2024届河南省信阳市高三年级上册数学一模试题及答案

河南省2023-2024学年高三上期11月一模

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中项是符合题目

要求的.

1.若集合4={尤|%2}(6A”)

-5%三0,5-{尤|y-ln(%—7)},则B-(

A.(0,7]B.(0,5)C.(7#,)D.(5,i/)u

2.已知凡5是单位向量，若a一(a+36),则。在6上的投影向量为()

3.设R厕“2"二”是“/+120”的（)

4

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知tar{a+~1r52,则tan2a=（）

A.-，B._皂C.73D.9

33

5.函数/（x）的图象如图所示，则/（x）的解析式可能为()

>▲

/[\

__7/\?

/0x---x

5sinx5（e、e，）5cosx

D.-----

元2.2+1+2Xt1

2

6.尼知的数f（x）=sin2lsin（.）x-1（（>0）,xc

B【，若/(x)在区间阮，2九)内没有零点，则(，)的取值

范围是（）

A」'0，：|B[0,：|JC[0,-|J-,1)D,卜春

Voko4oV

4j_8

7.在四棱雉PA3CD中，底面ABCD是直角梯形，AB'CD,.ABC-90。,A3-2,3C-2g.若

PA-PD,PCP3,且三棱雉尸-ABC的外接球的表面积为20n，则当四棱雉PA3CD的体积最大值时,

8长为()

A.y/3B.2C.y/5D.y/10

2

8.已知a-4+^ln2力一2+212,。一22」贝|()

A..a-bcB.ba<cC.c~b、aD.a<c<b

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.己知复数4/2,下列命题正确的是()

A'1\-卜|2B.若|z|㈤，则Z-Z2Cj”“琲21D'||||||

11Zz-ZZ

1212

10.己知等比数列忸“｝的公比为q(q,0),前〃项积为T”,若T27,则()

7

A.0q1B.q1C.Tu>1T14D.7141T

15

n.如图，直角梯形A3CD43cL中，AB//CD,ABBC,BCCDLAB2,E为A3中点，以DE为

2

折痕把△ADE折起，使点A到达点尸的位置，且PC-2?.则下列说法正确的有()

A.CD.平面EDPB.四棱雉尸-EBCD外接球的体积为4反

B.二面角PCD3的大小*D.PC与平面EDP所成角的正切值为血

|ln(2-x)|(0<x<2)

|十，)的函数/(x)满足/(右6)/(%)=.二°、，Fxc[0,3]都

12.定义在0,【sm"(2«x<3)

有/(6-x)+/(%)=0,若方程/(x)=a(a€R)的解构成单调递增数列；x”,则下列说法中正确的是()

A./(2023)z0

B.若数列为等差数列，则公差为6

1n

C.若2(%1+%)一玉%3,则0.aIn2D.若1-tz<ln-,贝IJ=(刖，-2+双/)一6n24n

277

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知等差数列满足的=2,。2+。4=?6,则公差d7__________.

14.己知函数/'(x)="+sinx+22无(*、0,且。，1),曲线y=/(X)在点(0"(0))处的切线与直线

2x-2y+9-0平行，贝ija-.

15.米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行的必备的用具，为使坚固耐用，米斗多用上好的木料制

成.米斗有着吉祥的寓意是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味如今也成为了一种颇具意趣的藏品，如

图的米斗可以看作一个正四棱台，已知该米斗的便棱长为10,两个底边长分别为8和6,则该米斗的外接球的

表面积是__________.

16.己知函数/'(X)」/ex，不等式Qa炉/)+〃21nx+x”0对任意的(0,r)恒成立，

2sinx

则a的最大值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.

17.(10分)己知函数/Xx)-必(a+a,atR,

(1)求关于x的不等式/(x)、.0的解集；

(2)若/(x)+2x，0在区间(1,+，)上恒成立，求实数a的取值范围

18.Q分)已知函数/(x)=Asin(”x+(p)(A」0,G.0。3三；的图象相邻两条对称轴间的距离为)

I2/2

函数/(%)的最大值为2,且__________.

