新高考数学一轮复习题型归类与强化测试（新高考专用） 空间点线面之间的位置关系

专题42空间点、线、面之间的位置关系

知考纲要求

识考点预测

梳常用结论

理方法技巧

题型一：平面的基本性质

题型二：空间两直线的位置关系

题题型三：求两条异面直线所成的角

型题型四：空间几何体的切割（截面）问题

归题型五：

类题型六：

题型七：

题型八：

题型九：

训练一：

培训练二：

优训练三：

训训练四：

练训练五：

训练六：

强单选题：共8题

化多选题：共4题

测填空题：共4题

试解答题：共6题

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上抽象出空间点、直线、平

面的位置关系的定义.

2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题.

【考点预测】

1.与平面有关的基本事实及推论

(1)与平面有关的三个基本事实

基本事实内容图形符号

A,B,。三点不共

基本过不在一条直线上的三

线今存在唯一的a使

事实1个点，有且只有一个平面

A,B,CGa

如果一条直线上的两个

基本4日,8曰，且ZGa,

点在一个平面内，那么这

事实2BGanlua

条直线在这个平面内

如果两个不重合的平面

基本有一个公共点，那么它们PGa,且Pe^台a

事实3有且只有一条过该点的n£=/,且pe/

公共直线

(2)基本事实1的三个推论

推论内容图形作用

经过一条直线和这条直线外

推论1

一点，有且只有一个平面心/

经过两条相交直线，有且只确定平面的

推论2

有一个平面依据

经过两条平行直线，有且只

推论3

有一个平面

2.空间点、直线、平面之间的位置关系

直线与直线直线与平面平面与平面

图形------a//

平行语言一4A___/好~~7

关系符号

a//ba//aa//[i

语言

图形

1xa/

相交语言

关系符号

aP\b=AaClaC0=l

语言

图形/b

独有语言J-------,

关系符号a,b是

aua

语言异面直线

3.基本事实4和等角定理

平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

4.异面直线所成的角

(1)定义：已知6是两条异面直线，经过空间任意一点。作直线优〃mh'//b,把优与"所

成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

(2)范围：叵

【常用结论】

1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3.

2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异

面直线所成的角，也可能等于其补角.

【方法技巧】

1.共面、共线、共点问题的证明

(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.

(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.

(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.

2.点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正

方体为模型.

3.求异面直线所成的角的三个步骤

一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角.

二证：证明作出的角是异面直线所成的角.

三求：解三南形，求出所作的南.

4.作截面应遵循的三个原则：

①在同一平面上的两点可引直线；

②凡是相交的直线都要画出它们的交点；

③凡是相交的平面都要画出它们的交线.

5.作交线的方法有如下两种：

①利用基本事实3作交线；

②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.

二、【题型归类】

【题型一】平面的基本性质

【典例1】如图所示，在正方体中，E，E分别是和44i的中点，求证：E，

C，Di，E四点共面.

【证明】如图所示，连接CDi，EF'A\B，

因为E，尸分别是48和441的中点，所以£尸〃/山且£尸=1/山.

2

又因为小平行8c且小。1=8。，

所以四边形力山。|是平行四边形，

所以48〃C7）i，所以石厂〃。。，

所以EF与C£>i确定一个平面a，

所以E'F'C'OiCa，

即E，C，。，产四点共面.

【典例2】（多选）如图，在长方体中，。是的中点，直线4。交平面。山。

于点M，则下列结论正确的是（）

A.G，M，。三点共线

B.C，M，O，。四点共面

C.Ci，。，小，M四点共面

D.DrD，O，"四点共面

【解析】连接小G，ZC，则4CC8O=。>又小cn平面C1BD=M，所以三

点C\'M'O在平面CiBD与平面NCG4的交线上，所以Ci，M，O三点共

线，所以选项A，B，C均正确，选项D错误.

A'R

故选ABC.

【典例3］如图，空间四边形/BCD中，E，尸分别是4?的中点，6，冃分别在8。。。

上，且8G：GC=DH:HC=1:2.

（1）求证：E，F，G，”四点共面；

⑵设EG与可交于点P，求证：P，/，C三点共线.

