2022-2023学年北京海淀区高三(上)期中数学试卷及答案

2022北京海淀高三（上）期中

数学

本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分150分，考试时长120分钟.考

生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项.

1.已知全集"=卬>°｝,集合A=｛X2WX«3｝,则QA=（）

A.（0,2][3,+8）B.（0,2）（3,+8）

C.（―8,2]D[3,+℃）D.℃,2）U（3,+8）

2.在同一个坐标系中，函数y=log。％与y="（a>0且的图象可能是（）

3.已知向量〃力在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1,则。年=（）

D.-472

4.若等差数列｛%｝和等比数列也｝满足q=仇，a2=b2=2,%=8,则也｝公比为（)

A.2B.-2C.4D.-4

5.已知实数见。满足a>b,则下列不等式中正确的是（）

A.\a\>bB.a>\b\

C./>abD.ab>b2

3

6.在平面直角坐标系xOy中，角a与角4均以Ox为始边，它们终边关于直线对称.若sina=g,

则cos/?=()

44「33

A.--B.-C.一一D.一

5555

7.已知函数/(x).甲同学将“X)的图象向上平移1个单位长度，得到图象G；乙同学将/(x)的图象上

所有点的横坐标变为原来的3(纵坐标不变)，得到图象C?.若G与恰好重合，则下列给出的/(X)中

符合题意的是()

A./W=log,xB./(x)=log2x

2

c.〃x)=2，D./(x)=W

u

8.已知函数〃x)=ae'+加-'(MHO),则“a+b=O”是"/(x)为奇函数”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.若P是A8C内部或边上的一个动点，且”=xAB+〉AC,则刈的最大值是()

A.-B.工C.1D.2

42

10.我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将

该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下

99

四段；按照这种规律一直操作下去.若经过〃次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于商，则〃

的最小值为()

（参考数据：1g230.301,1g330.477）

------------------第I次操作

------------第2次操作

------------------第3次操作

A.9B.10C.11D.12

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.若复数z=l-2i,则口=.

12.函数“尤)=—二+1门的定义域是.

13.已知向量a=(l,l),b=(x,tx+2).若存在实数x,使得a与人的方向相同，贝心的一个取值为

14.若函数/(x)=sin<yx+胃®>0)和g(x)=cos2(x+^)-sin2(x+(p)的图象的对称中心完全重合,

则①-；g\—=•

,,“、-x"+ar+1,x<I

I5.已知函数/(x)=《.

ax,x>\

①当a=l时，/(%)极值点个数为；

②若〃x)恰有两个极值点，则。的取值范围是.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“(〃=l,2,…)，且4=3,55=25.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)等比数列低｝的首项为I,公比为4,在下列三个条件中选择一个，使得抄“｝的每一项都是｛4｝中

的项.若勿=a,“(Z,〃zeN"),求加.(用含女的式子表示)

条件①：4=一1；条件②：q2：条件③：4=3.

注：如果选择条件不符合要求，第(2)问得0分.

17已知函数/(x)=2sinxcosx+2cos2*—1.

(1)求/j的值；

(2)求/(无)的最小正周期；

(3)求/(x)在区间0,|上的最大值和最小值.

18.已知函数/(x)=gd-x2.

(1)求/(x)的单调区间；

「4-

(2)若/(x)在区间(-1,问上的取值范围是一1,0,求机的取值范围.

19.某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距12km的观测站工和5,观测人员分别在

A,8处观测该动物种群.如图，某一时刻，该动物种群出现在点C处，观测人员从两个观测站分别测得

ZBAC=30°,ZABC=60°,经过一段时间后，该动物种群出现在点。处，观测人员从两个观测站分别

测得NBA。=75。，NABO=45°.(注：点/,B,C,。在同一平面内)

(1)求△A3。的面积；

(2)求点C,。之间的距离.

20.已知函数f(x)=e*-esinx.

(1)当”=2时，求曲线y=/(x)在点(0,〃。))处的切线方程；

(2)当a=l时，证明：函数y=/(x)-2在区间(0,无)上有且仅有一个零点；

⑶若对任意xe[0,可，不等式“x)N2—cosx恒成立，求a的取值范围.

21.对于一个m行n列的数表用力表示数表中第i行第j列的数，%仪()/}

(i=l,2,,m.j=1,2,,〃).对于给定的正整数f,若数表A,“*“满足以下两个条件，则称数表4*“具

有性质P。)：

①a\,j=1,=0(；=1,2,•••,«)；

②1%.4+1」|+\ai,z-4+11+…+|巧.”—4+1J=f('=1，2,—1).

