高考数学二轮复习六解析几何练习题

专题突破练20直线与圆

一,单项选择题

1.（2021.全国甲,文5）点（3,0）到双曲线a一方=1的一条渐近线的距离为（）

2.（2021•湖南湘潭模拟）已知半径为千>0）的圆被直线y=-2x和y=-2x+5所截得的弦长均为2,则r的

值为（）

5

A.4-B.√2

C.∣D.√3

3.（2021•北京清华附中月考）已知点P与点（3,4）的距离不大于1,则点P到直线3x+4y+5=0的距离的

最小值为（）

A.4B.5

C.6D.7

2222

4.（2021•江西鹰潭一中月考）已知点MN分别在圆C∣I（X-1）+（>>-2）=9与圆C2：U-2）+（y-8）=64上,则

IMNl的最大值为（）

A.√7+lIB.17

C.√37+llD.15

5.（2021・湖北黄冈中学三模）已知直线∕sx+y+√5,"-l=0与圆％2+γ2=4交于A,B两点,过A,B分别作/

的垂线与X轴交于CQ两点,若∣4B∣=2,则∣CD∣=（）

C.2√3D.4

6.（2021.重庆八中月考）己知圆Cx2+γ2-4x-2y+l=0及直线/:y=H-k+2（&CR）,设直线/与圆C相交所得

的最长弦为MN,最短弦为P。,则四边形PMQN的面积为（）

A.4√2B.2√2

C.8D.8√2

7.（2021•山西临汾适应性训练）直线x+y+4=0分别与X轴、y轴交于A,8两点,点P在圆（Λ>4）2+）∙2=2

上,则AABP面积的取值范围是（）

A.∣8,12]

B.[8√2,12√2]

C.fl2,201

D.[12√2,20√2]

8.(2021•山东青岛三模)己知直线/:3x+，町，+3=0,曲线Cf+)2+4x+2,町，+5=0,则下列说法正确的是

()

是曲线C表示圆的充要条件

B.当"i=3√I时,直线/与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1

C.",〃=-3”是直线/与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件

D.当m=-2时,曲线C与圆W+V=I有两个公共点

9.(2021•河北邢台模拟)已知圆O2)2+(y-l)2=l,圆M(X+2)2+(J+1)2=1,则下列不是MN两圆公切线

的直线方程为()

A.y=OB.4x-3y=0

C∙x-2y+V5=0D,x+2γ-√5=0

二、多项选择题

10.(2021•广东潮州二模)已知圆Cx2-2ar+γ2+Gl=O与圆。:/+/=4有且仅有两条公共切线,则实数,

的取值可以是()

A.-3B.3

C.2D.-2

22z

1L(2O21∙海南三亚模拟)已知圆OKX+V-2X-3=0和圆O2,X+y-2y-l^0的交点为A,B,则(

A.圆01和圆。2有两条公切线

B.直线AB的方程为x-y+l=O

C.圆。2上存在两点P和。,使得∣PQI>∣AB∣

D.圆Oi上的点到直线AB的最大距离为2+鱼

三、填空题

12.(2021•辽宁营口期末)若直线hy=fcr+4与直线b关于点M(l,2)对称,则当/2经过点M。,」)时,点M

到直线I2的距离为.

13.(2021•山东滨州检测)已知圆Ml+y2-12Λ-14y+60=0,圆N与X轴相切,与圆M外切,且圆心N在直

线x=6上,则圆N的标准方程为.

14.(2021•山东烟台二模)已知两条直线/i：y=2x+〃?,/2：y=2x+〃与圆C:(x-l)2+(y-l)2=4交于A,B,C,D四

点,且构成正方形ABCD,则依-川的值为.

15.(2021•河北沧州模拟)已知圆。:/+)2-44-+2〃?.丫+1=0(〃]>0),直线l∖y-kx+m与直线x+V3y+l=0垂直,

则k=,直线/与圆C的位置关系为.

专题突破练20直线与圆

1.A解析由题意,双曲线的一条渐近线方程为y=%,即3x-4y=0,点(3,0)到该渐近线的距

离为∣jx3-4xθI=卷故选A.

j32+(-4)25

2.C解析直线y=-2x和y=-2x+5截圆所得弦长相等,且两直线平行,则圆心到两条直线

的距离相等且为两条平行直线间距离的一半,故圆心到直线y=-2x的距离d=^x搞=

空,23/2=2Jr2-5=2,解得r=∣.

3.B解析设点P(x,j),IJl1J(%-3)2+(y-4)2≤1,

圆心(3,4)到3x+4y+5=0的距离为介等+4x4$$,

22

y∣3+4

则点P到直线3x+4y+5=0的距离的最小值为6-1=5.

4.C解析依题意,圆G:(X-I)2+(y-2)2=9,圆心G(l,2),半径r∣=3.

圆C⅛(x-2)2+(y-8)2=64,圆心C2(2,8),半径9=8,

故IMNlmaX=IGC2∣+r∣+卷=商+11.