【解析】（1）因为E，尸分别为48>AD的中点，即以EF〃BD.在LBCD中，—>所

GCHC2

以GH〃BD，就以EF〃GH、所以£，尸，G，”四点共面.

（2）因为EGCFH=P，PGEG，EGU平面ABC，

所以PG平面/8C.同理PC平面力0c.

所以「为平面N8C与平面/DC的公共点，

又平面Z8Cn平面ADC=AC，

所以PGZC，所以P，A，。三点共线.

【题型二】空间两直线的位置关系

【典例1】如图，点N为正方形/8C0的中心，△ECD为正三角形，平面ECQ丄平面

M是线段E。的中点，则（）

A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线

B.BM手EN,且直线8M,EN是相交直线

C.BM=EN,且直线EN是异面直线

D.BMWEN,且直线BM,EN是异面直线

【解析】如图，取CD的中点、F,连接EE,EB,BD,FN,因为△•）£是正三角形，所以EF工CD.

设CD=2,则因为点N是正方形的中心，所以BD=23,NF=1,BC±CD.

因为平面ECO丄平面480,所以EE丄平面Z8CD,8C丄平面ECO,所以EF：LNF,BCLEC,

所以在RtAEFN中，EN=2,在RSCE中，EB=2&所以在等腰三角形BDE中，BM=®

所以BM手EN.易知BM,EN是相交直线.

故选B.

【典例2】已知空间三条直线/,m,n,若/与加异面，且/与〃异面，则（）

A.机与〃异面

B.m与“相交

C.加与〃平行

D.m与"异面、相交、平行均有可能

【解析】在如图所示的长方体中，加，〃1与/都异面，但是〃,所以A,B错误；m,tn

与/都异面，且”?，〃2也异面，所以C错误.

故选D.

【典例3］如图，正方体/BCD-481coi中，M,N分别为棱C0i,GC的中点，有以下四个

结论：

①直线ZM与CG是相交直线；

②直线与8N是平行直线；

③直线8N与是异面直线；

④直线AM与DD\是异面直线.

其中正确的结论是（注：把你认为正确的结论的序号都填上）.

【解析】直线4M与CG是异面直线，直线与8N也是异面直线，故①②错误.

答案：③④

【题型三】求两条异面直线所成的角

【典例1】如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱NBC。-45GB中，AA,=2AB

=2,则异面直线48与/人所成角的余弦值为（）

A.-B.-

55

„3八4

D.一

55

【解析】连接8G,易证则/力山。即为异面直线48与NA所成的角.连接4G,

由48=1,441=2,易得小。=/，AiB=BC尸®故cos/NiBC：4"4G=4,

2XA1BXBQ5

即异面直线48与ADx所成角的余弦值为:.故选D.

【典例2】在长方体中，AB=BC=1,AAI=3,则异面直线ZOi与。田所成

角的余弦值为（）

1/「小八啦

A.一B.C.——D.一

5652

【解析】如图，连接8n，交。81于0,取48的中点连接。M,O"易知。为8。的中

点，所以4）i〃OA/,则NM。。为异面直线与。S所成角或其补角.因为在长方体

中，AB=BC=\,44尸3,

AD\=：y]AD2+DD^=2,

DM=\I4D21A4=当

DB\=W¥+/02+D济=在

所以OM=1/£)i=1,OD=~DB\=—,

222

于是在△OMO中，由余弦定理,

得cosZMOD=2X1*5

即异面直线ZA与。81所成角的余弦值为g.

【典例3】在正方体/BCD—/山iG。中，P为81。的中点，则直线必与/0所成的角为

()

A-2BiC4D6

【解析】如图，连接GP,因为Z8CD—是正方体，且P为囱。।

的中点，所以GP丄囱A,又CiP工BB\,BiDSBB尸Bi,B\D\,平

面BiBP,所以CP丄平面6山尸.又8Pu平面6山尸，所以有CiP丄8P.连接

6G,则所以NP8C为直线P8与/。।所成的角.设正方体/8CO

一/山iGDi的棱长为2,则在Rt^GPB中，CIP=LBQ尸亚,8a=2/，sinZPBC\=­=

2BC\

所以NP8G=£

26

故选D.

