2023年江苏中考数学一轮复习 训练第17讲 图形的相似(解析版)

第17讲图形的相似2023年中考数学一轮复习专题训练（江苏专用）

一、单选题

1.（2022・徐州）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1,则阴影部分的面积为（）

2.（2022・镇江）如图，点4、B、C、。在网格中小正方形的顶点处，与BC相交于点0,小正方形的

边长为1,则4。的长等于（）

3.（2022・盐城）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法

步骤：

第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；

第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；

第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段

横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；

第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10）,得到的值约为被测物体离观

测，点的距离值.

如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到

观测点的距离约为（)

睁开左眼时,

被测区\大拇指指向

物体od的他置

坨测物体离观

布点的距离

大拇抗

手臂长度

左眼1右眼

眼距

A.40米B.60米C.80米D.100米

4.（2022•扬州）如图,在ZL4BC中,AB<AC,将AABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE,点。在BC

边上，DE交4c于点F.下列结论：①UFEYDFC；②ZM平分NBQE；（3）ZCDF=/.BAD,其中所有

正确结论的序号是（）

A

A.①②B.②③C.①③D.①②③

5.（2022・连云港）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都

落在点。处，且点G、。、C在同一条直线上，同时点E、。、F在另一条直线上.小炜同

学得出以下结论：

①GF||EC；（2）AB=誓A。；③GE=瓜DF;@OC=2®OF;⑤&COFCEG.

A.①②③B.①③④C.①④⑤D.②③④

6.（2022•连云港）AABC的三边长分别为2,3,4,另有一个与它相似的三角形DEF,其最长边为

12,则4DEF的周长是（）

A.54B.36C.27D.21

7.（2022•泗阳模拟）两个相似三角形，其周长之比为3：2,则其面积比为（）

A.V3：V2B.3：2C.9：4D.不能确定

8.（2022•泗阳模拟）如图，在△ABC中，CH1AB,CH=h,AB=c,若内接正方形DEFG的边长是x,

则h、c、x的数量关系为（）

9.（2021・无锡）如图，D、E、F分别是XABC各边中点，则以下说法错误的是（）

A.4BDE和LDCF的面积相等

B.四边形AEDF是平行四边形

C.若AB=BC,则四边形AEDF是菱形

D.若乙4=90。，则四边形AEDF是矩形

10.（2021•姑苏模拟）如图，AB为。O的直径，弦CD与AB交于点E.若AC=AE,CE=4,DE=6,

则霭的值为（）

二、填空题

11.（2022•常州）如图,在RtAABC中，ZC=90°,AC=9,BC=12.在RtADEF中，ZF=90°,DF=3,

E尸=4.用一条始终绷直的弹性染色线连接CF,Rt/SOEF从起始位置（点。与点B重合）平移至终止位

置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段4B上，则内△ABC的外部被染色的区域面积是.

12.（2022•扬州模拟）如图，在ZkABC中，DE〃BC,若AD=1,DB=2,则柜的值为.

13.（2022•泗洪模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,在边BC上取点P,使NDAP的平分

线过DC的中点Q,则线段BP的长等于.

14.（2022•惠山模拟）如图，D、E分别是^ABC的边AB、AC上的点，H.DE||BC,BE、CD相交于

点0,若SADOE：SAEOC=1：9,则当SAADE=1时，四边形DBCE的面积是.

15.（2021•徐州）如图，在AABC中，点D,E分别在边BA,BC上，且罂=j|=|，ADBE与

四边形ADEC的面积的比为.

B

16.（2021•无锡）下列命题中，正确命题的个数为.

①所有的正方形都相似

②所有的菱形都相似

③边长相等的两个菱形都相似

④对角线相等的两个矩形都相似

17.（2021•镇江）如图，点D,E分别在AABC的边AC,AB上，AADE^AABC,M,N分别是DE,

BC的中点，若舞=义，则^DE=

AN2、AARC

18.（2021•宿迁）如图，在AABC中，AB=4,BC=5,点D、E分别在BC、AC±,CD=2BD,CF=2AF,

BE交AD于点F,则ZXAFE面积的最大值是.

19.（2021•扬州）如图，在△力BC中，AC=BC,矩形DEFG的顶点D、E在48上，点F、G分

别在BC、4C上，若CF=4,BF=3,且DE=2EF,则EF的长为.

