2023年高考数学一轮复习（全国版文） 第10章 算法与程序框图

§10.1算法与程序框图

【考试要求】1.了解算法的含义，了解算法的思想2理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序

结构、条件结构、循环结构.

【知识梳理】

1.算法与程序框图

⑴算法

①定义：算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤.

②应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.

(2)程序框图

定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.

2.三种基本逻辑结构

内容

定义程序框图

名称

由若干个依次执行的步骤组

顺序结构成，这是任何一个算法都离

不开的基本结构

算法的流程根据给定的条件

是否成立有不同的流向，条

条件结构

件结构就是处理这种过程的

结构

从某处开始，按照一定的条

件反复执行某些步骤的结

循环结构

构，反复执行的步骤称为循

环体

【常用结论】

直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；当型循环则是“先判断，后循环,

条件满足时执行循环”；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好

相反.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)算法只能解决一个问题，不能重复使用.(X)

(2)程序框图中的图形符号可以由个人来确定.(X)

（3）输入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框.（X）

（4）条件结构中判断框的出口有两个，但在执行时，每次只有一个出口是有效的.（V）

【教材改编题】

1.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）

A.一坐B.坐C.—D.J

答案D

解析按照程序框图依次循环运算，当女=5时，停止循环，S=siny=1.

2.当〃=4时，执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）

A.9B.15C.31D.63

答案C

解析由程序框图可知，k=l,S=\,S=l+2=3,k=2,S=3+4=7,k=3,S=7+23=

15,Jt=4,S=15+24=31,k=5,退出循环，输出的S的值为31.

3.执行如图所示的程序框图，若输入的m匕的值分别为。和9,则输出的，的值为.

答案3

解析第1次循环：i=l,。=1,匕=8,a<b；

第2次循环：i=2,〃=3,b=6,a<b；

第3次循环：i=3,。=6,b=3,a>b,输出i的值为3.

题型一程序框图

命题点1由程序框图求输出结果项

例1（1）（2022•马鞍山质检）执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为（）

A.16B.25

C.36D.49

答案B

解析程序运行时变量值在循环体中变化如下：

〃=1,5=1,n=l,判断不满足〃>4；

〃=3,S=4,〃=2,判断不满足心4；

〃=5,5=9,几=3,判断不满足心4；

a=7,S=16,〃=4,判断不满足〃>4；

。=9,5=25,n=5,满足心4,输出S=25.

⑵执行如图所示的程序框图，若输入的左=3,则输出的S等于（）

C.7D.0

答案B

解析设第〃次循环后输出，仁3+4〃》2023,

解得心505,

可知第505次循环后结束循环,

此时jl=3+4X505=2023,

2023TT（337兀邦）

5=cos-^=COS

兀

=_cos不

2'

命题点2完善程序框图

例2（1）（2022•河南六市模拟）执行如图所示的程序框图，若输出i的值为7,则框图中①处可

以填入（）

A.S>7?B.S>21?

C.5>28?D.5>36?

答案B

解析由程序流程图，其执行逻辑及对应输出如下：

i=1»S=0：输出S=1,执行循环，贝!Ii=2；

i=2,S=l：输出S=3,执行循环，则i=3；

/—3,S=3：输出S=6,执行循环，贝!Ii=4；

i=4,S=6：输出S—10,执行循环，则i=5；

i=5,5=10：输出S=15,执行循环，贝!]i=6；

i=6,5=15：输出5=21,执行循环，则i=7；

i=7,5=21：输出5=28,此时根据条件跳出循环，输出i=7.

...只有当S>21时符合要求.

（2）（2022.东三省四市联考）如图所示，流程图所给的程序运行结果为S=840,那么判断框中所

填入的关于/的条件是（）

A.R5?B.k<4?

C.k<3?D.k<2?

答案B

解析由程序流程的输出结果，知

S=l,k—7：执行循环，S=7,k—6；

5=7,k=6：执行循环，S=42,k=5；

S=42,k=5：执行循环，S=210,Z=4；

5=210,k=4：执行循环，5=840,k=3,

由题设输出结果为S=840,

故第5步输出结果，此时％=3<4.

命题点3由程序框图逆求参数

例3(1)在如图所示的程序框图中，输出值是输入值的盘则输入的x等于()

答案C

解析依题意，令x=xo,

则i—\时，X—2XQ—\,

此时i=2<3,则x-2(2xo-1)-1=4%0-3,

i=3W3,则》=2(4助-3)—1=8刈-7,，=4>3,退出循环体，

此时8xo—7=]xo,

21

解得xo=方，

所以输入的尸翁

(2)执行如图所示的程序框图，若输出的S满足1<5<2,则输入的整数N的取值范围是()

A.(1,100)B.[1,100]

C.19.99JD.(9,99)

答案D

解析当N=9时，

310

S=lg2+lg----Mgy

=lg(2x|x…X?)=lg10=1,

当N=99时，

S=lg2+lg----Fig揩

=lg(2X,义…X贤)=lg100=2,

即Nd(9,99).

