2023-2024学年内蒙古包头市昆都仑区九年级（上）期末数学试卷（附答案）

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2023-2024学年内蒙古包头市昆都仑区九年级（上）期末数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.如图，矩形力BCD的对角线交于点0,若N4CB=30。，AB=2,贝UOC的长为（）

2.如图，菱形28CD的对角线力C、BD的长分别为6和8,则这个菱形的周长是

()

A.20

B.24

C.40

D.48

3.如图是一个三棱柱笔筒，则该物体的主视图是（）

A.B.D.

4.已知a,/?是一元二次方程无2+支—2=0的两个实数根，则a+/?+的值是（）

A.3B.1C.-1D.—3

5.小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是（）

6.若点（一2,月），（一1,%），（3,%）在双曲线y=＜。）上，贝!1月，丸，乃的大小关系是（）

乃<光<乃<%<

A.yi<y2<y3B.yiC,y2<yr<y3D,y2

7.如图，在AABC中，DEIIBC,DB=2AD,△2DE的面积为1,贝l|四边形DBCE的面积

为（）

A.3B.5C.6D.8

8.关于久的一元二次方程/+6%+。=o有两个相等的实数根，则/?2一2（1+2c）=（）

A.-2B.2D.4

9.如图，四边形4BCD是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠：使D2边落在DC边上，点4落在点H

处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF,若矩形HEFG与原矩形2BCD相似,

AD=1,则CD的长为（）

A.—1B.<5-1C.72+1D.<5+1

10.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形40BC的一个顶点。在坐标原点，一边0B在久轴的正半轴上，

sin^AOB=反比例函数y=¥在第一象限内的图象经过点4,与8c交于点F,则AA。尸的面积等于（）

A.30B.40C.60D.80

第H卷（非选择题）

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.在Rt△力BC中，ZC=90°,sinA=AC=6cm,贝！1BC的长度为

12.如图，在AABC中，AD1BC,垂足为点D,若AC=NC=45。，

tan^ABC=3,贝!）8。等于.

13.先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是.

14.三角形的两边长分别是3和4,第三边长是方程/-13乂+40=0的根，则该三角形的周长为

15.如图，四边形4BCD是边长为4的正方形，A8PC是等边三角形，则阴影部分的面积为.

16.如图，在RtAABC中，乙4cB=90。，过点B作8。1CB,垂足为8,

且BD=3,连接CD,与AB相交于点M,过点M作MN1C8,垂足为N.若

AC=2,则MN的长为.

三、计算题：本大题共1小题，共9分。

17.在校园文化艺术节中，九年级一班有1名男生和2名女生获得美术奖，另外有2名男生和2名女生获得音

乐奖.

(1)从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选1名参加颁奖大会，求刚好是男生的概率；

(2)分别从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取1名参加颁奖大会，用列表法或画树状图法求刚好是一男生

一女生的概率.

四、解答题：本题共6小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18.(本小题8分)

11

(1)一元二次方程/+3%-1=0的两根为第1、X2，求代数式7+7的值.

(2)已知关于x的一元二次方程/+小X一2=0的一个根为-1,求zn的值及方程的另一个根.

19.(本小题8分)

如图，直线y=：%+2与双曲线相交于点4(犯3),与久轴交于点C.

(1)求双曲线解析式；

(2)点P在x轴上，如果A4CP的面积为3,求点P的坐标.

20.(本小题11分)

如图，已知四边形48CD中，^ABC=90°,乙4DC=90。，AB=6,CD=4,BC的延长线与4D的延长线

交于点E.

(1)若乙4=60。，求BC的长；

(2)若sirM=£求4。的长.(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)

A

21.(本小题11分)

如图，在四边形4BCD中，ABAC=90°,E是BC的中点，AD//BC,AE//DC,EF1CD于点F.

(1)求证：四边形4ECD是菱形;

(2)若力B=6,AC=8,求EF的长.

22.(本小题12分)

一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2.设竖彩条的宽

度为xcm,图案中三条彩条所占面积为yea?.

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)若图中三条彩条所占面积是图案面积的会求横、竖彩条的宽度.

23.(本小题13分)

如图在△力BC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,点。在4C上，点E在上，连接DE.

(1)当。E〃8c时，如图1.

①若DE平分△4BC的面积(即把△ABC的面积分成相等的两部分)，求力D的长；

②若DE平分△4BC的周长，求力D的长；

(2)如图2,试问：是否存在DE将△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出4D的长；若不存在，请说

明理由.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了矩形的性质，直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关

键.根据直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2AB=4,再根据矩形的对角线互相平

分解答.

