高考数学二轮复习 检测（五）数学文化试题

专题检测（五）数学文化

一、选择题

1.我国古代数学著作《九章算术》中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四

百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（）

A.104人B.108人

C.112人D.120人

解析：选B由题设可知这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为

81008100

300X8100+7488+6912=300X22500=108-故选B'

2.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传

统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量

总和.是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,

12,18,24,32,40,50,则此数列第20项为（）

A.180B.200

C.128D.162

解析：选B根据前10项可得规律：每两个数增加相同的数，且增加的数构成首项为2,

公差为2的等差数列.可得从第11项到20项为60,72,84,98,112,128,144,162,180,

200.所以此数列第20项为200.

3.（2019•昆明市高三调研测试）法国学者贝特朗于1899年针对几何概

型提出了贝特朗悖论，内容如下：如图，在半径为1的圆内随机地取一条弦，\\

则弦长超过圆内接等边三角形的边长/的概率等于多少？基于对术语“随

机地取一条弦”含义的不同解释，存在着不同答案.现给出其中一种解释：固定弦的一个端点

A,另一端点在圆周上随机选取，其答案为（）

1

A.]B.~

解析：选B记等边三角形为△48C,弦的另一个端点为E如图，弦4尸

-1

的长超过48的长，则点一落在劣弧於k,所以所求概率为1.故选B.

O

4.欧拉公式e"=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指

数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里非

常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知，小表示的复数在复平面内对应的点位于

（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析：选B依题可知e”表示的复数在复平面内对应的点的坐标为（cos*,sinx）,故

e’,表示的复数在复平面内对应的点的坐标为（cos2,sin2）,显然该点位于第二象限，选B.

5.如图所示是2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标图案，

该图案的设计基础是赵爽弦图，以纪念我国古代数学家赵爽用此图证明了/.

勾股定理.如图是用4个全等的直角三角形以斜边为边长拼成的一个正方AkG

形.假设直角三角形的直角边长分别为3,5,在正方形48缪中随机取一

li

点，则此点取自四边形砒7/内的概率是（）

解析：选A因为直角三角形的直角边长分别为3,5,所以正方形的面积为3?+52

42

=34,易知四边形明第的面积为（5—3V=4.故此点取自四边形办以内的概率片指故

选A.

6.我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气

皆（gui）长损益相同（唇是按照日影测定时刻的仪器，号长即为所测量影子的长度）.二十四个

节气及唇长变化如图所示，相邻两个节气署长的变化量相同，周而复始.若冬至暑长一丈三尺

五寸，夏至唇长一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后的那个节气（小暑）唇

长是（）

冬至2701jw夏至

大雪、

24

\小雪

A.五寸B.二尺五寸

C.三尺五寸D.四尺五寸

解析：选B设从夏至到冬至的署长依次构成等差数列｛a,J,公差为d,ai=15,ai3=135,

则15+12d=135,解得，=10.所以&=15+10=25,所以小暑的号长是25寸.故选B.

7.《算数书》是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：“置

如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长Z与高方,

计算其体积/的近似公式但白人%它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率几近似取为3.那

157355

C---D---

50113

]77

解析：选A依题意，设圆锥的底面半径为r,贝ijn(2nr)2h,化

3264264

99

简得“故选A.

8.五进制是以5为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指.中国古代的五行学说也

是采用的五进制，0代表土，1代表水，2代表火，3代表木，4代表金，依此类推，5又属土,

6属水(减去5即得)……如图，这是一个把A进制数a(共有〃位)化为十进制数6的程序框图，

执行该程序框图，若输入的〃，a,〃分别为5,1203,4,则输出的6=()

|b=b+t-#-i|

/输少/

B.386

D.14303

解析：选A执行该程序框图，可得当输入％=5,a=l203,〃=4时，该程序框图的功

能是计算并输出X50+0X5'+2X52+1X53-178.故选A.

9.天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、

戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.