【教师备选】

1.执行程序框图，则输出的S的值为()

A.31B.32C.63D.64

答案C

解析模拟程序的运行，

S=0,i=0.

S=0+2°=l,满足条件i<5,i=l,

5=l+2'=3,满足条件i<5,i=2,

S=3+22=7,满足条件，<5,i=3,

5=7+23=15,满足条件i<5,i=4,

5=15+24=31,满足条件i<5,i=5,

S=31+25=63,此时，不满足条件i<5,退出循环，输出S的值为63.

2.执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为63,则图中判断框内应填入的条件为()

A.心6?B.a<5?C.”<6?D.”<6?

答案C

解析第一次运算为6=3,。=2,

第二次运算为b=7,a=3,

第三次运算为6=15,4=4,

第四次运算为6=31,4=5,

第五次运算为6=63,a=6.

思维升华(1)已知程序框图，求输出的结果，可按程序框图的流程依次执行，最后得出结果.

(2)完善程序框图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、

累乘的变量的表达式.

(3)把参数看成常数，运算程序直到输出已知的结果，列出含有参数的等式或不等式，解出参

数的值(或范围).

跟踪训练1(1)(2022・资阳模拟)执行如图所示的程序框图，若输入N=6,则输出的5等于

()

,5二6

A6B7

C.1D.|

答案B

解析初始值N=6,S=0,k=\,

第一步：S=0+T^T=1-1,k<6,进入循环；

1AZ乙

第二步：攵=1+1=2,S=(l—；)+£}=1—^+3—£=1一/k=2<6,进入循环；

第三步：左=2+1=3,S=(l—§+£^=1—k=3<6,进入循环；

第四步：％=3+1=4,S=(l—％=4<6,进入循环；

第五步：攵=4+1=5,S=(l—/)+^^=1—:，&=5<6,进入循环；

116

--~

第六步：A=5+l=6,5=(1—56X777k=6,结束循环，输出S=¥

⑵（2022•郑州质检）运行如图所示的程序框图，若输入的a的值为2时，输出的S的值为12,

则判断框中可以填（）

A.R3?B.R4?C.R5?D./<6?

答案B

解析运行该程序：

输入”=2,

第一次循环：5=0+2X]2=2,a=~2,

无=1+1=2；

第二次循环：S=2-2X22=-6,a=2,

—2+1=3；

第三次循环：$=-6+2X32=12,a=~2,

-3+1=4,

因为输出的S的值为12,

所以判断框中可以填z<4.

题型二数学文化与程序框图

例4（1）（2022.上饶模拟）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所

著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示

的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入〃，x的值分别为4,3,

则输出。的值为（）

A.61B.183C.18D.9

答案B

解析"=4,x—3,V—1,i—3,是，

v=1X3+3=6,z=2,是，

@=6X3+2=20,i=l,是，

0=20X3+1=61,z=0,是，

0=61X3+0=183,i=-1,否，

终止循环，输出。=183.

（2）（2022・开封模拟）下面程序框图的算法思想源于数学名著《几何原本》中“辗转相除法”，

执行该程序框图（图中表示m除以n的余数），若输入的m,n分别为272,153,

则输出的，“等于（）

A.15B.17

C.27D.34

答案B

解析因为输入的根，"分别为272,153,

第一次循环r=119,机=153,n=119,

第二次循环r=34,/M=119,〃=34,

第三次循环r=17,/"=34,〃=17,

第四次循环r=0,m=\l.

【教师备选】

1.马林梅森（MarinMersenne,1588—1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士.他在欧几里

得、费马等人研究的基础上，对2〃一1做了大量的计算、验证工作.人们为了纪念梅森在数

论方面的这一贡献，把形如2。一1（其中p是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的

程序框图，则输出的所有梅森素数的和为（）

A.676B.165

C.158D.2212

答案D

解析由题意，模拟程序的运行，可得

p=3,5=23-1=7,输出7,满足pW9,

p=3+2=5,5是素数，S=25-l=31,输出31,满足pW9,

p=5+2=7,7是素数，5=27-1=127,输出127,满足pW9,

p=7+2=9,9不是素数，

p=9+2=ll,ll是素数，5=2"-1=2047,输出2047,11不满足pW9,结束循环，

所以输出梅森素数和为7+31+127+2047=2212.