【解答】解：在矩形28CD中，/.ABC=90°,

•••4ACB=30°,AB=2,

AC=2AB=2x2=4,

OC=OA=2.

故选A.

2.【答案】A

【解析】解：由菱形对角线性质知，AO=^AC=3,BO=^BD=4,且力。1BO,

则48=>1AO2+BO2=5,

故这个菱形的周长L=4aB=20.

故选：A.

由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长.

本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本

题中根据勾股定理计算4B的长是解题的关键，难度一般.

3.【答案】C

【解析】解：如图是一个三棱柱笔筒，则该物体的主视图是

故选：C.

从正面看三棱柱笔筒，得出主视图即可.

此题考查了简单几何体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图.

4.【答案】D

【解析】解：:a,£是一元二次方程/+久一2=0的两个实数根，

二a+£=—1,a/?——2,

则a+£+=—1+(-2)=-3.

故选：D.

据根与系数的关系a+夕=-1,邓=-2,求出a+£和可?的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答

案.

本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数关系的公式是关键.

5.【答案】C

【解析】解：列表如下：

左中右

小小小莹大刚

小亮大刚小莹

小莹小亮大刚

大刚小亮小莹

小莹大刚小小

大刚小莹小亮

共有6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种，

所以小亮恰好站在中间的概率为，

故选：C.

先利用列表法展示所以6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种，然后根据概率定义求解.

本题考查了列表法与树状图法：先利用列举法或树形图法不重不漏地列举出所有可能的结果求出n,再从

中选出符合事件4或B的结果数目小，求出概率.

6.【答案】D

【解析】【分析】

此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键，注意：反比例函数的增减性

要在各自的象限内.先分清各点所在的象限，再利用各自的象限内利用反比例函数的增减性解决问题.

【解答】

解：•••点（一2,%），（一1,火），（3,为）在双曲线？=（（上<0）上，

（-1,%）分布在第二象限，（3,%）在第四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，

•••y3<yi<y2•

故选D

7.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方得出“4BC=9是解题关

键.

根据相似三角形的判定与性质，可得AABC的面积，根据面积关系，可得答案.

【解答】

解:由DE//BC,DB=2AD,得

An1

△ADE〜△ABC,黑=£

AD3

由△ADE的面积为1,得

Sf。"_1

S^ABC

得S"BC=9.

SDBCE=^ABC-^LADE=8,

故选：D.

8.【答案】A

【解析】解：・•・关于％的一元二次方程/+hx+c=0有两个相等的实数根，

.・.』=人2—4。=o,

.・.b2=4c,

・•・Z）2-2（1+2c）

=h2—4c—2

=0-2

=—2.

故选：A.

由一元二次方程有有两个相等的实数根得d=b2-4ac=0,得到加-4c=0,再将其代入所求式子中计

算即可求解.

本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程的根与4=b2-4ac的关系是解题关

键.一元二次方程a/+bx+c=0(a40)的根与/=>一4ac有如下关系：①当/>0时，方程有两个不

相等的两个实数根；②当4=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当4<0时，方程无实数根.

9【答案】C

【解析】解：设HG=x,

•••四边形4BCD是矩形，

NA=/.ADH=90°,AD=BC=1,

由折叠得：ZX=/.DHE=90°,AD=DH=1,BC=CG=1,

四边形是矩形，

AD=DH,

••・四边形是正方形，

AD=HE=1,

•矩形HEFG与原矩形4BCD相似，

.GH_HE

ADDC

x_1

"1-1+%+1，

解得：X=—1或工=——1,

经检验：X—y/~2—1或久=—\/-2-1都是原方程的根，

•••GH>0,

•••GW=72-1，

DC=2+x=yT?.+1>

故选：C.

设HG=久，根据矩形的性质可得NA=乙ADH=90°,AD=BC=1,再根据折叠的性质可得：ZX=

乙DHE=90°,AD=DH=1,BC=CG=1,从而可得四边形4DHE是正方形，然后利用正方形的性质可

得AD=HE=1,最后利用相似多边形的性质，进行计算即可解答.

本题考查了相似多边形的性质，解一元二次方程-公式法，矩形的性质，翻折变换(折叠问题)，正方形的

判定与性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键.

10.【答案】B

【解析】解：过点/作AM_L为轴于点M,如图所示.

