2024年电大经济数学基础期末练习题

〈经济数学基础〉期末复习参照练习题

-单项选择题

1、设;•(x)=▲,则/(/(%))=(cCx)

X

2、曲线y=sinx+1在点(0,1)处的切线方程为(AAy=x+1)。

11i

3、若］/(兄)*公二一"+c,则/(%)=(BB—)

4、设A,B为同阶可逆矩，则下列等式成立的是(CC(AB)T=BTAT)

5、线形方程组112"解的状况是(DD无解)

项+%2=0

Y—1

1.函数y=--------时定义域为(DD、尤>1且CW2)

ta(x-l)

2.设/(x)=ln(x—1)，则/Xx)在x=2处的切线方程是(AA.x—y=2)

3.下列等式中对时的是(BB、」-dx=d(、6))

4、设A为3x4矩阵，8为5x2矩阵，若乘积矩阵AC?B故意义，则C为(BB5义4)矩阵。

F11Tx.1「11

5.线性方程组1=解的状况是(DD有唯一解)

1-1x90

1.下列结论中(DD奇函数的图形是有关坐标原点对称)是对的时。

sinx一八

2.函数/(%)=丁在x=0处连续，则左=(CC1)

kx=0

3.下列等式成立的是(CC、2xdx=—d(2x))

ln2

4、设A,B是同阶方阵，且A是可逆矩阵，满足A+AB=/,则A-=(AA、I+B)。

5、设线性方程组Amx„X=b有无穷多解的充足必要条件是(DD、r(A)=r(A)=r(A)<n)

x-4

1.函数y=J--------时定义域是(BB、［-2,2)u(2,+oo))

Vx-2

2.若](x)=cos三，则lim/(x+Ax)—/(x)=(AA.。)

4-Ax

3.下列函数中,(DD、--cosx2)是xsin/时原函数。

2

4.设A是加矩阵,B是sx,矩阵，且AC'B故意义，则。是(DD、sxn)矩阵。

再+2X2-4X3=1匹=-11

5.用消元法解方程组x2+x3=0得到的解为(CC、<%=2）。

、一冗3=2、冗3二-2

1.下列各函数对中，(DD、f(x)=sin2x+cos2x,g(x)=l)中的两个函数相等。

X

2.已知/（%）=------1,当（AA、％—0)时，/(X)为无穷小量。

sinx

3、p°二dx=(CC>-)

Jlx32

4、设A是可逆矩阵，且A+AB=I,则A—、(CC>I+B）

「13214-

0-112-6

5.设线性方程组AX=b的增广矩阵为,则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为

01-1-26

02-2-412

（BB、2）

1.下列各函数中的两个函数相等的是(CC.y=lnx3,g(x)=31nx)

2.下列函数在区间(—8,+8)上单调增长的是(CC.3工)

3.若尸(x)是/(x)的一种原函数，则下列等式成立的是(BB.f'(x)dx=F(x)-F(a))

Ja

4.设A,B为同阶可逆矩阵，则下式成立的是(DD.(AB)T=BTAT)

5.设线性方程组人*=8有唯一解，则线性方程组AX=0的解的状况是(AA.只有零解)

二、填空题

——5<x<0

6、函数/Xx)=,"的定义域是—[-5,2)—。

x2-10<x<2

「x-sinx八

7、hm-----------=____0____,o

3X

8、函数/(x)=-sinxaI原函数是cosx+c。

9、设A,B均为n阶矩阵，则等式（A-J?）?=A?-2AB+B2成立的充足必要条件是_A,B任意

1021

X,1二-2XQ—

10、齐次线性方程组AX=O的系数矩阵为A=010-2则此方程组的一般解为一:

x=2X

000024

6、若函数/(x+2)=/+4x—5,则/(x)=X2-9

--p

7、设需求量q对价格p的函数为Mp）=500e2,则需求弹性为E〃=——§―-

8.dsinxdx=sinxdr

9.若r(A,Z?)=4/(A)=3,则线性方程组AX=b—无解.

