2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习：核心素养测评六

核心素养测评六

函数的奇偶性、对称性与周期性

巩固提升练(3。分钟60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1.下列函数中，与函数y=-3x的奇偶性相同，且在(-8,0)上单调性也相同的是

()

A.y=-lB.y=log|x|

X2

C.y=l-X2D.y=X3-l

【解析】选C.函数y=-3X为偶函数，在(-8,0)上为增函数，选项B的函数是偶函

数，但其单调性不符合，只有选项C符合要求.

【变式备选】

下列函数中，既是偶函数，又在(0,+8)上单调递增的函数是()

1

A.y=x3B.y=|x|+l

C.y=~X2+lD.y=2xi

【解析】选B.因为y=x5■是奇函数，y=|x|+1,y=-X2+1,y=2-m均为偶函数，所以A

错误；又因为y=-X2+1,y=2-ixi=0''在(°，+8)上均为减函数，只有y=|x|+1在

(0,+8)上为增函数，所以C,D错误.

-1-

2.已知函数f(x)H上的图象关于原点对称,g(x)=ln©+1)-bx是偶函数,则

logb=()

a

A.1B.-1C.--D.l

【解析】选B.由题意得f(0)=0,所以a=2.

因为g()=g(-1),

所以In(e+1)-b=ln(二+l)+b,所以b=±所以logl=-1.

3.x为实数，［x］表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-［x］在R上为()

A.奇函数B.偶函数

C.增函数D.周期函数

【解析】选D.函数f(x)=x-［x］在R上的图象如图：

y

一

-3-2-IO12345x

所以f(X)在R上是周期为1的函数.

【变式备选】

设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中

正确的是()

A.f(x)g(x)是偶函数

B.|f(x)|g(x)是奇函数

C.f(x)|g(x)|是奇函数

D.|f(x)g(x)|是奇函数

-2-

【解析】选C.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数，故f(x)*g(x)为奇函数，If(x)Ig(x)

为偶函数，f(x)Ig(x)I为奇函数，|f(x)g(x)I为偶函数.

4.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x20时,f(X)=X2+2X,若f(2-aa)>f(a),则

实数a的取值范围是()

A.(-°°,-1)U(2,+°°)

B.(-1,2)

C.(-2,1)

D.(-°°,-2)U(1,+8)

【解析】选C.因为f(x)是奇函数，

所以当x<0时，f(x)=-X2+2x.作出函数千(x)的大致图象如图中实线所示，结合图

象可知，

f(x)是R上的增函数,由f(2-a2)>f(a),

得2-a2>a,解得-2<a<1.

5,定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且在［0,2)上单调递减,则下列

结论正确的是()

A.0<f(l)<f(3)B.f(3)<0<f(l)

C.f(l)<0<f(3)D.f(3)<f(1X0

【解析】选C.由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得千(0)=0,由千(x+2)=-f(x),

得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以

f(3)=f(-1),

-3-

又f(x)在［0,2)上单调递减，所以函数f(x)在(-2,2)上单调递减，所以

f(-1)>f(0)>f(1),Fpf(1)<0<f(3),故选C.

二、填空题(每小题5分，共15分)

6.(2018,全国卷HD已知函数f(x)=ln(\，l+x2-x)+l,f(a)=4,贝！Jf(-a)=

【解析】令g(x)=In(Jl+02—x),则

g(-x)=In(!i_|_「X.尸+x)-In(V1+X2+x)

=In1=~In(Jl+=2-x)=一g(x),

\'l+x2~r

所以g(x)是奇函数,由已知，f(x)=g(x)+1,

f(a)=g(a)+1=4,g(a)=3,

所以f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-2.

答案：-2

【变式备选】

函数f(x)在R上为奇函数,且x>0时,f(x)=X2-x,则当x<0时,f(x)=.

［解析］函数f(x)在R上为奇函数,f(-x)=-f(x)；且x>0时，f(x)=X2-X,则当x<0

时，f(x)-_f(_x)--(X2+X)--X2-X.

答案：-X2-X

7.已知偶函数f(x)在［0,+8)上单调递减,f(2)=0.若f(xT)>0,则x的取值范围

是---------□

【解析】因为f(2)=0,f(x-1)>0,

-4-

所以f(x-1)>f(2),又因为f(x)是偶函数，

所以f(|x-1|)>f(2),又f(x)在［0,+8)上单调递减，所以|x-1|<2,所以

-2<x-1<2,

所以-1<x<3,所以x£(7,3).

答案：(T,3)

8.定义：函数f(x)在闭区间［a,b］上的最大值与最小值之差为函数f(x)的极差.

若定义在区间［-2b,3bT］上的函数f(x)=X3-ax2-(b+2)x是奇函数，则a+b=

，函数f(x)的极差为.口

［解析】由f(x)在［-2b,3b-1］上为奇函数，所以区间关于原点对称，故-2b+

3b7=0,解得b=1,又由f(-x)+f(x)=0可求得a=0,所以a+b=1.又千(x)=X3-3x,

f'(x)=3x2-3,易知f(x)在(-2,-1),(1,2)上单调递增，f(x)在(-1,1)上单调递减,

所以在［-2,2］上的最大值、最小值分别为f(-1)=f⑵=2,f(1)=f(-2)=-2,所以极

差为4.

答案：14

三、解答题(每小题10分，共20分)

-x2+2七x>0,

9.已知函数f(x)=(0,入,二°,是奇函数.

kx24-mx,x<0

(1)求实数m的值.

(2)若函数f(x)在区间［T,a-2］上单调递增,求实数a的取值范围.

【解析】⑴设x<0,则-x>0,

所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=_X2_2X.

又千(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x).