天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天

干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为

“丙寅”，……，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙

亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推.已知1949年为“己丑”年，

那么到中华人民共和国成立80年时为年（）

A.丙酉B.戊申

C.己申D.己酉

解析：选D天干以10循环，地支以12循环，从1949年到2029年经过80年，且1949

年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，80+10=8,则2029年的天干为己；

804-12=6...8,则2029年的地支为酉.

10.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，它的出现标志着中国古代数学形成了

完整的体系.其中《方田》章有弧田面积计算问题，术日：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而

一.其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积=?弦X矢+矢X矢）.弧田是由圆弧（弧田弧）

和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长,

“矢”指的是弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田，其弧田弦等

7

于6米，其弧田弧所在圆为圆0,若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为万平方米，

贝iJcosN力3（）

13

A，25B*25

C1D工

525

解析：选D如图，依题意48=6,设fi9=x（x>0）,则g（6x+V）—

7“，

=3，解得x=l.设以=y,则（y—l）'+9=/,解得y=5.

2o

25+25—367

由余弦定理得cos故选D.

2X5X525

11.为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传

输信息.设定原信息为为&a2,{0,1}（7=0,1,2）,传输信息为A）加句如幻其中ho=3o

®a,%=为㊉金,金的运算规则为。㊉0=0,0㊉1=1,1㊉0=1,1㊉1=0.例如原信息为111,

则传输信息为01111,信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一

定有误的是()

A.11010B.01100

C.10111D.00011

解析：选C对于选项C,传输信息是10111,对应的原信息是011,由题目中的运算规

则知A>=0㊉1=1,力|=久㊉&=1㊉1=0,故传输信息应是10110.

12.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示

的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、

对称统一的形式美、和谐美.定义：图像能够将圆。的周长和面积同时

等分成两部分的函数称为圆。的一个“太极函数”，给出下列命题：

①对于任意一个圆0,其“太极函数”有无数个;

②函数f(x)=ln(9+，7不1)可以是某个圆的“太极函数”；

③正弦函数y=sinx可以同时是无数个圆的“太极函数”；

④函数y=F(x)是“太极函数”的充要条件为函数y=f(x)的图像是中心对称图形.

其中正确的命题为()

A.①@B.①③④

C.②③D.①④

解析：选A过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，故对于任意一个圆0,

其“太极函数”有无数个，故①正确；

函数/■(x)=ln(f+47不1)的图像如图所示，

故其不可能为圆的“太极函数”，故②错误；

将圆的圆心放在正弦函数y=sinx图像的对称中心上，则正弦函数y=sinx是该圆的

“太极函数”,

从而正弦函数y=sinx可以同时是无数个圆的“太极函数”，故③正确；

函数y=f(x)的图像是中心对称图形，则y=f(x)是“太极函数”，但函数y=F(x)是“太

极函数”时，图像不一定是中心对称图形，如图，故④错误.故选A.

二、填空题

13.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的帚

梯卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即梯卯结构)啮合，十v县‘

分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对比帚

称.从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°样卯起来，

如图，若正四棱柱体的高为6,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内，

则该球形容器的表面积的最小值为.(容器壁的厚度忽略不计)

解析：表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1,2,6的长方体的外接球.设

其半径为此(2A)2=62+22+l\解得产=宁，所以该球形容器的表面积的最小值为4-=41

n.

答案：41Jt

14.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中“勾股”章讲述了“勾股定

理”及一些应用.直角三角形的三条边分别称为，，勾”，，股”“弦”.设石，石分别是椭圆?+

/=1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，若线段PR,阳分别是的

“勾”“股”，则点尸的横坐标为.

解析：由题意知半焦距c=/,又PFdPA,故点尸在圆/+/=3上，设P(x,y),联

y+/=3,

立，得X：2।

斤+/=1,

得4半，坐)•故点尸的横坐标为半.

答案.”后

口•3

15.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发

现了黄金分割，其比值约为0.618,这一数值也可以表示为m=2sin18°,若/+〃=4,则

2cos吃7°—1=------------'

解析：由题设〃=4—痴=4-4sin''18°=4(1—s