设。4=a,

在Rt/XOAM中，Z.AMO=90°,OA=a,svaZ-AOB=

•••AM=OA-sin^AOB=|a,OM=<0A2-AM2=ja,

二点4的坐标为（|a（a）.

•・•点4在反比例函数y=手的图象上，

34124c

-a--a=—a2=48,

解得：a=10,或a=-10（舍去）.

・•.AM=8,OM=6,OB=OA=10.

•••四边形。4cB是菱形，点F在边BC上，

1i

SKAOF=5s菱的BCA=20B'=40-

故选：B.

过点4作AMlx轴于点M,设。4=a,通过解直角三角形找出点4的坐标，结合反比例函数图象上点的坐

标特征即可求出a的值，再根据四边形。4CB是菱形、点尸在边BC上，即可得出SA40F=2S菱形OBS，结合

菱形的面积公式即可得出结论.

本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出S-OF=

1c

2。菱形OBCA，

11.【答案】8cm

【解析】解：,•・在Rt△48C中，NC=90。，sinA=

设AB=5acm,BC=4acm,

・•.AC—VAB2—BC2=3acm，

3ci—6,

a=2,

则BC=8cm.

故答案为：8cm.

根据正弦函数的定义即可求得4C的长，然后根据勾股定理即可求得AC的长.

本题考查了勾股定理以及三角函数，正确求得BC的长度是关键.

12.【答案】2

【解析】解：♦••2C=671,NC=45。，

AAD=AC-s讥45。=6/2X?=6，

•・,tanZ.XBC=3,

AD

:•丽=3o,

BD=与=2,

故答案为：2.

根据三角函数定义可得4D=AC-s讥45。，从而可得4）的长，再利用正切定义可得BD的长.

此题主要考查了解直角三角形，关键是掌握三角函数定义.

13.【答案】J

【解析】解：•••每次抛掷硬币正面朝上的概率均为,且两次抛掷相互不受影响，

••・抛掷一枚质地均匀的硬币，若第一次是正面朝上，第二次反面朝上的概率为=。，

NN4

故答案为：

根据概率的意义直接回答即可.

本题考查概率的意义，熟练掌握相关的知识点是解题的关键.

14.【答案】12

【解析】解：,；久2一13久+40=0,

则。一5）（久一8）=0,

解得刀1=5,x2—8,

而三角形的两边长分别是3和4,

设第三边为“，

根据三角形的三边关系可得4-3<x<4+3,

即1<久<7,

•••三角形第三边的长为5,

••.三角形的周长为3+4+5=12.

故答案为12.

本题考查一元二次方程的解，三角形三边关系，以及解一元二次方程-因式分解法.

先利用因式分解法解方程得到勺=5,上=8,再根据三角形三边的关系确定三角形第三边的长为5,然后

计算三角形的周长.

15.【答案】12-473

【解析】解：过点P作PE1CD于点E,过点P作PF1BC于点F,4|一标三?

APFC=乙PEC=90°,/；\

,•・四边形4BCD是正方形，----X。

F

.・.AB=BC=CD=AD=4,乙BCD=90°,

・••△BPC是等边三角形，

pc=BC=4,乙PCB=60°,

,..PF

在中，sin60°=

・•・PF=2/3，

•••S^BPC=：BC-PF=1x4x2^3=4门,

•・•乙BCD=90°,乙PCB=60°,

・•・乙PCE=30°,

1i

・•.PE=1PC=|x4=2,

1i

••・S^PCD=^CD-PE=-x4x2=4,

v$正方形ZBCD=42=16,

AS阴影=S正方形ABCD-S^BPC-‘"CD

=16-4AA3-4

=12-4V3,

故答案为：12-473.

过点P作PE1CD于点E,过点P作PF1BC于点F,先利用60。角的正弦值求出PF的长，即可求出等边△

BPC的面积，再求出PE的长，即可求出△PCD的面积，最后根据图形间面积关系即可求出阴影部分的面

积.

本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的定义，图形间面积关系，掌握这些性质是

解题的关键.

16.【答案】|

【解析】解：VZ_ACB=90°,BD1BC,MN1CB,

AC//MN//BD,乙CNM=^CBD,

・•・^MAC=乙MBD,^MCA=乙MDB=乙CMN,

ACMN-CDB.

tMC_AC_2MN_CM

"MD~BD~3"~BD~~CDf

CM_2

.t*.=一,

CD5

.MN_2

・•.MN=

故答案为：I.

由44cB=90。，BD1BC,MNX.CB得AC"MN"BD,从而得AMASMBD,△CMN-CDB,由相似

比，得到MN的长度.