八3；③

请从以下3个条件中任选一个，补充在上面横线上，①尸x-6'为奇函数；②当》一0时()

x二是函数/(x)的一条对称轴并解答下列问题：

(1)求函数/(X)的解析式；

(2)在△ABC中，a、b、c分别是角A,B,C的对边，若/'(A)-/,c=3,4A3C的面积SOBC-3JJ,求

a的值.

19.(12分)己知数列出"中，a==+(w*)

0,an.i2annnN

(1)令4=劣.1-。"+1,求证：数列p#是等比数列；

(2)令c,-当金取得最大值时，求”的值.

n0

20.(12分)如图，在梯形A3CD中，AB//CD,AB-2,CD-5,/.ABC--.

(1)若AC-2",求梯形A3CD面积；

(2)若AC,,求tan/ARD.

21.(12分)如图，五面体尸一ABC。中，CD.平面以。，ABCD为直角梯形，一BCD

P

(1)若E为AP的中点，求证：3E〃平面PCD

⑵求PABC的余弦值.

22.(12分)(1)证明：当0«尤<1时,x-%2<sinx<x;

(2)已知函数/10)「<：05依-111(1-炉)若％0为了(V)的极大值点，求a的取值范围.

河南省2023-2024学年高三上期11月一模

数学答案

一、选择题：

题号123456789101112

答案cDACDCDDACACABCABD

8.因为¥—。=2+212-2为=2+2.2°-2-22.2==21-2.2。」，一2(1_2。」)

以

所以。>C;令x)=1-lnx(x1),/(x)=1X>，所以/(%)在(l,+x)上单调递增；

因为2°2>1,所以/(2°2)>/(I)，即20-2-1-In2°2>0,

所以6—。一2+2「2-4112-2.2°-2-2-21n20-2-2^2-l-ln202>)0.

所以6-a；同理2°」>1,所以/(2°」)>/(I)，即201-l-ln2°」-0，也即12°」4n201<0,

所以a—c-4+(ln2—22」=4+41n2°」-22.2°/，4(l>ln201-201>0,所以a<c.

综上，。<。归万,故选：口.

11.解：对于A,:E为A3中点，.BE-CD,3E〃CD,.•.四边形E3CD为平行四边形，

又A33C,...四边形E3CD为矩形，DE;「PDAD2.222^2,CD2,

PC273,PD\CD2.PC2,.CDPD,又PD”ED,PD,DE平面EDP,

CD一平面EDP,A正确；

对于B,,「BC//DE,AB一BC,..AE_DE，即PE_DE,,/CD一平面EDP,PE二平面EDP,

CDPE,又CDCDED,CD,DE平面尸石,平面EBCD;

♦..矩形EBCD的外接圆半径r-1.V22+22一JI,.•.四棱锥尸-EBCD

2的外接球半径

Rh；PE]V2Hy/3,...四棱锥P-EfiC/f,按坏的"*\V-}R3_46'B止岷，河丁

C：.CD1平面EDP,PD二平面EDP,

PDCD;又DE工CD,；.二面角PCD3的平面角为.PDE,

•：PEDE,PEDE-2,•PDE：,；.二面角「CDB[

4的大小为4,C正确；

对于D,CD1平面EDP,：.―CPD即为直线PC与平面EDP所成角，：CD.PD，PD-2版

2/2/5~

CD2,.-.tan.CPD一之，即直线直线PC与平面即尸所成角的正切值为―，D错误.故

PD2&22

选：ABC.

12.解：•.•/c［0,3］都有/(6-x)+，(x)=O,.・J(x)关于(3,0)对称,令x-3,则/(3)+/(3)=0,即

〃3)0.•在［0,+8)的函数/(尤)满足了(尤+6)/(x),../(x)的周期为6,作出函数/(x)在［0,6)内的

图象如图：

A./(2023)=/(6.337+1)-，(1)=0,故A正确.

