经典（超越）不等式（解析版）2023年高考数学技巧练习

专题07经典(超越)不等式

一、结论

⑴对数形式：无≥1+Inx(x>()),当且仅当％=1时,等号成立.

⑵指数形式：e'NX+l(χGR),当且仅当X=O时,等号成立.

进一■步可得到一组不等式链：e*>x+l>x>l+lnx(x>0且XRI)

上述两个经典不等式的原型是来自于泰勒级数：

Y2n,θx

e'=l+χ+±+…+χL+-^f—χn+l;

2!n∖5+1)!

r2r3xn+l

nn+

In(I+x)=X-----d-------+(-D+o(x')i

23n+1

截取片段：

e'≥x+l(x∈R)

ln(l+x)≤x(x>-l),当且仅当X=O时,等号成立；

进而：Inx≤尤—l(x>0)当且仅当χ=l时,等号成立

二、典型例题

2--

例题1.(2023•陕西咸阳•校考模拟预测)已知α=g,8=e5,c=ln5-In4,则()

A∙a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【答案】C

【详解】/(Λ-)=ex-l-x

/(X)=e"-1,则X∈(0,供),/(X)>0,Xe(Y,0),/(X)<0,故函数/(ɪ)在(e,0)单调递减，

(0,+。)单调递增，则/(尤)≥/(O)=O

则e'-l-x≥0,即e**l+x

,22

由e*≥l+x,∙'∙e5>—,故

5

同理可证ln(l+x)≤x

又∙ln(l+x)≤x,.1ln5-ln4=ln(l+；)<；,则6>α>c

故选：C.

【反思】对于指数形式：e'≥x+l(xeA),当且仅当x=0时,等号成立，该不等式是可以变

形使用的：

-^≤→ex≤-

∕2x+l(x∈R)T替换">"'2—x+l,即L≥ll~x

e'-J⅛∕≥-L

.1—x

注意使用时X的取值范围；

同样的还可以如下处理：/Nx+I(XGR)两边同时取对数：x≥ln(x+l)(x>-l),同样可

以变形使用：

I

x≥ln(x+l)(x>-l)—七∙'W'→x-1≥Inx(x>0)—中ai同)以：T?一>l-χ≤-l∏X(X>0)；

1用小替换q”1X-I

l-x≤-lnX(X>0)<⅛>1-%≤In—(x>0)------4---------->1——<Inx<=>------≤Inx

XXX

注意使用时X的取值范围.

另外，选择填空题中，涉及到超越不等式可以直接使用，但是注意，解答题中一定要先证

后用.

例题2.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=e'-x-l.

(1)证明：/(x)≥0;

⑵证明：0+g)(l+/)(l+^7)<e.

【答案】(1)证明见解析

⑵证明见解析

【详解】(1).Γ(x)=e'-1,

令∕<x)>0,得*>0；令/'(x)<O,得x<O,

所以f(x)在(-s,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

所F(X)的最小值为/(o)=o,所以/(尤)NO.

x

(2)由(1)知，当Xe(O,+∞)时，/(x)>/(O)=0,BPe-x-l>0.即e*>x+l,即x>ln(x+l),

令X=?,得In[I+£)<£'

所以In((I+)(1+卦(1+口=In(T+ln„++皿+£)

111».1.

<-+—÷+—=—^-------1<1,

222*X12n

1—

2

【反思】注意在解答题中e*21+x,x≥l+lnx(x>O)等超越不等式，及其变形式，不能

直接使用，需要证明后才可以使用，才可以进一步变形得到有利于解题的不等式.

三、针对训练举一反三

一、单选题

20222023

1.(2023春•浙江∙r¾三校联考开学考试)设。=M⅛=tan-!—∙e,c=sin—∙e,

202220222023

则()