【题型四】空间几何体的切割（截面）问题

【典例1】在正方体48。。一48|。。1中，M,N分别是棱。。1和85上的点，MD=；DDi,

NB=^BB\,那么正方体中过M,N,G的截面图形是（）

A.三角形B.四边形

C.五边形D.六边形

【解析】先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的

交点.

如图，设直线GM,C。相交于点P,直线GN,C3相交于点。，连接P0交直线/。于点E,

交直线N8于点色则五边形GME/W为所求截面图形.

故选C.

【典例2】（多选）正方体/BCD一小囱GA的棱长为2,已知平面a丄/。，则关于a截此正方体

所得截面的判断正确的是（）

A.截面形状可能为正三角形

B.截面形状可能为正方形

C.截面形状可能为正六边形

D.截面面积最大值为33

【解析】易知A,C正确，B不正确，下面说明D正确，

如图，截面为正六边形，当六边形的顶点均为棱的中点时，其面积最大，MN=2&GH=^2,

OE=、OO,2+0£2={+图2=遍,

所以5=2义3义（啦+2啦）X?=3S,

故D正确.

故选ACD.

【典例3]如图，正方体4c的棱长为1,点/在棱4A上，A\M=2MD\,过〃的平面a与

平面48G平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为.

【解析】在平面4OD4中寻找与平面46a平行的直线时，只需要ME〃BC\,如图所示，

因为4M=2MA,故该截面与正方体的交点位于靠近Oi,A,。的三等分点处，故可得截面

为MIHGFE,

设正方体的棱长为3a,

则ME=2也7,MI=\[2a,

IH=2\l2a,HG=0a,EG=2/a,EF=^2a,

所以截面MIHGFE的周长为ME+EF+FG+GH-\-Hl+lM=9^2a,

又因为正方体ZC的棱长为1,即3a=1,

故截面多边形的周长为3s.

三、【培优训练】

【训练一】平面a过正方体/6CLM囚CQ1的顶点/>a〃平面CB\D\'an平面ABCD=m，

aD平面，则加，〃所成角的正弦值为（）

【解析】如图所示）设平面CBiDiC平面4BCD=mi，

因为a〃平面C8Q，则加|〃加，又因为平面/8C。〃平面/肉。。|呼面C8QH平面

—B\D\>

所以B\D\//m\'

所以9。1〃加，同理可得。

故m'n所成角的大小与B\D\'CD\所成角的大小相等，即NCTJ/i的大小.

又因为8C=8Q=CDi（均为面对角线），

所以NCDI8I=工，

3

得sinZC£>i5i=­，故选A.

2

【训练二】已知直四棱柱的棱长均为2，NA4D=60°.以Di为球心，近为半

径的球面与侧面3CG81的交线长为

【解析】如图，连接8Q，易知△SGQi为正三角形，所以8。产GOi=2.分别取BQ，88i，

CCi的中点M，G，〃，连接。'D\G，DiH，则易得DIG=DIH=F^

=3，'且。iM=S.由题意知G，”分别是881，CC\与球

面的交点.在侧面BCC\B\内任取一点P，使MP=yl2，连接D\P，则D\P

="必+叱=7（伪2+（啦）2=3，连接MG，MH，易得MG

=MH=6，故可知以M为圆心也为半径的圆弧G，为球面与侧面8CC山।的交线.由NSMG

=NGM〃=45°知NGA/〃=90°，所以曲的长为丄X2n乂/=加工

42

【训练三】如图，E,F,G,"分别是空间四边形各边上的点，且AE：EB=AH：HD

=ni,CF：FB=CG:GD=n.

（1）证明：E,F,G,〃四点共面；

（2而，“满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？

（3）在（2）的条件下，若ZC丄80,试证明：EG=FH.

【解析】（1）证明：因为/£：EB=AH：HD,所以EH//BD.

又CF：FB=CG：GD,

所以尸G〃BD.所以EH//FG.

所以E,F,G,"四点共面.

(2)当E”〃尸G,且时，四边形ENG”为平行四边形.

因为旦g=4g=，一,所以E“=亠—BD

BDAE+EB"?+1加+1

同理可得产G=-4-6。，由EH=FG,得/»=〃.