本题主要考查了三角形相似的判定和性质，旨在判断学生是否对两个常见的相似模型“力型相似”和“8字

型相似”能够灵活应用.这里的易错点是在得到第一对三角形的相似比时，3艺生容易直接使用在第二

似三角形中，导致失分.

17.【答案】解：(1)从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选1名参加颁奖大会,刚好是男生的概率=1;

(2)画树状图为：

男女女

力男女女男男女女男男女女

共有12种等可能的结果数，其中刚好是一男生一女生的结果数为6,

所以刚好是一男生一女生的概率==

【解析】（1）直接利用概率公式求解；

（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出刚好是一男生一女生的结果数，然后根据概率公式求

解.

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件4或

B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件4或事件8的概率.

18.【答案】解：（1）根据根与系数的关系得/+K2=-3,=-1,

所以工+。=&垃=尚=3；

%1冷xlx2-1

（2）设方程的另一个根为t,

根据根与系数的关系得—1+t=—TYlf—1Xt=-2,

解得t=2,m=-1,

所以租的值为-1,方程的另一个根为2.

【解析】（1）先利用根与系数的关系得打+K2=-3,久1久2=-1，再通分得到:+!=§¥，然后利用整

体代入的方法计算；

（2）设方程的另一个根为如利用根与系数的关系得-1+1=-爪，-lxt=-2,然后解方程组即可.

本题考查了根与系数的关系：若打,久2是一元二次方程a/+6x+c=0（a力0）的两根时，x1+x2=

b_c

---a--,--X--i-%--2--—a—■

19.【答案】解：（1）把力（科3）代入直线解析式得：3=2巾+2,即机=2,

2(2,3),

把4坐标代入y=得k=6,

则双曲线解析式为y=5

(2)对于直线y=2x+2,令y=0,得到x=-4,即C(—4,0),

设P(%,0),可得PC=|x+4|,

••・△2CP面积为3,

1

.•・汴+4|-3=3,即|x+引=2,

解得：x=-2或x=-6,

则P坐标为（一2,0）或（―6,0）.

【解析】（1）把a坐标代入直线解析式求出a的值，确定出a坐标，即可确定出双曲线解析式；

（2）设p（x,o）,表示出PC的长，高为力纵坐标，根据三角形acp面积求出久的值，确定出P坐标即可.

此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形

性质，以及三角形面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.

20.【答案】解：（1）乙4=60°,LABE=90°,AB=6,tanA=器,

AD

•••NE=30°,BE=tan60°X6=6/3,

rn

又ACDE=90°,CD=4,sinE=捍，=30°,

4

8

CE---

1

2-

BC=BE-CE=6V3-8;

4RF

(2)•・•(ABE=90°,AB=6,sinA=g=器，

5AE

・•・设BE=4%,则ZE=5%,得ZB=3x,

•••3%=6,即％=2,

BE=8,AE=10,

「AB6CD4

.-.tanE=-=-=

解得DE=冬

1614

・•.AD=AE-DE=10-

【解析】(l)tanX=翳，BE=tan60°X6,sinE=笔，NE=30°,进而求出CE,BC=BE-CE；

(2)si九4=±=第设BE=4x,贝ME=5x,得力B=3x,求出久，进而求出BE,AE,tanE=f=

5AcDEo

累=白，解得DE,AD=AE-DE.

DEDE

本题考查解直角三角形，解题的关键是对三角函数的熟练掌握.

21.【答案】(1)证明：•.TD〃BC,AE//DC,

••・四边形力ECD是平行四边形，

•••Z.BAC=90°,E是BC的中点，

AE=CE=^BC,

••・四边形&ECD是菱形;

(2)解：过A作A”于点H,如图所示AD

•・•^BAC=90°,AB=6,AC=8,

・•・BC=y/AB2+AC2=10，

i-1

•・•△ABC的面积=^BCxAH=^ABXAC,

・・・点E是BC的中点，四边形/ECD是菱形，

•••CD—CE,

S回AEC。=CE,AH=CD,EF,

24

...EF=AH=y.

【解析】（1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可;

（2）根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可.

此题考查菱形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的判定，证明四边形4ECD是菱形是解题的关键.

22.【答案】解：（I）、•横、竖彩条的宽度比为3：2,竖彩条的宽度为xcm,

二横彩条的宽度为|比cm,

■OO

・•・图案中三条彩条所占面积y=2X12%+20X2久一2X2%•第，

即y=-3%2+54%.

⑵依题意得：-3%2+54%=