5.B解析直线过定点(-√5,1),该点在圆上.圆半径为r=2,且IABl=2,所以AOAB是等边三

角形,圆心O到直线AB的距离为嘏所以粤*=√3,m=-⅛

√l+m23

直线斜率为攵=-，W=景倾斜角为θ=^∙,

36

所以|C。I=吗=WT=尊.

cosθCOS⅛3

O

6.A解析将圆C的方程整理为(x-2)2+S-l)2=4,则圆心C(2,l),半径r=2.

将直线/的方程整理为y=Z(x-l)+2,则直线/恒过定点(1,2),且(1,2)在圆C内.

最长弦MN为过(1,2)的圆的直径,贝IlMNl=4,

最短弦PQ为过(1,2),且与最长弦MN垂直的弦，

：%MN=W'=-1,.：kpQ=1.

I-Z

直线PQ方程为y・2=x.l,即x-y+1=0.

圆心C到直线PQ的距离为d=邑券=√2,∣pρ∣=2√r^d2=2√4^2=2√2.

四边形PMQN的面积S=^∖MN∖-∖PQ∖=^×4×2√2=4√2.

7.C解析直线x+y+4=0分别与X轴、y轴交于A,B两点4(-4,0入3(0,-4),故IABl=4√Σ

设圆心(4,0)到直线x+y+4=0的距离为4则J=l4t2±4l=4√2.

V14^1

设点尸到直线x+γ+4=0的距离为〃,故Amax=J+r=4V2+V2=5V2,∕zmin=J-r=4V2—

√2=3√Σ,故/2的取值范围为[3√2,5√2],即bABP的高的取值范围是[3√2,5√2],

又AABP的面积为AR九所以AABP面积的取值范围为[12,20].

8.C解析对于A,曲线Cκ2+y2+4χ+2my+5=0整理为(x+2)2+(y+m)2="z2-l,曲线C要表

示圆,则机2_1>o,解得m<-l或机>1,所以"机>1”是曲线C表示圆的充分不必要条件,故A

错误；

对于B,"2=3H时,直线//+■+1=0,曲线C(x+2)2+(γ+3√3)2=26,

圆心到直线/的距离d=反当空空4=5,所以弦长=2√?中=2体多=2,故B错

误；

对于C,若直线I与圆相切,圆心到直线I的距离H[m2+3∣=JE,解得加=±3,

√9+m2

所以“〃2=-3"是直线/与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件,C正确；

对于D,当m=-2时,曲线C(x+2)2+(y-2)2=3,其圆心坐标为(-2,2),r=遮,曲线C与圆

x2+y2=∖两圆圆心距离为J(-2-0)2+(2-O)2=2√Σ>√5+1,故两圆相离,不会有两个公共

点,D错误.

9.D解析由题意,圆Mr(x-2)2+(jy-l)2=l的圆心坐标为M(2,l),半径为n=l,ffl

N:(X+2)2+(y+1)2=1的圆心坐标为M-2,-1),半径为Γ2=l.

如图所示,两圆相离,有四条公切线.

两圆心坐标关于原点。对称,则有两条切线过原点O,

设切线/:>=3则圆心M到直线/的距离为咨工=1,

解得k=Q或k=^.

故此时切线方程为y=0或4x-3y=0.

另两条切线与直线MN平行且相距为1,又由加叱产权

设切线匕y=%+A则诣=1,解得b=±^∙,

此时切线方程为x-2γ+V5=0或x-2y-y[S=0.

结合选项,可得D不正确.

IOCD解析圆C方程可化为(X-α)2+y2=l,则圆心C(α,0),半径n=1;

由圆。方程知圆心O(0,0),半径Γ2=2.

因为圆C与圆。有且仅有两条公切线,所以两圆相交.

又两圆圆心距d=∣矶有2-l<∣α∣<2+l,即l<∣α∣<3,

解得-3<α<-l或1<«<3.

观察4个选项,可知C,D两项中的。的取值满足题意.

U.ABD解析对于A,因为两个圆相交,所以有两条公切线,故A正确；

对于B,将两圆方程作差可得-2x+2y-2=0,即得公共弦AB的方程为x-y+l=O,故B正

确；

对于C,直线AB经过圆。2的圆心(0,1),所以线段AB是圆。2的直径,故圆。2中不存

在比AB长的弦,故C错误；

对于D,圆Oi的圆心坐标为(L0),半径为2,圆心到直线AB*y+l=O的距离为啜=

√2,

所以圆Oi上的点到直线AB的最大距离为2+√Σ,D正确.

12.√5解析因为直线Ay=日+4恒过定点P(0,4),所以P(0,4)关于点M(l,2)对称,所以

P(0,4)关于点M(1,2)的对称点为(2,0),此时(2,0)和N(O,-1)都在直线上上,可得直线/2的方

程瑞=慈即∕2y-2=0,所以点M到直线/2的距离为介需=√5.

13.(X-6)2+(J-1)2=1解析圆的标准方程为(*6)2+67)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.

由圆心N在直线x=6上,可设N(6,yo).

