高中数学北师大版必修二课时分层作业2-2-3第2课时圆与圆的位置关系

课时分层作业二十五圆与圆的位置关系一、选择题(每小题5分，共30分)1.(2018·重庆高二检测)圆O1：x2+y22x=0和圆O2：x2+y24y=0的位置关系是 ()A.相离 B.相交 C.外切 D.内切【解析】选B.圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径长r1=1，圆O2的圆心坐标为(0，2)，半径长r2=2，故两圆的圆心距d=QUOTE，而r2r1=1，r1+r2=3，则有r2r1<d<r1+r2，故两圆相交.2.已知圆C1，C2相切，圆心距为10，其中圆C1的半径为4，则圆C2的半径为 ()A.6或14 B.10 C.14 D.不确定【解析】选A.设圆C2的半径为r，由题意知，r+4=10或10=|r4|，所以r=6或r=14.3.圆x2+y2=1与x2+y22x2y=0的位置关系是 ()A.相交 B.相离 C.内含 D.外切【解析】选A.圆心距d=QUOTE=QUOTE<1+QUOTE，且d>QUOTE1，故两圆相交.4.(2018·石家庄高二检测)设圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|等于 ()A.4 B.4QUOTE C.8 D.8QUOTE【解析】选C.因为圆C1，C2和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，所以两圆都在第一象限内，设圆心坐标为(a，a)，则|a|=QUOTE，解得a=5+2QUOTE或a=52QUOTE，可取C1(5+2QUOTE，5+2QUOTE)，C2(52QUOTE，52QUOTE)，故|C1C2|=QUOTE=8，故选C.5.圆C1：x2+y2+2x+2y2=0与圆C2：x2+y24x2y+4=0的公切线有 ()A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【解析】选D.圆C1：(x+1)2+(y+1)2=4，所以圆心C1(1，1)，半径r1=2；圆C2：(x2)2+(y1)2=1，所以圆心C2(2，1)，半径r2=1.所以两圆心的距离d=QUOTE=QUOTE，r1+r2=3，所以d>r1+r2，所以两圆外离，所以两圆有4条公切线.6.(2015·山东高考)一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x+3)2+(y2)2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为 ()A.QUOTE或QUOTE B.QUOTE或QUOTEC.QUOTE或QUOTE D.QUOTE或QUOTE【解析】选D.反射光线过点(2，3)，设反射光线所在直线方程为y+3=k(x2)，即kxy2k3=0，反射光线与圆相切，圆心(3，2)到直线的距离等于半径1，即QUOTE=1，解得k=QUOTE或k=QUOTE.二、填空题(每小题5分，共10分)7.过两圆(x+3)2+(y+2)2=13与(x+2)2+(y+1)2=9的交点的直线方程是__________________.

【解析】圆(x+3)2+(y+2)2=13可化为x2+y2+6x+4y=0，圆(x+2)2+(y+1)2=9可化为x2+y2+4x+2y4=0，两圆的方程相减可得x+y+2=0，即为过两圆交点的直线方程.答案：x+y+2=08.圆x2+y24=0与圆x2+y24x+4y12=0的公共弦长为_________.