(1)以下给出数表1和数表2.

数表1

111

010

000

数表2

1111

0100

0011

1101

0000

(i)数表1是否具有性质P(2)?说明理由；

(ii)是否存在正整数f,使得数表2具有性质p。)？若存在，直接写出f的值，若不存在，说明理由；

(2)是否存在数表A,“*2023具有性质”(6)?若存在，求出机的最小值，若不存在，说明理由；

(3)给定偶数〃(〃>3),对每一个fe{2,3,…，〃-1},将集合{加乩*“具有性质p。)}中的最小元素记为

/«).求的最大值.

参考答案

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项.

1.【答案】B

【解析】

【分析】由补集定义可直接求得结果.

【详解】，U=（O,+8）,^=[2,3],.-.（；^=（0,2）（3,+8）.

故选：B.

2.【答案】A

【解析】

【分析】根据同底的指数函数和对数函数图象关于/对称可确定结果.

【详解】由指数函数和对数函数性质可知：了二心8“^与y二优图象关于'二工对称，

由选项中图象对称关系可知A正确.

故选：A.

3.【答案】C

【解析】

【分析】由图形可求得同由向量数量积定义可求得结果.

【详解】由图形可知：同=,2?+2?=2=2,<a,b>=—I—=—,

1111244

:.ab=|a|-|/?|cos<d,/?>=4\/2x---=-4.

故选：C.

4.【答案】B

【解析】

【分析】根据等差数列的基本量运算可得％=优=-1,然后利用等比数列的概念结合条件即得.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,等比数列抄,｝的公比为4,

则%=8=。）+2d=2+2d,

所以d=3,

•*（=Z?2=2=67|+3,=b、=—19

所以q=g=_2.

故选：B.

5.【答案】A

【解析】

【分析】由142。可知A正确；通过反例可知BCD错误.

【详解】对于A,|«|>a(当且仅当a20时取等号)，>匕，A正确;

对于B,当“=-1,8=-2时，a<|^|,B错误；

对于C,当。=一1,力=一2时，6z2=1»ah=2,则/〈a/?,C错误；

对于D,当。=1,/?=—2时，ab=—2f/=4,则〃/?<〃，D错误.

故选：A.

6.【答案】D

【解析】

rr

【分析】根据对称关系可得a+£=]+2版"(ZeZ),利用诱导公式可求得结果.

1T

【详解】…的倾斜角为“

(7t、7t、3

COSP=COS+2k7T-a=cos------a=sin。=一

2)5

故选：D.

7.【答案】B

【解析】

【分析】根据函数平移和伸缩变换原则，依次验证选项中的函数变换后的解析式是否相同即可.

［详解］对于A,G"(x)+l=l0glx+1,C2:/(2x)=log,2x=log,x+log,2=log1x-1人错

22222

误；

对于B,C,:/(x)+l=log,x+l,C2:f(2x)=log22x=log2x+log,2=log2x+1,B正确；

2JC

对于C,G"(x)+1=2'+1,C2:/(2X)=2=4\C错误;

门V<1A2A(\V

对于D,G"(x)+1=-+1,C2：/(2X)=-=-，D错误.

故选：B.

8.【答案】C

【解析】

【分析】根据a+b=0可得/(x),由奇偶性定义可知充分性成立；由/(x)为奇函数可知/(一x)=-/(x),

由此可构造方程求得。+8=0,知必要性成立，由此可得结论.

【详解】当a+b=0时，f(x)=aex-ae.~x,f［-x)=aeTx-a^=-f^x),

fX为奇函数，充分性成立;

当“X)为奇函数时，由/(-x)=—/(x)得：ae~x+bex=-aex-be-x，

:.a=—b,即a+6=0,必要性成立；

“a+〃=0”是"/(x)为奇函数”的充分必要条件.

故选：C.

9.【答案】A

【解析】

【分析】由题设及向量的线性关系知x+ywi,且O«x,ywi,再应用基本不等式求最大值，注意取值条

件.

【详解】由P是ABC内部或边上的一个动点，且AP=xAB+yAC,

所以x+yKl,且0Wx,yKl,

由初4(”+打一《工,当且仅当x=y=,时等号成立.

442

故选：A

10.【答案】D

【解析】

【分析】根据变化规律可知每次去掉的线段长度成等比数列，利用等比数列求和公式可求得第〃次后，去掉

\«

的线段长度总和为1-1299

,由1--->—,结合对数运算可解不等式求得〃>11.4,由此可得结果.