因为圆N与X轴相切,与圆M外切，

于是圆N的半径为加从而7-yo=5+yo,解得yo=l.

因此,圆N的标准方程为O6)2+(y-l)2=l.

14.2√10解析由题设知力〃/2,要使A,8,C,。四点构成正方形ABCO,正方形的边长等于

直线/1,/2之间的距离d,则Q=罕.

√5

若圆的半径为r,由正方形的性质知J=√2r=2√2,

故甯=2√Σ,即有依-川=2√IU.

15.V3相离解析X2+)2・44+2次〉+1=0,即(1・2)2+3+m)2=加2+3,圆心C(2,∙∕n),半径

r=Vm2+3,

因为直线/:尸"+“与直线x+V3γ+l=0垂直,所以k∙(-专)=-1，解得k=足.

直线/:)，=岳+机因为，心0,所以圆心到直线/的距离仁晔空皿=√3+w.

因为，=〃22+2遍〃2+3〉m2+3=户,所以所以直线/与圆C的位置关系是相离.

专题突破练21圆锥曲线的定义、方程与性质

一'单项选择题

L（2021∙湖北华中师大一附中月考）已知抛物线尸Hx2（m>0）上的点（XO,2）到该抛物线焦点厂的距离为

则m的值为（）

O

A.lB.2eɪD.7

24

2.（2021∙四川成都七中月考）双曲线≡∣-4=l（α,b>O）的一条渐近线方程为x%=0,则其离心率为（）

ab

A.√3B.yC.√5D.y

3.（2021.新高考/,5）已知Q,&是椭圆若+?=1的两个焦点,点M在C上,则Igl∙∣MF2I的最大值

为（）

A.13B.12C.9D.6

4.（2021・贵州贵阳期末）过抛物线y2=4x的焦点的直线与抛物线交于A,B两点,若AB的中点的纵坐标

为2,则IABl等于（）

A.4B.6C.8D.10

5.（2021•广东佛山二模）已知双曲线c/-A=Im>0力>0）的离心率等于2户,B分别是双曲线的左、

右焦点,A为双曲线的右顶点,P在双曲线的渐近线上且PFlJ_尸3,若的面积为34,则双曲线的

虚轴长等于（）

A.√3B,2C.2√3D.4

二,多项选择题

6.（2021•江苏南通适应性联考）已知RtAABC中有一个内角为*如果双曲线E以4,8为焦点,并经过点

C,则该双曲线的离心率可能是（）

A.√3+lB.2C.√3D.2+√3

7.（2021•广东佛山模拟）己知双曲线C9x2-16y2=144的左、右焦点分别为BF2,点P为C上的一点,且

IPQl=6,则下列说法正确的是（）

A.双曲线的离心率为母

B.双曲线的渐近线方程为3x±4y=0

CnPFiB的周长为30

D.点P在椭圆盖+会=1上

8.（2021・重庆调研）如图所示,用一束与平面α成60°角的平行光线照射半径为√5的球O,在平面α上

形成的投影为椭圆C及其内部,则椭圆C的（）

A.长轴长为3B.离心率为2

C.焦距为2D.面积为3π

9.（2021.山东青岛三模）已知曲线C:<+也=1,Q,B分别为曲线C的左、右焦点,则下列说法正确的是

ym

（）

A.若,〃=一3,则曲线C的两条渐近线所成的锐角为科

B.若曲线C的离心率e=2,贝IJm=-21

C.若机=3,则曲线C上不存在点P,使得NQPF2三

D.若m=3,P为C上一个动点,则APRB面积的最大值为3√Σ

三、填空题

10.（2021•江苏南通一模）己知抛物线C:），=#上的点例到焦点的距离为5,则点M到），轴的距离

为.

22

11.（2021・湖北十五中学联考体联考■+尹1的焦点为F∣,B,点尸在椭圆上,若IPQI=4,则∕F∣P3的

大小为.

12.（2021•湖南怀化模拟）已知椭圆磋+A=13>b>°）的左、右焦点分别为人,尸2,过坐标原点的直线

交E于P,。两点,且PBJ∙BQ,且SAPFZQ=聚,|尸尸2|+|&。|=4,则E的标准方程

为.

13.（2021•北京昌平二模）已知抛物线C:）?=4X与椭圆陷+∖=l（a>Z>>0）有一个公共焦点厂,则点尸的

坐标是;若抛物线的准线与椭圆交于A,B两点,0是坐标原点,且AAOB是直角三角形,则椭

圆D的离心率e=.

14.（2021∙福建厦门外国语学校月考）点P在椭圆G[+[=1±,C∣的右焦点为E点Q在圆

C2：f+y2+6x-8y+21=0上,则IPQi-IPFl的最小值为.

专题突破练21圆锥曲线的定义、方程与性质

1.B解析由题意,知抛物线y=",("z>O)的准线方程为y=-J-,

4m

根据抛物线的定义,可得点(M),2)到焦点户的距离等于到准线y="-的距离,可得

2+左=W解得*2.