'100"「100一

10.设A=020,则A-1=0I0O

00-300-I

6、函数y=—--------73-%的I定义域为_____(-3,-2)(-2,3)

ln(x+3)

7、需求量9对价格P的函数为4（p）=100/5则需求弹性为Ep=-―1

8.dx-_0_«

23

9、当a3时，矩阵4=是对称矩阵。

一a-I

1116

10、线性方程组=且4=0-132则/=_-1一时，方程组有无穷多解。

00t+10

6.已知生产某产品的成本函数为C（q）=80+2%则当产量4=50单位时，该产品的平均成本为―3.6

Y—3

7、函数/(x)=22—时间断点是%]=1,%=2

x—3x+22

8、j(xcosx+l)^=2o

-1-11-

9、20—1的I秩为_____2o

1-34

x-=0

10、若线性方程组〈1「有非。解，则丸=_-1_。

玉+AX2=0

—1

6、若函数于3='，则于（X+h）―）（X）

1+xh(l+x)(l+x+A)

x2-l]

7、已知/(x)=<731XN1,若〃x)在(9,”)内持续，则a=2_.

ax=l

8、若/'（X）存在且持续，则［Jdf（x）r=__/⑺

1-20-4

9、设矩阵A=,I为单位矩阵，则（1—A）、

43-2-2

10、已知齐次线性方程组AX=0中A为3*5矩阵，且该方程组有非0解，则r（A）＜_3一

QX0—X

6.函数/（%）=--—的图型有关—坐标原点.对称

7.曲线/（x）=sinx在（肛0）处的切线斜率是_-1_。

9.两个矩阵A,B既可以相加又可以相乘的充足必要条件是_A,B为同阶矩阵

10.线性方程组AX=B有解的充足必要条件是—r(A)=r(A)_0

三计算题

11>由方程cos(x+y)+e，=x确定y和1的隐函数，求y'。

解[cos(x+y)]'+(e,)'=x'

-sin(x+y)[l+_yf]+eyy'-1

[ey-sin(x+y)]y'=1+sin(x+y)

,l+sin(x+y)

y—■

ey-sin(x+y)

11.设丁=cos«-e*,求dy。

解yf=(cos五-e~x2Y=2xe~x2-

26

dy=(2xe^x-)dx

11>已知y=lnsin12,求y(x)

1(sinx2)'=-^-^-cosx2

解yr=(Insinx2)'==2xcotx2

sinx2sinx

1+ln(l—x)jx，小

11>y二一：-------求y(0)

l-x

-1

(l-x)[lln(l-x)]_

解、了=上工++h(1x)

(If(If

y（o）=o

11>设y=cos2'-sin，，求y'

解yf=(cos2X-sinx2)'=-2xln2sin2%-2xcosx2

11.已知y=sin%+co"%,求y

解：=(sinx)"+(cos5x)f=cosx+5cos4xsinx

7

11y=(%——)/%求V

x

7

解/=(x--)fe2x

x

=(l+^-)e2x+2(x--)e2x

xx

47

=e2x(l+2x——+—)

%x

cosx

11.y=2--——求y

l-x

解y=（2，y—（2），

l-x

=2,M2_(cosx)'(l-x)-cosx(l-x)'

_(I-%)2

ci_cosx-(l-x)sinx

=2Inz------------------------

(17)2

11.y=]ncos/求y(，^)

iQr

解y=(lncos%2)'=-------(cosx2)r=---------sinx2=-2xtanx2

cos%cos%

V(。)=-2,Atan(7)2=

11.y=Vl+ln2x求dy

解y,=(Vl+ln2x),=-(l+ln2x)"3(i+ln2x),=-(l+ln2x)-3^1i^

33x

2--

dy-——(1+ln2x)3Inxdx

3x

11.y=cos—+求dy

2

rr222

r2x

解V=(COSy)+(e-y=-SiDy(y),-21%=_xsin±__

.x2_

dy—(—xsin-----2e)dx

11.y=cos3(l-2x)dy

V=(cos3(l-2x))f=-3COS2(1-2x)sin(l-2x)(1-2x)f=2cos2(l-2x)sin(l-2x)

11、exy+y]nx=sin2xyr

(exyy+(yInx)r=(sin2%)'

*(%，+R)+yinx+—=2cos2%

x

(/'%+ln%)y'=2cos2x-exyy--

x

2cos2x-exy--

yf=-------------

exyx+lnx

U.由方程yln(l+x)+eq=/确定的隐函数，求y'

解[yln(l+%)]'+(e孙)'=(e2),

y'ln(l+x)+丁+6移(3+孙')=0

1+x

[ln(l+%)+xexy]yr=——----yexy

1+x

y+(l+x)yexy

y=-

(1+x)[ln(l+x)+xexy]

11.由方程siny+xeM=0确定的隐函数，求y'

