山东中学联盟2023-2024学年高三12月全省大联考数学试题(含答案)

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山东中学联盟2021级高三12月全省大联考

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。

2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅管把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合要求.）

1.设集合4={》［1＜》＜4},B=|xy=ln（x2-2x-3）1,则AB=（）

A.（1,4）B.（3,4）C.（1,3）D.（1,2）

2.复数Z=（i为虚数单位）的共辗复数在复平面内对应的点所在象限为（）

2+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.若点A,B,C不共线，则“石A与的夹角为钝角”是“闻+叫＜*|”的（）

A.充分不必要条件B.充分必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

4.地震级别常用里氏级/表示，它与地震强度E满足的关系为M=lg£如中国汶川2008年地震是8.0级，中

国玉树2010年地震是7.1级，则2008年汶川大地震强度是玉树2010年地震强度的几倍（参考数值lg2。0.3）

A.3B.6C.8D.9

5.调和信号是指频率恒定的一种信号，三角函数性质可以表达调和信号的周期性，指数函数可用来描述信号的

衰减.已知一个调和信号的函数为/（力=包芹，它的图象大致为（）

1

223223

A.—-—B.—C.D.--

25252525

•Xy

7.已知双曲线5-万=1(。>0)的右焦点到其一条渐近线的距离等于V2,抛物线y2=2Px(p>0)的焦点

与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线4:4%-3y+8=0和4：%=—3的距离之和的最小值为

()

A.HB.HC.更D.4

5555

8.已知函数/(x)=e2\g(%)=%+l,对任意％GR,存在&e(-1,-too)，使〃菁)=8(为)成立,则%?一玉

的最小值为()

A.-lln2B.lC.--+-ln2D.-2+ln2

222

二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分)

17

9.已知一+—=l(a>0,>>0),则下列结论正确的是()

ab

A.ab的最小值为8B.a+Z?的最小值为3+2无

C.2+J■的最大值为2D.±+二的最小值为工

aba1b22

10.已知函数/(x)=Asin(0x+°)A>0,6y>0,|(3|<—的部分图象如图所示，下列结论正确的是()

\2)

B.函数/("在:』的值域为卜2,石］

「73~

C.函数“X)在单调递减

D.要得到函数g(x)=Acos(0X+0)的图象，只需将函数/⑴的图象向左平移:个单位

2

11.如图，已知菱形A3CD的边长为2,ZADC=60°,将△ACD沿AC翻折为三棱锥P-ABC,点P为

翻折过程中点。的位置，则下列结论正确的是（）

A.无论点P在何位置，总有AC±PD

B.点P存在两个位翼，使得匕=1成立

C.当PB=«时,边AD旋转所形成的曲面的面积为

2

D.当PB=2时，M为PB上一点,贝U|4W|+|CM的最小值为20

12.已知函数f(%)与g(%)的定义域均为7?,〃%+l)+g(i-2)=3,/(x-l)-g(-%)=l,M^(-1)=2,

g（x—1）为偶函数，下列结论正确的是（）

A./（X）的周期为4B.g(3)=2

20242024

C.£g优)=4048D.£〃女)=4048

k=lk=\

三、填空题（每小题5分，共20分）

logx,x>Q

13.已知函数〃x）=<2

-sinx,x<0

14.已知圆。上的点A（2,0）关于直线x+3y-6=0的对称点仍然在这个圆上，且圆。的圆心在x轴上，则圆

C的标准方程是.

15.米斗是我国古代称量粮食的量器，是官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具，其外形近似一个正四棱台.

米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化的味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品.己

知一个斗型工艺品上下底面边长分别为4和2,侧棱长为2点，则其外接球的体积为.

3

16.已知数列｛纥｝满足q=3,%+i=a；—%+l（“eN*）,数列上］的前〃项和为s“，设xeR,［九|表示

2［an］

不大于、的最大整数.则［S2023］=.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知/（x）=V3sin®xcos（yx-cos2tyx（tw>0）的最小正周期为小

（2万、

（1）求/一丁的值；

\3J

（2）在△ABC中内角，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=3c,b=-J2,f（B）=L,求c的值.