20.（2021•建湖模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似

中心的位似图形，且相似比为1：3,点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6,则C点坐标

为

三、综合题

21.（2021•泰州）如图，在。O中，AB为直径，P为AB上一点，PA=1,PB=m（m为常数，且m>

0）.过点P的弦CDLAB,Q为宽上一动点（与点B不重合），AH±QD,垂足为H.连接AD、BQ.

①求证：ZOAD=60°；

②求器的值；

（2）用含m的代数式表示盎，请直接写出结果；

Un

（3）存在一个大小确定的。O,对于点Q的任意位置，都有BQ2-2DH2+PB?的值是一个定值，求

此时/Q的度数.

22.（2021•无锡）如图，四边形ABCD内接于。0,4C是。。的直径，AC与BD交于点E,

PB切。。于点B.

(1)求证：乙PBA=乙0BC；

(2)若/.PBA=20°，/.ACD=40°，求证：4OABFCDE.

23.（2022•镇江）已知，点E、F、G、H分别在正方形ABC。的边AB、BC、CD、AD上.

(1)如图1,当四边形EFG”是正方形时，求证：AE+AH=AB；

(2)如图2,已知=CF=CG,当AE、CF的大小有关系时，四边形EFGH是矩

形；

(3)如图3,AE=DG,EG、FH相交于点。，OE：OF=4：5.已知正方形4BC0的边长为16,FH

长为20,当的面积取最大值时，判断四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论.

24.(2022・无锡)如图，边长为6的等边三角形ABC内接于。0,点D为AC上的动点(点A、C除外)，

BD的延长线交。O于点E,连接CE.

(1)求证4CEDSXBAD；

(2)当DC=2AD时，求CE的长.

25.(2022•泗阳模拟)如图，/.BAD=Z.CAE,Z.B=Z.D.

(1)AABC与△ADE相似吗？为什么？

(2)如果力B=24Z),BC=4,那么DE的长为多少？

26.(2022•锡山模拟)【学习概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点

的线段称为对余线.

(1)【理解运用】

如图1,对余四边形中，AB=5,BC=6,CD=4,连接AC,若AC=AB,贝!!cos/ABC=

sinZCAD=.

(2)如图2,凸四边形中，AD=BD,AD±BD,当2CD?+CB?=CA?时，判断四边形ABCD是否

为对余四边形，证明你的结论.

图2

(3)【拓展提升】

在平面直角坐标中，A(-1,0),B(3,0),C(1,2),四边形ABCD是对余四边形，点E在对余

线BD上，且位于^ABC内部，ZAEC=90°+NABC.设需=u，点D的纵坐标为3请在下方横线

上直接写出u与t的函数表达，并注明t的取值范围-

27.(2021•丰县模拟)如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A,B的坐标分别为(4,0),

(4,3),动点M,N分别从O,B同时出发.以每秒1个单位的速度运动.其中，点M沿OA向终点A

运动，点N沿BC向终点C运动.过点M作MPLOA,交AC于P,连接NP,已知动点运动了x秒.

(1)P点的坐标为多少(用含x的代数式表示)；

(2)试求ANPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值;

(3)当x为何值时，aNPC是一个等腰三角形？简要说明理由.

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：如图:

VCD//AB,

/.△ABE^ACDE,

.AE_AB_4_0

，，CE=CD=27Z,

:・S阴影=lSAABC=|x|x4x4=^.

故答案为：C.

【分析】对图形进行点标注，易证△ABEsaCDE,根据相似三角形的性质可得弟=缥=2,根据同高

CECD

三角形的面积之比等于底之比得SWSK=|SAABC,然后结合三角形的面积公式进行计算.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：AD=6+42=5，AB=2,CD=3,

•.•AB〃DC,

.'.△AOB^ADOC,

.AO_AB_2

=CD=3'

・••设AO=2x,则OD=3x,

VAO+OD=AD,

2x+3x=5.

解得：x=l,

:.AO=2.

故答案为：A.

【分析】利用勾股定理可得AD的值，由图形可得AB=2,CD=3,易证△AOBsaDOC,根据相似三

角形的性质可得第=器=|,设AO=2x,则OD=3x,根据AO+OD=AD可得x的值，据此解答.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：由“跳眼法”的步骤可知被测物体与观测点的距离是横向距离的10倍.

观察图形，横向距离大约是汽车长度的2倍，为8米，

所以汽车到观测点的距离约为80米.

故答案为：C.