(3

7100

12

【详解】第1次操作，去掉的线段长度为,；第2次操作，去掉的线段长度为］；第3次操作，去掉的线

41

段长度为一，依次类推，可知第〃次操作去掉的线段长度为

273

即每次去掉的线段长度成等比数列,

2

-1-

二第〃次后，去掉的线段长度总和为生—3

由1—(2]>曾得:2、1

<----,

UJloo37100

..1Igloo22

..71>lOg7=----------—«11.4

.1001„21g2—1g30.301—0.477

31g-

・•.〃的最小值为12.

故选：D.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.【答案】亚

【解析】

【分析】由共辗复数概念写出』=l+2i，再求其模长.

【详解】由题设Z=l+2i，则,=后4=6

故答案为：加

12.【答案】（。,1）口（1，+8）.

【解析】

【分析】

根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.

x-l

【详解】由题意得，《八

x>0

故答案为：（0,1）（1，+8）.

【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.

13.【答案】0（答案不唯一，小于1的实数均可）

【解析】

2

【分析】由两向量同向可知人=/1。（/1>0）,由此可构造方程组求得尤=4=匚，由4>0可求得满足题

意的，的范围，进而得到结果.

,、fx=22

【详解】。与人方向相同，.'）=>0）,x-A,----,

''［及+2=彳1-t

由---〉0得：r<1,

1-/

.,.存在实数f=0,x=2,使得〃与人方向相同.

故答案为：0（答案不唯一，小于1的实数均可）.

14.【答案】①.2②.一I或1

【解析】

【分析】由题设g（x）=cos2（x+。），由对称中心完全重合知两函数最小正周期相同即可确定①，进而求

/（X）的对称中心代入g（x）求夕，注意讨论参数，最后求出对应g

【详解】由g（x）=cos2（无+8）-sin2（x+e）=cos2（x+e）,与/（光）的对称中心完全重合,

所以两函数的最小正周期相同，故0=2,贝i|/(x)=sin12x+tj,

JTKIT.JTKIT.jr

令2x+-=Al且&eZ,故彳=-------且ZeZ,则对称中心为(-------,0)且上eZ,

6212212

f/*jTTTjr冗jr

所以cos2(------+夕)=cos(E——+2夕)=0,故E-—+2/=%[兀+—且匕£Z,则

212662

(k、-k)7i兀

(p=------+—,k「keZ,

23

兀兀(兀)

令勺-4=0,此时e=g,所以g(x)=cos2(x+§),故g[wj=cos兀=-1；

令k「k=l,此时夕=羽，所以g(x)=cos2(x+?),故g(¥]=cos2?i=l；

66

由余弦函数的周期性、对称性知：g(2]=±L

161

故答案为：2,—1或1

15.【答案】①.2②.(0,2)

【解析】

【分析】①验证分段处函数值可知/(X)为连续函数，由单调性可确定x=g和九=1是/(X)的极值点，由

此可得极值点个数；

②验证分段处函数值可知/(X)为连续函数，根据一次函数和二次函数单调性可确定X=1和x=£必为

/(x)的两个极值点，得到]<1；根据二次函数的单调性，结合极值点定义可知/(X)在(1,+8)上单调递

增，即。〉0；由此可得。的范围.

*2

—X+X+1,X<1

【详解】①当a=l时，/(zx)x=;

x,x>1

"1)=1,fX连续函数；

“X)在18,3(1，同上单调递增，在d上单调递减，

X=；和X=1是/(x)的极值点，即/(X)的极值点个数为2；

②，/(l)=a,fX为连续函数，

/(x)=ar(x>l)为单调函数，fx在(1,+oo)上无极值点；

又/(》)=一/+依+]在(_8,1)上至多有一个极值点，

.•“=1和》=£必为/(力的两个极值点，；.£<1,解得：“<2,

又〃x)在($1)上单调递减，/x在(1,+8)上单调递增，二。〉。；

综上所述：实数”的取值范围为(0,2).

故答案：(0,2).

【点睛】易错点晴：本题考查函数极值点的定义、根据极值点个数求解参数范围的问题；本题易错的点在

于根据极值点个数求解参数范围时.，确定x=1和x=|为/(x)的两个极值点后，忽略在极值点左右两侧

函数单调性需发生改变，导致丢失a>0的范围.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.【答案】(1)=2/1-1

(2)见解析

【解析】

【分析】(1)利用等差数列求和公式和通项公式可求得公差d,进而得到知;

(2)利用等比数列通项公式可得切，由％=册可得相与攵之间关系；若选条件①，可知当女为偶数时，

机=0,不合题意；若选条件②，可知必eN*，不合题意；若选条件③，可知加=并知meN*，

2

由此可得结果.