〃+1

故当加=〃时，四边形EFG”为平行四边形.

(3)证明：当m=n时，AE：EB=CF:FB,

所以EF〃AC,

又EH//BD,

所以NEE"是ZC与8。所成的角(或其补角)，

因为4C丄8。，所以NFEH=90°,

从而平行四边形EFGH为矩形，所以EG=FH.

【训练四】如图1，在边长为4的正三角形/8C中，D,产分别为〃6,ZC的中点，E为AD

的中点.将△8C。与分别沿CO,£尸同侧折起，使得二面角工一律一。与二面角3一

8—E的大小都等于90。，得到如图2所示的多面体.

⑴在多面体中，求证：A,B,D,E四点共面；

(2)求多面体的体积.

【解析】⑴证明因为二面角4一£尸一。的大小等于90。，

所以平面AEFA.平面DEFC,

XAE±EF,NEU平面平面/EFC平面DEFC=EF,

所以花丄平面DEFC,

同理，可得8。丄平面OE/C,

所以4E〃BD,故4B,D,£四点共面.

(2)解因为ZE丄平面OEfC,BD上平面DEFC而F〃CD,AE//BD,DELCD,

所以是四棱锥4一。QEF的高，点/到平面BCD的距离等于点E到平面BCD的距离，

又4E=DE=1,CD=20EF=®BD=2,

所以V=V*-CDEF+VA-BCD=~S*彩CDEF-AE+\S^BCD-DE=

【训练五】如图1,在边长为4的正三角形N8C中，D,/分别为48,ZC的中点，E为AD

的中点.将△68与分别沿C。，跖同侧折起，使得二面角工一跖一。与二面角8一

CD—E的大小都等于90。，得到如图2所示的多面体.

图1图2

⑴在多面体中，求证：A,B,D,E四点共面；

(2)求多面体的体积.

【解析】(1)证明因为二面角4一跖一。的大小等于90。，所以平面NEb丄平面。£尸。,

又AE丄EF,NEU平面ZEE,平面4EEA平面。EFC=E6所以ZE丄平面。EEC,

同理，可得8。丄平面OEFC,

所以故4,B,D,E四点共面.

(2)解因为ZE丄平面。EEC,8。丄平面OEFC,EF//CD,AE//BD,DE1CD,

所以4E是四棱锥4一8£斤的高，点A到平面BCD的距离等于点E到平面BCD的距离，

又AE=DE=1,CD=2®EF=®BD=2,

所以V=VA-CDEF~\~匕-8CQ=：S*杉CDEF'AE+^-S^BCD'DE=.

336

【训练六】如图，在四棱锥P—N8C。中，底面/BCD为正方形，边长为4,E为4s的中点,

PE丄平面N6CDP&

(1)若△刃8为等边三角形，求四棱锥尸一/3。。的体积；

(2)若8的中点为冗Pb与平面所成角为45。，求PC与所成角\%D

的正切值.6'C

【解析】(1)：正方形/BCD的边长为4,且为等边三角形，E为48的中点，

：.PE=PBsinZPBE=AB-sin60°=2^3,

又PE丄平面ABCD,

二四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=1X42X2^5=

(2y：AD//BC,

，/PCB即PC与所成的角.

如图，连接EE,•.,PE丄平面/BCD,EF,8Cu平面4SCO,

：.PELEF,PELBC,

又PF与平面ABCD所成角为45°,

即NPFE=45。，

:.PE=EFtan/PFE=4,

.•.尸8=立西康=在百=2五

XBCLAB,PECAB=E,PE,Z8u平面必8,

丄平面PAB,

又PBu平面PAB,:.BCJLPB,

..tanZ-PCB———亠，

BC2

：.PC与AD所成角的正切值为苴.

2

四、【强化测试】

【单选题】

1.已知直线a和平面a，B，an£=/，Ra，而£，且a在a，£内的射影分别为直线b和

c，则直线b和c的位置关系是（）

A.相交或平行B.相交或异面

C.平行或异面D.相交、平行或异面

【解析】依题意，直线/，和c的位置关系可能是相交、平行或异面.

故选D.