【分析】由“跳眼法'’的步骤可知被测物体与观测点的距离是横向距离的1()倍，观察图形可得横向距离

大约是汽车长度的2倍，据此解答.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：:•将4ABC以点A为中心逆时针旋转得到4ADE,

△ADE=△ABC9

・•・乙E=Z.C,

,:Z.AFE=(DFC,

：.△AFE-△DFC,故①正确；

•・,△ADE=△ABC,

:.AB=AD9Z-ADE=Z-ABC

・•・Z.ABD=Z.ADBf

:.Z-ADB=Z.ADE,

平分/BDE,故②正确；

ADE=△ABC,

:.Z.BAC=Z-DAE,

・•・乙BAD=乙CAE,

*.,△AFE~&DFC,

Z-CAE=乙CDF,

:.乙CDF=Z.BAD,

故③正确

故答案为：D.

【分析】根据旋转的性质可得4ADE四△ABC,则NE=NC,根据对顶角的性质可得/AFE=NDFC,

然后根据相似三角形的判定定理可判断①；根据全等三角形的性质可得AB=AD,ZADE=ZABC,由

等腰三角形的性质可得/ABD=NADB,贝Ij/ADB=/ADE,据此判断②；根据全等三角形的性质可

得NBAC=NDAE,则NBAD=NCAE,根据相似三角形的性质可得NCAE=NCDF,据此判断③.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：•••矩形ABCD沿着GE、EC、GF折叠，使得点A、B、D恰好落在点O处，

.*.DG=OG=AG,AE=OE=BE,OC=BC,ZDGF=ZFGO,ZAGE=ZOGE,ZAEG=ZOEG,

ZOEC=ZBEC,

NFGE=NFGO+NOGE=90°,NGEC=NOEG+/OEC=90°,

.•.ZFGE+ZGEC=180°,

・・・GF〃CE,

・,・①符合题意；

设AD=2a,AB=2b,则DG=OG=AG=a,AE=OE=BE=b,

，CG=OG+OC=3a,

在RtZkAGE中，由勾股定理得GE2=AG2+AE2,即GE2=a?+b2,

在RtAEBC中,由勾股定理得CE2=EB2+BC2,即CE2=b2+(2a)2,

在RtACGE中，由勾股定理得CG2=GE2+CE2,

(3a)2=:a2+b2+b2+(2a)2,

整理，解得：b=V2a,

r.AB=V2AD,

.•.②不符合题意；

设OF=DF=x,则CF=2b-x=2V2a-x,

在RSCOF中，由勾股定理得OF2+OC2CF2,

.,.x2+(2a)2=(2a-x)2,

解得：x=等,

，OF=DF=&

2

*'•V6DF=V5a,

又：GE2=a2+b2,

GE=V3a,

.•.GE=V6DF,

③符合题意；

2V2OF=2&x争=2a,

.\OC=2V2OF,

•••④符合题意；

:无法证明/FCO=/GCE,

，无法判断ACOFsACEG,

...⑤不符合题意；

,正确的有①③④.

故答案为：B.

【分析】由矩形性质和折叠的性质可得DG=OG=AG,AE=OE=BE,OC=BC,ZDGF=ZFGO,

NAGE=NOGE,NAEG=NOEG,NOEC=NBEC,从而可得NFGE=NFGO+NOGE=90。，ZGEC

=NOEG+NOEC=90°,得NFGE+NGEC=180°,可判定GF〃CE；设AD=2a,AB=2b,贝ijDG=

OG=AG=a,AE=OE=BE=b,得CG=OG+OC=3a,由勾股定理得GE2=a2+b?,CE2=b2+(2a)2,

CG2=GE?+CE2,即得(3a)2=a2+b2+b?+(2a)2,解得b=V^a,从而得AB=V^AD；设OF=DF=x,

则CF=2b-x=2夜a-x,由勾股定理得OF2+OC2=CF2,即x?+(2a)』(2a-x)2,解得x=^a,从而

得OF=DF=^a,进而求得GE=V^DF；又2V^OF=2在x学a=2a,从而可得...OC=2加OF；因条件不

足，无法证明NFCO=NGCE,因而无法判断ACOFsacEG.据此逐项分析即可得出正确答案.

6.【答案】C

【解析】【解答】••,△ABCS/XDEF,相似比唱=热

.N8C的周长厂1

•'△DEF的周长一可

.,.△DEF的周长=3(2+3+4)=27.

