案.

（1）

因为BP=2PA，所以OP=OB+8P=O3+13A=O3+?Q4—05）=104+308,

因为|。4|=6,|。q=2,0A与OB的夹角为60。，

-2。1-V4-241,2441117?

所以。尸=-OA+-OB=-OA+-OAOB+-OB=-x36+-x6x2x-+-x4=—,

^33J99999299

所以口尸卜当1;

（2）

（21、/\2-2112

OPAB=\-OA+-OB\\OB-OA\=——OA+-OAOB+-OB

（33尸）333

2“1--11）62

=x36+—x6x2x—+—x4=---

33233

10.B

【分析】以3点为原点，以84,5。所在的直线为九和丁轴，建立平面直角坐标系，设"（0,。），

得至1]4"・£＞知=（°一¥）2+子，即可求解.

【详解】以B点为原点，以血所在的直线为x轴，以BC所在的直线为＞轴，建立平面直角

坐标系，如图所示，过点。作DP_Lx轴，过点。作。。轴，

因为A2,2C,A。，C£>,/JBCD=m且CB=Cr>=2e，则/&4。=。,

所以B(0,0),4(2,0),C(0,2A/3),0(3,5,

设M(0,a),则AM=(-2,a),DM=(一3,a-退)，

所以4〃・£>州=6+加一退)=("亭2+£］，

71

所以AM.DM的最小值为—.

故答案为：B.

(2)最小值为-9

【分析】(1)以A为坐标原点，边AC、AB所在的直线为双'轴的正方向建立平面直角坐标

系求出4£>、(”的坐标，再由向量数量积的坐标运算可得答案；

(2)根据点尸在4c上,设尸(x,0),求出丽、PC的坐标，则加•尸北=(—苍8>(6—彳,0),

利用二次函数配方求最值可得答案.

【详解】(1)如图，以A为坐标原点，边AC、AB所在的直线为无、y轴的正方向建立平面直

角坐标系，

所以4(0,0),3(0,8),C(6,0),

。为边BC中点，所以0(3,4),AD=(3,4),。=(-6,8),

则AD-CB=-18+32=14;

V

X

(2)若点尸满足CP=XC4(4eR),则点尸在AC上,

由⑴,设尸(苍0),则P3=(-x,8),PC=(6-x,0),

则尸3PC=(t,8)•(6-x,0)=(x-3)2-9,

所以当x=3时尸3.PC的最小值为-9.

12.⑴手

(2)2J6-2省•

【分析】(1)根据点河是三角形C8Q的重心，结合三角形重心的向量表示以及数量级运算,

即可求得结果；

(2)设CP=XC2(0VXVl),根据平面向量的线性运算结合题意，求得f与2的关系，再求

得,0关于f的函数关系，求该函数的最小值即可.

【详解】(1)设AB=a,AC=b，当f=-l,P是BC的中点时，则又是的重心，

CM=1(CB+Ce)=|(a-3Z>),

\CM\=*-36)2=口9+9.6.(_1)=孚.

(2)i5CP=2CB(0<A<l),贝UAP=/la+(l-/l)b,AQ=tb

AP-/IB=[At?+(1-2)&J-a=2a2+(l-/l)Z>.<2=102-1,

PAPQ=-12a+(1-A)b]-(AQ-AP)

=[Aa+(1-A)/?J2-tb-[Aa+(1-2)Z>]

==2#+22(1-A)a-b+(l-A)2b2-t[b-Aa+(l-A)b2]

=94~—24+24~+1—24+3—/(I—2㈤

=1222-42+l-Z(l-22)

由？>A-PQ+3=APAB,得：1222-4Z+4-/(l-2Z)=10/l-l.

Ar(l-2A)=1222-142+5,因为/<0,12A2-142+5>0,

山21,八1222-142+5

所以「t=------------------

21-22

令m=2/l-le(0,l],则

-m

Wm+1

=--=-(3m+l)+l<-2V3+l

mm

当且仅当〃z=3e(0,1］时取到等号，所以f的最大值是-273+1

3

又做卜卜—同=J/+2/+9,在/£(—co,—2^3+1］上单调递减,

所以忸@=^(-2A/3+1)2+2-(-2A/3+1)+9

=J13-46-4用11=216-26.

