湖北省部分学校2023-2024学年度高二上学期期末数学试卷答案

高二数学参考答案选填答案速览：题号12345678答案AADDBBDC题号9101112答案ABDACDABDBD13.14.15.16.详解：1．A【详解】因为，所以，使得，即对应坐标成比例，即，则，，所以.故选：A．2．A【详解】如图所示，在三棱柱中，，，依题意，故选：A.3．D【详解】向量，，，，向量在向量方向上的投影向量的模为.故选：D.4．D【详解】因为空间三点、、，则，，所以，，，，所以，，因为，则，所以，以、为邻边的平行四边形的面积为.故选：D.5．B【详解】圆:可化为表示点到点的距离的平方,因为，所以的最小值为.故选：B.6．B【详解】结合题意：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，所以圆心距为，而，因为两圆相外切，所以，即.故选：B.7．D【详解】直线变为，对于A，直线的斜率为，所以倾斜角为，A错误，对于B，令，则，所以x轴上的截距为，B错误，对于C，的斜截式方程为，斜率为，由于，所以不垂直，故C错误，对于D，直线的斜率为，所以过与直线平行的直线方程是，即为，故D正确，故选：D8．C【详解】由题意得，即双曲线的右准线.如图，过，作右准线的垂线，垂足为，，轴与右准线的交点为.因为，所以是的中点，,由双曲线第二定义可得，可得，又由相似三角形可得，所以，所以，因为，所以，，，又由相似三角形可得，因为，，，所以综上可化为，解得，所以.故选：C.9．ABD【详解】因为椭圆，所以，则是其右焦点，对于A，设椭圆的左焦点为，因为过原点，所以由椭圆的对称性易知四边形是平行四边形，则，故A正确；对于B，因为，则，又，所以，当在线段与椭圆的交点位置时，等号成立，故B正确；对于C，当轴，点为椭圆的右顶点时，满足，此时，但，故C错误；对于D，因为在椭圆上，所以，，所以，同理：，而由，可知，所以由，得，则，故可设的中点坐标为，又在椭圆上，所以，，两式相减，得，所以.所以直线的斜率为，则直线的方程为，令，得，即，所以直线的斜率，故D正确.故选：ABD.10．ACD【详解】抛物线C：（）的焦点为，焦点在直线上，则，解得，故A正确；抛物线C的方程为，焦点，准线为，由，消去并整理得，，设，则，，则，故B错误；由可知在第一象限，知，得，由方程，解得，因此，则，故C正确；线段的中点的横坐标，则线段中点到准线的距离为，因此准线与以为直径的圆相切，故D正确．．11．ABD【详解】在正方体中，因为平面，平面，所以平面平面，故A正确；连接，由平面，平面，得，故在中，当点与重合时，取最小值，故B正确；如图，以、、所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，设，，则，，假设存在点，使直线与所成角的余弦值为，则，解得（舍去），或，此时点是中点，，故C错误；由且平面，平面，知平面，则到平面的距离，即为到平面的距离；是的中点，故，，，，设平面的法向量为，则，即，取，则，，故，所以点到平面的距离为，即到平面的距离为，D正确．故选：ABD12．BD【详解】由题意，得，所以，即观测点之间的距离是，故A错误；设圆的方程为，因为圆经过三点，所以，解得，所以圆的方程为，故B正确；小汽车行驶路线所在直线的斜率为，又点的坐标是，所以小汽车行驶路线所在直线的方程为，故C错误；圆化成标准方程为，圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，即小汽车会进入安全预警区，故D正确.故选：BD.13．【详解】方法一：设所求圆的标准方程为，由题意得:，解得：故所求圆的方程为，即.方法二：线段的中点坐标为，即，直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为，所以线段的垂直平分线方程为，即，由几何性质可知：线段的垂直平分线与的交点为圆心，联立，得交点坐标，又点到点的距离，即半径为，所以圆的方程为，即.故答案为：14．【详解】直线的方程可化为，令，解得，所以直线过定点，当直线经过时，此时，即，故，当直线与垂直时，此时取最大值，下面证明：当与直线垂直时，记直线为，当不与直线垂直且直线不经过时，记直线为，过作交于点，如下图所示，由图可知：为直角三角形且为斜边，所以，所以取最大值时，与直线垂直，故，但此时的方程为，即为，此时无论取何值都无法满足要求，故取不到，所以，故答案为：.15．/【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，则，令，则，故平面的法向量为，又，则点到平面的距离为.故答案为：【详解】由题意得，，又因为点在内，所以，解得，而，不妨设，则，所以.故答案为：.17．(1)(2)【详解】（1）联立，解得，故半径为，故圆C的标准方程为；5分（2）设圆心到直线的距离为，则由垂径定理得，解得，即，解得，8分故直线l的方程为，即.10分18．(1)(2)、【详解】（1）直线的斜率为，从而的直线方程为：，即，联立方程与中线所在直线方程，可得，故点的坐标为.6分（2）因为为边上的高，所以的直线方程为：.设点的坐标为，由点在直线上可得；的中点的坐标为，点的坐标满足直线方程，即，故可得，即点坐标为.则直线的斜率为，故直线方程为：.12分19．(1)证明见解析；(2)【详解】（1）连接，因为底面是边长为2的正方形，所以，又因为，，所以，所以，点为线段中点，所以，在中，，，所以，则，又，平面，平面，所以平面.6分（2）【方法一】：由题知正方形中，平面，所以建系如图所示，则，则，，设面的法向量为，面的法向量为，则，取，则取，则.设二面角大小为，则，所以二面角的正弦值为.12分【方法二】：以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设得，，，，，，，，．

设是平面的法向量，则，即，可取．设是平面的法向量，则，即，可取．

所以．因此二面角的正弦值为．

12分

20．(1)证明见解析(2)【详解】（1）由，，故，又平面，、平面，故、，故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中轴，由题意可得、、、、，则，，，，，由为的中点，故，则，，则，故，故；6分（2）由（1）知、、，且、，故，设平面与平面的法向量分别为、，则有、，即、，不妨分别取，，则可得、，则，故，即平面与平面所成夹角为. 12分21．(1)(2)证明见详解【详解】（1）椭圆长轴长为，所以，，因为为椭圆上一点，所以，又，所以，因为，所以，即，解得，由，知，所以椭圆的方程.5分（2）设，，，当直线的斜率不存在时，与椭圆有且只有一个交点，不合题意，当直线的斜率存在时，设的方程为，所以联立方程，整理得，所以，，由韦达定理得，，9分，直线，的斜率之和为定值.12分22．(1)(2)证明见解析【详解】（1）由题知解得.故椭圆的方程为.4分（2）方法一：显然直线不能水平，故设直线方程为，设，由得，令得，.所以，令，得.故直线方程为，直线方程为.由得，将中换