解(sin/'+(九")'=O'

yfcosy+ey+xeyy'=0

(cosy+xey)y'=-ey

，~ey

11由方程y=l+xe＞确定的隐函数求4V

dxx=0

解y'=l'+(%/)'

y=ey+xeyy,

y，=—

-l-xey

dy

当x=0,y=1=y'(O)=------r=e

dxx=Q1—0x3

11.由方程cos(x+y)+ey=x确定的隐函数求dy

解[cos(x+y)]r+{eyy=x'

(1+yr)sin(x+y)+e，y'=1

(ey-sin(x+y)]yr=l+sin(x+y)

l+sin(x+y)

yf-

ey-sin(x+y)

7l+sin(x+y)

dy=-------------ax7

ey-sin(x+y)

r1617

12>/----dx

JoVx+9-Vx

到「161f16Jx+9+61

解I-/~j=dx=I/~j=/~j=^———(Vx+9+4x)dx=12

JoVx+9-VxJo(J九+9-Vx)(Vx+9+Vx)9

兀

12.Hxsin2xdx

Jo

71

冗]J兀冗

解xsmlxdx=-[—xcos2x+—J^COS2XJJV]=—

12.rl£nxe(1+ec)dx

/•In3xx02fin3c12In356

解£e(l+e)dx=^(l+/)2d(l+1)=：(l+/)30

T

12、[xlnxdx

reJ21产Gel

解xlnxtZx={—xIn%——xdx}=—+—

Ji22J1J144

12.计算/曲立氏

解：=jln%d(lnx)=—(Inx)2+c

x2

12、j(x2-5x+7)cos2x(ix

解、J，—5X+7)COS2JVZZX=-2(x2-5x+7)sin2x+4(2x-5)cos2x+16sin2x+c

i

i

x

A2erl-1-1

角星、C—dx=exd(—)=exel-e~x

J1x2JTX-1

^Cxe-2xdx=--xe-2x1-(e-2xdx=--e-2+-e-2xU=--(3e-2-1)

J。2[0J。J![_2|0J4

冗

12.xcoslxdx

Jo

产1f-Rsin2^x=-cos2x^

解2%cos2Azzx=-xsin2x

J。202Jo402

12.Jxsin(l-x)<ix

r3+xsinx.

12.------------ax

Jx

r3+xsinx,r3,r.,

解------------ax=-ax+sinxor=31nx-cosx+

Jx」x」

x

12.-dx

4+x2

-Y1r11

解\-------dx-[-------d(4+/)=_]n(4+%2)+c

J4+x22J4+x22

12.

—%+

12.f2dx

Jixvl+lnx

解『,1dx=『,1J(1+Inx)=2jl+lnx2=2(73-1)

xjl+lnxJlJl+lnx1

-102「-1-

13、设矩阵A=-124,B=-2，求(21-Ar)B

3113

解

~20o--113」11-3-

由于21—A，=020021=OO-l

002241-2-41

-11-3~-1-1-2-9---10-

因此（2/—A?）上i=00-1-20+0-3-3

-2-413-2+8+39

一1o--or

13.设矩阵A=0-1,B=0i，求（BTA)-1

-1212

解

「r「101「r

T001-12

BTA=0-1=

112-13

L」[T2」L」

――12101「一1210]「10—32-

-1301J[01-11」[01-11

因此（加4『=

10-212-3

13、设矩阵A=],B=，计算（ABDI

-200-12

lr10

10-27-4

解:(AB，T=2-1

1—2(J-32

LJ-32

7-410101210121012

-3201'-3201fo237—01ii

12

因此（AB’）T

22

,22.

-113

13、设人=1-15求(/+A)i

1-2-1

解

013100105010100-106-5

105010f013100010-53-3

1-200010012-110012-11

-106-5

因此（/+A）T-53-3

2-11

-151

13、设矩阵A=,B=，求(A—/)%

3-6-1

10-25

013-7

31-2-3-5

(A-7)'5=

-7-15+712

13.已知AX=B,其中A

1231oolFl23100

解.357010-0-1-2-310

58100010-2-5-501

123ioolFl00-64-1

52

00-11-21001-12-1

-64-1

即A=5-52

-12-1

-64

X=A-lB=5-5

-12

021210

13.设矩阵4=,B=计算（波丁尸

1-1001-1

20

02121

解ABT=11

1-101-1

0-1

11

21101-10110

且[ABTI]1233

1-1010112

3301

33

11

(ABr)1=-

31-2

-01o-

13.设矩阵A=-111,求逆矩阵(/-A)-'