【小问1详解】

设等差数列｛〃“｝的公差为d,

S5色|+6)=5〃=25，解得：^=5,:.d=a3-a0=2,

2

a“——a、+(〃-2)d=3+2(〃—2)=2〃-1.

【小问2详解】

若选条件①,2=(—1广，.•)*=(—1广，又4=2加一1,

由4=。,"得：2m-1-(-1)A'，加=(1).——；

2

-1+1

当女为偶数时，-----=0,不符合meN*，则不能选择条件①；

2

1k

若选条件②，b„=2"-,:.bk=2-',又a,.=2m-l,

+1

由4=4〃得：2"z-1=21，m=------；

当%>1且&eN•时，21+1为奇数，则加史N*，不合题意，则不能选择条件②;

若选条件③，b“=3"j,；.瓦=3^,又凡,=2加—1,

+1

由4=《〃得：2机—1=3""，:.m=------；

2

当ZeN*时，+1为偶数，.•.，“£N*，满足题意；

3"T+1

综上所述：

2

17.【答案】（1）-1；（2）兀；

（3）最大值为&,最小值为-1.

【解析】

【分析】（1）自变量直接代入求值：

（2）应用倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，由正弦型函数性质求最小正周期;

（3）利用正弦型函数性质求区间最值即可

【小问1详解】

【小问2详解】

由题设/(x)=sin2x+coslx=41sin2x+：

所以的最小正周期为T=g=n.

【小问3详解】

因为04x4^,所以242%+—4土>,

2444

当2X+：=T，即x时，“X）取得最大值，

所以“X）在区间[0，鼻上的最大值为小]=夜；

当2%+：=m，即片方时，“X）取得最小值，

所以/（x）在区间0卷上的最小值为/（5）=一1・

18.【答案】（1）单调递增区间为（一。0）,（2,+00）.单调递减区间为（0,2）

（2）[2,3]

【解析】

【分析】(1)求导后，根据了'(X)的正负即可确定了(X)的单调区间；

(2)分别令"无)=一',/(x)=0可求得x的临界值，分别在根«-1,2)、加«2,3]和机w(3,+8)的

情况下，根据值域确定满足题意的范围.

【小问1详解】

由题意知：/(x)定义域为R,/'(X)=X2-2X=X(X-2),

.,.当xe(—oo,0)「(2,+oo)时，f,x0；当xe(0,2)时，/'(x)<0；

fx的单调递增区间为(-8,0),(2,+8)；单调递减区间为(0,2).

【小问2详解】

由=—g得；%3—3x2+4=(x+l)(x-2)2=0,

解得：1二一1或x=2；

119

由f(x)=§/-12=0得：1=0或工=3；=§-]=

/、4

①当机£(—1,2)时，/(x)>/(2)=--,不合题意；

②当加e[2,3]时，〃2)W/(x)W〃0),即/(x)值域为-j,0,满足题意；

③当〃ze(3,+oo)时，/(加)>/1⑶=0,不合题意；

综上所述：实数优的取值范围为[2,3].

19.【答案】(1)36+1273(km2)；

(2)2厉km.

【解析】

【分析】(1)由正弦定理求得AO的长，利用三角形面积公式，即可求得答案:

(2)求出AC和NC4。，由余弦定理即可求得答案.

【小问1详解】

在△ABO中，NBAD="°,ZABD=45°,所以乙4。8=60。.

ADAB始ADAB

由正弦定理:

sinZ.ABDsinZADBsin45°sin60°

也

sin45。g/—

所以=-------AB=3x12=4灰（km）,

sin60°g

2

'石11V6+V2

sinZBAD=sin75°=sin(45°+30°)=--1—=,

,224

所以△ABD的面积为5AAQ=gAB4»sinZBAZ)=；xl2x4V^xX^g=36+12V^(km2).

【小问2详解】

由N8AC=3()。，ZABC=60°,得NCAO=45°,且NACB=90。，

AC=12cos30=6^3•

在，ACD中由余弦定理，得

CD2=/lC2+/1£>2-2ACADCOSZCAD=36x3+16x6-2x673x4V6x—=60,

2

所以CO=2而(km).

