高等代数B智慧树知到期末考试答案2024年

高等代数B智慧树知到期末考试答案2024年高等代数B设W=L(α1,α2,…,αr)，U=L(β1,β2,…,βs)，且α1,α2,…,αr可由β1,β2,…,βs线性表示，则dimW（）dimU。

A:大于B:小于C:大于等于D:小于等于答案:小于等于设V={(a1,a2,…,an)|a1,a2,…,an是数域P中非负数}，下面说法正确的是（）。

A:V关于n维向量的加法是封闭的B:V关于n维向量的加法和数乘作成一个数域P上的线性空间C:V关于n维向量的加法和数乘无法作成一个数域P上的线性空间D:V关于n维向量的数乘运算是封闭的答案:V关于n维向量的加法是封闭的###V关于n维向量的加法和数乘无法作成一个数域P上的线性空间设A是一个三阶方阵，1，-2，3是A的三个不同特征值，则下列说法正确的是（）。

A:矩阵A有且只有这三个特征值。B:A的行列式为-6.C:矩阵A主对角线上元素之和为2.D:矩阵A是一个可逆矩阵。答案:矩阵A有且只有这三个特征值###矩阵A是一个可逆矩阵###矩阵A主对角线上元素之和为2###A的行列式为-6设A是有限维线性空间V的一个线性变换，则下列正确的有（）。

A:A-1(0)⊇(A2)-1(0)⊇(A3)-1(0)⊇…B:{0}⊆A-1(0)⊆(A2)-1(0)⊆(A3)-1(0)⊆…C:AV⊆A2V⊆A3V⊆…D:AV⊇A2V⊇A3V⊇…答案:1下面选项可以成为两个m×n级λ-矩阵A(λ)与B(λ)等价的充分必要条件的有（）。

A:A(λ)经过一系列初等变换可以化成B(λ)B:存在m阶可逆矩阵P(λ)与n阶可逆矩阵Q(λ)，使得A(λ)=P(λ)B(λ)Q(λ)C:两矩阵有相同的行列式因子D:两矩阵有相同的秩答案:A(λ)经过一系列初等变换可以化成B(λ)###存在m阶可逆矩阵P(λ)与n阶可逆矩阵Q(λ),使得A(λ)=P(λ)B(λ)Q(λ)###两矩阵有相同的行列式因子###两矩阵有相同的秩设W是数域P上线性空间V的非空子集，则W是子空间的充分必要条件是（）。

A:含有零元B:每个元素都有负元C:对W中任意元素α,β，数域P中任意元素k,l，都有kα+lβ是W中的元素D:W关于V中的加法和数乘运算封闭答案:封闭设A是m维线性空间V上的一个线性变换，α1,α2,…,αm；β1,β2,…,βm是V中的任意两组基，则下面说法正确的有（）。

A:一定存在唯一的一个线性变换A，使得A(αi)=βi，i=1,2,…,m。B:一定存在一个可逆的线性变换A，使得A(αi)=βi，i=1,2,…,m。C:一定存在一个线性变换A，使得A(αi)=βi，i=1,2,…,m，并且这个线性变换A未必可逆。D:一定存在一个线性变换A，使得A(αi)=βi，i=1,2,…,m，并且这个线性变换A未必唯一。答案:一定存在唯一的一个线性变换A,使得A(αi)=βi,i=1,2,…,m###一定存在一个可逆的线性变换A,使得A(αi)=βi,i=1,2,…,m设W，U是V的两个子空间，下面条件中可以推出dim(W+U)=dimW+dimU的有（）。

A:W是零子空间B:W与U的交只含有零元素C:W+U=VD:W是U的子空间答案:W与U的交只含有零元素###W是零子空间设A是线性空间V上的一个线性变换，A(αi)=βi，i=1,2,…,m，则下列命题成立的是（）。