故答案为：C.

【分析】先求出AABCS/^DEF的相似比马，从而得出殁笑罂=看即可得出ADEF的周长=3

3ADEF的周长3

(2+3+4)=27.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：；相似三角形的周长比是3：2

...这两个三角形对应边之比为3：2

,这两个三角形面积比为9：4

故答案为：C.

【分析】根据相似三角形的相似比等于周长比，面积比等于相似比的平方进行解答.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：设CH与GF交于点M,

•••正方形DEFG,

GF||DE,乙GDE=乙DGF=90°,

:.ACGF〜ACAB,

GF_CM

^AB=CHf

・・・CHA.AB,

:.乙DHM=90°,

・•・四边形DHMG是矩形，

・・・DG=MH,

•:CH=h,4B=c,正方形DEFG的边长是x,

：•MH=%,

ACM=CH-MH=h—x,

x_h—x

Ac=_/T,

整理得工=《+工

xhc

故答案为：D.

【分析】设CH与GF交于点M,根据正方形性质得GF〃DE,ZGDE=ZDGF=90°,证△CGFs/iCAB,

易得四边形DHMG是矩形，得到DG=MH,由题意可得MH=x,CM=h-x,然后根据相似三角形的性质

进行解答.

9.【答案】C

【解析】【解答】解：•••点D、E、F分别是AABC三边的中点，

...DE、DF为^ABC得中位线，

，ED〃AC,且ED=1AC=AF；同理DF〃AB,且DF=|AB=AE,

.••四边形AEDF一定是平行四边形，故B正确；

△BDEBCA,△CDFCBA

•9^^BDE=^^BCA'_1

S〉CDF=4sABCA9

：.△BDE和△DCF的面积相等，故A正确;

9：AB=BC,

；.DF=1AB=AE,

四边形AEDF不一定是菱形，故C错误；

VZA=90°,则四边形AEDF是矩形，故D正确；

故答案为：C.

【分析】根据三角形中位线定理可得ED〃AC,且ED=1AC=AF,DF〃AB,且DF=1AB=AE,

可证四边形AEDF一定是平行四边形，由/A=90。,可证四边形AEDF是矩形;根据平行线可证4BDE〜

△BCA,4CDFFCBA,利用相似三角形的性质可得.据此判

SABDE=|sAec4.SACDF=|SABC4

断A、B、D；由AB=BC,可得DF=1AB=AE,从而得出四边形AEDF不一定是菱形，据此判断

C.

10.【答案】A

【解析】【解答】解：如图，过点O作OHLCD于点H,过点A作AMCD于点M

B

VDE=6,CEM

ACD=10

VOH±CD

ADH=CH=1CD=5

・・・HE=1

VAE=AC,AMICE

.'EM=CM=1CE=2

VOH1CD,AM±CD

AOH//AM

.HE_0E_1

^EM=AE=2

设OE=x,贝ljAE=2x

VOB=OA=3x

BE=OE+OB=3x+x=4x

.AE_2x_1

,"BE~4x~2

故答案为：A.

【分析】过点O作OHLCD于点H,过点A作AMLCD于点M,根据线段间的和差关系求出CD的

长，然后根据垂径定理求出DH的长，根据等腰三角形的性质求出EM的长，根据OH〃AM,列出比

例式，设OE=x,贝i」AE=2x,OB=3x,再根据线段间的和差关系求出BE=4x,最后求比值即可.

11.【答案】21

【解析】【解答】解：过点F作AB的垂线交于G,同时在图上标出M、N、F如下图：

•••zC=90°,AC=9,BC=12,

AB=\/AC2+BC2=15，

在RtaDEF中，NF=90°,DF=3,EF=4.

DE=yjDF2+FE2=5，

vAE=AB-DE=15-5=10,

•：EF//AF',EF=AF'，

.•・四边形ZEFF，为平行四边形，

AE=FF'=10,

11

VShDEF=/F•EF=专DE-GF=6,

解得：G/=第，

vDF11AC.

・•・Z.DFM=44cM,乙FDM=NCAM，

•••△DFMACM,

DM_DF_1

^AM~AC=39

1115

・・・DM="M==*，

・・・BC//AF\

同理可证：AANF'FDNC,

AFAN1

FF=T

345

・•・DN=34N==¥，

451530

・・・MN=DN-DM=券一詈=券

Rt△ABC的外部被染色的区域面积为S廨修MNF'F=④x（素+10）x导=21,

故答案为：21.

