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文档简介
关于随机变量及其分布函数§2.1随机变量及其分布函数一、随机变量的引入二、随机变量的概念三、随机变量的分布函数四、随机变量的分类第2页,共27页,2024年2月25日,星期天1.为什么引入随机变量?一、随机变量的概念引入2.随机变量的引入
概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的,为了更方便有力的研究随机现象,就要用数学分析的方法来研究,因此为了便于数学上的推导和计算,就需将任意的随机事件数量化.当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时,就建立起了随机变量的概念.第3页,共27页,2024年2月25日,星期天实例1袋中有3只黑球,2只白球,从中任意取出3只球,观察取出的3只球中的黑球的个数.我们将3只黑球分别记作1,2,3号,2只白球分别记作4,5号,则该试验的样本空间为我们记取出的黑球数为X,则X
的可能取值为1,2,3.因此,X
是一个变量.但是,X取什么值依赖于试验结果,即X的取值带有随机性,所以,我们称X为随机变量.第4页,共27页,2024年2月25日,星期天X
的取值情况可由下表给出:
由上表可以看出,该随机试验的每一个结果都对应着变量X
的一个确定的取值,因此变量X是样本空间Ω上的函数.第5页,共27页,2024年2月25日,星期天
由上表可以看出,该随机试验的每一个结果都对应着变量X
的一个确定的取值,因此变量X是样本空间Ω上的函数:
我们定义了随机变量后,就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件.例如表示取出2个黑球这一事件;表示至少取出2个黑球这一事件,等等.第6页,共27页,2024年2月25日,星期天实例2
在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色.Ω={红色、白色}
非数量将Ω
数量化可采用下列方法红色白色即有X(红色)=1,X(白色)=0.这样便将非数量的Ω={红色,白色}数量化了.第7页,共27页,2024年2月25日,星期天实例3
抛掷骰子,观察出现的点数.S={1,2,3,4,5,6}样本点本身就是数量恒等变换且有则有第8页,共27页,2024年2月25日,星期天二、随机变量的概念1.定义设E是一个随机试验,Ω是其样本空间.为一个随机变量,我们称样本空间上的函数:RωΩ随机事件数量化第9页,共27页,2024年2月25日,星期天说明(4)随机变量与普通的函数不同
随机变量是一个函数,但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不一定是实数).即随机事件数量化.第10页,共27页,2024年2月25日,星期天(5)随机变量的取值具有一定的概率规律
随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随机变量的取值也有一定的概率规律.(6)随机变量与随机事件的关系
随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内.或者说:随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象.第11页,共27页,2024年2月25日,星期天实例4
掷一个硬币,观察出现的面,共有两个结果:若用X表示掷一个硬币出现正面的次数,则有即X(ω)是一个随机变量.随机事件数量化2.例子第12页,共27页,2024年2月25日,星期天实例5
在有两个孩子的家庭中,考虑其性别,共有4个样本点:若用X表示该家女孩子的个数时,则有可得随机变量X(ω),第13页,共27页,2024年2月25日,星期天实例6
设盒中有5个球(2白3黑),从中任抽3个,则是一个随机变量.实例7
设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了30次,则是一个随机变量.且X(e)的所有可能取值为:且X(ω)的所有可能取值为:第14页,共27页,2024年2月25日,星期天称为
X
的分布函数.对于任意的实数x1,x2(x1<x2),有:x1
x2
xXo0xxX三、随机变量的分布函数1.概念定义设X是一个随机变量,x
是任意实数,函数注意到X的分布函数是一个普通函数.第15页,共27页,2024年2月25日,星期天02xX3-1x2.例子例1
设随机变量X
的为:解:当
x<-1
时,满足求
X的分布函数.满足第16页,共27页,2024年2月25日,星期天满足2x3-1xX例1
设随机变量X
的为:求
X的分布函数.满足满足第17页,共27页,2024年2月25日,星期天总之-10123
x1第18页,共27页,2024年2月25日,星期天例2
一个靶子是半径为2
米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数.解:X(1)若
x<0,满足(2)满足据题意第19页,共27页,2024年2月25日,星期天01231F(x)x例2
一个靶子是半径为2
米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数.解:(1)若
x<0,(2)(3)满足是必然事件,于是总之第20页,共27页,2024年2月25日,星期天3.性质从以上分布函数的图象可以看出,分布函数
F(x)具有以下基本性质:10
F(x)是一个不减的函数.事实上,01231F(x)x2030性质20,30不加证明了,可以直观理解.第21页,共27页,2024年2月25日,星期天3.性质10
F(x)是一个单调不减的函数.01231F(x)x2030-101231xF(x)另外,可以证明:(1)分布函数必须满足以上三个性质.(2)满足以上三个性质的函数一定是某一个随机变量的分布函数.第22页,共27页,2024年2月25日,星期天4.用分布函数计算某些事件的概率则F(x)是一个单调不减的函数,单侧极限一定存在.第23页,共27页,2024年2月25日,星期天例3第24页,共27页,2024年2月25日,星期天例4由分布函数的性质,我们有解:解方程组得第25页,共27页,2024年2月25日,星期天四、随机变量的分类离散型随机变量连续型非离散型其它
根
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