专题05数列第二讲数列的求和（解密讲义）-2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测

专题05数列第二讲数列的求和01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）02考情分析·解密高考03高频考点·以考定法考点一分组求和法考点二错位相减法考点三裂项相消法考点四奇偶项并项求和04创新好题·分层训练（★精选9道最新名校模拟考试题+8道易错提升）02考情分析·解密高考数列作为高考必考题，高考题型一般作为客观题、解答题出现，数列求和经常在考题中出现。高考要求：掌握等差、等比数列的前n项和公式；掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法。考点考向考题数列求和①分组求和法②错位相减法③裂项相消法2023年全国甲卷·T17，2023年新课标全国Ⅰ卷·T7、T20，2023年新课标全国Ⅱ卷·T8、T18，2022新高考全国I卷·T17，2022年新课标全国Ⅱ卷·T17、T3，2022年高考全国甲卷数学·T17，2021年新课标全国Ⅰ卷·T16、T17，2021年新高考全国Ⅱ卷T12、T17，2020年高考课标ⅢT17卷，2020·全国Ⅱ·理·T4、T6，2019·全国Ⅰ·T9考点一分组求和法典例01【2023年新高考2卷18】已知an为等差数列，bn=an−6,n为奇数2an,n为偶数，记S(1)求an(2)证明：当n>5时，T【答案】(1)an【解析】（1）设等差数列an的公差为d，而b则b1于是S4=4a1所以数列an的通项公式是a（2）由（1）知，Sn=n当n为偶数时，Tn当n>5时，Tn−当n为奇数时，若n≥3，则=32n2+52当n>5时，Tn−Sn所以当n>5时，T数列通项为分段型，注意对n奇偶性的讨论分析预计2024年高考仍会从分组求和的方向进行命制.1．（2022·安徽·高三期末（理））已知数列的前n项和．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：当时，，当时，，当时，上式也成立，所以；(2)解：，设数列的前项和为，则.2．（2020届陕西省西安中学高三第一次模拟）已知数列的前n项和为，且n、、成等差数列，.（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值.【答案】（1）证明见解析，；（2）11202.【解析】（1）证明：因为n，，成等差数列，所以，①所以.②①－②，得，所以.又当时，，所以，所以，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即.（2）根据（1）求解知，，，所以，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列.又因为，，，，，，，，，，，所以.考点二错位相减法典例01(2023年全国甲卷理科·第17题)设为数列的前n项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【解析】(1)因为，当时，，即；当时，，即，当时，，所以，化简得：，当时，，即，当时都满足上式，所以．(2)因为，所以，，两式相减得，，，即，．典例02(2021年高考浙江卷·第20题)已知数列前n项和为，，且．(1)求数列通项；(2)设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求的范围．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)当时，，，当时，由①，得②，①②得，又是首项为，公比为的等比数列，；(2)由，得，所以，，两式相减得，所以，由得恒成立，即恒成立，时不等式恒成立；时，，得；时，，得；所以．（1）处理错位相减法求数列和，注意相减之后的项数；（2）注意代入n=1检验结果是否符合预计2024年高考如果考查数列求和仍会从错位相减法的方向进行命制1．(江苏省南京市临江高级中学2023届高三下学期二模拉练)已知数列an的前n项和为Sn，满足(1)求a2,a(2)令bn=12n【答案】(1)a2=3，(2)T【解析】（1）∵a∴当n=2时，a2=3；当∵n−∴a∴=1又∵（2）由（1）得bn∴T12T=122．（江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研（一））已知等比数列an的各项均为正数，且a2+(1)求an(2)数列bn满足bn=nan，求【答案】(1)an(2)Tn【解析】（1）设数列an的公比为qq>0，则a1q+q所以an=3n−1，即（2）方法一：由题可知bn则Tn13所以23∴T方法二：bn所以T=考点三裂项相消法典例01(2022新高考全国I卷·第17题)记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．【答案】(1)(2)见解析【解析】(1)∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，∴,∴,∴当时，，∴,整理得：,即,∴，显然对于也成立，∴的通项公式；(2)∴典例02(2020天津高考·第19题)已知为等差数列，为等比数列，．(Ⅰ)求和的通项公式；(Ⅱ)记的前项和为，求证：；(Ⅲ)对任意的正整数，设求数列的前项和．【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)．【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为．由，，可得．从而的通项公式为．由，又，可得，解得，从而的通项公式为．(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，故，，从而，所以．(Ⅲ)当为奇数时，，当为偶数时，，对任意的正整数，有，和①由①得②由①②得，由于，从而得：．因此，．所以，数列的前项和为．预计2024年高考如果考查数列求和仍会从裂项相消法的方向进行命制1.（江苏省南京市2023届高三二模）已知数列an的前n项和为Sn，a1=2(1)求数列an(2)求证：1a【答案】(1)an=【解析】（1）n−2Sn+整理得到nSn+1故Snnn+1是常数列，故当n≥2时，a验证n=1时满足，故（2）1a故1<12.【江苏省泰州市2023届高三下学期第一次调研测试】在①S1,S2,已知数列an是公差不为0的等差数列，其前n项和为S(1)求an(2)求1a注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.