【分析】过点F作AB的垂线交于G,同时在图上标出M、N、F",利用勾股定理可得AB、DE,由

AE=AB-DE可得AE,推出四边形AEFF为平行四边形，得至UAE=FF=10,根据三角形的面积公式可得

GF,证明ADFMs/\ACM,AANF^ADNC,根据相似三角形的性质可得DM、DN,由MN=DN-DM

可得MN,然后根据RtAABC的外部被染色的区域面积为S怫般MNFF结合梯形的面积公式进行计算.

12.【答案】|

【解析】【解答】解：「DE〃BC

/.△ADE^AABC

ADDE^

：AB=~BC

故答案为：I.

【分析】由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ADEsaABC,

进而根据相似三角形对应边成比例可得需=器,据此计算.

13.【答案埒

【解析】【解答】解：如图，延长BC,AQ交于点E,

•••点Q是CD中点，

；.CQ=DQ,

•••四边形ABCD是矩形，

；.BC〃AD,BC=AD=3,

.,.△CQE^ADQA,

.CQ_CE__

"DQ~AD~

，CE=AD=3,

，BE=6,

VAQ平分NPAD,

，NPAQ=NDAQ,

•；BC〃AD,

.,.NE=NDAQ,

/.ZE=ZPAQ,

・・・AP=PE,

在RtZkABP中，AP2=AB2+BP2,

J(6-BP)2=4+BP2,

故答案为：I

【分析】延长BC,AQ交于点E,根据中点的概念可得CQ=DQ,根据矩形的性质可得BC〃AD,BC

=AD=3,证明ACQEsaDQA,根据相似三角形的性质可得CE=AD=3,则BE=6,由角平分线的

概念可得/PAQ=/DAQ,由平行线的性质可得/E=/DAQ,推出AP=PE,接下来利用勾股定理计

算即可.

14.【答案】8

【解析】【解答】解：

.♦.△DOEs△COB,AADE^AABC,

•竺_丝_匹

"OF-OC-BC）

.尊一冠）P

.DE_0D_1

,'fiC=OC=3'

,S4ADE—2_1

••曙嬴一（反）-9'

,4ABe=9sUDE—9,

:四边形BCED=SA4BC-SAADE=8,

故答案为：8.

【分析】由DE||BC,得出AADE-AABC,得出缁=黑=盖,再由舞器=(罂,=

根据相似三角形的性质得出照=罂=：,结合相似比等于面积比的平方，求出AABC的面积，即

可求出四边形DBCE的面积.

15.【答案】±

【解析】【解答】解：•••第=需=|,

.BD_BE_2

^AD=EC=3

.BD_BE_2

••近一前一弓

VZB=ZB,

△BDEBAC，

•S&BDE一冲22：_4

••立嬴T两）一（5）-25

J.ADBE与四边形ADEC的面积的比=4.

故答案是：言.

【分析】证明△BOE-ABZC，可得江郎=（第;，据此即可求出结论.

S&ABCBA

16.【答案】①

【解析】【解答】解：所有的正方形都相似，所以①正确；

所有的菱形不一定相似，所以②错误；

边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似所以③错误;

对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以④错误；

故答案是：①.

【分析】根据相似多边形的定义逐一判断即可.

17.【答案】1

【解析】【解答】解：••"，N分别是DE,BC的中点，

AAM.AN分别为AADE、ZkABC的中线，

VAADE^AABC,

.DE_AM_1

''BC~AN~21

.S/ADE_/DE、2=1

SAABCBC4'

故答案为：1.

【分析】根据相似三角形的中线比等于相似比得出错的比值，再根据相似三角形的面积比等于相似比

DC

的平方，即可解答.

18.【答案】1

【解析】【解答】解：如图，连接DF,

VCD=2BD,CF=2AF,

.CF_CD_2

^CA=CB=3'

vzc=zc,

ACDF^ACBA,

,,彩=黑=:'ZCFD=ZCAB,

，DF〃BA,

/.ADFE^AABE,

.DF_DE_2

"AB=AE=3'

・3

・,SA4EF=耳$44。尸'

VCF=2AF,

.1

•*S^ADF=J^ATIDC'

._1

•^^AEF='

VCD=2BD,

・2

・・S/^4DC=4SAABC，

・2

「△ABC中，ABM,BC=5,

当ABJ_BC时，AABC面积最大，为/x4x5=10，

此时zkAFE面积最大为iox1=1.