即点C,。之间的距离为2厉km.

20.【答案】(1)尤+y—1=0；

(2)证明见解析；⑶(一8』.

【解析】

【分析】(1)根据导数几何意义可求得切线斜率r(o),结合/(o)=i可得切线方程；

(2)令g(x)=〃x)—2,求导后可知g'(x)>0,由此确定g(x)在(0,兀)上单调递增，结合零点存在定

理可得结论：

(3)/?(x)="x)—2+cosx,将问题转化为/?(x)20恒成立；求导后，分析可知当&20时，/(X)单调

递增；当0>1时，利用零点存在定理可说明〃(x)在(0,%)上单调递减，由此可得〃3<%(0)=0,知不合

题意；当a=l时，可得〃'(x)>〃'(())=(),知/?(x)单调递增，满足题意：当a<1时，采用放缩法得

/z(x)>e'-sinx+cosx-2,结合a=1时的结论可知其满足题意；综合三种情况可得结果.

【小问1详解】

当〃=2时，/(x)=ex-2sinx,则/'(x)=e*-2cosx,

.•./(0)=1-2=-1,又/(0)=1,

/*在点(0,〃0))处的切线方程为：y=-x+\,即x+y-l=0.

【小问2详解】

当a=l时，令g(x)=/(x)-2=e'-sin龙一2,贝i]g<x)=e'-cosx；

当xe(O,九)时,e*>e°=l，cosxcl,即g,x)>0,

，g(x)(0,兀)上单调递增，又g⑼=1-2=-1<0,g(7r)=eT-2>0,

g(x)在(0,兀)上有唯一零点，即“X)-2在(0,兀)上有且仅有一个零点.

【小问3详解】

令/?(%)=/(x)—2+cos龙=e*—asinx+cosx-2,

则对任意xe［0,7i］,〃(x)20恒成立；又〃'(x)=e*-acosx-sinx,

令，=则«x)=e"+asinx-cosx；

当aNO时，若xe［0,7t］,则e*2e°=l，cosx<1,sinx>0,

.•/(X)20在［0,TT］上恒成立，则h'(x)在［0,兀］上单调递增；

①当a>l时，/?/(0)=1-«<0,〃'(兀)=e"+a>0,

3x0G(0,7t),使得/(xJnO,且当xe(O,Xo)时，/i'(x)<0,

.•/(无)在(0,%)上单调递减，此时Mx)</?(0)=°，不合题意；

②当a=1时，/?(x)=ev-sinx+cosx-2；

当xe(0㈤时，〃(x)〉〃(O)=O,则〃(x)在［0,兀］上单调递增，

二〃(月2〃(0)=0恒成立，满足题意；

③当a<1时，//(x)=ev-asinx+cosx-2>ev-sinx+cosx-2,

由②知：对任意XG［0,兀］,A(x)>e'-sinx+cosx-2>0,满足题意；

综上所述：实数。的取值范围为

【点睛】关键点点睛：利用导数几何意义求解切线方程、函数零点个数问题、恒成立问题的求解；本题求

解恒成立问题的关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为含参数函数单调性的讨论问题，进而由单

调性和函数最值确定满足题意的参数范围.

21.【答案】(1)(i)数表1不具有性质p(2),理由见解析：(ii)存在.t=3.

(2)不存在，理由见解析

(3)n+1.

【解析】

【分析】(1)根据数表4Mx“具有性质P。)的定义，可判断(i)中数表1不具有性质。(2),(ii)中数表当

r=3时满足条件，即得答案；

(2)假设存在加使得数表A,XO23具有性质P0)，根据题意可推出任意两行中，1的个数的奇偶性相同，

与数表4„X2023第一行有2023个1,最后一行有0个I矛盾，可得结论：

(3)定义加—1行〃列的数表满足设定的条件其第i行第/列为,i=l,2,,m-l

(/=1,2,,n),在其条件下先证明"f)W"+1,再证/=〃—1时，+综合可得,

/(〃-1)=〃+1,从而得/«)的最大值的为“+1.

【小问1详解】

(i)数表1不具有性质P(2).

理由：|%,1—+一%2|+|。2,3—《J=1H2.

(ii)存在.

由图表可知一aMA|+除2-羯,21+…+1«(,4-4+1,41=3(i=1,2,3,4),

故「=3时-，数表2具有性质p(f).

【小问2详解】

不存在数表4,2023具有性质”(6).

假设存在m使得数表4*2023具有性质P(6),

则