【解析】由QUOTE得两圆公共弦所在直线为xy+2=0.又圆x2+y2=4的圆心到直线xy+2=0的距离为QUOTE=QUOTE.由勾股定理得弦长的一半为QUOTE=QUOTE，所以所求弦长为2QUOTE.答案：2QUOTE三、解答题(每小题10分，共20分)9.求经过直线x=2与已知圆x2+y2+2x4y11=0的交点的所有圆中，面积最小的圆的方程.【解析】解方程组QUOTE解得两交点的坐标为A(2，2+QUOTE)，B(2，2QUOTE).从而圆心C的坐标为(2，2).半径r=QUOTE·|AB|=QUOTE|2+QUOTE(2QUOTE)|=QUOTE.因此，所求圆的方程为(x+2)2+(y2)2=15.【一题多解】本题还可用如下方法求解：方法一：直线x=2与圆x2+y2+2x4y11=0的交点A，B的横坐标都为2，从而圆心C的横坐标为2，设A，B的纵坐标分别为y1，y2，把直线方程代入圆方程，整理得y24y11=0.则y1+y2=4，y1y2=11.所以圆心的纵坐标为QUOTE=2.半径r=QUOTE|y2y1|=QUOTE=QUOTE=QUOTE，所以所求圆的方程为(x+2)2+(y2)2=15.方法二：因为直线x+2=0和圆x2+y2+2x4y11=0相交，故可设过交点的圆的方程为x2+y2+2x4y11+λ(x+2)=0(λ≠1)，即x2+(λ+2)x+y24y+2λ11=0.所以半径r=QUOTE=QUOTE要使圆面积最小，只需半径r最小.当λ=2时，r最小值为QUOTE，所以所求圆的方程为(x+2)2+(y2)2=15.10.若☉O：x2+y2=5与☉O1：(xm)2+y2=20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，求线段AB的长.【解析】☉O1与☉O在A处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，所以O1A⊥OA.又因为|OA|=QUOTE，|O1A|=2QUOTE，所以|OO1|=5.又A，B关于OO1所在直线对称，所以AB长为Rt△OAO1斜边上的高的2倍，所以|AB|=2×QUOTE=4.一、选择题(每小题5分，共25分)1.设r>0，两圆C1：(x1)2+(y+3)2=r2与C2：x2+y2=16不可能 ()A.相切 B.相交C.内切或内含或相交 D.外切或相离【解析】选D.圆C1的圆心为(1，3)，圆C2的圆心为(0，0)，圆心距d=QUOTE，于是d=QUOTE<4+r，但可能有d=|4r|或d<|4r|，故两圆不可能外切或相离，但可能相交、内切、内含.2.圆(x4)2+y2=9和圆x2+(y3)2=4的公切线有 ()A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【解析】选C.两圆的圆心分别为(4，0)，(0，3)，半径分别为3，2，所以两圆的圆心距为QUOTE=5=3+2，所以两圆相外切，所以公切线有3条.【补偿训练】圆x2+y2+4x4y+7=0与圆x2+y24x+10y+13=0的位置关系是 ()A.相离 B.相交C.相切 D.相交或相切【解析】选A.两圆的圆心距d=QUOTE=QUOTE，半径r1=1，r2=4，所以d>r1+r2，所以两圆相离.3.(2018·湖南六校联考)已知圆C1：x2+y24x+2y+5a2=0与圆C2：x2+y2(2b10)x2by10b+16=0相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且满足QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE，则b= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.两圆公共弦AB所在的直线方程为(2b14)x+(2+2b)y+5a2+10b16=0，圆C1的圆心C1(2，1)，因为QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE，所以|OA|=|OB|(O为坐标原点)，故OC1⊥AB，QUOTE·kAB=1，得QUOTE×QUOTE=1，得b=QUOTE.4.(2016·山东高考)已知圆M：x2+y22ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2QUOTE，则圆M与圆N：(x1)2+(y1)2=1的位置关系是 ()A.内切 B.相交 C.外切 D.相离【解析】选B.圆M的标准方程为x2+(ya)2=a2(a>0)，圆心M(0，a)，半径r=a，因为截直线x+y=0所得线段的长度是2QUOTE，所以QUOTE+QUOTE=a2，解得a=2，又圆N的圆心N(1，1)，半径R=1，所以|MN|=QUOTE=QUOTE，|Rr|=1，R+r=3，所以|Rr|<|MN|<R+r，所以圆M与圆N相交.5.半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2+(y3)2=1内切，则此圆的方程是 ()A.(x4)2+(y6)2=6 B.(x±4)2+(y6)2=6C.(x4)2+(y6)2=36 D.(x±4)2+(y6)2=36【解析】选D.设圆心坐标为(a，b)，由所求圆与x轴相切，且与圆x2+(y3)2=1相内切，可知所求圆的圆心必在x轴的上方，且b=6，即圆心为(a，6).由两圆内切，可得QUOTE=61=5，所以a=±4.所以所求圆的方程为(x±4)2+(y6)2=36.【补偿训练】点M在圆C1：(x+3)2+(y1)2=4上，点N在圆C2：(x1)2+(y+2)2=4上，则MN的最大值是 ()A.5 B.7 C.9 D.11【解析】选C.C1为(x+3)2+(y1)2=4，C2为(x1)2+(y+2)2=4，所以圆心分别为(3，1)，(1，2)，所以两圆圆心距为5.又两圆半径分别为2，2，所以两圆外离，所以MN的最大值是5+2+2=9.二、填空题(每小题5分，共20分)6.(2018·沭阳高二检测)已知圆C1：(x1)2+(y+1)2=4与圆C2：(x+1)2+(y1)2=2，则两圆公共弦所在的直线方程为_________.