故答案为：|

【分析】连接DF,由算=黑=看，/C=/C,易得ACDFSACBA,可得/CFD=NCAB,即可得

LACDD

DF〃BA,即△DFES^ABE,可得黑=器=|，根据^AEF与^ADF同高，可得S^AEF=阻.，

j

同理可得S^ADp=^SA4DCS&4DC=；SA48C，可得SMEF=^SMBC，当aABC面积最大时，AAFE

面积最大，当ABJ_BC时，aABC面积最大，可得结果.

19.【答案】等

【解析】【解答】解：：DE=2EF,设EF=x,则DE=2x,

•.♦四边形DEFG是矩形，

，GF〃AB,

二ACGF^ACAB,

.GF_CF_4_4日n2%_4

,•而F=M=7'即AB=7'

•・•AABn=7%f

AAD+BE=AB-DE=^-2x=1x,

VAC=BC,

AZA=ZB,XDG=EF,ZADG=ZBEF=90°,

.'.△ADG^ABEF（AAS）,

，AD二BE二'1x=,

zL4

在^BEF中，BE2+EF2=BF2,

r,Q2

即（4%）+x2=32>

解得：x=等或-导（舍），

.12

■EF=耳'

故答案为：普.

【分析】设EF=x,贝ijDE=2x,证明△CGFs^CAB,利用相似三角形的性质求出48=与，从而求出

AD+BE=AB-DE=|x,证明AADG丝4BEF（AAS）,可得AD=BE=%,在ABEF中，BE2+EF2=

2

BF,可得（|X）+X2=32,求出X值即可.

20.【答案】（3,2）

【解析】【解答】解：正方形ABCD与正方形BEFG是以原点0为位似中心的位似图形，且位似

比为|.

BC_OB_1

"EF"OF"3'

而BE=EF=6,

,BC_OB_1

A~6=OF+6=3'

•*BC=2,OB=3,

・・・C（3,2）.

故答案为：（3,2）.

【分析】根据位似图形的性质得出等=器=：,从而得出等=溪^=%求出BC,OB的长，即可

得出点C的坐标.

21.【答案】（1）解：①如图，连接OD,则OA=OD

VAB=PA+PB=1+3=4

i

••0A=2aB=2

.\OP=AP=1

即点P是线段OA的中点

VCD1AB

・・.CD垂直平分线段OA

AOD=AD

AOA=OD=AD

即40AD是等边三角形

・•・ZOAD=60°

②连接AQ

：AB是直径

/.AQ1BQ

根据圆周角定理得：ZABQ=ZADH,

•'cos乙4BQ=cosZ-ADH

VAH±DQ

在RtAABQ和RtAADH中

BQDH

COS/.ABQ=前=cosZ-ADH=

AD

.BQ_AB

''DH=AD

：AD=0A=2,AB=4

.BQ_AB_4_

''DH-Ab-2-2

(2)解：连接AQ、BD

与(i)中的②相同，有器=瑞

；AB是直径

AAD1BD

.・・NDAB+NADP=NDAB+NABD=90。

AZADP=ZABD

RtAAPD^RtAADB

.PA_AD

^AD=AB

VAB=PA+PB=l+m

.\AD=y/PA-AB=V1+m

.BQ^_AB__1+m

=V14-m

,DHADJl+m

(3)解：由(2)知，=V1+ni

ABQ=

即BQ2=(1+m)DH2

BQ2-2DH2+PB2=(1+rri)DH2—2DH2+m2=(m-1)DH2+m2

当m=l时，，BQ2-2DH2+PB?是一个定值，且这个定值为1,此时PA二PB=1,即点P与圆心O重合

VCD±AB,OA=OD=1

•••△AOD是等腰直角三角形

JNOAD=45。

ZOAD与NQ对着同一条弧

.•.ZQ=ZOAD=45°

故存在半径为1的圆，对于点Q的任意位置，都有BQ?-2DH2+PB2的值是一个定值1,此时NQ的度

数为45.

