高考数学一轮复习 高考达标检测 变量间的相关关系、统计案例 文试题

高考达标检测（四十五）变量间的相关关系、统计案例

一、选择题

1.根据如下样本数据得到的回归方程为.『物+a,若a=5.4,则x每增加1个单位，y

就（)

X34567

y42.5-0.50.5-2

A.增加0.9个单位B.减少0.9个单位

C.增加1个单位D.减少1个单位

—1

解析：选B由题意可得x=£（3+4+5+6+7）=5,

□

—1

y=7(4+2.5-0.5+0.5-2)=0.9,

o

•••回归方程为尸"+a,a=5.4,且回归直线过点（5,0.9）,

.••0.9=56+5.4,解得6=—0.9,

每增加1个单位，y就减少0.9个单位.

2.已知x与y之间的几组数据如下表:

X123456

y021334

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y=6x+a,若某同学根据上表中的前两组数

据（1,0）和（2,2）求得的直线方程为/=b'x+a',则以下结论正确的是（）

A.b>b',a>a'B.b>b',a<a'

C,b<.b',a)a'D.Kb',虱a'

解析：选C过（1,0）和（2,2）的直线方程为y=2x—2,画出六点的散点图，回归直线的

3.（2017•山东高考）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）

的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相

八日—1010—

关关系，设其回归直线方程为y=6x+a,已知2＞，=225,工六=1600,人=4.该班某学生的

?=1/=!

脚长为24,据此估计其身高为（）

A.160B.163

C.166D.170

解析：选C由题意可知y=4x+a,

又x=22.5,y=160,

因此160=22.5X4+a,解得a=70,

所以y=4x+70.

当x=24时，y=4X24+70=166.

4.为了解高中生对电视台某节目的态度，在某中学随机调查了110名学生，得到如下

附表:

一（凡）如0.050.010.001

ko3.8416.63510.828

参照附表，得到的正确结论是（）

A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢该节目与性别有关”

B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢该节目与性别无关”

C.有99%以上的把握认为“喜欢该节目与性别有关”

D.有99%以上的把握认为“喜欢该节目与性别无关”

解析：选C根据*的值，对照附表可得网片》如比0.01,

所以有99%以上的把握认为“喜欢该节目与性别有关”.

5.某考察团对10个城市的职工人均工资x（千元）与居民人均消费y（千元）进行调查统

计，得出y与x具有线性相关关系，且回归方程为y=0.6x+L2.若某城市职工人均工资为

5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为（）

A.66%B.67%

C.79%D.84%

解析：选D与x具有线性相关关系，满足回归方程y=0.6x+1.2,

该城市居民人均工资为二=5,

.•.可以估计该城市的职工人均消费水平y=0.6X5+1.2=4.2,

...可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为U=84%.

O

6.某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据:

记忆能力X46810

识图能力y3568

*4"

由表中数据，求得线性回归方程为y=£x+a,若某儿童的记忆能力为12,则他的识图

□

能力为（）

A.7B.9.5

C.10D.12

4+6+8+10—3+5+6+811

解析：选B由表中数据得x=~~4—=7y=4二万'

__4-1

由（x,p）在直线夕=三才+8上，得a=-77?

o1U

-41

即线性回归方程为尸凝一奇

□10

-41

当x=12时，y=-X12——=9.5,即他的识图能力为9.5.

□1U

二、填空题

7.（2018•阜阳质检）某班主任对全班30名男生进行了作业量多少的调查,数据如下表:

认为作业多认为作业不多总计

喜欢玩电脑游戏12820

不喜欢玩电脑游戏2810

总计141630

该班主任据此推断男生认为作业多与喜欢玩电脑游戏有关系，则这种推断犯错误的概率

不超过.

解析：计算得*的观测值kJ。:丁洎/286>3.841,

14XJ10XZUX1U

则推断犯错误的概率不超过0.05.

答案：0.05

8.某品牌牛奶的广告费用/与销售额的统计数据如下表：

广告费用x（万元）4235

销售额y（万元）49263954

根据上表可得回归方程y=6x+a中的8为9.4,据此模型预报广告费用为7万元时销售

额为万元.