【解析】两圆方程相减，运用平方差公式，得(x1)2(x+1)2+(y+1)2(y1)2=2，即2x×(2)+2y×2=2，即2x2y+1=0.答案：2x2y+1=07.与直线x+y2=0和曲线x2+y212x12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是__________________.

【解析】曲线化为(x6)2+(y6)2=18，其圆心C1(6，6)到直线x+y2=0的距离为d=QUOTE=5QUOTE.过点C1且垂直于x+y2=0的直线为y6=x6，即y=x，所以所求的最小圆的圆心C2在直线y=x上，如图所示，圆心C2到直线x+y2=0的距离为QUOTE=QUOTE，则圆C2的半径长为QUOTE.设C2的坐标为(x0，x0)，则QUOTE=QUOTE，解得x0=2(x0=0舍去)，所以圆心C2的坐标为(2，2)，所以所求圆的标准方程为(x2)2+(y2)2=2.答案：(x2)2+(y2)2=2【补偿训练】(2017·大连高一检测)我们把圆心在一条直线上且相邻两圆彼此外切的一组圆叫做“串圆”.在如图所示的“串圆”中，圆C1和圆C3的方程分别为x2+y2=1和(x3)2+(y4)2=1，则圆C2的方程为_________.

【解析】由题意知：C1(0，0)，C3(3，4)，所以|C1C3|=5，又因为r1=r3=1，所以r2=QUOTE=QUOTE.又因为|C1C2|=1+QUOTE=QUOTE，所以C2QUOTE.所以圆C2的方程为QUOTE+(y2)2=QUOTE.答案：QUOTE+(y2)2=QUOTE8.点P在圆C1：x2+y28x4y+11=0上，点Q在圆C2：x2+y2+4x+2y+1=0上，则|PQ|的最小值是_________.

【解析】把圆C1、圆C2的方程都化成标准方程得(x4)2+(y2)2=9，(x+2)2+(y+1)2=4.圆C1的圆心坐标是(4，2)，半径长是3；圆C2的圆心坐标是(2，1)，半径是2.圆心距d=QUOTE=3QUOTE.所以，|PQ|的最小值是3QUOTE5.答案：3QUOTE59.若点A(1，0)和点B(4，0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有_________条.

【解析】如图，分别以A，B为圆心，1，2为半径作圆.由已知，直线l是圆A的切线，A到l的距离为1，直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线).答案：3三、解答题(每小题10分，共30分)10.已知圆C1：x2+y210x10y=0和圆C2：x2+y2+6x+2y40=0相交于A，B两点，求公共弦AB的长.【解题指南】联立两圆的方程，求出两圆的交点，利用两点间的距离公式求出公共弦长.【解析】由两圆方程相减得公共弦AB所在直线的方程为：4x+3y10=0.由QUOTE解得QUOTE或QUOTE令A(2，6)，B(4，2).故|AB|=QUOTE=10.【一题多解】由原题解法，先求出公共弦所在直线l的方程为4x+3y10=0.过C1作C1D⊥AB于D，如图所示