【答案】(1)选①②，①③或②③均可得an=4【解析】（1）若选①②，设an公差为d则a1解得：a1∴a选①③，设an公差为da1解得：a1∴a选②③，设an公差为da1解得：a1∴a1a∴=1（★精选9道最新名校模拟考试题+8道易错提升）A·A·新题速递1．（2023·高三校考）已知数列满足，，，为数列的前项和，则下列说法不正确的有（）A． B．C． D．的最大值为【答案】B【解析】对于A，当为奇数时，，又，，则，A正确；对于B，当为偶数时，，又，；由A知：当为奇数时，；则当为偶数时，；当为奇数时，；，B错误；对于C，，C正确；对于D，当时，，当为偶数时，；当为奇数时，；当时，，当为偶数时，；当为奇数时，；综上所述：，D正确.故选：B2．（2023秋·山东聊城·高三期中统测改编）已知数列的前项和为，，，，下列说法不正确的是（）A. B.为常数列C. D.【答案】C【解析】，则，整理得，即，故是常数列，所以，即，故D选项正确.当时，，经检验时满足，故.对于A选项，由，知，故A选项正确.对于B选项，由，知，所以为常数列，故B选项正确.对于C选项，由，知，故C选项错误.故选:C3．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考）已知数列满足：.则的前60项的和为（）A．1240B．1830C．2520D．2760【答案】D【解析】由，故，，，，….故，，，….从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于3；，，，….从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以13为首项，以24为公差的等差数列.故.故选：D.4.（2023秋·高三校考）已知数列的前n项和为，且，记数列的前n项和为若对于任意的，不等式恒成立，则实数t的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】对于，当n=1时，当n≥2时，经检验：对n=1也成立，∴所以∴，两式相减得，，，所以所以，令

，，故当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，t的最小值为．故选：B．5．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学月考）（多选）已知数列满足，数列满足，记数列的前项和为，则下列结论正确的是（）A.数列是等差数列 B.C. D.【答案】ABC【解析】因为，所以，所以，且，所以数列是等差数列，且该数列的首项为1，公差为，所以，所以选项AB正确；因为，所以，所以，所以，所以选项C正确，D错误．故选：ABC．6．（2023·河南安阳·安阳一中校联考）在数列中，且，______．【答案】2600【解析】当为奇数，即时，设，，，则，即数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，故；当为偶数，即时，设，，，则，显然数列为常数列，则，即；.故答案为：26007.（2023秋·高三校考）若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”且通项公式为，设数列的前项和为，若对一切恒成立，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】由题意，数列的前项和为，由“均值数列”的定义可得，所以，当时，；当时，，也满足，所以，所以，所以，又对一切恒成立，所以，整理得，解得或.即实数的取值范围为.故答案为：8.（广东省执信、深外、育才等学校2024届高三上学期12月联考数学试题）已知正项数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，若数列满足，求的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，且，则，可知数列为常数列，且，则，即，当时，，且也符合上式，所以.（2）由（1）可得，则，设的前n项和为，则，所以的前n项和为.9.（2022·江苏南通·模拟预测）已知正项数列{}中，，是其前n项和，且满足(1)求数列{}的通项公式：(2)已知数列{}满足，设数列{}的前n项和为，求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】(1)正项数列{}，，满足，所以，所以数列{}是以1为首项1为公差的等差数列，所以，所以，当时，，当时也成立，所以.(2)因为所以，所以当为奇数时，；当为偶数时，，由{}递增，得，所以的最小值为.BB·易错提升1．（2023·湖南郴州·统考三模）已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，则，所以，所以.故选：C.2．（2023·广东广州·统考一模）若数列满足，则的前2022项和为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】当为奇数时，，当为偶数时，，.故选：D3.（2023秋·江苏南通海安·高三期中统测）（多选）已知数列满足，且，则（）A.为递增数列B.C.D.【答案】ABC【解析】显然，而，则，，又，即有与同号，而，则，对于A，，即，为递增数列，A正确；对于B，，则，因此，B正确；对于C，由，得，即，因此，C正确；对于D，，因此（当且仅当时取等号），所以，D错误.故选：ABC4.（2023秋·高三校考）设等比数列的前项和为，公比，,则数列的前项和为为.【答案】【解析】，解得，；.故答案为：5.（2023秋·高三校考）在数列中，已知，且，则数列的前n项和.【答案】【解析】依题意，，所以.故答案为：6.（2023秋·高三校考）已知数列的前项即为，且，若对任意，都有，则的取值范围是.【答案】【解析】数列的前项即为，且，，两式相减可得：，.，单调递增，即.，，.又若对任意，都有，即，.故答案为：.7．（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考开学考试）已知数列的前项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）因为，则化为，即，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，解得，当时，，不满足上式，所以.（2）结合（1）得，，所以，因为，所以．8.（2022·天津三中三模）已知在各项均不相等的等差数列中，，且、、成等比数列，数列中，，，.(1)求的通项公式及其前项和；(2)求证：是等比数列，并求的通项公式；(3)设求数列的前项的和.【答案】(1)，(2)证明见解析，(3)【解析】(1)解：设等差数