人教版高中数学必修二 倾斜角与斜率学案

人教版高中数学必修二第3章直线与方程

3.1直线的倾斜角与斜率

3.1.1倾斜角与斜率学案

【学习目标】

1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.（重点）

2.掌握倾斜角与斜率的对应关系.（难点、易错点）

3.掌握过两点的直线的斜率公式.（重点）

【要点梳理夯实基础】

知识点1直线的倾斜角

阅读教材〜Pa，“思考”以上部分，完成下列问题.

1.倾斜角的定义

（1）当直线/与X轴相交时，取X轴作为基准，无轴正向与直线/向上方向之

间所成的角a叫做直线I的倾斜角.

（2）当直线/与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为

2.倾斜角的范围

直线的倾斜角a的取值范围为斜Wa<180。.

3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点

及它的倾斜角.

［思考辨析学练结合］

如图所示，直线/的倾斜角为（）

A.30°Iy|

B.60°MM-

C.1200书;

D.以上都不对I\

［解析］根据倾斜角的定义知，直线/的倾斜角为30。+90。=120。.

［答案］C

知识点2直线的斜率及斜率公式

阅读教材“思考”以下至P7“例1”以上部分，完成下列问题.

1.斜率的定义

一条直线的倾斜角a的地值叫做这条直线的斜率.常用小写字母女表示，

即&=tan_a.

2.斜率公式

经过两点Pig,%),产2(々，打)(玉工々)的直线的斜率公式为女•当当

=々时，直线Pf2没有斜率.

3.斜率意义

用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度.

［思考辨析学练结合］

判断(正确的打“，错误的打“义”)

(1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的惟一方法.()

(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.()

(3)一个倾斜角a不能确定一条直线.()

(4)斜率公式与两点的顺序无关.()

［解析］(1)错误.除了倾斜南，还可以用坡度(比)描述倾斜程度.

(2)错误.倾斜角不是90。的直线有且只有一个斜率和它对应.

(3)正确.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和

一个倾斜角a.

(4)正确.斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次

序可以同时调换.

［答案］(1)X(2)X(3)V(4)V

【合作探究析疑解难】

考点1直线的倾斜角

［典例1］已知直线I过原点，/绕原点按顺时针方向转动a角(0。＜"180。)后,

恰好与y轴重合，求直线/转动前的倾斜角是多少？

［点拨］|画草图|一向叼一|找倾斜角与a的关系|一|求倾斜角|

［解答］由题意画出如下草图

y*.r»f?

(V

由图可知：

当a为钝角时，倾斜角为。一90。,

当a为锐角时，倾斜角为a+90°,

当a为直角时，倾斜角为0。.

a+90°(0o<a<90°),

综上，直线/转动前的倾斜角为彳

a-90°(90°<a<180°).

［方法总结］

1.解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答.

2.求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出

图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.

跟踪练习］

1.设直线/过坐标原点，它的倾斜角为a,如果将/绕坐标原点按逆时针方

向旋转45°,得到直线卜那么的倾斜角为（）

A.a+45°

B.a-135°

C.135。一a

D.当0。忘6（<135。时，倾斜角为a+45。；当135°<a<180°^,倾斜角为a

-135°

［解析］根据题意，画出图形，如图所示：

因为0°Wa<180°,显然A,B,C未分类讨论，均不全面，

不合题意.通过画图（如图所示）可知：

当0°Wa<135°时,Z］的倾斜角为a+45。；

当135°Wa<180°时，的倾斜能为45°+a—180°=a—135°.故选D.

［答案］D

考点2直线的斜率

［典例2］已知坐标平面内三点A(—1,1),C(2,，5+1).

(1)求直线43、BC、AC的斜率和倾斜角；

(2)若。为△ABC的边45上一动点，求直线斜率左的变化范围.

［点拨］(1)利用二？及%=tana求解；

(2)先求出AC、的斜率，进而求出火的范围.

［解答］(1)由斜率公式得

%舄=。,噎=勺

倾斜角的取值范围是0°Wa<180°.

又「tan0°=0,

C.AB的倾斜角为0。.

tan60。=小，

.•.8C的倾斜角为60°.