-103_

1-1100

解101010

10001

1-1010010002-102-1

01-1-110->010-111因此（/—A）-=-12-1

01-2-10100101-101-1

13.设矩阵A

解+C=

63

10-2

13.设矩阵A,B=12计算(AB)-1

1-20

41

63

10-2-21

解AB=2

1-204-1

1

-2110-2110-20-1-1101

T22

4-101012101210121

11

(AB)122

21

-2-3

13.解矩阵方程X

342

-2-310111111111043

解T

3401340101-3-201-2

-i

-2-343

即

34-3-2

43-12

X=

-3-221

121-1

13.解矩阵方程X

3520

1210123010-52

解->-»

35010-31013

-i

12-52

即

353-1

1-1121-123

因此X=

2035203-104

xx+x3=2

14.设线性方程组《

Xi+2X2-x3=0

+x2-ax3=b

讨论当。力为何值时，方程组无解，有唯一解,无穷多解。

101210121012

解〉01-1-102-2-201-1-1

21—ab01-a-2b-4001-<7-lb-3

当a=-方程组无解；

当aw-1,方程组有唯一解；

当a=—13=3方程组有无穷多解。

%1+%2+=0

14.求线性方程组2%1-％2+8%3+3%4=0的一般解。

2x1+3X2-X4=Q

111011101031

解.由于A=2-18301-2-301-2-1

230-10-3630000

元1+3元3+14=0

%-2x2-x3=0

再——3/一

则一般解为：《

%=2/+%4

2x1+5X2+/+15X4=7

、当为何值时，线性方程组修+

14bJ2X2—%+4%=2有解，有解时求一般解。

+3%2+2尤3+11%4=b

「251157"11-142一'12-142

解A=11-142f251157f01373

13211b13211b0000b-5

12-142

因此当b=5是方程组有解，且由A=01373

00000

再=7X+10X-4

得解为《34

%2=-3%—7%+3

2尤1一5%2+2%3一3%4-0

14、求线性方程组]玉+2%—%+3%=°时一般解。

—2%]+14%2—6%3+12%4=0

-2-52-3「-12-13-~12-13

解、A=12-13f2-52-3T0-94-9

-214-612-214-612018-819

12-13

2-52-3

0000

$+2X2-X3+3X4=0

2再一5%2一%3-3x4—0

1

匹=-X-^4

一般解为《3

4

XX

2=-3_%4

七-3X2+2X3=0

14、设线性方程组2%1-5X2+3X3=0问2为何值时方程组有非0解,并求一般解。

3/-8X2+AX3=0

1-321-3

解A=2-5301

3-8201

因此当4=5时，方程有非0解，一般解为

-3X+2X=0

<2一3

x2-x3=0

Xj-x2+x4=2

、求线性方程组的一般解

14%1-2X2+x3+4X4=3

2%i-3X2+x3+5X4=5

1-10121Fl-1012

解A=1-2143-0-1131

2-31550-1130

x；-x2+x4=2

一x2+/+3%4—1

%1=x+2X+1

方程组的一般解为:34

巧=七+3x—1

尤］-W=2

14.当2为何值时，线性方程组%1-2X2+/+4X4=3有解,在有解的状况下求方程组的一般解

2xx-3X2+x3+5X4=2+2

1-10121-10121-1012

解A=1-1143T0-11310-1131

2-3152+20-1132-200002-3

当2=3时，方程组有解，原方程组化为

X1~X3~2%4=1

<

%2一冗3—%4=—]

得解「口+…4

%2=-1+13+3尤4

五、应用题

15.设生产某种产品q单位时的成本函数为:C(q)=100+0.25/+6q(万元)

求：(1)当q=10时的总成本、平均成本和边际成本；

(2)当产量q为多少时，平均成本最小？

.解⑴总成本C(10)=100+0.25x102+6x10=185

平均成本4(10)=色④=型"=—=18.5

q1010

边际成本C\q)=0.5q+6C'(10)=0.5x10+6=11

(2)C(^)=-^=—0.25^+6

qq

I(Y)

令C(q)=——厂+0.25=0,得q=20

q’