2.德国数学家莱布尼兹于1674年得到了第一个关于兀的级数展开式，该公式于明朝初年传

入我国.我国数学家、天文学家明安图为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年（1736年）开

始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角

函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算开创先河.如图所

示的程序框图可以用莱布尼兹“关于71的级数展开式计算亢的近似值（其中P表示兀的近似

值）”,若输入〃=9,则输出的结果P可以表示为（）

A.P=40

B.P=4（l-|+1-1+-+^）

c-P=464+5-7+"-15）

D-P=4（T+H+…+♦

答案D

解析由题意，执行给定的程序框图，输入"=9,可得

第1次循环：S=l,i=2；

第2次循环：S=l—/=3；

第3次循环：S=l—i—4；

第9次循环：S=l—---Fyy,z—10,

此时满足判定条件，输出结果

P=4S=4（1—1+1—----

思维升华中国古代数学长期领先于世界其他国家，有着丰富的数学文化，算法与中国古代

数学文化的结合也是高考中的新宠儿！

跟踪训练2（1）（2022・桂林模拟）元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有

一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，

当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x=0,则一开始输入的x的值为

（）

3八7

A-4B8

c15-31

CU6D32

答案B

解析本题由于已知输出时x的值，因此可以逆向求解：

输出x=0,此时i=4；

上一步：2x—1=0,x=；,此时i=3；

上一步：2x—1=；,此时i=2；

37

上一步：2x-1=彳，x—o,此时，=1.

,4O

⑵公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积

可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数

点后两位的近似值，这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个

程序框图，则输出"的值为（）

（参考数据：也知，S七，sin15°«=8,sin七5）

A.12B.24C.36D.48

答案B

解析执行程序，n=6,S=/x6sin60。=¥^打，

则〃=12,S=1xi2sin30°=,

则〃=24,S=1x24sin15。=

则输出〃=24.

课时精练

1.（2022・池州模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为（）

A.5B.6

C.4D.3

答案A

解析依次执行如下：

5=12-2X1=10,i=2；

5=10-2X2=6,i=3；

S=6—2X3=0,z=4；

S=0-2X4=-8,i=5,

满足条件S〈0,退出循环体，输出i=5.

2.执行如图的程序框图，则输出的结果是（）

«4Z

A,60B

16-37

C2iD60

答案D

解析执行程序框图中的程序，如下所示：

第一次循环，5=1,77=1+1=2,不满足〃>6；

第二次循环，5=1—〃=2+1=3,不满足他>6；

第三次循环，S=1+|=|,雇=3+1=4,不满足心6；

517

第四次循环，S=5一彳=五，〃=4+1=5,不满足〃>6；

7I47

第五次循环，5=茂+§=而，〃=5+1=6,不满足〃>6；

第六次循环,5=若一卷=啬，〃=6+1=7,满足心6.

跳出循环体，输出s=U

3.（2022•焦作模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）

A.15B.29C.72D.185

答案C

解析第一次执行循环，a=2X1+1=3,b=3X1—1=2,不满足i23,贝！|i=0+l=l,

第二次执行循环，”=2X3+1=7,6=3X2—1=5,不满足i23,则，=1+1=2,

第三次执行循环，“=2X7+1=15,6=3X5—1=14,不满足i>3,则i=2+l=3,

第四次执行循环，0=2X15+1=31,6=3X14-1=41,满足i23,输出。+方=31+41=72.

4.执行如图所示的程序框图，则输出的。值为（）

A.1B.—3

C.~2D.2

答案C

解析初始值。=2,i=l,

1+2

第一步：。=丁方=-3,i=l+l=2<2022,进入循环；

1—2

1—31

第二步：-一5,i=2+l=3<2022,进入循环；

1IJ乙

1-21

第三步：a=-7=^,«=3+1=4<2022,进入循环；

1+1

1+|

第四步：a=-j-=2,,=4+1=5<2022,进入循环，

1-3

因此a的取值情况以4为周期，

又2023除以4余3,当i=2023时，结束循环，此时对应的a的值为a=-今

即输出。的值为一/

5.（2022.宝鸡模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的S等于（）

A.501B.642

C.645D.896

答案B

解析S=0,m=］；

5=O+1X2*=2,加=1+1=2,SW500；

5=2+2X22=10,m=2+1=3,SW500；

5=10+3X23=34,机=3+1=4,SW500；

5=34+4X24=98,m=4+1=5,SW500；

S=98+5X2$=258,m=5+l=6,SW500；

5=258+6X26=642,根=6+1=7,5>500,

结束循环，输出S=642.