2.D解析因为最T=l(α>0力>0)的一条渐近线方程为x-2y=0,所以

故M答4解得后■所以e岑

3.C解析由题意知IMBl+1MF⅛∣=2α=6,

则JlMFIHMF2∣≤∣M”∣MF2∣=3,

则IMB∣∙∣MF2∣≤9,当且仅当∣MF∣I=IMF2∣=3时,等号成立.

故2|的最大值为9.

4.C解析抛物线y2=4χ的焦点坐标为F(LO),准线方程l∖x--∖.

设AB的中点为M过A,B,M作准线/的垂线,垂足分别为CQ,N,则MN为梯形

ABDC的中位线,IABI=IAFI+1BFl=IACI+18。|=2∣MNI=2(xo+1).

直线AB过抛物线的焦点忆显然直线AB的斜率存在且不为0,可设直线AB的方程

为x=my+l(m为常数)，

代入抛物线的方程,消去X并整理,得产4加)，-4=0.

设A,B的纵坐标分别为yι∕2,线段AB的中点M(Xo,yo),则>0=匕^^=2〃?=2,解得加=L

直线AB的方程为X=y+l∕o=yo+l=2+1=3,∣A8∣=2x(3+l)=8.

5.D解析如图,双曲线。:马一马=13>0力>0)的离心率等于2,e=∙s=2,①

CLΔbQ

设FIF2分别是双曲线的左、右焦点,双曲线在第一、三象限的渐近线的斜率为T=

=K,②

A为双曲线的右顶点,P在双曲线的渐近线上,且PFil.PF2,

所以P(a,b),APAFi的面积为34,可得,(α+c)∙∕2=3α,③

解①②③,可得力=2,所以C的虚轴长等于4.

√3

6.ACD解析当NCq时,e=£^=ɪ=√3;

1-2

当ZB=-⅛e-AB=/一=√3+P

ms3J'*AC-BC√31v3

T'2

1

当NA=E时,e=^^=-⅛-=√3+2.

5∕1C~oC【Vo

IT

7∙bcd解析双曲线的标准方程嘘-£。=4力=3,则c=5,离心率e=K*A错误;

渐近线方程为*±玄=0,即3x±4j=0,B正确；

IPFlI=6<24=8,P在左支上,尸产2|=6+8=14公/7;11尸2的周长为30,C正确；

IPBl+∣Pb2∣=20,因此P在椭圆孺+*1(此椭圆是以RA为焦点,长轴长为20的

椭圆)上,D正确.

由题意知,二。=椭圆长轴

8.BC解析08,4?,088,/a160°,04=—^7]=§=2,C

SinZ-BAO√3

~2

长2α=2OA=4,A错误；

椭圆C的短轴长为球。的直径,即2⅛=2√3,⅛=√3,

c=λ∕α2-∕j2=√4-3=l,椭圆C的焦距为2c=2,C正确;

椭圆C的离心率e=[=.B正确;

由图可知:椭圆C的面积大于球。大圆的面积,又球。大圆的面积S=3τι,故椭圆C

的面积大于3无,D错误.

9.ABD解析对于A选项,当m=-2>时,曲线若Y=I表示焦点在X轴上的双曲线,渐

近线方程为产土祟,故渐近线的倾斜角分别为3¾1,所以曲线C的两条渐近线所成的锐

ɔOO

角为与故A选项正确；

对于B选项,离心率e=2,贝U曲线C为焦点在X轴上的双曲线,α=3,e=2,故c=6,所以-

m=c2p2=36-9=27,所以机=-27,故B选项正确；

对于C选项,若机=3,则曲线C看+『=1表示焦点在X轴上的椭圆,此时

a2=9,b2=3,C2=6.

设椭圆C的短轴的一个顶点坐标为Mo,国),则CoSNnMb2=之蝶竺=M3<0,

故NTWE2为钝角,所以曲线C上存在点P,使得NBPBq,故C选项错误；

对于D选项,若〃?=3,则曲线C：y+y=l表示焦点在X轴上的椭圆,此时

02=9/2=3,C?=6,P为C上一个动点,则aPFι∕72面积的最大值为Smax=I×2c×h-^×2√6X

V3=3V2,⅛D选项正确.

10.2√6解析抛物线C的方程可化为x2=8y.

设M(xo,yo),因为点M到焦点的距离为5,所以点M到准线y=-2的距离为5,

从而yo=3.将γo=3代入Λ2=8y,可得IXOI=2伤，

所以点M到y轴的距离为2n.

11.ɪ解析由椭圆卷+卷=1可得α=3,∕j=√∑,c=√7.

根据椭圆定义得IPFll+1PEI=2α=6,尸匹1=2c=2√7,所以4+1PBI=2α=6,解得

IPBI=2.

在中,由余弦定理得=第T

所以N乃PF12号.

12.⅞+⅛=1解析如图所示,连接PB,QB,因为OP=OQ,0F∖=0F2,

4Z

所以四边形PnQE2是平行四边形,所以PFx=QFi,PFi=QFx,

又因为PE2，尸2。,所以平行四边形PBQF2是矩形.