4+2+34-57

解析：因为x=4=5'

—49+26+39+54„

/=-------:-------=42

由题意可得回归方程为y=9.4x+a,

因为回归直线一定经过样本点中心（7,V）

所以42=9.4xg+a,解得a=9.1,

所以回归方程为尸9.4x+9.1,

当x=7时，销售额为y=9.4X7+9.1=74.9（万元）.

答案：74.9

9.四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系，并求得回归直线方程

和相关系数r,分别得到以下四个结论：

①y=2.347x-6.423,且「=一0.9284；

②y=-3.476x+5.648,且r=-0.9533；

③y=5.437x+8.493,且r=0.9830；

④y=-4.326x-4.578,且r=0.8997.

其中不正确的结论的序号是.

解析：对于①，尸2.347x—6.423,且「=一0.9284,

线性回归方程符合正相关的特征，r>0,.•.①错误；

对于②，y=-3.476x+5.648,且尸=一0.9533,

线性回归方程符合负相关的特征，r<0,.•.②正确；

对于③，y=5.437x+8.493,且r=0.9830,

线性回归方程符合正相关的特征，r>0,...③正确；

对于④，y=-4.326x—4.578,且r=0.8997,

线性回归方程符合负相关的特征，r<0,④错误.

综上，①④错误.

答案：①④

三、解答题

10.（2018•惠州调研）在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数

之比为1：3,且成绩分布在[40,100],分数在80以上（含80）的同学获奖.按文、理科用分

层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示.

（1）求a的值，并计算所抽取样本的平均值x（同一组中的数据用该组区间的中点值作

代表）;

（2）填写下面的2义2列联表，并判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下能否认为“获

奖与学生的文、理科有关”.

文科生理科生总计

获奖5

不获奖

总计200

附表及公式:

P(秣》睛0.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

__________〃ad-be2

/=

a+bc+da+cb+d'

解：(1)a=,X[1-(0.01+0.015+0.03+0.015+0.005)X10]=0.025,

~=45X0.1+55X0.15+65X0.25+75X0.3+85X0.15+95X0.05=69.

(2)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为40,不获奖的人数为160,2X2列联表如

下：

文科生理科生总计

获奖53540

不获奖45115160

总计50150200

,200X5X115-35X45?,八、八

因为40X160X50X150〜4.167>3.841,

所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下能认为“获奖与学生的文、理科有关”.

11.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析

研究,他们分别记录了12月1日至12月5日的昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发

芽数，得到如下资料：

日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日

温差x(℃)101113128

发芽数y(颗)2325302616

该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求回归方

程，再对被选取的2组数据进行检验.

(1)求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；

(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数

据，求y关于x的线性回归方程y=6x+a；

(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2颗，则认为

得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？

(附：对于一组数据(M,%)，(加，㈤，…，(*〃，%),其回归直线y=6x+a的斜率和

截距的最小二乘估计分别为

工x,y：-nxy

C7=1cc

b—---------------,a=y—bx.)

n__

十22

工XLnx

2=1

解：(1)设抽到不相邻两组数据为事件4因为从5组数据中选取2组数据共有10种情

4

况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况共有4种，所以夕(a=1一诃

=于故选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率为三.

55

——1

(2)由数据,求得x=$X(11+13+12)=12,

O

一1

y=-X(25+30+26)=27,

3

ZM%=11X25+13X30+12X26=977,

；=i

X^=U2+132+122=434,

/=1

3__

2必必一3X•y

,=1977-3X12X275

所“b=j-=434-3X12-=2'

-5

a=27--X12=-3.

-5

所以回归直线方程为3.

(3)当x=10时，y=22,|22—23|〈2,同理当x=8时，y=17,|17-16|<2.

所以该研究得到的线性回归方程是可靠的.

［能力自选题|

某公司为了准确把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第

x年与年销量y(单位：万件)之间的关系如表所示:

(1)在图中画出表中数据的散点图;

(2)根据(1)中的散点图拟合y与x的回归模型，并用相关系数加以说明;

(3)建立y关于x的回归方程，预测第5年的销售量约为多少？

参考数据:

参考公式:相关系数回归方程了=@+左中斜

率和截距的最小二乘法估计公式分别为

ZX,—xy-yZ为外一“xy

c7=1/­Ic4

b=-----------------=---------,a=y—bx.

nn

E-22-2