6.（2022・驻马店模拟）执行如图所示的程序框图，若输入的x=12,则输出y的值为（）

93

--

A.-82

13

C-

4--2

答案A

解析当x=12时,y=5,|5-12|=7>1,此时x=5；

3373

时

-5比-

=一--

当x=5时,22

2?F1

311371

当x=5时，y=一7~4~2此时*=一不

199179

当x=-］时，y=_g，—g+w=W<i，输出y=_g.

7.执行如图所示的程序框图，若输出S的值为，则判断框内可填入的条件是（）

A.i<100?B.>100?

C.z<99?D.z<98?

答案A

解析由程序框图知，5==+七+…+不匕=1一；+*—/+…+}—士=1一七=，

1X22X3!（z+1）223I/+1/十1

解得i=99,

由于是计算S后，赋值i=i+l,因此循环条件是i<100.

8.（2022・长春质检）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为126,则判断框内的条件可以

为（）

A.〃W5?B."W6?

C.〃W7?D."W8?

答案B

解析根据框图，执行程序，

S=2'，〃=2；

S=2'+22,〃=3；

S=2,+22+*-+2/；H=/+1,

令S=21+22+-+2/=126,

解得，=6,即〃=7时结束程序，

所以〃W6.

9.（2022•蓉城名校联考）执行如图所示的程序框图，则输出的结果〃=

答案6

49

解析〃=1,S=02而不成立，

可得S=.y9=7,

一。__1__1^49^.、

『2,5=必=，2而不成立，

可得s=」一+」一=2

,传31X2十2X33,

249

〃=3,S=]2而不成立，

113

可得s==2X33X4-4-

IK/

349

H=4,S=w2而不成立，

司/曰11114

口」何3一1X2+,2义3+।3X4+I4X5_—5'

449

5>--

一

〃=5\60

可得q=--—+—-—+—-—+—-—+—--=-

J1X22X33X44X55X66'

549

〃=6,S=d2而成立，

故输出n=6.

10.执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是

答案4

解析第一次循环，i=l<9成立，

2

"7=—1,i=1+1=2；

214

第二次循环，j=2<9成立,

22

S=2+]=]，，=2+1=3；

第三次循环，i=3<9成立,

23

S~^=5，i=3+l=4；

第四次循环，i=4v9成立，

2

S=---7=4,i=4+l=5；

2-2

第五次循环，i=5<9成5L,

2

S-7=-1»i=5+l=6；

2—4T

第六次循环，i=6<9成口，

22,

S=2+]=亨/=6+1=7；

第七次循环，i=7<9成立，

23

S-

-2-2

2-

-3

第八次循环，i=8<9成立,

2

S

-3i=8+1=9.

2-

-2

i=9<9不成立，跳出循环体，输出S的值为4.

11.执行如图所示的程序框图，若输出的6的值为16,则图中判断框内①处应填的最大整数

为.

答案3

解析第一次循环结果为方=2,。=2,

第二次循环结果为匕=4,a=3,

第三次循环结果为b=16,a=4,不满足判断框中的条件，输出的结果是16满足已知条件，

所以①处应填的数字的取值范围是[3,4）,所以最大整数是3.

12.中国的太极图是由黑白两个鱼形图案拼成的一个完整的圆形，喻示着阴阳相互转化又相

互对立的基本道理，是反映我国传统哲学中辩证思想的一种象征性符号.若阴表示数字1,

阳表示数字0,这蕴含了二进制的思想.图中的程序框图的算法思路就源于我国古代的哲学

辩证思想.执行该程序框图，若输入。=10101Oil,k=2,"=8,则输出的6=.

答案43

解析按照程序框图执行，匕依次为0,1,3,3,11,11,43,43.

当6=43时，i=7+l=8,跳出循环，故输出6=43.

13.在程序框图中，程序运行输出S的值为1,那么判断框中应填入（）

A.K9?B.Q9?C.RIO?D.Q10?

答案c

解析：1gw2=lg(A+l)—lg比

...根据程序图的执行可得S=(lg100-lg99)+(lg99-lg98)+-+[lg(fc+l)-lgk]

=2-lgk=l,解得&=10,

...判断框中应填入的关于k的判断条件是^<10.

14.我国南北朝时期的数学家张丘建是世界数学史上解决不定方程的第一人，他在《张丘建

算经》中给出一个解不定方程的百鸡问题，问题如下：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，

鸡雏三，值钱一.百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？用代数方法表述为：设鸡翁、鸡母、鸡

[5x+3y+g=100,

雏的数量分别为x,y,z,则鸡翁、鸡母、鸡雏的数量即为方程组J3的解.其

〔x+y+z=100

解题过程可用程序框图表示，如图所示，则程序框图中正整数机的值为.

答案4

7

5X