A:若β1,β2,…,βm线性相关，则α1,α2,…,αm线性相关。B:若α1,α2,…,αm线性相关，则β1,β2,…,βm线性相关。C:若α1,α2,…,αm线性无关，则β1,β2,…,βm线性无关。D:若β1,β2,…,βm线性无关，则α1,α2,…,αm线性无关。答案:若α1,α2,…,αm线性相关,则β1,β2,…,βm线性相关###若β1,β2,…,βm线性无关,则α1,α2,…,αm线性无关设V1={(b1,0,…,0)|b1属于数域P}，V2={(0,a2,…,an)|a2,…,an属于数域P}，则（）。

A:两个子集都含零向量B:两个子集并起来是整个n维向量空间C:两个子集关于向量的加法与数乘都做成了子空间D:两个子集相加是整个n维向量空间答案:两个子集关于向量的加法与数乘都做成了子空间###两个子集都含零向量###两个子集相加是整个n维向量空间设A，B，T都是数域P上的n阶方阵，其中T的行列式不等于0，且A，B都可以对角化，则下列矩阵中可以对角化的有（）。

A:T-1BTB:ABC:T-1ATD:A+B答案:T-1AT###T-1BT两个A-子空间的和也是A-子空间。（）

A:对B:错答案:错设D是复数域r阶方阵，则D的所有初等因子次数之和必等于r。（）

A:对B:错答案:对设T，C是同阶方阵，则xE-T与xE-C秩相同。（）

A:正确B:错误答案:错误线性变换A可逆当且仅当负向量的像是像的负向量。（）

A:对B:错答案:对V中的正交基一定是秩最大的正交向量组。（）

A:正确B:错误答案:正确每个度量矩阵经过若干次初等行变换就可以化成单位矩阵。（）

A:对B:错答案:对矩阵A的属于同一个特征值的全体特征向量可以作成一个子空间。（）

A:错误B:正确答案:错误每个特征子空间都是一个无限集。（）

A:错B:对答案:对欧氏空间V的正交补就是零子空间。（）

A:正确B:错误答案:错误同构映射可以把线性无关的向量组对应成线性相关的向量组。（）

A:错B:对答案:错数字矩阵的初等变换与λ-矩阵的初等变换是完全相同的。（）

A:错B:对答案:错设-4是矩阵A2的一个特征值，则2i或-2i一定是A的一个特征值。（

）

A:对B:错答案:错度量矩阵等于线性空间中两组基之间过渡矩阵。（）

A:对B:错答案:对欧氏空间中任意元素与自身做内积，结果都大于0。（）

A:对B:错答案:错非零线性空间V的两个真子空间的并集一定不是子空间。（）

A:错B:对答案:错若W是V的子空间，则W+V是直和的重要条件是W={0｝。（）

A:正确B:错误答案:正确设V是n维欧氏空间，则V⊥={0}。（）

A:错B:对答案:对有限维线性空间上的线性变换都是双射。（）

A:对B:错答案:错设A是方阵，则A相似于A的转置。（）

A:对B:错答案:对设A，B是线性空间V上的线性变换，且AB=E，下列命题成立的是（）。

A:A，B均可逆B:BA未必等于EC:A-1=BD:BA=E答案:AI参考:设A，B是线性空间V上的线性变换，且AB=E，则D:BA=E正确。因为AB=E，所以B也是线性变换，所以BA是对称的线性变换，所以BA等于其恒等变换，即E。其他选项均不正确。因此，本题的正确选项是D:BA=E。'若M1，M2都是V的子空间，则维数(M1)+维数(M2)（）维数(M1+M2)。

A:大于B:≤C:≥D:等于答案:AI参考:正确答案是B:≤。\n\n根据子空间的定义，若M1、M2都是V的子空间，则它们的和M1+M2仍然是V的子空间，且维数(M1)+维数(M2)≤维数(M1+M2)。这是因为子空间的维数表示的是子空间中基向量的个数，而子空间的和仍然是一个子空间，其基向量个数不会超过原来的两个子空间的基向量个数之和。因此，答案为B。'在R4中，线性变换A(x1，x2，x3，x4)=(0，-x2，x3，4x4)，则（）。