2.在四面体Z8C。中，点E，E，G，〃分别在直线，AB，CD，BC1.，若直线EE和GH

相交，则它们的交点一定（）

A.在直线上B.在直线上

C.在直线C3上D.都不对

【解析】直线所和G”相交，设其交点为因为EFU平面4BD，//GU平面CBD，所以

平面且MS平面C8D因为平面ZBOn平面BCD=BD，所以，所以EF与HG的

交点在直线80上.

故选A.

3.如图所示，平面aC平面夕=/，A^a，BRa，ABCl=D，CG£，C庄/,则平面NBC与平

面夕的交线是（）

A.直线ZCB.直线Z8

C.直线CDD.直线8c

【解析】由题意知，DGl，lu°，所以。e4，

又因为DGAB，所以OG平面Z8C，

所以点。在平面/3C与平面外的交线上.

又因为CG平面ABC，CG£，所以点C在平面0与平面N8C的交线上，所以平面48Cn平面

尸CD.

故选C.

4.如图，在三棱柱48cl中，底面三角形48iG是正三角形，E是5c的中点，则下列

叙述正确的是（）

A.CG与BE是异面直线

B.GC与ZE共面

C./£与SG是异面直线

D.ZE与BCi所成的角为60°

【解析】由于CG与81E都在平面C'B'BC内，故CC与B\E是共面的，所以A错误；由于

GC在平面。山18c内，而ZE与平面GB8C相交于£点，点£不在GC上，故GC与AE

是异面直线，B错误；同理/£与81G是异面直线，C正确；而4E与81c所成的角就是

与8c所成的角，E为BC中点，△Z8C为正三角形，所以ZE丄8C，D错误.

故选C.

5.已知直线平面a'直线/»u平面a'给出下面四个结论：①若I与m不垂直，则/与a一定

不垂直；②若/与m所成的角为30°，则/与a所成的角也为30°；③/〃加是/〃a的必要不充

分条件；④若/与a相交，则/与机一定是异面直线.其中正确结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【解析】对于①，当/与加不垂直时，假设/丄a，那么由/丄a一定能得到/丄〃？，这与已知条

件矛盾，因此/与a—■定不垂直，故①正确；对于②1易知/与m所成的角为30°时，/与a所

成的角不一定为30°，故②不正确；对于③，/〃加可以推出/〃a，但是/〃a不能推出/〃m，

因此/〃加是/〃a的充分不必要条件，故③不正确；对于④，若/与a相交，则/与加相交或异

面，故④不正确.故正确结论的个数为1，

选A.

6.如图，在正方体ABCDWBCD，中，平面a垂直于对角线AC>且平面a截得正方体的六个表

面得到截面六边形，记此截面六边形的面积为S，周长为/，则（）a____

A.S为定值，/不为定值B.S不为定值，/为定值

C.S与/均为定值D.S与/均不为定值

【解析】设平面a截得正方体的六个表面得到截面六边形①，3与正方体的棱的交点分别为/，

J，N，M，L，K（如图）.

将正方体切去两个正三棱锥8。和C-3'C。，得到一个几何体/，则『的上、下底面夕

CD,与48。互相平行，每个侧面都是等腰直角三角形，截面六边形0的每一条边分别与『的

底面上的每一条边平行.设正方体的棱长为a>-=7，则IK=yBD=电的，KL={\-y）A'B

A'B'

=旭。（1-7），故IK+KL=\fiay+啦a（l-y）=^a.同理可证LM+MN=NJ+IJ=Qa，故六边

形3周长为3亚a，即周长为定值.

当/，J，N，A/，L，K都在对应棱的中点时，3是正六边形.其面积S=

6X^X惇[2X'=乎/,BD的面积为3义（価a?X?=*a2,当①

无限趋近于8。时，3的面积无限趋近于日経，故。的面积一定会发生

变化，不为定值.故选B.

7.如图，已知线段垂直于定圆所在的平面，B,。是圆上的两点，”是点8在/C上的射

影，当点C运动时，点”运动的轨迹（）

A.是圆B.是椭圆

C.是抛物线D.不是平面图形

【解析】如图，过点8作圆的直径8。，连接CD,AD,Pl']BCA.CD,再过点3作8E丄/。于

点、E,毘接HE,因为丄平面8C。，所以丄CD又8c丄。，且ABCBC=B,所以C。丄

平面/6C,所以CDLBH.