故的最小值为2卡刁

【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的线性运算以及数量积运算，解决问题的关键是充

分掌握三角形重心的向量表示，以及根据题意，建立参数九与r的对应关系，求函数的最值,

属综合困难题.

13.C

【分析】由已知条件求解直角三角形，根据向量的平行四边形法则，结合向量的模长公式,

即可求解小货船航行速度的大小.

【详解】解：由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段尸设小货船航行速度为

v,水流的速度为匕，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为打,作出示意图如下:

PQ=250V3m,QM=250m,在中，有tan=空="。乙=在,

QM250

7T71/\71712乃

所以4=WZMPQ=-,/vi,V2)=-+-=—

6\/263

所以V=V2-也，

所以M=j(v2-vi)+|vi|-2i^i-V2=^52+32-2x5x3cos—=7,

所以小货船航行速度的大小为7km/h,

故选：C.

14.D

g

【分析】由题意分析可得COS。=—-即可求解.

匕

【详解】设船的实际速度为V,因为点H在A的正北方向，所以V，%，

v2_4__2

所以cos0——cos(不一=----

，410--5

故选：D.

15.C

【分析】根据题意知水平速度为50m/s,然后由求解.

cos30

【详解】解：如图所示：

由题意知：卜《=第=50//s,

kl

100痴,

所以网=同==---------m/s9

cos303

故选：C

16.(1)QP=^AB-^AD-

(2)网=誓;

(3)1.

【分析】⑴结合条件证明=再用四和AD来表示08即可;

(2)利用AB,BC表示AP，根据模的性质和数量积的性质求IAP|；

(3)由条件确定4〃的关系，结合基本不等式求物的最大值.

【详解】⑴因为P,Q为线段BC,CZ）上的中点，所以QP//DB,又QP,DB方

向相同，

所以,所以QP=J_r>3=J_（A2-AD）=LAB-J_AD；

AB

（2）因为BP=』BC,所以42=42+2尸=43+工3（7,因为AR/CD,ZBCD=120°,所

44

以NABC=60,所以（A氏2C）=120,

又AB=BC=2,所以43.20=,8,4。卜（«（4氏20）=2*2*1_；）=_2

又网=AB+-BC=.AB+-BC\=AAB+-ABBC+—BC2

4Vl4JV216

所以网=卜1+；=半

（3）设线段PQ的中点为E,连接AE,交8。与点G,由已知G为△AP。的重心,

2

由重心性质可得AG=§AE,

AP=AB+BP=AB+JUBC=AB+/2^BA+AD+DC^=\1-^AB+/JAD,

AQ=AD+DQ=AD+ADC=AD+-AB,

所以46」"+乙0=匕上343+匕%皿

3363

设BG=tBD,AG=AB+BG=AB+tBD=AB+t^AD-AB^=（l-t）AB+tAD,

所以——7——==4+4=2,

63

由基本不等式可得几+〃22而，所以MV1,当且仅当4=〃=1时等号成立，所以初的

最大值为1.

uuir210n1uuir

17.(1)AD=-AB+-AC

⑵加亚

3

UULT2uiw]uuir

【分析】（1）结合图形由向量的线性分解知识可以得到AO=1A8+§AC；

（2）利用向量的模长计算线段的长度，将向量平方结合数量积运算可得结果.

（1）

由题意知觉》=：8。，

221421-24

AD=(-AB+-AC)92=-AB+-AC+-ABAC

33999

=-x22+-x42+-x2x4x-=—,所以=

999493

(2)272;

【分析】（1）由重心的性质有SW=；SABC，结合三角形面积公式求△以B的面积;

(2)由题设PUULB'PucmC，可得|pUL,T|2+|IUPUCf|l|2=|iUBUCQ||2,再应用基本不等式求目标式最值，注意等

号成立条件.

(3)构建直角坐标系并设尸(尤，y),确定相关点坐标，利用向量数量积的坐标运算求

2.PAPB+PAPC，即可得结果，注意最值对应尤、

(1)

由题设知：尸为AABC的重心，故S“AB=；SV*BC=；xgx2xg="；

(2)

UULUL1Ut|LUT|2|UUfl|21ULHI12

由于尸5・PC=O,即则『4+|PC|=wq=4,

网+|PC|<闻卿+|町=20,当且仅