B.由图象可知：若数列产“；为等差数列，则。(,1)(1,r(x)与y_a在［0,6)内有且仅

e-U''此时y

有一个交点，•••/(》+6)-/(%),二/(工)周期是6,即X.」-X"h6,即数列|羽；的公差为6,故B正确，

2(X1+2)n

C.若4)=+3,即(2%1)(2尤1,可得出『(2/)(2x2)1=l(2xin2x2°，则

-)+(-)=

|ln(2-xi)卜|ln(2一沏)|,即yh/(x)与y-a在［0,2)内有且仅有2个交点，结合图象可得0a<ln2,故

C错误；

D.若Icavln；-ln2,则y-/(x)与y=。在［0,6)内有且仅有3个交点，且

xi+%2-7,vf(x+6)-于(X)，则

—

(^3i.l-Xii.2)—(双2-—F(X%''的1+6)］—(%3i-2-Xii1)12,数列［2—对/j是以7为首

3z-l

项，公差d=12的等差数列,可得心.2.的.1=7+125-1)=12〃-5,

Wn(7412n+5)n(12n,12),,,立...

：.七(、3〃2+%3r1)---------------------------------6〃2寸〃，故D正确.故选：ABD.

7722

二、填空题:

13.214.e15.200n16.1

16.解：因为/Xx)-exef2sin(x)-e'x-ex42sinxf(x),

所以/(x)为R上的奇函数，

又r(x)=e*+e*-2cosx>2&*,e工-2cosx-2—2cosx2C,

所以/(x)在(-00,+8)上单调递增.

因为了”必0£)€+，)恒成立，

+/(21nx+x)t0对任意的x(0,

所以y(21nx+x”/(好--a)对任意的(0,-，)恒成立，

所以21nx+x<xe。对任意的(0,.工)恒成立，

2%

2laxx

即必靖(21nx+x)e叫.靖(21nx+x)e'(21nx+x)

对任意的xc(0,+x))恒成立.令

k(x)=e*-x,所以h'(x)-ex'1,

所以当x:0时，h,(x)»0,人任)在(0,+ac)上为增函数;

当x<0时，lr(x)<0,A(X)^E(-f)

,0上为减函数.

所以以的福-〃(0)-e°01,设g(x)-21nx+x,显然g(x)为(0,r)上的增函数，因为

1\111；1\

g-'21n-♦-2.—0,g⑴一1：、0,所以存在为访一,1；,使得g(x())=+

\e)eeeU)21n沏x°0,所以

(21nx♦x)j1,此时21nx+x-0,

一|min

所以a、1,即a的最大值为1.故答案为：1.

三、解答题

17.解：⑴由/(x)<0得(X—a)(x-l).0,

令(x-a)(x-1)-0,得Xi=a,X21,

当a>1时，原不等式的解集为(l,a);

当时，原不等式的解集为0；

当a.1时，原不等式的解集为(a,l).(5分)

(2)由/(x)+2x：0即%2一奴+%-0在(1,'上恒成立，

YkY

得。2^令1=%一1(".0),

x1

则'1r,J3.2&+3,"283

x-1tt

取头双。刖取1旦氾国足（J

,2V2+3]10分

TQ

18.M：（1）由题意得A-2,一•三，，最小正周期TJ,则s—-2,

22T

../（X）2sin（2%+cp）.若选①,f\X为奇函数,则八-落o

2sinj4+.)工0,即sin；|>

即]<1+.<不，’,+0=0'即$=

../(x)2sin[2x।y|.

若选②，当尤=0时/(%)-2sin.=5即si*-

n

•・・0:«・万,.♦:M，/(%)-2sin।2xI

若选③，X-2是函数/（x）的一条对称轴，

，2X*+，=]+A:"（XGZ）,即。一"十左n（x匚Z）,

nn;7tI

・・・0(♦(了，二5，f(x)-2sm,2x*y6分

rIn)r.(7t'A/3

(2)v/(A)=v3,.\2sin|,2A+T|=,即sin|&4+~v亏，

J7I3)乙

,.'A.(0,^)gpl2A+-L2A+--—,即-,

(3M33)33A=6

X,/c-3,AABC的面积SAABC-3或：.寸csinA38得b-4日

在△ABC中，由余弦定理得a2b/+c2-2AcosA-48+9-2.4苏3.21,解得

12分

19.(1)证明：由题意，当〃-1时，a?—24•12.・0,11,

则A—。2—d110,1-2，又=bn1一(In.2-。八.1”