【解析】【分析】(1)①连接OD,可得AB=4,0A=2,OP=AP=1,从而得出CD垂直平分线段OA,

证明

△OAD是等边三角形，可得NOAD=6()。；②连接AQ,由圆周角定理可得AQ_LBQ,ZABQ=ZADH,

即得cos乙4BQ=器=cos^ADH=耨代入相应数据即得结论；

⑵连接AQ、BD,同(1)中的②相同，有器=祭，证明RSAPDSRJADB,可得益=翳

由AB=PA+PB=l+m；可求出AD=yJPA-AB=VTTm，代入器=条即可求出结论；

222

(3)由(2)得BQ=即BQ2=(1+爪)。”2,从而求出BQ2_2DH+PB=(1+m)DW-

2DH2+m2=(m-1)Z)W2+m2,可知当m=l时，BQ?-ZDfF+PB?是一个定值，且这个定值为1,

此时PA=PB=1,即点P与圆心O重合，证出^AOD是等腰直角三角形，可得/Q=

NOAD=45。，据此即得结论.

22.【答案】(1)证明：..FC是。0的直径，

.,.ZABC=90°,

；PB切。。于点B,

.,.ZOBP=90°,

：.Z.PBA+Z.ABO=乙OBC+Z.ABO=90°,

：.^PBA=乙OBC；

(2)证明：'J/.PBA=20°,Z.PBA=^OBC,

：.^OBC=20°,

VOB=OC,

:.乙OCB=Z.OBC=20°,

.../AOB=20°+20°=40°,

VOB=OA,

二ZOAB=ZOBA=(180°-40°)4-2=70°,

，NADB=JZAOB=20°,

,：AC是(DO的直径，

.,.ZADC=90°,

.,.ZCDE=90°-20°=70°,

.\ZCDE=ZOAB,

ZACD=40°,

：.Z.ACD=Z.AOB=40°,

△OABCDE.

【解析】【分析】(1)根据圆周角定理且切线的性质可得NABO90。，NOBP=9()。，从而可得上PBA+

乙48。=乙。8C+乙4B。=90°,根据余角的性质即得结论；

(2)由三角形外角的性质得出NAOB=NACB+NOBC=40。，从而得出NAOB=NACD,由圆周角定理

可得NCDE=NOAB,根据两角分别相等可证△04B〜△CDE.

23.【答案】(1)证明：・・•四边形ABCD为正方形，

・"A=ZS=90°,

C.LAEH+Z-AHE=90°.

・・•四边形EFGH为正方形，

：.EH=EF,乙HEF=90°,

：.^AEH+^BEF=90°,

，乙BEF=(AHE.

在AAEH和XBFE中，

VZ./1=ZB=90°,Z.AHE=乙BEF,EH=FE,

:.〉AEH王ABFE.

：.AH=BE.

：.AE+AH=AE+BE=AB；

(2)AE=CF

(3)解：・・•四边形ABCD为正方形，

：.AB||CD.

9：AE=DG,AE||DG,

・・・四边形AEGD为平行四边形.

：.AD||EG.

：.EG||BC.

过点“作“M工BC,垂足为点M,交EG于点N,

.HN_HO

••丽二丽*

•：0E：09=4：5,

设OE=4%,0F=5x,HN=九，贝ij/=,

A/i=4(4—x).

:.s=1•OF-W/V=1-4x-4(4-x)=-8(久-2)24-32.

.•.当％=2时，4OEH的面积最大，

11

，OE=4x=8=尹G=OG,OF=5%=10=加尸=OH,

・・・四边形EFGH是平行四边形.

【解析】【解答］解：(2)AE二CF,证明如下：

・・•四边形ABCD为正方形，

：.z.A=ZF=90°,AB=BC二AD=CD,

VAE=AH,CF=CG,AE=CF,

.\AH=CG,

:.〉AEH三AFCG,

・・・EH=FG.

VAE=CF,

・・・AB—AE=BC—CF,即BE二BF,

・・・4BEF是等腰直角三角形，

AZBEF=ZBFE=45°,

VAE=AH,CF=CG,

.\ZAEH=ZCFG=45°,

/.ZHEF=ZEFG=90°,

.♦・EH〃FG,

・・・四边形EFGH是矩形.