‘τn+几=20=4,

222解得a=2,

设PF1=,%PF2=〃,由题意得＜m+n=4c,

11c二√2,

ɔmn=-α2z,

∖Zz

则b2=cr-c2=2,^iE的标准方程为9+1=L

13.(1,0)孚解析由抛物线的方程,得其焦点坐标为(1,0),

所以抛物线C与椭圆。的公共焦点为F(l,0),

且抛物线准线方程为x=-l,椭圆左焦点为(-1,0),

联立x=-c与椭圆等+4=1,可得∣ya∣=∣yB∣=t,

CL^hCL

2

因为AAOB是直角三角形,所以J=。,即b1=ac.

又。2=42_02,所以q2.c2=ac,

左、右同除以标,可得e2+e∕=o,解得e=芍匹，

又e∈(O,l),所以椭圆。的离心率e=竽.

14.2√5-6解析记椭圆G:[+<=1的左焦点为E(-1,O),

4ɔ

由椭圆的定义可得,∣PE∣+∣Pb∣=2α=4,

所以IPQHPFl=IPQ+∣PE卜4.

由χ2+V+6χ-8y+21=0,得(x+3)2+(y-4)2=4,

即圆C2的圆心为(-3,4)泮径为r=2,作出图形如下：

X

由圆的性质可得,∣PQ∣2∣PC2卜尸=∣PC2卜2,

∖PQ∖-∖PF∖=∖PQ∖+∖PE∖-4^∖PC2∖+∖PE∖-6^∖EC2∖-6=(-31)2+42-6=2√5-6(当且仅

当Q,Q,P,E四点共线时,等号成立）.

专题突破练22圆锥曲线中的范围、最值、证明问题

l.(2021∙河北唐山一模)已知抛物线Ef=4y,点P(l,-2),斜率为Z(Qo)的直线/过点P,与E相交于不同

的两点A,B.

(1)求Z的取值范围；

(2)斜率为/的直线m过点P,与E相交于不同的点CQ,证明:直线AC、直线BD及y轴围成等腰三

角形.

2.(2021•山东潍坊三模)设抛物线CΛ2=2Q0>0)的焦点为F点P(W,2)(m>0)在抛物线C上,且满足

IPFl=3.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)过点G(0,4)的直线/与抛物线C交于A,B两点,分别以4,B为切点的抛物线C的两条切线交于点

。,求APQG周长的最小值.

3.(2021•广东深圳一模)设。是坐标原点,以F/为焦点的椭圆C:各，=l(a>8>0)的长轴长为2√Σ,

以IFlBl为直径的圆和C恰好有两个交点.

(1)求C的方程；

(2)P是C外的一点,过P的直线//均与C相切,且∕∣,∕2的斜率之积为，〃(-1≤m≤J),记〃为IPol的

最小值,求"的取值范围.

4.(2021•北京通州一模)已知椭圆4+A=l(4>6>0)的短轴长为2,离心率为当.

(1)求椭圆C的方程；

(2)点P是椭圆C上一点,且在第一象限内,过P作直线交y轴正半轴于A点,交X轴负半轴于B点,与

椭圆C的另一个交点为E,且PA=AB,点0是P关于X轴的对称点,直线QA与椭圆C的另一个交点

为F.

①证明:直线AQ,AP的斜率之比为定值；

②求直线EF的斜率的最小值.

5.(2021.河北唐山三模)在平面直角坐标系XO)，中√4(-l,O),8(1,0),C为动点,设AABC的内切圆分别与边

ACBCAB相切于P,Q,R,且ICPI=I,记点C的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)不过原点。的直线/与曲线E交于M,N,且直线y=-%经过MN的中点T,求AOMN的面积的最大

值.

6.(2021•河南九师联盟联考)在平面直角坐标系Xoy中,椭圆+,=l(α>∕>>O)的离心率为苧,短轴的

一个端点的坐标为(0,-1).

(1)求椭圆C的方程；

⑵点P为椭圆C的右焦点,过椭圆C上一点A(XI,y∣)(x∣yι≠O)的直线hx∣x+2yιy=2与直线L：x=2交于

点P,直线AF交椭圆C于另一点B,设A8与OP交于点。.证明：

①NA尸P];

②β为线段AB的中点.

专题突破练22圆锥曲线中的范围、最值、证明问题

1.(1)解由题意设/的方程为y+2=k(x-↑),

与χ2=4y联立得,f-4fct+4攵+8=0.

由J>0得F-h2>0,即Z<-l或k>2.

又女>0,所以火的取值范围是(2,+∞).

(2)证明设Aα1,y∣),B(x2,y2),C(χ3,y3),Z)(χ4,y4),由⑴可得XI+X2=4A.

由题意设m的方程为y+2=火X-I),与Λ2=4y联立得炉+4区-4女+8=0,得X3+x4=-4-k.

