高中数学一轮复习 函数图象的变换

第2.6章函数的应用

2.6.3函数图象的变换

鳖课程要求了修♦求心中有敷

高中要求掌握函数图像的平移变换、对称变换、翻转变换.

11基础1知识夯实基硼，.立完整知识体系

1平移变换

口诀：左加右减，上加下减

【例】y=1+W的图像可以看成由y=|先向右平移3个单位，再向上平移1个单位得至I」。

2对称变换

(1)函数y=-/■(>)的图像可看成由函数y=/(X)的图像作关于X轴对称得到的.

%轴

y=fw-^y=-/(%)

【例】y--e”图像可看成y=图像关于x轴对称得到.

(2)函数y=f(-久)的图像可看成由函数y=/(x)的图像作关于x轴对称得到的.

y=/（久）-y=/（一久）

【例】y=e-x图像可看成y="图像关于y轴对称得到.

3翻转变换

(1)函数y=/(㈤)的图像可看成由函数y=f(x)先去掉y轴左边图像，保留y轴右边图像，并作y轴对称得到

的.

去掉y轴左边图像

y=f(x)*y-/(|x|)

保留y轴右边图像，并作其关于y轴对称图像

【例】y=e3的图像可看成由y=e，图像对称变换得到.

(2)函数y=|“久)|的图像可看成由函数)/=/(>)保留*轴上方图像，并将x轴下方图像翻折上去得到的.

保留X轴上方图像

y=f(x)>y=|f(x)|

将x轴下方图像翻折上去

程经典例题从典例中见

【题型1】平移变换

【典题1】把函数y=-2/+4X+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得图象的函数关

系式为_________

解析y=-2x2+4x+l=-2(%-I)2+3向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到y=-2(x+

I)2-6.

【典题2】求/(%)=二三的单调性，对称中心。

解析“x)=*=2_W，它的图像可以看成由函数f(x)=向右移1个单位，再向上移2个单位得到

的。

由图易得/（X）=箸在（-8,1］递增,在口,+8）递增,对称中心是（1,2）.

变式练习

1.将函数y=团的图象向平移个单位，就得到函数y=|x+2|的图象，再将所得图象向

平移个单位，就得到函数y=比-2|的图象.

答案左，2；右，4.

2.若函数丫=a%+b-1（。>0且aH1）的图象经过一、三、四象限，则正确的是（）

A.且b<lB.0<aVl且b<0

C.0<aV1且b>0D.a>1且b<0

答案D

解析因为函数丫=谈+6一1（。>0且。工1）的图象经过一、三、四象限，所以如图：则由图象可知函数

为递增函数，所以a>l.当汽=0时，y=l+b—l=b<0.故选：D.

3.画出函数/（%）=分图像

【题型2】对称变换

【典题1】当时，在同一坐标系中，函数y=。一"与y=-log。％的图象是（）

解析由于a>l,所以y=a-，=(1)，为尺上的递减函数，且过(0,1)；

y=-logM为(0,+为)上的单调递减函数，且过(1,0),

故选：D.

变式练习

1.在同一坐标系中，函数y=3%与y=3-%的图象关于()

A.直线t=1对称B.X轴对称

C.直线y=%对称D.y轴对称

答案D

解析•・•y=3"与y=3r=5的纵坐标相等时,横坐标相反，

・•・在同一坐标系中，函数丁y=3%与y=3-％=/的图象关于y轴对称，

故选：D.

1

2.已知函数y=ax(a>0且aW1)是增函数，那么函数/(%)=/。为至二江的图象大致是()

解析函数/(%)的定义域为{%|%>1},故排除CD；

•.•函数y=ax(a>0且aW1)是增函数，a>1,

由复合函数的单调性可知，函数/(%)在定义域上为减函数，故排除4

故选：B.

3.函数/(%)的图象向左平移2个单位，所得图象与y=匈》的图象关于%轴对称，则fQ)=

答案—lg(x—2)

解析与y=国X的图象关于%轴对称的函数为-y=/gx,即了=-匈x,

然后将y=-匈x的图象向右平移2个单位得到/'(久),

即/'(x)=-ig(x-2).

【题型3】翻转变换

【典题1】画出下列函数的图像

(1)汽久)=+2,(2)/(%)=\lg(1+%)|

解析

【典题2】若函数fO)=|log2%|的定义域为口切，值域为［0,2］,则b-a的最小值为()

33

A.-B.3C.2D.-

42

解析函数/(%)=|log2%|的定义域为［见川，值域为［0,2］,

由/⑴=0"(4)=/(3=2,

11Q

可得a=Z，b=l时，b—a取得最小值1一%=五.