A.c<b<aB.c<a<b

C.a<c<bD.a<b<c

【答案】B

【详解】设/(x)=e*—(x+l),则∕∙'(x)=e*-l,在(0,+8)时，∕,(x)>0,在(一甩。)时，

/'(x)<0,

所以/(x)mi∏=/(O)=°，即e'-(x+l)≥O,所以e*2x+l对任意XeR均成立.取X=壶,

120231⅛1

有e2侬>_!_+1=------,以-----e20-2>-------

2022202220232022

112022,两边取倒数，即e七<竺”,

再取X=一'If1,e，心>1—

2023202320232022

所以一!一e康<1

20232022,

又当x∈(θ,∙∣∙)时，设尸(X)=X-SinX,

G(X)=tanX-X,则k(X)=1—cosx>0τ

22

G，(X)=(^ɪj-l=1-cosXsinX0,即F(X)和G(X)在0,■!均递增,

——>

COSXCOS2XCOS"X

所以内/(O)=0,G(x)>G(O)=O,即XE(O,时，sinx<x<tanx,所以

11ɪ1]

20232023120222022

sin-------e<-------e<------<-------e<tan------e

20232023202220232023

1—

由tanX在Xe(O,制单调递增，可得tan120222022

e<tan-------e,βPc<a<b.

20232022

故选：B

02

2.(2023秋•江苏苏州•高三常熟中学校考期末)a=e,b=Iog78,c=1(‰7,则()

A.a>b>cB.b>a>c

C.a>c>bD.c>a>b

【答案】C

【详解】令/(X)=华+D(X>0)

∖nx

xlnx-(Λ∙+l)ln(x+l)

则f'M=显然f'(χ)<0

x(x+l)ln2x

即/(X)单调递减，所以也？>"，即Iog67>k)g78,Oh.

InoIn7

令^(ɪ)=ex-x-∖(x≥0)

则/(x)=e*-l∙0,即g(x)在。+8)上单调递增

所以g(x)≥g(0)=0,即e*≥x+l,

所以efλ2>0.2+l=t

令"X)=AInx

In6

ɪ_1

则"(X)=

6XIn6

当/(x)>0时，x>£,即6(x)在(二,+8)上单调递增

InoIno

又〃(6)=0,所以当x>6时，Λ(x)>Λ(6)=0

所以久7)>人⑹=。，upɪ-->0

6In6

7

epiog7<-,

6O

又所以bg67<Z<∙∣<e°2,即c<a.

6565

综上：a>c>b.

故选：C.

3.(2023•云南曲靖•统考一模)已知〃=e-2,fe=l-ln2,c=ee-e2,则()

A.c>b>aB.a>b>cC.a>c>hD.c>a>b

【答案】D

【详解】令f(x)=X-I-InX,x>0,

贝IJf(e)=e-l-lne=e-2=q,/(2)=2-l-ln2=l-ln2=fe,

.∙.当x>l时，∕,(x)>0,/(χ)单调递增,

.∙./(e)>∕(2),即

令g(x)=e'-x,贝∣Jg'(x)=e"-1,

J.当x>0时，g'(x)>O,g(x)单调递增，

g(e)>g(2),即e°-e>e2-2,

所以e°-e?>e-2,即c>α.

综上，c>a>b.

故选：D.

4.(2023•全国•高三专题练习)已知"=e'"',Z>=sinl,C=Cosl,则()

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】C

【详解】解：当x∈(j日,si∏r>cosx,又lʤ弓)，所以sinl>cosl,故Z>>c

记/(x)=e*-x-l,所以,f'(x)=e*-l,

令得x<0,令用x)>0,得x>0,

所以在(-8,0)单调递减，在(0.+向单调递增.

j

所以f(x)≥∕(O)=O,gpe-x-l>O,当X=O时取等号.

所以“=es'nl^l>(sinl-1)+1=sinl=⅛,

所以C<6<".

故选：C.

5.(2023•全国•高三专题练习)已知α>A+l>l则下列不等式一定成立的是()

A.妆-α∣>bB.ci—>bT—

ab

.b+∖eb..,.

Cr.-------<------D.a+lnb<b+ιna

a-∖Intz

【答案】c

【详解】取。=10*=8,则怜-α∣vb,故A选项错误;

取α=3,b=∖,a+-=h+^-,则B选项错误；

3ab

取α=3,h=∖,则α+lnb=3,0+lnα=1+ln3<1+lne?=3,∏Pa+∖nb>b+∖na,

故D选项错误；

关于C选项，先证明一个不等式：e'≥x+ι,令y=e*7-l,y=et-l,

于是x>o时y'>o,y递增；XVO时V<o,y递减；

所以X=O时，y有极小值，也是最小值e°-0-l=0,

于是y=e*-x-l≥O,当且仅当X=O取得等号，

由e*≥x+l,当X>-1时，同时取对数可得，x≥ln(x+l),

再用x-l替换X,得到X-INlnX,当且仅当X=I取得等号,

由于。〉Z?+1〉1,得到e”>8+l,InaVa-1,\>1>——,即"十1Vf—,

Inaea-∖∖na

C选项正确.