-5-

于是x<0时，f(x)=X2+2x=X2+mx,

所以m=2.

⑵要使f(x)在［-1,a-2］上单调递增,

(Q—2>-1

结合f(x)的图象知,所以1<aW3,

la-2<1,

故实数a的取值范围是(1,3］.

10.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x都有+x)=_f(3-矛)成

立.

⑴证明y=f(x)是周期函数,并指出其周期.

(2)若f(1)=2,求f(2)+f(3)的值.

⑶若g(x)=X2+ax+3,且y=|f(x)|•g(x)是偶函数,求实数a的值.

【解析】⑴由fG+廿一噜-%)

且f(-X)=-f(x),

知f(3+x)=f-+(-+X

L?\7

=-f三一(3+x)=-f(-X)=f(x),

所以y=f(x)是周期函数，且T=3是其一个周期.

(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，

所以f(0)=0,且千(-1)=-f(1)=-2,

又T=3是y=f(x)的一个周期，

所以f(2)+f⑶=f(-1)+f(0)=-2+0=-2.

-6-

⑶因为y=|f(x)|・g(x)是偶函数，

且|f(-X)I二卜f(x)|=|f(x)I,

所以|f(x)|为偶函数.故g(x)=X2+ax+3为偶函数，即g(-x)=g(x)恒成立，于是

(-x)2+a(-x)+3=X2+ax+3恒成立.于是2ax=0恒成立，所以a=0.

综合运用练(15分钟35分)

1.(5分)(2020•佛山模拟)若函数f(x)=[*2+&*三0(a£R)为偶函数，则下

xz-ax,x<0

列结论正确的是()

A.f(a)>f(2a)>f(0)B.f(a)>f(0)>f(2a)

C.f(2a)>f(a)>f(0)D.f(2a)>f(0)>f(a)

【解析】选C.因为函数f(x)="、'°(a£R)为偶函数，

[x2-ax,x<0

所以f(7)=f(1),解得a=1.又因为函数在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调

递增,

所以f(2a)>f(a)>f(0).

【变式备选】

设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是

()

A.f(x)+|g(x)|是偶函数

B.f(x)-|g(x)|是奇函数

C|f(x)|+g(x)是偶函数

D.|f(x)|-g(x)是奇函数

-7-

【解析】选A.由g(x)是奇函数，可得g(-x)=-g(x),所以|g(x)|=|g(-x)|,即

Ig(x)|为偶函数,又f(x)为偶函数，所以f(x)+|g(x)|为偶函数.

2.(5分)设函数f(x)=ln(l+x)Tn(l-x),则f(x)是()

A.奇函数,且在(0,1)内是增函数

B.奇函数,且在(0,1)内是减函数

C.偶函数,且在(0,1)内是增函数

D.偶函数,且在(0,1)内是减函数

【解析】选A.易知f(x)的定义域为(-1,1),且千(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-千(x),

则y二千(x)为奇函数，又y=ln(1+x)与y=-ln(1-x)在(0,1)上是增函数，所以

f(x)=In(1+x)-In(1-x)在(0,1)上是增函数.

3.(5分)(2020•海口模拟)设函数f(x)=±-,则使得f(x)>f(2xT)成立的x的

l+/x/

取值范围是.n

【解析】因为f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数，且x>0时，f(x)=」一,故

1+r1+r

f(x)单调递增，又f(0)=0,从而f(x)是R上的增函数，故f(x)>f(2X-1)等价于

x>2x-l,解得x〈L

答案：(-8,i)

【变式备选】

设定义在［-2,2］上的偶函数f(x)在区间［0,2］上单调递减，若

则实数m的取值范围是.

【解析】因为f(x)是偶函数，

所以千(-X)=f(x)=f(|X|).

-8-

所以千(1-m)<f(m)等价于f(11-m|)<f(|m|).

又当x£[0,2]时，f(x)是减函数，

1-m>m,

-2<<2,解得-l〈m<±

(-2<m<2.

答案：T,J)

4.(10分)已知函数f&)=2鼠-2|+2*a£10有最小值.

(1)求实数a的取值范围.

(2)设g(x)为定义在R上的奇函数,且当x<0时,g(x)=f(x),求g(x)的解析式.

【解析】⑴f(x)=j"+2%-4，"'2,要使函数千&)有最小值，需

.(a-2)x+4,x<2,

,a+2~°,所以-2WaW2,

,a-2<0,

故a的取值范围为[-2,2].

(2)因为g(x)为定义在R上的奇函数，

所以g(0)=0.

设x>0,则-x<0.

所以g(x)=-g(-x)=(a-2)x-4,

((a-2)x-^,x>0,

所以g(x)0,x=0,

k(a-2)x4-4,x<0.

-9-

5.(10分)设f(x)是(-8,+8)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当OWxWl时,f(x)=x.

⑴求f(n)的值.

(2)当-4WxW4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.

【解析】(1)由f(x+2)=-f(x)得,

f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),

所以f(x)是以4为周期的周期函数，

所以f(n)=f(-1X4+n)=f(n-4)

=-f(4-n)=-(4-n)=n-4.

⑵由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x),

得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],

即f(1+x)=f(1-x).

故知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.

又当0WxW1时，f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如

图所示.

当-4WxW4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4义

(|x2X1)=4.

【拓广探索练】

-10-

1.(2020•重庆模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(l-x)=f(l+x),

当x£[0,1]时,f(x)=log(x+1),则f(2019)=()

2

A.1B.-1C.0D.log3

2

【解析】选B.因为奇函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x),所以

f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1),

即f(x+2)=-f(x),

则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

即函数f(x)是周期为4的函数，

因为当xG[0,1]Ht,f(x)=log(x+1),

2

所以千(2019)=f(505X4-1)