・・・数列他力是以2为首项，2为公比的等比数列.5分•

---2〃厕〃an-\12",

n1

（2）解:由（1）可知，bn22〃i

2,71

即〃an2"1,.\ci\0,。2-的2I,©-。22ani21,各项相加，可得

"•11

蠲_0，（2「1）+（22-1）+一+（2"|）

;当〃1时，ai-0也满足上式，，—2"nN,

un

n2-n-12«-i-(«+1)-12“,”〃2

Cn-S7F-----y,----，贝“C«-l=

2/1-72-22n-n-12〃+l-2"

C/l1C/q

令f(n)-2n*12〃厕f(nJ)-2仆3-2n-1,

1

..f(n+l)-f(n)-2n+3-2"-(2〃+1-2”)-2-2",

•.•当〃1时，22"2210,此时/⑴/(2),

当〃,2时，22*.0,此时/(〃.1)./(〃)，

/(1)./(2)>/(3)>/(4).•••,

・・•/⑴=/(2)=1>0"⑶=3。

...当“_1或2时，/(“).0,当〃“3时，f(n).0,

即当〃.-1或2时，Cn.l—C--―-0,Cn.l>C,

n3"-1n

/(n)

当〃123时，Cn.l-Cn~--------------0,Cn1<Cn,

3“।

，a<；C2VC3>C4AC5)•.当〃—3时，数列If取得最大值，故〃—3.12分

n

20.解：⑴设6C.X,在△ABC中，由余弦定理可得28-炉.4整理可得：

X2+2x-24-0,解得x—4,

所以一4,则以迎=1x2*4.9-24，因为CD空，所以S也£-5后

222△Ac。2,所以

S梯形A5C。-S^ABC+S/^ACD一75分

(2)设」A3D-“，则/5DC=(i,/BAC=%-a,/£)BC=2L-“,.BC4=a--,

236

在△ABC中，由正弦定理可得-----------——-----

sinia—!sin!--a[

I6)12J

BC

在△BCD中，由正弦定理可得

sina

2-——cos(£-h—sina

22

展开可得厂一所以可得

」6.1|

5-——sina——cosa

5x/3sin2(i7sinacosa-2^cos2(；-0,

孚或tag-g

即5Jian2“_7tan«—2#-0,解得tanr《-

35

又因为”」一L所以tana-,即tan<ABD]

12分

I62)33

21.(1)证明：取PD的中点R,连接ER,CT,

・•・E,R分别是B4,PD的中点，一ER〃A。且取；

VBCgAD,BC〃AD,EF〃BC且EFBC;.BE//CF.又BE工平面PCD,CF

2平面

PCD,BE〃平面PCD;5分

(2)解：方法一、以尸为坐标原点，PD,出所在直线分别为X轴和y轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

不妨设3C-1,

,i\

则P(0,0,0),40,V3,o),0(1,0,0),C(1,0,1),B-,^-,11,

/1h

耐-(0,占O),AB*12^1,11，3D-(1,-^0).

.n-TKBy0

设平面出3的一个法向量为“=(%,%z),则」1G，取，得一-同理可

,n7^B-x-y+z-0x-2〃-(2,0,—1)

22'

求平面A3。的一个法向量为二(3,V3,0)cos.而「、一：—广「.

n\n\\m\国屈5

叵,

平面A3。和平面ABC为同一个平面，.•.二面角PABC的余弦值为~5~1

方法二、以。为坐标原点，DA,DC所在直线分别为x轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

不妨设5c1,则尸了事,0,42,0,0),Z)(0,0,0),C(0,0,l),B(l,0,1).

X日芋叶初-(1Q1)，

)

设平面PAB的一个法向量为"-(x,%z),

---1@y-0

则\nPA2x2得〃-(L/l)

1nABx+z0

易知平面ABC的一个法向量为n(0,1,0)

nmJ15

cos<标>一|n|.|m|一方亍，

二面角PABC的余弦值为孚.

22.(12分)