MC=E=⅛L=中洞理ABD冲,

χ

×3-l4(X3-XI)44

因为kAC+kBD=xi+x2↑x3+x4=0,

所以直线AC、直线BD及y轴围成等腰三角形.

2.解⑴由抛物线定义,得IPFl=2+弃3,得p=2,

故抛物线C的标准方程为x2=4y.

(2)设A(Xl,y∣),8(*2,*),直线/的方程为y=kx+4,

联立P^2+4'消去X,得f-4日-16=0,

U=4y,

Δ>0,xι+x2=4k^c↑X2=-16.

设A,B处的切线斜率分别为%危,则h=^-,k2=^,

2

在点A处的切线方程为y-y∖=^-(x-xι),即y=乎-今,①

ZZ4,

2

同理,在点B处的切线方程为产等②

2

由①②得光Q=空电=2匕代入①或②中可得)'Q=bci-2=yi-4-yi=-4,故Q(2k,-4),即点Q

Z4

在定直线y=-4上.

设点G关于直线产-4的对称点为G；则G(0,-12),由⑴知P(2√2,2),

:1PQ+IG。I=IPQ+1GQelGF∣=2√∏,即P,。,G'三点共线时等号成立，

；.∆PQG周长的最小值为IGP∣+1G了|=2√∏+2√3.

3.解⑴由题意可得2α=2V∑,故α=V2.

因为以尸|人|为直径的圆和C恰好有两个交点,则b=c,

+¢2=2/=/=2,可得b=c=l,因此椭圆C1的方程为^+y2=l.

(2)由题意可知,直线/1,/2的斜率存在且不为零，

设过点P(XO,yo)的切线l:y-yo=k(x-xo),

'y-y0=K×-χ0),

2

联立"2=1,消去y可得(23+1)x2+4k(yo-kxo)x+2(yo-kxo)-2=0,

由于直线/与椭圆C相切,则/=16Rso依o)2-4(2F+l)[2(yHlro)2-2]=O,化简并整理得

(JO-AXO)2=2⅛2+1.

整理成关于k的二次方程得(就-2)F-2xoyoA+y衣-I=O(易知xo≠÷√2),

设直线/1,/2的斜率分别为h,kι,

易知Zι,%2为关于人的二次方程(欧-2)d-2χoyoA+羽-1=0的两根，

y2_1

所以左必=当==〃2,诏=根呼+l-2"z,所以,就+yo=(m+l)Xo+l-2m,

Xo-N

故IPOI=J巾+yo=√(m+l)ɪo+l-2m.

易知当Xo=O时,有u=∖P0∖mm=y∕l-2τn.

因为-1W"zW-g,所以Λ∕Σ<u<V3,

即〃的取值范围是［a,百］.

(2b=2,

4.⑴解由题意得］£=彖解得W也，

a2Ib=L

(Q2=人2+¢2,

所以椭圆C的方程为挤+)2=1.

⑵①证明设P点的坐标为(XOJ,0),

因为点。是Pao,yo)关于X轴的对称点,PA=A民所以Q(Xo,再)4(0,10).

11

所以直线QA的斜率为依A=空出=学,PA的斜率为M⅜=生出=3.

%0N%0XQN%O

所以辔=-3.所以直线A。,AP的斜率之比为定值.

kPA

②解设直线PA的方程为y=kx+m.

y=kx+m,„_CC.`

联立方程组%2+2y2-2化筒得(1+2R)X2+4的U+2"Z2.2=0.

设E点的坐标是(XI,yι),所以Xoxi

22

2m-2匕匕［、,2k(m-l)

所以幻二了际•所以

所以E点的坐标是(2巾2;22k(mjl)+巾).

zz

∖(l+2k)x0(l+2∕c)x0/

由①可知,直线QA的方程是y=-3hc+m.

所以万点的坐标是(2而号-6依吗1)+前

∖(l÷18r)x0(l+18√)x0/

・6k(m2_i)T—

所以直线所的斜率如∙=α+呼)辫(乎BO=空

2TΠΔ-22m£-24K

22

(1+18Y)XO(1+2Y)XO

11/1

6fe+1+>-×2J√26

因为QO,所以⅛=.,4--4vk-

当且仅当6心即女邛时刖有最小衅

所以直线所的斜率的最小值是当

5解(I)依题意可知,∣CAl+∣C5∣=∣CP∣+∣CQ∣+∣AP∣+∣BQ∣=2∣CP∣+∣AB∣=4>∣45∣,所以曲线E

是以4,B为焦点,长轴长为4的椭圆(除去与X轴的交点),因此曲线E的方程为9+

⅛=K.y≠0).

(2)设Mal，¥),可(12,"),显然直线/的斜率存在,设其方程为y=kx+m(m≠0),

代入亍+.=1,整理得(4⅛2+3)x2+8fonx+4λn2-12=0,(*)

贝IJXl+&=.8誓j]X2=4yn.12所以+=%(χι+X2)+2∕n=-ʃ-,

4fcz÷34√+34k'+3

故MN的中点T的坐标为(坐二段二).