18.（本小题满分12分）

已知数列｛4｝是等差数列，其前”和为s“，4+%=10，$0=110,数列也｝的前m项和为7；满足

31=2〃+1.

（1）求数列｛%｝,也｝的通项公式；

（2）把数列,“｝和数列｛〃,｝中的相同项按从小到大的顺序组成新数列kJ,是数列｛j｝的前”项和，求

Mn•

19.（本小题满分12分）

设函数/（X）=e*_依_1

（1）当a=l时，求曲线/（%）在x=l处的切线方程.

（2）讨论函数/（X）在区间［0』］上零点的个数.

20.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥尸一A5CD中，侧面P4O1底面A3CD,侧棱2=尸。=8，底面A3CD为直角梯形，

其中3C〃AD,AB1AD,AD=2AB=2BC=2,PF^-FD.

2

（1）证明：PB〃平面AC尸;

4

(2)在线段PB上是否存在一点H,使得CH与平面ACF所成角的余弦值为胆？若存在，求出线段尸H

6

的长度；若不存在，请说明理由.

21.(本小题满分12分)

已知圆C:/+；/+2缶-10=0,点尸是圆c上的动点，点尸,0)是圆c内一点，线段尸产的垂直平

分线交CP于点。，当点尸在圆C上运动时点。的轨迹为E.

(1)求E的方程；

(2)设M,N是曲线E上的两点，直线脑V与曲线％2+,2="(％>0)相切证明：当|加卜石时，M,N,

厂三点共线。

22.(本小题满分12分)

已知函数〃x)=x+辿竺，aeR.

(1)当。=一；时，求函数/("的极值；

⑵若了(%)有两个极值点％1,%，证明：/(石)+/(%2)>4(再+九2)

山东中学联盟2021级高三12月全省大联考

数学答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1-5：BABCB6-8：DDC

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

9.ABD10.BCDH.AC12.ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

40710

13.-g14.(无一6)~+9=1615.------n16.1

3

四、解答题：本题共6小题，共70分.

17.(10分)解：⑴/(x)=73sin(yxcoscox-cos20%

1

—sin2ox--cos2ox--=sin

2222

由函数了(%)的最小正周期为小即也=万，得。=1,

2co

(

71

/(x)=sinlx--=-1

6J23)

5

1(

(2)由/(5)=工1得，sin2B--=1,

2k6

角8为三角形A5C的内角，.[3=工

3

222

l1,Da+c-b

a=3c，b=V2,cosB=—，由余弦定理cosB=-

22ac

彳J.(3。＞+。2一(拒『22.c_旧

倚二■一-------，即C=一，…c_

22x3cxc77

18.(12分)解：(1)设等差数列｛4｝的公差为d,

则a,+%=2。]+3d=10,Si。=10%+45d=110

解得d=2,4=2,

=q+(〃一l)d=2+2(〃-l)=2〃.

因为37；=2〃+1①

所以当时34_]=2〃i+l②

①一②可得，＞二一2“1

当场=1时，〃=L

；数列也｝是1为首项，-2为公比的等比数列。

所以包=(-2广,

即％=2"，d=(—2)"T

(2)由⑴知道数列｛aj和数列也｝的相同项即为数列也｝的所有大于等于3的奇数项,

即是：22,24,26,28,210,2匕…，即q,=2?"=4",

+1

4(1—4")4"-4

所以7；=」——L=±_1

"1-43

19.(12分)解:(1)因为/(%)=*—%—1,所以/'(%)=/—1,则广(l)=e—l,y(l)=e-2

所以,切线方程为y_(e_2)=(e_0(%_l)

6

即y=(e-l)x-l

(2)由⑴知，f'(x)=ex-a.

①当aWl时，/(%)在区间［0,1］上单调递增且/(0)=0,所以/⑴在区间［0』上有一个零点.

②当aNe时，/(%)在区间［0,1］上单调递减且/(0)=0,所以/⑴在区间［0,1］上有一个零点.

③当l<a<e时，/(%)在区间［0,Ina］上单调递减，在(lna,l］上单调递增，而/(l)=e—a—1.

当e—a—120,即l<aWe—1时，/(%)在区间［0,1］上有两个零点.

当e—a—l<0,即e-l<a<e时，/(%)在区间［0,1］上有一个零点.