A:A是满射B:A可逆C:A可对角化D:A是单射答案:AI参考:答案是C。A可对角化。\n\n根据线性变换的定义，A是一个线性变换，它将R^4中的向量映射到R^4中的一个子空间。根据给定的变换矩阵，我们可以得到A的矩阵形式为：\n\nA=[0-114]\n\n根据线性变换的性质，如果存在一个可逆矩阵B，使得A=BBB^T，那么A可以对角化。因此，我们需要找到一个可逆矩阵B，使得AB=BB^T。\n\n根据给定的变换矩阵，我们可以得到B的逆矩阵为：\n\nB^-1=[-4001]\n\n将B^-1代入AB=BB^T中，可以得到：\n\n-4x1+0x2+0x3+x4=x4\n\n即x4=4x1-x2，这与给定的变换矩阵的第一列完全一致。因此，选项C“A可对角化”是正确的。选项A、B、D都不符合线性变换的性质。'下列说法正确的是（）。

A:对称矩阵A的属于相同特征值的特征向量必不正交。B:对称矩阵A的所有特征向量必正交。C:对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量必正交。D:实对称矩阵的特征值都是实数。答案:AI参考:正确答案是D:实对称矩阵的特征值都是实数。\n\n实对称矩阵的特征值都是实数，因为矩阵的特征值与矩阵的行变换或列变换无关，与初等变换无关。而实对称矩阵是自身对应的二次型的矩阵，二次型的矩阵的特征向量和特征值与矩阵的初等因子有关，而初等因子和矩阵的行变换或列变换有关，所以实对称矩阵的特征值都是实数。因此选项D是正确的。\n\n对于选项A和B，对称矩阵A的所有特征向量不一定正交，因为特征向量的正交性需要矩阵的特征值和特征向量共同决定。对于选项C，对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量不一定正交，因为一个矩阵可以同时拥有正交特征向量和正交特征向量组成的向量组，这与不同的特征值无关。因此这三个选项都不是很严谨。综上所述，只有选项D是正确的。'下面所描述的一定是唯一存在的是（）。

A:子空间中生成元所含向量的个数B:子空间的生成元C:子空间的基D:子空间的维数答案:AI参考:正确答案是D:子空间的维数。\n\n子空间的维数是一个固定的数值，不会随着样本数据的改变而改变，因此唯一存在。而生成元、基和向量个数可能会随着样本数据的改变而改变，因此不是唯一存在的。'n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为r，则解空间的维数是（）。

A:nB:rC:n-rD:0答案:AI参考:正确答案是：C:n-r。\n系数矩阵的秩等于方程组的解的个数，也即方程组的基础解系中所含向量的个数。因为只有基础解系所含向量的个数决定了解空间的维数。本题解空间的维数即解向量个数等于矩阵的列数n-r，故答案为C。'下列条件可以推出n级λ-矩阵A(λ)可逆的有（）。

A:A(λ)秩为nB:|A(λ)|不等于0C:A(λ)有n个不变因子D:|A(λ)|是一个非零常数答案:AI参考:正确选项是【B:|A(λ)|不等于0】。\n\n对于λ-矩阵A(λ)，可逆的充要条件是它的行列式不等于0，即|A(λ)|≠0。因此选项B是正确的，而其他选项并不一定是可逆的充要条件。A选项中虽然说明了λ-矩阵A(λ)的秩为n，但并不能推出它是否可逆；C选项中的不变因子是λ-矩阵的特征多项式在复数域上的根，与可逆性无关；D选项虽然说明了行列式是一个非零常数，但并不能推出λ-矩阵是否可逆。'令M=C，M’=R，规定σ(a+bi)=b，则σ是（）。

A:变换B:映上的C:1-1对应D:1-1的答案:AI参考:答案：C\n推理过程：根据题意可知，σ为实数域上的一个线性变换，即为一一对应，属于1-1对应。'若由基α1,α2,…,αn到基β1,β2,…,βn的过渡矩阵是A，向量γ在基α1,α2,…,αn下的坐标为X，在基β1,β2,…,βn下的坐标为Y，则下面说法正确的是（）。