变式练习

1.如下图①对应于函数/(久),则在下列给出的四个函数中，图②对应的函数只能是()

Ky=f(|x|)B.y=|f(x)|C.y=/(-|%|)D.y=-/(|x|)

答案C

解析图②对应的函数可看成将图①中的图象y轴右侧擦去，将左侧图象对称到右侧,

故选C.

2.函数y=(2)闭的图象是()

解析令x=0,则y=(4)o=l,即图象过(0,1)点，排除C、D；

11

令x=1,则y=(2)i=z<l，故排除4

故选：B.

3.函数y=2-因的大致图象是()

答案C

解析函数y=2Txi=(Q)"20,...2>1,1且图象关于y轴对称

I2\x<02

・•・函数图象在y轴右侧为减函数，y<1；左侧为增函数，y<1

故选：C.

4.设偶函数/(%)=log(d%-b|在(一8,0)上是增函数，则f(a+1)与f(b+2)的大小关系是(

A.f(a+1)=/(b+2)B.f(a+1)>/(b+2)

C./(Q+1)Vf<+2)D.不能确定

答案B

解析•・,/(%)=loga\x-b|为偶函数，b=0

/(%)=loga\x-加在(一8,0)上是增函数，...0va<1

・•・/(%)=log。\x-在(0,+河上单调递减，...ova+。v、+2

・•・/(a+1)>f(b+2).

故选：B.

5.函数/(%)=|x2-2x-3|,则/(%)在(一1,+8)上的减区间为

答案[1,3]

解析函数/(%)=|如一2%-3|的图象如下图所示：

由图可得：/(%)在(-1,+叼上的减区间为口3],

故答案为：[1,3]

1

6.若函数/(%)=(可)因+m-1的图象与汽轴有公共点，则ni的取值范围为.

答案[0,1)

解析函数f(x)=+m-1的图象与X轴有公共点，即m-1=-弓)因有交点,

由于一14一(W)因V0,故一lWzn-lVO,解得04THV1.

7.直线y=1与函数y=x2~2\x\+。的图象有四个不同交点，则实数。的取值范围是.

答案(1,2)

解析由于直线y=1与函数y=/-2|万+a的图象有四个不同交点，如图所示：

故且函数的最小值a-1V1,求得l<a<2,

故答案为：(L2).

(—x2+a,x<0

8.已知函数f(%)=I1—x-n若函数g(%)=/(%)-%恰有两个零点，则实数Q的取值范围是.

J2(x+1)>u・

答案(0,+8)U{—上}

—x2-Fa,x<0

解析函数/(%)=।1-x।的图象如下图所示:

J2(x+l)>出

当%>0时，函数/(%)的图象与函数y=%的图象有且只有一个交点,

即函数g(%)=/(%)-%恰有一个零点，

故》4。时，函数g(%)=/(%)-%也恰有一个零点，

即％<0时，函数/(%)的图象与函数y=%的图象有且只有一个交点,

1

故a>0,y=%与y=-，+。相切，解得：a=~^

故实数a的取值范围是(0,+8)u{-9，

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1

1.已知1<2。<2,那么函数/(久)=log。册的图象大致是()

答案D

解析vl<2a<2,0<a<1.

那么函数f（x）=/。或击的定义域为（-1,+8）,且单调递增.

图象大致是£>.

故选：D.

2.函数〃>）=等的图象是（）

答案B

if,%>1

解析y==

ex~r,x<1

.•・函数函数y=eTx-il的图象大致形状是:

故选：B.

4.函数y=\lg(x+1)|的图象是(

A.B.C.D.

答案A

解析由于函数y=匈(久+1)的图象可由函数y=/gx的图象左移一个单位而得至!l,

函数y=切%的图象与x轴的交点是(1,0),

故函数y=lg(x+1)的图象与x轴的交点是(。,0),

即函数y=|S(久+1)|的图象与x轴的公共点是(0,0),

考察四个选项中的图象只有4选项符合题意

故选：A.

5.函数y=1g|x|()

A.是偶函数，在区间(一8,0)上单调递增

B.是偶函数，在区间(一8,0)上单调递减

C.是奇函数，在区间(0,+8)上单调递增

D.是奇函数，在区间(0,+8)上单调递减

答案B

解析・函数y=匈因，

•1•/(-%)=lg\-x\-lg\x\=/(%),且x丰0,

二函数y=匈|x|是偶函数，

在(-8,0)上，y随x的增大而减小，

二函数y=匈|x|在区间(-叼。)上单调递减.

故选：B.

6.函数/(x)的图象向左平移一个单位长度，所得图象与y=〃关于x轴对称，则/'“)=

答案一廿-1

解析y=关于x轴对称的函数为-y=