¼fcz+34∕cz+3∕

而直线尸基经过MN的中点T,得一竽一二J×-华",又用知,所以直线/的斜率k言.

24r+324∕C2+32

故(*)式可化简为3x2+3mΛ+m2-3=0,

4∕.m2-3

故rXl+X2=-m,X↑X2=^-,

由J=36-3m2>0且∕7z≠0,得-2遮<根<2百且m≠0.

3632

又IMNl=√m⅞π-x2∣=孚×-3~=^x√I∑方,而点O到直线I的距离

z7.2∣m∣

则AOMN的面积5=∣XI=XɪɪjX√12-m2=+I"?IX√12-m2≤ɪ×

τn2+12-τn2_ʌ^ɜ

当且仅当机=上乃时,等号成立,此时满足-2旧<〃2<26且〃/0,所以AOMN的面积的

最大值为次.

6.(1)解设椭圆C的半焦距为c,因为C的短轴的一个端点的坐标为(0,-1),所以A=I,所以

屋/=1.①

因为e=-=噂,所以α=V∑c.②

a2

由①②,得c=l,所以a=y[2,

所以椭圆C的方程为J+y2=l.

(2)证明①将x=2代入XIX+2yιy=2,得2xι+2γιy=2,

解得产宇,所以P(2,簧).

又F(I5O)5A(XiJi),

所以同=(Xl-I,yι),拜=(1,啖)，万•方=XI-I+yι∙守=0,所以必，FP,故N

ΛFP=^T.T

②由直线AB过焦点F(l,0),得直线AB的方程为(x∣-l)y=yι(x-l),代入/+2y2=2,并结

合好+2yf=2整理,得(3-2xι)y2+2(xι-l加y-资=0.

设B(X2,>2),贝IJ>1+*=-2；1；；必.

ɔ-zʌɪ

设AB中点为H(X(),yo),则y)=，i：，2=_(：；”

zɔ-zʌɪ

xo=⅛÷3[-等斗1二兽,即Rm-/)，

y

y1y1L3-2x1J3-2x1∖3-2x13-2x1/

所以流=百-(2,土迫)=毒-而

3-2x1∖y1/3-2x1

即如与赤共线，

即AB的中点R在直线OP上,从而点R与Q重合，

故。是线段AB的中点.

专题突破练23圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题

L(2021∙重庆八中月考)已知椭圆CT+5=1的右焦点为F,过点M(4,0)的直线/交椭圆C于A,B两

点,连接ARBF并延长分别与椭圆交于异于A,B的两点PQ.

(1)求直线/的斜率的取值范围；

⑵若而=2同,行=〃而,证明为定值.

2.(2021•河北张家口三模)已知抛物线CV=4px(p>0)的焦点为F,且点M(1,2)到点F的距离比至IJy轴

的距离大p.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若直线/:尤加(γ+2)-5=0与抛物线C交于A,B两点,问是否存在实数九使IMAHMBI=64√Σ?若存在,

求出m的值;若不存在,请说明理由.

3.(2021•江苏南通适应性联考)已知双曲线4-∖=l(a＞O力＞0)的两个焦点为尸陋,一条渐近线方程

为y=bxg∈N"),且双曲线C经过点D(√2,l).

(1)求双曲线C的方程；

(2)设点P在直线x=m()乎土九0＜相＜1,且〃?是常数)上,过点P作双曲线C的两条切线PA,PB,切点为

A,8,求证:直线AB过某一个定点.

4.(2021•山东济南二模)已知椭圆。当+察1(心匕＞0)的离心率为与,且经过点”(-2,1).

aDN

(1)求椭圆C的方程；

⑵过点P(-3,0)的直线(不与X轴重合)与椭圆C相交于A,B两点,直线H4,HB分别交X轴于MN两点,

点G(-2,0),若丽=亦或而=〃方,求证」+工为定值.

5.(2021•广东汕头三模)已知圆CΛ2+(J-2)2=1与定直线/:y=-l,且动圆M与圆C外切并与直线/相切.

(1)求动圆圆心M的轨迹E的方程；

(2)已知点P是直线ky=-2上一个动点,过点P作轨迹E的两条切线,切点分别为A,B.

①求证:直线AB过定点；

会证:NPCA=/PCA

6.(2021•北京东城一模)已知椭圆谆+3=im>b>0)过点。(-2,0),且焦距为2√5.

(1)求椭圆C的方程；

⑵过点4-4,0)的直线/(不与X轴重合)与椭圆C交于P,Q两点,点7与点。关于X轴对称,直线TP与

X轴交于点H,是否存在常数九使得∣A0∙∣O∕∕∣=2(IAoHoHl)成立?若存在,求出Z的值;若不存在,说明

理由.

专题突破练23圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题

1.(1)解由题意知直线/的斜率不为零,故设其方程为尤=(y+4,与椭圆方程联立,消去X得

(3p+4)y2+24<y+36=0,∕=144(∕2-4)>0,解得t<-2或t>2.