当产量为20时平均成本最小。

15.设生产某产品的边际成本为C'(q)=84(万元/百台)，边际收入为R(q)=100-2q(万元/百台)，其中q是

产量，问

(1)产量为多少时，利润最大？

(2)从利润最大时的产量再生产2百台,利润将会发生怎么的变化？

解(1)L'(q)=R(q)—C'(q)=(100-2q)—8q=100—10q

令Z/(q)=O,得q=10

产量为10百台时利润最大。

1212

(2)AL=^rL\q}dq=£r(100-10q)dq=-20

从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元。

15.设某工厂生产某产品的固定成本为200(百元)，每生产一种单位产品，成本增长5(百元)，且已知需求函数

^=100-2°,这种产品在市场上是畅销的，

(1)试分别列出该产品的总成本函数C(q)和总收入函数H(q)体现式；

⑵求使该产品利润最大的产量及最大利润。

解(1)总成本函数。(幻=200+5q

„1,

总收入函数R(q)=pq=5Qq--q~

(2)利润函数为L(q)=R(q)—C(q)=45q—gq?—200

令〃⑷=45—q=0得产量q=45,

即当产量为45单位时利润最大

1,

最大利润£(45)=45x45--x452-200=812.5

15.已知某产品的边际成本为C(q)=2(元/件)，固定成本为0,边际收入R(q)=12-0.024,求：

(1)产量为多少时利润最大？

⑵在最大利润的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？

解：(1)边际利润L\q)=R\q)-C\q)=12-0.02^-2=10-Q.Q2q

令〃⑷=0,得q=500

当产量为500是利润最大。

(2)当产量由500件增长至550件时，利润变化量为

刈=£(10—0.02q)dq=(10q—0.01/)惴=_25(元)

即利润将减少25元。

15、已知某产品的边际成本为C'(q)=4q-3(万元/百台)，q为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求

(1)该产品的平均成本；

(2)最低平均成本。

解⑴成本函数为C(q)=jC'(q)dq=卜的—3)dq=2/—3q+18

则平均成本函数为e(/=C@=2q—3+竺

qq

(2)C'(q)(2q-3H---)'=2----

qq

令3①)=2-2=0得9=3

q

—1o

最低平均成本为«3)=2x3-3+y=9(万元/百台)

15,某厂生产某种产品q千件时的总成本函数为C⑷=1+2q+(万元)，单位销售价格为p=3—2q(万元/千件),

试求

(1)产量为多少时可使利润抵达最大？

(2)最大利润是多少？

解(1)由己知得R(q)=qp=q(8-2q)=8q-2q2-8q-2q2

利润函数

L(q)=R(q)—C)(q)^Sq-2q2-(1+2q+q2)6q-l-3q2

从而有

L，(q)-6-6q

令L'(q)=6-6q=0解q=l,

产量为1千件时利润最大。

(2)最大利润为

L(l)=6xl-l-3xl2=2(万元)

15设生产某种产品q台时的边际成本C'(q)=2.54+1000(元/台)，边际收入R(q)=2q+2000,试求获得最

大利润时的产量。

解:边际利润为

L'(q)=R'(q)-C'(q)

=2^+2000-(2.5^+1000)

=—0.5q+1000

令L'(q)=0得q=2000

当产量为2023时利润最大。

15设某产品的成本函数为C(q)=]/+34+100(万元)

其中q是产量(单位:台)，求使平均成本最小的产量，并求最小平均成本是多少？

解:平均成本C(q)=9④=—<?+—

q25q

1100

有°⑷、MLn

解得q=50

即当产量为50台时，平均成本最小，最小平均成本为

C(50)=—^+3+—=7(万元)

_25q4=50

15o生产某种产品的固定费用是1000万元，每生产1台该品种产品，其成本增长10万元,又知对该产品的需求

为q=120-2。(其中q是产销量(单位:台)，p是价格(单位：万元)，求

(1)使该产品利润最大的产量；

(2)该产品的边际收入。

解：(1)设总成本函数为C(q),收入函数为R(q),利润函数为L(q)于是

C⑷=10q+1000

1,

R(q)=qp=6Qq--q-

1,

L(q)=R(q)-C(q)=5Qq--q2-1000

L'(q)=50_q=0

得q=50

即生产50台时该种产品能获最大利润。

(3)由于R(q)=604一g/,故边际收入R(g)=60-q(万元/台)。

15某厂生产一批产品,其固定成本为2023元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为

q=1000-10p,试求：(1)成本函数，收入函数；(2)产量为多少时利润最大？

解：(1)成本函数为C(q)=60q+2000由于q=1000—10”，即p=100—jq

因此收入函数为R(q)=pq=(100—2q)q=100^-q2

(2)由于利润函数为L(q)=H⑷—C(q)=40q—记才_2000

L'(q)=40—[q令L'(q)=40—