J3

tan30。=号，

...AC的倾斜角为30°.

(2)如图，当斜率上变化时，直线C。绕C点旋转，当直线由C4逆时针

方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA

增大到kCB,所以火的取值范围

方法总结］

证明点线共面常用的方法

1.由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式上=tana(a#90。)

解决.

2.由两点坐标求斜率运用两点斜率公式

A=?_?(X］W%)求解•

3.涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解.

:跟踪练习］

2.已知两点A(—3,4),8(3,2),过点尸(1,0)的直线/与线段A8有公共点.

(1)求直线/的斜率A的取值范围；

(2)求直线/的倾斜角a的取值范围.

4—02—0

［解］如图所示，由题意可知攵=—―7=—1,k=弓—r=l.

PA—

—311PB31

(1)要使直线/与线段A6有公共点，则直线/的斜率攵的取值范围是左W—1,

或kNl.

(2)由题意可知，直线/的倾斜角介于直线P8与必的倾斜角之间，叉PB的

倾斜角是45°,%的倾斜角是135°,所以a的取值范围是45°WaW135°.

考点3斜率公式的应用

探究1斜率公式攵=士三中，分子与分母的顺序是否可以互换？坊与巴，

X2%

玉与々的顺序呢？

［提示］斜率公式中分子与分母的顺序不可互换，但为与劣和玉与血可以

同时互换顺序，即斜率公式也可写为左=匚上

七一々

探究2你能证明A(—3,-5),B(l,3),C(5/l)三点在同一条直线上吗？

［提示］能.因为4-3,-5),5(1,3),C(5,ll),

3-(—5)11—3

所以与p-］一(—3厂2,及阮一_5—〕2,

所以心/1〃ZJ=心£>「C，且直线A5,BC有公共点、B,

所以A,B,C这三点在同一条直线上.

［典例3］已知实数x,y满足y=x2—2x+2(-1WxWl),试求的最大值

和最小值.

［点拨］.的最大值和最小值可以看做过两点(—2,一3)和(x,y)的直线的

斜率的最大值和最小值.

［解答］由苦!的几何意义可知，它表示经过定点尸(一2,—3)与曲线段A3

上任一点(x,y)的直线的斜率火，由图可知女出由已知可得8(一

1,5).

贝i［k=-----=—k=------=R

JPAi—（—2）yPB—i—（—2）

4v+34

二•gW攵W8,••.彳+2的最大值为8,最小值为了

［思路总结］

斜率公式的应用

1.证明三点共线：只需证此三点中任意两点确定的斜率相等(斜率存

在).

2.求代数式3最值或范围：

x-a

由斜率公式攵=七二1的形式，可知3的几何意义是过P(x,)，)与

/x~~a

P'(«,份两点的直线的斜率.故可以利用数形结合来求解

［跟踪练习］

3.已知实数x,y满足y=-2x+8,且2«,求］的最大值和最小值.

［解］如图所示，由于点(x,)，)满足关系式2x+y=8,且2WxW3,可知点

P(x,y)在线段AB上移动，并且A,8两点的坐标可分别求得为(2,4),(3,2).

v2

由于］的几何意义是直线0P的斜率，且攵3=2,kOB=y

所以可求得(的最大值为2,最小值为生

【学习检测巩固提高】

1.若直线的倾斜角为60。，则直线的斜率为(A)

A.0B.一木C.£D.

［解析］直线的斜率左=tan6(r=娟.故选A.

「答案］A

2.若过两点A(4,y),6(2,—3)的直线的倾斜角为45。，则y等于()

A.-fB.f

C.-1D.1

V+3y+3

［解析］勺==y=tan450=l,即一^―=1,.•.)>=一1.

T■乙乙

［答案］c

3.若4(一2,3)、8(3,—2)、C(；,加)三点共线，则机的值为(A)

A.；B.—iC.-2D.2

［解析］由已知得，勺^二勺厂

［答案］A

［点评］若与B=攵BC，则A，B,C三点共线；若AB与的斜率都不存在(即A、

B、C三点横坐标相同)，贝i］A、B、C三点共线.