叉BHtAC,且/CACO=C,所以8"丄平面/CD,所以8〃丄BH±HE.

又注意到过点8与直线垂直的直线都在同一个平面内，于是结合点8,E位置，可知，当

点C运动时，点H运动的轨迹是以8E为直径的圆.

故选A.

8.如图，点N为正方形N3C。的中心，AECD为正三角形,平面EC。丄平面48cD,M是

线段的中点，则（）

A.且直线8M,EN是相交直线

B.BM丰EN,且直线EN是相交直线

C.BM=EN,且直线EN是异面直线

D.BMWEN,且直线EN是异面直线

【解析】如图，取CO的中点。，连接ON,EO,因为△EC。为正三角形，所以丄8,又

平面EC。丄平面平面EC£>n平面N8CD=CD,所以EO丄平面/BCD设正方形48。

的边长为2,则EO=g,ON=1,所以EI^=EO2+ON2=4,得EN=2.过M作CD的垂线，

垂足为尸，连接8P,则〃P=退，CP=-,所以8必二加戸+^户二口2+0+22=7,得8M

22

=布,所以8MWEN.连接80,BE,因为四边形/8GD为正方形，所以N为8。的中点，即

EN,M3均在平面8OE内，所以直线EN是相交直线.故选B.

【多选题】

9.四棱锥尸一Z8CZ）的所有棱长都相等，M,N分别为PA,8的中点，下列说法正确的是

（）

A.MN与尸。是异面直线

B.M7V〃平面PBC

C.MN//AC

D.MNUB

【解析】如图所示，取P8的中点冃，连接“冃，HC,

由题意知，四边形MHCN为平行四边形，KMN//HC,所以〃N〃平面P8C,设四边形

确定平面a,又。Wa,故〃，N,。共面，但Pa平面a,D^MN,因此MN与PO是异面直线;

故A,B说法均正确.

若MN〃AC,由于C"〃1W,贝I」C4〃/C,

事实上zcnc"=c,C说法不正确；

因为PC=BC,”为P8的中点，所以CHVPB,又CH//MN,所以MNLPB,

D说法正确.

故选ABD.

10.下图中，G,N,M,//分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中

点，则表示直线G4,是异面直线的图形有（）

【解析】图A中，直取GH//MN；

图B中，G,H,N三点共面，但M与平面GUN,NaGH,因此直线G4与MN异面；

图C中，连接MG,GM//HN,因此G//与共面；

图D中，G,M,N共面，但朋平面GMN,G6MN,

因此GH与MN异面.

故选BD.

11.如图所示，在正方体中，。是BD的中点，直线4c交平面/囱。于

点M,则下列结论正确的是（）

A.Z,M,。三点共线B.A,M,O,4共面

C.A,M,C,O共面D.B,Bi,O,M共面

【解析】•••A/W4C,/Cu平面/MCG,

...A/e平面A\ACC\,

又平面ABiDi,

：.M在平面AB\D\与平面A\ACC\的交线NO上,

即aM,。三点共线，

：.A,M,O,4共面且4M,C,。共面，

•.•平面58101。n平面451D1=5101,

在平面BBQiD外,

即8,Si,O,“不共面，故选ABC.

12.如图，已知二面角/一8。一。的大小为；，G,〃分别是8C,CD的中点，E,F分别在

AD,AB1.,窮=箒=；，且ZC丄平面8C。，则以下说法正确的是（）

A.E,F,G,"四点共面式

B.FG//平面ADC

C.若直线/G,HE交于点P,则P,A,。三点共线交0

BGC

D.若△43。的面积为6,则△3CO的面积为3

【解析】由丝="=丄知EE平行丄8。，且EF」BD

ADAB333

又G"平行-BD,且GH'BD：.EF//GH,

22

因此E,F,G,"共面，A项正确；

假设bG〃平面ZOC成立，因为平面ZBCn平面。4C=/C,

A171

所以FG〃4C,又G是8C的中点，所以F是的中点，与矛盾，B项不正确；

AB3

因为EGu平面Z3C,PSFG,所以PG平面/6C,同理PW平面/DC,

因为平面/BCn平面/OC=NC,所以尸e/C,所以尸，A,。三点共线，因此C正确；

7T1

易知5Afico=cosj-SA/isp=-X6=3,D正确.