综上可知，当aWl或a>e—1时，/(x)在［0,1］上有一个零点，

当l<a〈e-1时，/(x)在区间［0,1］上有两个零点.

20.(12分)解：(1)连接60交AC于M,

2FD2

BMPF:.PB//FM,

MDFD

又R0u平面AC/，PBa平面ACV,:.PB〃平面AC尸.

V30

(2)设线段四上存在一点“，使得C”与平面ACF所成角的余弦值为-

即CH与平面ACF所成角的正弦值为

设P"=4P3(0W/lWl),取AD中点O,连接OC,OP,

PA=PD,:.POLAD,

侧面底面ABC。，侧面PA。1底面ABCD=AD,POu侧面A4Q,

，PO_L底面A8cD,

BC//AD,AB1AD,AD=2AB=2BC=2,COVAD,

以。为坐标原点，分别以OC,OD,OP所在直线为x,»z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

7

Az

(i2

则。(1,0,0),A(O,-1,O),F0,-,-P(0,0,l),B(l,-l,o).

\JJ

-(42、

则AC=(1,LO),AF=0,-,-

\33/

设平面ACF的一个法向量为n=(x,y,z),

n-AC=x+y=0

则《42，令y=l，则x=—l，z=-2,

n-AF=—y+—z=0

I33

；平面ACF的一个法向量为〃=(—1,1,—2),

又PB=(1,-1,-1),:.PH=A(1,-1,-1)=(/t,—4,—2),

又CP=(—1,0,1)，：.CH=CP+PH,

设CH与平面ACF所成角仇

|1—A—A+2A—2|-^6

222

A/6X^(A-1)+2+(1-2)6，

整理得3^2—42+1=0,解得；1=1或7=',

3

当4=1时，PH=PB=V12+12+12=73,

当X=J_时，PH=OB=兄,

333

故在线段尸8上存在一点使得CH与平面ACV所成角的余弦值为胆，PH=后或PH=f.

63

21.(12分)解：(1)由％2+_/+2&%-10=0,得(X+&)+/=12,

故C(—无,0),半径。。=2后

8

由题意知，\Qp\=\QF\

.■.\QC\+\QF\=|QC|+|QP|=26>20

.•.对。的轨迹是以c、尸为焦点的椭圆.

fV2

设椭圆方程为/+R=l(〃>b>0)

则U—,c-yf29b—1

X2,

所以椭圆方程为了+y=1；

(2)由(1)得，曲线为f+j?=](%>()),

由题意可知直线MN的斜率存在且不为0,

由对称性可设直线脑V:y="+图(碗<0)

由直线MN与曲线f+y2=i(%>o)相切可得所以m2=犷+1,

y=kx+m

可得(1+3/)尤2+65a+3加2-3=0,

联立，龙221

---}-y=1

I3J

3m2-3

所以髭+%=--驷7，xrx2

1+3k1+3产

(6km3m2-3

x2=J1+左2

1+3已l+3k2

化简得3(1—1)2=0,所以左=±1,

k=l左=T

所以厂或<广，所以直线MN:y=x-&或y=—x+

m=-y/lm=yl2

所以直线脑V过点尸(虚,0卜

所以M,N,尸三点共线.

liux"+lux—1

22.(12分)解：(1)当°=一!■时，函数/(%)=X----(x〉0)n/'(x)=

xX2

易知g(x)=V+Inx—1在定义域上单调递增，且g(1)=0,

9

所以当xe(O,l)时，g(x)<0=>/(x)<0,即此时/(%)单调递减,

当时，g(x)>0n/'(x)>0,即此时/(x)单调递增，

故/(“在X=1时取得极小值，/(1)=1;

„/、2aliu、x2-2cAnx+2a

(2)由/(x)=x+二(%)=--------------,

令/'(%)=0,即£-2ahrr+2a=0,

由题意可知元1,%是方程£—2ahix+2a=0的两个根,

%；-laXwCy+2〃=0

则J

xl-2cAr\x2+2〃=0

欲证/(石)+/(%2)>4(玉+电)

由于%>0,%2>0，只需证/(“)+/(一)〉4,

%+%2

2

2ah\xy2alnxx+2a/+2a

X]H------