故直线/的斜率Zq的取值范围为(4,0)u(o,ɪ).

⑵证明∕7(l,0),设A(XI,yι),8(X2,*),P(X3,”),。(%4,丁4),由⑴得6+?=号*/少2=爱果，

3

所以WU2=一翅+").

由两=4成,得尸3_=产-1)，即产=λx1-λ-l,

(-丫3—1,匕丫3—1-

又点尸在椭圆上,即有3χf+4y2=12,

代入上式得3(2xι-A-1)2+4λ2yf=12,即λ2(3xl+4yl)-6λ(λ+1)ΛI+3(Λ+1)2=12,

又3*+4弁=12,所以12(2+1)(2-1)-6Λ(2+1)xι+3(2+1)2=0.

易知％+l≠0,故％=/—,同理可得μ=-^--.

ɔ-zɪɪ5-Z%2

又(5-2xι)(5-2x2)=25-10(x∣+x2)+4%1x2

=25-10[r(>,ι+^2)+8]+4(∕>ι+4)(ty2+4)

所以=—~~~；=1-

2.解(1)由点M到点b的距离比到y轴的距离大p,

得点M到点尸的距离与到直线X=N的距离相等.

由抛物线的定义,可知点M在抛物线C上,所以4=4p,解得P=L

所以抛物线C的方程为)>2=4X.

(2)存在满足题意的见其值为1或-3.

理由如下：

由I'~(4ɪɔʌCn得y2-4my-8"2-20=0.

U-m(y+2)-5=0,

因为/=16川+4(8m+20)>0恒成立,所以直线/与抛物线C恒有两个交点.

设A(XI,yI),8(x2,y2),则yι+>2=4/〃,y∣>2=-4(2/a+5).

+(yι-2)(*-2)

_州)2+：赳+5)_4(2加+5)一所+5

=0,

所以MALMB,即aMAB为直角三角形.

设d为点M到直线/的距离,所以IMAHMBl=IA8R∕=√1+τ∏2.[优+yz^-^y-^2'

4===4-11+m∖∙J16m2+16(2m+5)=16∙11+/?z∣∙(m+I)2+4=64-/2,

√l+m2\

所以(/〃+l)4+4("z+1)2-32=0,

解得(m+l)2=4或("z+l)2=-8(舍).

所以m=1或m=-3.

所以当实数加=1或m=-3时MAHMBl=64√Σ

b=b

「1’解得a

3.(1)解由=1,

b=1,

故双曲线方程为/-V=1.

(2)证明设A(XI,yι),B(x2j2),直线PA的斜率为k,P(m,yo).

则PAyyI=A(XM,联立方程组f；)；王)'

消去可得x2-[Ax+(-Ax∣+γι)]2=l,

整理可⅛(l-A2)x2-2⅛(y∣-fccι)x-(yι-Axι)2-l=0.

因为PA与双曲线相切，

所以Δ=4lc(y]-fccι)2+4(1-F)∙(yι-fccι)2+4(1-Z~)=0,

整理得4(yι-Axi)2+4(1-⅛2)=0.

即k2xl-2kx∖y∖+yf+1-A2=O,

即(ɪi-1)⅛2-2fcr∣yι+(jɪ+1)=0,

因为好一衣=1,所以好-1=光,比+1=后代入可得比K-2xιy次+好=0,即(y∣Z-x∣)2=0,所

以k="

Vi

故PAyyi=Nx-Xi),即y∖y=x∖x-1.

y,ι

同理,切线PB的方程为y2y=x2x-l.

因为P(m,yo)在切线PAFB上,所以有｛；：；：::：：：；：

A,B满足直线方程yoy=mx-L而两点唯一确定一条直线,

故AB:yoy=nu-l,所以当卜一加时,无论yo为何值,等式均成立.

Iy=O

故点，0)恒在直线AB上,故无论P在何处,AB恒过定点,0).

4.(1)解由题意知e=?=Jlf=,则。2=2户.

又椭圆C经过点//(2,1),所以刍+~2~∖∙

ab

联立解得标=6,〃=3,所以椭圆C的方程为<+<=l∙

Oɔ

(2)证明设直线AB的方程为X=my-3,A(xι,yι),B(x2,y2),

,x=Tny-3,

⅛'X2y2联立消去X,得(m2+2)/2.6"?y+3=0,

⅛+τ=1

,

所以/=36nr-12(〃P+2)>0,>1+第=^^2,γιp=m^,2由题意知W均不为1.

设M(XM,0),N(XM0),由H,M,A三点共线知询与丽共线,所以XmXI=(小)(2x”),化简

曰%i÷2y

何XM-----1.

由H,N,B三点共线洞理可得XN=罕X

由两=4所,得(XM+3,0)=%(l,0),即λ=XM+3.

由丽=〃而,同理可得μ=XN+3.

所以工+工=_J__J_=]]=Bi,"=R,

+x+2+x+2,+3

λμXM+3XN+3ly↑,O2y210XrYi+3^2-)2(介1)当

ι-yι十