故选ACD.

【填空题】

13.已知在直三棱柱NBC—481G中，ZABC=120°,AB=2,BC=CC\=\,则异面直线ZB

与BCi所成角的余弦值为.

【解析】如图所示，补成直四棱柱/8CO—4囱。1。1,

则所求角为N3G。或其补角，

'：BC\=^2,5Z)=\<22+1-2X2X1Xcos60°,C\D=AB\=^5,

易得CI£)2=BD2+8G,即BC丄8。，

因此cosN8GD=g=*=遞.

C\DV55

14.在空间中，给出下面四个命题，其中假命题为.(填序号)

①过平面a外的两点，有且只有一个平面与平面a垂直；

②若平面夕内有不共线三点到平面a的距离都相等，则a〃夕；

③若直线/与平面a内的任意一条直线垂直，则/丄a；

④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线.

【解析】对于①，当平面a外两点的连线与平面a垂直时，此时过两点有无数个平面与平面a垂

直，所以①不正确；

对于②，若平面6内有不共线三点到平面a的距离都相等，平面a与夕可能平行，也可能相交，所

以②不正确；

对于③，直线/与平面内的任意直线垂直时，得到/丄a,所以③正确；

对于④，两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条相交直线或两条平行直线或直线和直线

外的一点，所以④不正确.

15.在正方体中，E,F,P,。分别为/山，B\D\,A\D,的中点，则直

线EF与PQ所成角的大小是.

【解析】如图，连接4G,5G,则E是4G的中点，

又E为/山的中点，所以EF〃BQ,连接QG,则0是OCi的中点，

又尸为4。的中点，所以

于是N4C山是直线EF与PQ所成的角或其补角.

易知△小。山是正三角形，所以/4。山=扌

16.在棱长为4的正方体中，P,。分别为棱〃CG的中点，过尸，Q,

工作正方体的截面，则截面多边形的周长是.

【解析】如图所示，

过。作QM//AP交8c于

由4P=CQ=2,tanZJ7Mi=2,

CQ

则tanNCMQ=2,CM=

tanZCMQ

延长交囱G的延长线于E点，连接PE,交。Ci于N点,

则多边形AMQNP即为截面，

根据平行线性质有GE=CM=1,

C\N=CiE=T

ND\~PD\~1'

4Q

则C\N=±,D\N=J

33

因此NQ=

NP=m費

又AP=\；'42+22=23，AM=\,l42+32=5,

MQ=\j\2+22-\5,

所以多边形ZMQNP的周长为

AM+MQ+QN+NP+PA

=5+V5+^^+—+2^/5

33

=25+9^5+2^13

3°

【解答题】

17.如图，在正方体/8C。-4中，0为正方形ABCD的中心，〃为直线B\D与平面ZC。

的交点.求证：Di,H,。三点共线.

【解析】如图，连接BO,BiDi，则8OC4C=O,

因为BB\幺DDi，

所以四边形BBiDiD为平行四边形，

入HRB\D,

6|Z)U平面BB\D\D,

则HG平面BBiDiD,

因为平面NC。D平面BB\D\D=OD\,

所以"GO0.即。i,H,O三点共线.

18.如图，在三棱锥P-48C中，H丄底面48C,。是PC的中点.已知N84C=n，AB=2,

2

AC=2\[3,%=2.求：

(1)三棱锥P-48C的体积；

(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.

【解析】(1)品枇=亠2X23=23，

三棱锥P-ABC的体积为V=XS^ABC-PA=1X2\/3X2=4%(3.

333

(2)如图，取P8的中点E,连接OE,AE,Pl']ED//BC,所以N/OE(或其补角)是异面直线8C

与AD所成的角.

[―22+2?—23

在中，£>£=2,AE=y)2,AD=29cosZADE=---------=".

2X2X24

a

故异面直线BC与AD所成角的余弦值为丄

19.