【分析】(1)根据正方形的性质可得NA=NB=90。，EH=EF,NHEF=90。，根据同角的余角相等可得

ZBEF=ZAHE,证明△AEHgZ\BFE,得到AH=BE,据此证明；

(2)同理证明△AEHgZ\FCG,得到EH=FG,根据线段的和差关系可得BE=BF,推出AEBF是等腰直

角三角形，得至ijNBEF=NBFE=45。，易得NAEH=NCFG=45。，则NHEF=NEFG=90。，推出EH〃FG,

然后根据矩形的判定定理进行解答；

(3)根据正方形的性质可得AB〃CD,易得四边形AEGD为平行四边形，则AD〃EG,过点H作HM

1BC,垂足为点M,交EG于点N,设0E=4x,0F=5x,HN=h,根据平行线分线段成比例的性质可得

h,由三角形的面积公式可得S,根据二次函数的性质可得S的最大值以及对应的x的值，进而求出

OE、OF,然后结合平行四边形的判定定理进行解答.

24.【答案】(I)证明：•.•此所对的圆周角是乙4,乙E，

:•LA—LE,

又乙BDA=乙CDE,

/.△CEDBAD

(2)解：:AABC是等边三角形，

：.AC=AB=BC=6

°：DC=2AD,

=3AD,

・・・4D=2,DC=4,

:ACED〜ABAD,

.AD_BD_AB

=CD=CE'

.2_BD

••诙=丁'

:.BDDE=8；

连接AE,如图，

9：AB=BC,

：.AB=KC

AZBAC=/.BEA,

又NABD=乙EBA,

ABD〜AEBA,

.AB_PD

•,BE=AB'

：.AB2=BD•BE=BD•(BD+DE)=BD2+BD-DE,

A62=BD2+8,

•'•BD-2\/7(负值舍去)

•6_2"

''CE=~T'

解得，CE=^y/7

【解析】【分析】(1)根据圆周角定理可得NA=NE,由对顶角的性质可得NBDA=NCDE,然后根据

相似三角形的判定定理进行证明；

(2)根据等边三角形的性质得AC=AB=BC=6,结合已知条件可得AC=3AD,贝AD=2,DC=4,然后

根据相似三角形的性质可得BD-DE=8,连接AE,由圆周角定理可得/BAC=/BEA,证明AABDS4

EBA,根据相似三角形的性质可得BD、CE的值.

25.【答案】(DM：VZBAD=ZCAE,

二ZBAD+ZCAD=ZCAE+ZCAD,

即NBAC=NDAE,

在^ABC和ZkADE中

(Z.BAC=Z.DAE

INB=ND

.,.△ABC^AADE；

(2)解：VAABC^AADE,

.AD_DE

-'AB=BC，

VAB=2AD,BC=4,

.DE_1

•F=2'

；.DE=2,

即DE的长为2.

【解析】【分析】(1)根据/BAD=NCAE结合角的和差关系可得/BAC=NDAE,然后根据两组角对

应相等的两个三角形相似进行证明；

(2)根据AB=2AD,BC=4结合相似三角形的性质可得DE的长.

26.【答案】(1)|；A|

(2)解：如图②中，结论：四边形ABCD是对余四边形.

理由：过点D作DM_LDC,使得DM=DC,连接CM.

♦・•四边形ABCD中，AD=BD,AD±BD,

/.ZDAB=ZDBA=45O,

NDCM=NDMC=45。，

JZCDM=ZADB=90°,

・・・NADC=NBDM,

\・AD=DB,CD=DM,

.,.△ADC^ABDM(SAS),

，AC=BM,

,.・2CD2+CB2=CA2,CM2=DM2+CD2=2CD2,

ACM2+CB2=BM2,

AZBCM=90°,

.,.ZDCB=45°,

.♦・NDAB+NDCB=90。，

・・・四边形ABCD是对余四边形.

(3)U=y(0<t<4)

【解析】【解答］解：(1)过A作AELBC于E,过C作CFLAD于F

VAB=AC,AE±BC

图①

JcosNABC=AB=F5

•/四边形ABCD是对余四边形,

・・・NB+ND=90。

又・・・NB+NBAE=90。

AZD=ZBAE

又「ZCFD=ZAEB=90°

/.△ABE^ADCF

.AB_BE

^CD=CF

・5_3

•,4=CF

：.CF=导

••・sin/CAD=益嗯

故答案为：称，n;

(3)如图③中，过点D作DH，x轴于H.

AOA=1,OB=3,AB=4,AC=BC=2y/2，

AAC2+BC2=AB2,

.,.ZACB=90°,

・・・NCBA=NCAB=45。，

・・・四边形ABCD是对余四边形,

.\ZADC+ZABC=90o,

AZADC=45°,

・.,ZAEC=90°+ZABC=135°,

・・・NADC+NAEC=180。，

AA,D,C,E四点共圆，