4.直线/过点A(l,2),且不过第四象限，则直线/的斜率的取值范围是—.

2—0

［解析］如图，当直线/在/］位置时，k=tan()o=0；当直线/在4位置时，上=口

=2.故直线/的斜率的取值范围是［0,2］.

［答案］［0,2］

5.已知4LD，8(3,5),C(a,7),D(—l,b)四点在同一条直线上，求直线的斜率

k及a,b的值.

［解1由题意可知攵=t1=2k=3=_g_k=b~}=—

睁J田&2J夕KAB3—14KACQ-1KAD-1-1-2'

所以k=2=m=W，解得a=4,b=~3,

所以直线的斜率％=2,a=4,b=~3.

人教版高中数学必修二第3章直线与方程

3.1直线的倾斜角与斜率

3.1.1倾斜角与斜率课时检测

一、选择题

1.斜率不存在的直线一定是()

A.过原点的直线B.垂直于x轴的直线

C.垂直于y轴的直线D.垂直于过原点的直线

［解析］只有直线垂直于x轴时，其倾斜角为90。，斜率不存在.

2.若过两点A(4,y)、6(2,—3)的直线的倾斜角为45。，则y等于(C)

A.-“B.弋C.-1D.1

［解析］.••直线的倾斜角为45。，

二直线的斜率A:=tan45°=l,

-3—y

--------=1i.

2-4’••y=-

3.如图所示中a能表示直线/的倾斜角的是______.

［解析］结合直线/的倾斜角的定义可知A可以.

4.直线/的倾斜角是斜率为好的直线的倾斜角的2倍，则/的斜率为（B）

A.1B.73C.2乎D.-y/3

［解析］：tana=乎，0°<a<180°,.\«=300,

/.2a=60°,.,.仁tan2a=/.故选B.

5.如下图，已知直线/|、丛4的斜率分别为勺、％2、勺，则（D）

A.勺＜攵2＜k3B.k，3＜k［＜k,C.ki＜k2＜k}D.女产心以^

［解析］可由直线的倾斜程度，结合倾斜角与斜率的关系求解.设直线小4

的倾斜角分别是％、为、a3,由图可知%＞90。＞%＞。3＞。°，所以勺＜。＜勺＜匕

6.设直线/过坐标原点，它的倾斜角为a,如果将/绕坐标原点按逆时针方向旋

转45。，得到直线不那么4的倾斜角为（D）

A.a+45°

B.a-135°

C.135°-a

D.当（）oWa＜135。时，倾斜角为a+45。；当135。W喝180。时，倾斜角为a

-135°

［解析］根据题意，画出图形，如图所示：

因为(rWa<180。，显然A,B,C未分类讨论，均不全面，不合题意.通过

画图(如图所示)可知：

当00<135。,4的倾斜角为a+45°；

当135°Wa<180°时,乙的倾斜角为45。+</—180。=61—135。.

故选D.

7.经过两点力(2』)、8(1,m2)的直线/的倾斜角为锐角，则根的取值范围是(C)

A.m<1B.m>—\

C.D.加>1或加〈一1

［解析］设直线/的倾斜角为a,则

m2—1

k,=-.-T-=tana>0.

AB1—2

/.1—m2>0,解得一1VmV1.

8.已知点4(1,3)、8(—2,-1).若过点P(2』)的直线/与线段A8相交，则直线

/的斜率上的取值范围是(D)

1

A\>-

2B.kW—2

C.222或攵W—2D.—

［解析］过点P(2,l)的直线可以看作绕P(2,l)进行旋转运动，通过画图可求得k

的取值范围.由已知直线/恒过定点尸(2,1),如图.

若/与线段A3相交，则%附W&Wkps，

'-'kpA=-2,%=:，.•.—24W；.

［点评］在同一坐标系中,

直线向右上方倾斜时，火>0；

向左上方倾斜时，R0；

在y轴右侧，各直线交点最右边逆时针方向，人依次增大.

二'填空题

9.设尸为x轴上的一点，4(一3,8)、8(2,14),若