故选：C.

6.(2023・全国•高三专题练习)已知实数α,bf。满足αc=/,且Q+。+C=In(。+匕)，则

()

A.c<a<bB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a

【答案】A

【详解】设F(X)=InX—x+1,则/")=：一I=9，

当x∈(0,l)时，/^x)>0,/(x)单调递增，当X«1,用)时，Γ(x)<0,/(x)单调递减,

.∖∕(x)≤∕(l)=O,即InX≤工-1,

所以In(I+6)≤o+b-1,所以α+8+c≤α+Z?—1,BPc≤-l,

又ac-Ir>O,所以cι<O,由〃+/?>O,所以。>—ci>O,

所以房>/,即a。a/,所以c<〃，所以c<αQ.

故选：A.

7.(2023・全国•高三专题练习)若正实数〃，〃满足lnα+ln/≥2o+∙^-2,则()

2

A.a+2b=V2H—B.ci~2b=—2∙∖∕2

42

C.a>b1D.h2—4a<0

【答案】B

到各不等式取等号的条件，解得。力的值，然后逐一检验即可做出正确判断.

【详解】先证明熟知的结论：X-INInX恒成立，且当且仅当X=I时取等号.

设〃x)=x—l—Inx,则尸(X)=I-I

在(0,1)上，r(x)<0j(x)单调递减;在(1,+8)上，r(x)>0j(x)单调递增.

故S,="I)T一>°=°，

/(x)=x-lNInX恒成立，且当且仅当x=l时取等号.

由2ɑ+2-2≥2J2ɑxd-2=2

Nab2-l)≥21n∖∣ab2=In«+Ini>2,

2V2

方2

由已知In4+In从≤2〃+-----2,

2

b2

2〃=—

.,.∖na+∖nh2=2a-∖------2,且＜2,

∖∣ab2=1

'ɪ

解得「,

⅛=√2

经检验只有B正确，

故选：B.

8.（2023,四川南充•四川省南充高级中学校考模拟预测）已知成等比数列，且

aλ+a2+a3+a4=ln(01+02+¾).若4>1,则

A.ax<a3,a2<a4B.cιl>a3,a2<a4C.<a3,a2>a4D.>a3,a2>a4

【答案】B

【详解】令/(X)=XTnXT则/(X)=I-L,令/'(X)=O,得x=l,所以当x>l时，Γ(x)>0,

X

当0<xvl时，f,(x)<O,因此/(x)≥∕(l)=O,.∙.XNlnx+l,

若公比4>0,则q+%+/+%>4+/+%>ln(q+出+%)，不合题意；

若公比q≤τ,则α]+α2+α3+α4=4(i+q)(i+q2)≤0,

ΠΛ2

但ln(q+a2+a3)=1[I(1+^+^)]>Inax>O,

即4+4+为+%≤0<ln(4+42+α3),不合题意;

因此一1<4<0国2∈(0,l),

22

/.a]>a]q=a3,a2<a2q=¾<O,选B.

二、填空题

9.(2022春・广东佛山•高二佛山市顺德区容山中学校考期中)已知对任意X,都有

xe2x-ax-x≥∖+∖nx,则实数Q的取值范围是.

【答案】(-∞,1]

【详解】根据题意可知，x>0,

由x∙e”-aX-X≥1+inx,nʃ^≤e2x-ɪŋʌ+ɪ_ɪ(x>(Y)恒成立，

令"x)=e2，一生等一1，则α≤∕(①,,

现证明e`≥x+1恒成立,设g(x)=e'-x—1,

g'(x)=e'-1,当/(x)=0时，解得：x=0,

当％VO时,gr(x)<0,g(x)单调递减,

当x>0时，g'(χ)<0,g(x)单调递增，故X=O时，函数g(x)取得最小值，g(0)=0,

所以g(x)≥g(0)=0,即产7-拈0<=>6一1+1恒成立，

_/X2*Inx÷1X∙c~x—In%—1«

/(x)=∕x--------------1=----------------------],

X