A:X=AYB:X=A-1YC:Y=A-1XD:Y=AX答案:AI参考:正确答案是B:X=A-1Y。\n\n由基α₁，α₂，…，αn到基β₁，β₂，…，βn的过渡矩阵是A，向量γ在基α₁，α₂，…，αn下的坐标为X，在基β₁，β₂，…，βn下的坐标为Y。根据矩阵乘法的定义，有X=A-1Y，所以选项B是正确的。选项A、C、D都不正确。'设A是n维线性空间V的一个线性变换，则下列算式一定成立的是（）。

A:dimAV+dim（A-1(0)）=nB:A-1(0)+AV=VC:A-1(0)∩AV={0}D:A-1(0)⊕AV=V答案:AI参考:正确答案是D。在任何空间V中，由单元素子空间的性质知A^-1(0)⊕AV=V。\n\n解释：选项A是错误的，因为dim(A-1(0))可能等于0，此时(A-1(0)+A(0))不一定等于n。选项B也是错误的，因为(A-1(0)+AV)可能不等于V。选项C也是错误的，因为A-1(0)∩AV可能不等于{0}。因此，只有选项D是正确的。'若W，U是V的子空间，则dimW+dimU=dim(W+U)的充分必要条件是（）。

A:W与U的交是零子空间B:W与U的并是VC:W=VD:U=V答案:AI参考:答案是A:W与U的交是零子空间。\n\n根据题目条件，W和U是V的子空间，而dimW+dimU=dim(W+U)等价于W和U的直和是V，而直和的定义是两个子空间的交为零子空间，所以A选项是充分必要条件。B、C、D选项都不能保证直和的性质，因此不是充分必要条件。'设A是非零线性空间V上的一个线性变换，则A的不变子空间至少有（）个。

A:3B:2C:1D:4答案:AI参考:正确答案是C：1。\n\n因为A是非零线性空间V上的一个线性变换，所以A的不变子空间至少有一个，即只有一个。因此，正确答案是C。'n维欧氏空间中的任意两组标准正交基之间的过渡矩阵一定不可能是（）。

A:零矩阵B:正交矩阵C:行列式为-1的矩阵D:可逆矩阵答案:AI参考:正确答案是D：可逆矩阵。\n\n在n维欧氏空间中，任意两组标准正交基之间的过渡矩阵一定是对角线上的元素为正数的对角矩阵，即B、C选项正确。而A选项零矩阵和D选项可逆矩阵都不是对角矩阵，因此不可能为过渡矩阵。因此，本题答案为D。'

L(b1,…,bk,

c1,…,cl)的维数（）L(b1,…,bk)+L(c1,…,cl)的维数。

A:>B:小于或者等于C:<D:>或者=答案:AI参考:正确答案是B：小于或者等于。\n\n因为向量空间的维数指的是向量空间中向量的个数，而题目中的两个向量是两个子向量空间，它们的维数之和可能小于或等于总的向量个数。因此，答案为B。'设n阶λ-矩阵A(λ)可逆，则A(λ)的标准形是（）。

A:主对角线上为0和1的对角矩阵B:主对角线上可能含有字母的矩阵C:对角矩阵D:E答案:AI参考:正确答案是C：对角矩阵。\n\n因为n阶λ-矩阵A(λ)可逆，所以A(λ)的特征多项式f(λ)=0的根的个数为n，且每个根对应一个线性无关的特征向量，所以A(λ)的矩阵形式为对角矩阵。因此选项C是正确的。选项A、B、D都不符合题意。'等价的λ-矩阵具有相同的（）。

A:行列式因子B:标准形C:类型（指行数和列数）D:秩答案:AI参考:正确选项为D：秩。\n\n等价的λ-矩阵具有相同的秩，因为它们代表了相同的不变子空间，而相同的不变